پایان نامه با کلید واژه های مدل‌سازی، میان یابی، روش حداقل مربعات

دارای مشتق مرتبه اول و بسیار مسائل دیگر است.
روش حداقل مربعات20: در این روش مقدار خطای R به عنوان حل تقریبی وزنی استفاده می‌شود. بنابراین انتگرال زیر حاصل می‌شود:
〖Er〗_ =∫_0^H▒〖[(R)x]^2 dx〗 (3-6)
این میزان خطا نسبت به ضرایب نامعلوم موجود در حل تقریبی، مینیمم می‌شود. از روش حداقل مربعات نیز جهت فرموله کردن حل اجزاء محدود استفاده می‌شود اما این روش به اندازه‌ی روش تغییر و روش گالرکین مورد استفاده قرار نمی‌گیرد.

3-2-2- روش اجزاء محدود
روش اجزاء محدود یک دستور‌العمل عددی جهت حل مسائل فیزیکی می‌باشد که توسط معادله‌ی دیفرانسیل توصیف می‌شوند. این روش دارای دو ویژگی است که آن را از سایر روش‌های عددی متمایز می‌سازد:
1) در این روش از یک فرمول‌بندی انتگرالی جهت ایجاد یک دستگاه معادلات جبری استفاده می‌شود.
2) در این روش از توابع هموار به طور قطعه‌ای پیوسته جهت تقریب کمیات مجهول استفاده می‌شود.
مشخصه‌ی دوم، روش اجزاء محدود را از سایر روش‌های عددی که فرمول بندی انتگرالی دارند، متمایز می‌کند.
روش اجزاء محدود را می‌توان به پنج مرحله‌ی اصلی تقسیم کرد:
1) تقسیم ناحیه‌ی مورد بحث به تعداد زیادی زیر ناحیه‌ی کوچک موسوم به المان21. نقاط اتصال المان‌ها به یک‌دیگر، گره22 نامیده‌ ‌می‌شود.
2) تعیین تقریب اولیه برای حل به صورت یک تابع با ضرایب ثابت مجهول که همواره یا خطی23 است و یا مرتبه دوم24. پس از تعیین شدن مرتبه تقریب اولیه، معادله‌ی حاکم در هر گره نوشته می‌شود.
3) استخراج دستگاه معادلات جبری. در صورت استفاده از روش گالرکین، تابع وزنی برای هر گره مشخص شده و سپس انتگرال باقی‌مانده‌ی وزنی تشکیل می‌گردد. با انتگرال‌گیری، برای هر گره یک معادله‌ی جبری ایجاد می‌گردد که پس از استخراج معادلات همه‌ی گره‌ها، دستگاه معادلات به وجود می‌آید.
4) حل دستگاه معادلات ایجاد شده
5) محاسبه‌ی سایر کمیات از روی مقادیر گرهی.
در مرحله‌ی اول همان‌گونه که اشاره گردید. هندسه مسأله به نواحی کوچکی موسوم به المان تقسیم می‌گردد. نقاط اشتراک المان‌ها، گره‌ها می‌باشند. به مجموعه‌ی یک المان با گره‌هایش یک مش25 گفته می‌شود. المان‌ها می‌توانند یک، دو و یا سه بعدی باشند. همچنین بسته به بعد المان، اشکال مختلف برای یک المان قابل تصور است. یک المان دو بعدی می‌تواند به شکل مثلث، مربع و یا شکل دلخواه دیگری باشد. از طرفی یک المان سه بعدی می‌تواند اشکالی مانند چهاروجهی، هرم، منشور و یا مکعب داشته باشد. مش بندی هندسه‌ی مسأله از مراحل مهم مدل‌سازی می‌باشد که مستلزم دقت و مهارت مناسب می‌باشد.
در مرحله‌ی دوم، در واقع تقریب اولیه برای جواب مسأله به صورت یک تابع با ضرایب ثابت مجهول در نظر گرفته می‌شود. این تقریب در محدوده‌ی یک المان زده می‌شود و برای کل شکل مسأله انجام نمی‌گیرد. ( به عنوان مثال u=c_1 x+ c_2 یک تقریب خطی برای توزیع جابه‌جایی در یک المان یک بعدیست). در خصوص مسائلی که توسط نرم‌افزار حل می‌شوند، چون می‌توان ابعاد المان‌ها را بسیار ریز انتخاب کرد، هیچ‌گاه تقریبی با درجه‌ی بیشتر از دو زده نمی‌شود. به عبارت دیگر تقریب اولیه برای جواب همواره در نرم‌افزارها یا خطی است و یا سهموی.
در مرحله‌ی بعد معادله‌ی حاکم برای تک تک گره‌ها نوشته شده و پس از انتگرال‌گیری‌های لازم، به فرم یک معادله‌ی جبری تبدیل می‌شود. برای روشن‌تر شدن موضوع به معرفی مفهوم تابع شکلی26می‌پردازیم. همان‌گونه که ذکر شد در یک تحلیل اجزاء محدود ابتدا مقادیر گرهی کمیت مد نظر محاسبه می‌گردد و سپس با میان‌یابی در هر نقطه‌ی دلخواه می‌توان مقدار کمیت مجهول را به دست آورد. بنابراین می‌بایست مرتبه‌ی میان‌یابی معلوم باشد که همان‌گونه که در مرحله‌ی قبل اشاره گردید، یا خطی و یا مرتبه‌ دو است. المان خطی یک بعدی را در نظر می‌گیریم. اگر φ کمیت مجهول باشد که معادله ی حاکم بر حسب آن است، در این المان حل تقریبی و یا همان تابع میان‌یابی عبارت است از]32[:
φ=a_1+a_2 x (3-7)
که در آن 〖a_2〗_ و a_1 مجهول می‌باشند. در صورتی که این المان بین دو گره i و j با موقعیت‌های X_j و〖 X〗_i واقع شده باشد و مقادیر گرهی φ برابر با φ_j و φ_i باشد، دو ضریب مجهول 〖a_2〗_ و a_1
قابل محاسبه‌اند.
φ_i=a_1+a_2 X_i (3-8)
φ_j=a_1+a_2 X_j (3-9)
که در نتیجه خواهیم داشت:
a_1=(φ_i X_j-φ_j X_i)/(X_j-X_i ) (3-10)
a_2=(φ_j-φ_i)/(X_j-X_i ) (3-11)
حال اگر مقادیر a_2 و a_1 را در رابطه‌ی اولیه قرار دهیم خواهیم داشت:
φ=((X_j-x)/L) φ_i+((x-X_i)/L) φ_j (3-12)
که در آن L طول المان است. رابطه‌ی به دست آمده‌ی فوق رابطه‌ای استاندارد برای میان‌یابی است زیرا ترکیب خطی مقادیر گرهی است که ضرایب آن‌ها نیز توابعی خطی از X می‌باشند. این توابع خطی را با حرف N نمایش می‌دهند و آن‌ها را توابع شکلی می‌نامند. در واقع هر گره، تابع شکلی مخصوص به خود را دارد که بیانگر سهم مقدار گرهی آن گره در میان یابی می‌باشد. بنابراین توابع شکلی به صورت زیر می‌باشند:
N_i=(X_j-x)/L N_j=(X_i-x)/L (3-13)
و رابطه‌ی میان‌یابی را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:
φ=N_i φ_i+N_j φ_j (3-14)
چند نکته در خصوص توابع شکلی قابل ذکر است. هر تابع شکلی در محل گره‌ی خود دارای مقدار یک و در محل گره دیگر دارای مقدار صفر است. مجموع توابع شکلی در یک نقطه همواره برابر یک است. همواره مرتبه‌ی توابع شکلی و میان یابی یکسان است. به عنوان مثال اگر حل تقریبی یا همان میان‌یابی تابعی خطی باشد، توابع شکلی گره‌ها هم توابعی خطی خواهند بود. از دیگر ویژگی‌‌های توابع شکلی این است که مجموع مشتقات آن‌ها نسبت به یک متغیر ( مانند x) برابر صفر است.
حال بهتر می‌توان روش گالرکین را مورد برسی قرار داد. همان‌گونه که گفته شد، ابتدا یک تخمین (به طور مثال u=c_1 x+c_2 در خصوص توزیع تغییر مکان در المان یک بعدی) برای معادله حاکم زده می‌شود. سپس با انتخاب تابع وزنی مناسب و به تعداد مجهولات موجود در تخمین اولیه، انتگرال حاصل‌ضرب تابع وزنی و باقی‌مانده محاسبه می‌گردد که عبارتی بر حسب ضرایب نامعلوم تابع تقریب خواهد بود. در روش گالرکین، توابع وزنی همان توابع شکلی می‌باشند. به طور مثال در یک المان خطی انتگرال حاصل‌ضرب هریک از توابع شکلی در باقی‌مانده محاسبه می‌گردد و در نهایت دو معادله با مجهولات φ_j و φ_i به دست می‌آید. (قبلاً اشاره گردید که ضرایب a_2 و a_1 بر حسب مقادیر گرهی نوشته می‌شوند). به عبارت دیگر به ازای هر گره یک معادله به دست می‌آید. به دلیل این‌که هر معادله شامل بیش از یک مجهول است، به تنهایی قابل حل نخواهد بود و می‌بایست ابتدا به تعداد گره‌ها معادله استخراج شود تا آن‌گاه تمامی معادلات به صورت یکجا حل گردند.
پس از استخراح معادلات نوبت به حل آن‌ها می‌رسد که روش‌های متنوعی برای حل موجود است. سپس در مرحله‌ی بعد و پس از مشخص شدن مقادیر گرهی، با توجه به ابعاد اولیه و خواص هندسی ماده تعریف شده، سایر کمیات نظیر کرنش، تنش، نیرو و گشتاور محاسبه می‌گردند.

3-3- آشنایی با ABAQUS
3-3-1- مقدمه
ABAQUS یک مجموعه از برنامه‌های مدلسازی بسیار توانمند می‌باشد که مبتنی بر روش اجزاء محدود، قابلیت حل مسائل از یک تحلیل خطی ساده تا پیچیده‌ترین مدل‌سازی غیر خطی را دارا می‌باشد. این نرم افزار دارای مجموعه المان‌های27 بسیار گسترده‌ای می‌باشد که هر نوع هندسه‌ای را می‌توان به صورت مجازی توسط این المان‌ها مدل کرد. همچنین دارای مدل‌های مواد مهندسی بسیار زیادی است که در مدل‌سازی انواع مواد با خواص و رفتار گوناگون نظیر فزات، لاستیک‌ها، پلیمرها، کامپوزیت‌ها، بتن تقویت شده‌، فوم‌های فنری و نیز شکننده و همچنین مواد موجود در زمین نظیر خاک و سنگ‌، قابلیت بالایی را ممکن می‌سازد.
نظر به این‌که ABAQUS یک ابزار مدل‌سازی عمومی و گسترده می‌باشد، استفاده از آن تنها محدود به تحلیل‌های مکانیک جامدات و سازه (تنش – تغییر مکان) نمی‌شود. با استفاده از نرم‌افزار می‌توان مسائل مختلفی نظیر انتقال حرارت، نفوذ جرم، تحلیل حرارتی اجزاء الکتریکی، اکوستیک، مکانیک خاک و پیزوالکتریک را مورد مطالعه قرار داد.
استفاده از نرم‌افزار ABAQUS با وجود این‌که مجموعه قابلیت‌های گسترده‌ای را در اختیار کاربر قرار می‌دهد، کار نسبتاً ساده‌ای می‌باشد. پیچیده‌ترین مسائل را می‌توان به آسانی مدل کرد. به عنوان مثال مسائل شامل بیش از یک جزء را می‌توان با ایجاد مدل هندسی هر جزء و سپس نسبت دادن رفتار ماده مربوطه به هر جزء و سپس مونتاژ اجزاء مختلف مدل کرد. در اغلب مدل‌سازی‌ها، حتی مدل‌های با درجه غیرخطی بالا، کاربر می‌بایست تنها داده‌های مهندسی نظیر هندسه‌ی مسأله، رفتار ماده‌ی مربوط به آن، شرایط مرزی و بارگذاری آن مسأله را تعیین کند. در یک تحلیل غیرخطی، ABAQUS به طور اتوماتیک میزان نمو بار28 و تلرانس‌های همگرایی را انتخاب و همچنین در طول تحلیل مقادیر آن‌ها را جهت دستیابی به یک جواب صحیح تعدیل می‌کند. در نتیجه کاربر به ندرت می‌بایست مقادیر پارامترهای کنترلی حل عددی مسأله را تعیین کند.

3-3-2- محصولات ABAQUS29
ABAQUS دارای دو ماژول30 اصلی جهت تحلیل مسائل است]21[: ABAQUS/Standard و ABAQUS/Explicit .

3-3-2-1- مقایسه‌ی روش‌های ضمنی و صریح در مسائل وابسته به زمان]21[
ABAQUS/Standard و ABAQUS/Explicit قادر به حل طیف وسیعی از مسائل می‌باشند. مشخصات روش‌های ضمنی و صریح تعیین می‌کند که کدام روش را برای یک مسأله‌ی داده شده انتخاب کنیم. در مورد مسائلی که می‌توان هر دو روش را به کار برد، بازدهی و مدت زمان کم‌تر حل است که باعث می‌شود یکی از دو روش را انتخاب کنیم.
در هر دو روشStandard و Explicit معادله‌ی تعادل دینامیکی (معادله‌ی حرکت) به صورت زیر می‌باشد:
Mu ̅=P-I (3-15)
که در آن M ماتریس جرم، P برآیند نیروهای خارجی و I برآیند نیروهای داخلی می‌باشد. هچنین u شتاب گره‌ی مورد نظر است. هر دو روش نحوه‌ی محاسبات مربوط به المان نیز یکسان است. تفاوت دو روش در نحوه‌ی محاسبه‌ی شتاب‌های گره‌ها می‌باشد. در روش ضمنی معادله‌ی تعادل در زمان t+∆t اعمال می‌شود حال آن که در روش صریح این معادله در زمان t مورد بررسی قرار می‌گیرد. در صورتی که تعداد المان‌ها برابر باشد، استفاده از روش صریح مقرون به صرفه‌تر است.
اثر ریز کردن مش‌ها31 نیز بر ABAQUS/Standard و ABAQUS/Explicit قابل تأمل است. در صورت استفاده از ABAQUS/Explicit مدت زمان محاسبات با تعداد المان‌ها رابطه ی مستقیم و با اندازه ی کوچک‌ترین المان رابطه‌ی معکوس دارد. بنابراین در صورت کوچک کردن مش‌ها، حجم محاسبات به دلیل زیاد شدن تعداد المان‌ها و نیز کوچک شدن اندازه‌ی کوچک‌ترین المان افزایش می‌یابد. به عنوان مثال یک مدل سه بعدی به المان‌های مکعبی یکسان در