و از اين طريق ni را نيز بدست مي‌آوريم.
ج)حال اگر هزينههاي بررسي يک واحد نمونهاي مقدار تابت Cباشد و حجم نمونهي مورد نياز براي برآورد ميانگين جامعه با واريانس ثابت,آنگاه حجم تحت انتساب نيمن، از رابطه زير بهدست ميآيد:
n
3-9-3-2-انتخاب حجم نمونه انتساب نيمن
انتساب نيمن حالتي خاص از انتساب اپتيمم است كه در آن هزينه نمونهگيري تمام طبقات يكسان است يعني Cn = C پس تابع هزينه چنين است.
C = CO + nC
و در اين حالت: n
اين فرمول نشان‌دهنده اين مطلب است كه تحضيص اپتيم براي هزينه ثابت منجر به تحضيص اپتيم به حجم ثابت مي‌شود بنابراين
در اين حالت به ازاي هزينه ثابت ميزان دقت ماكزيم مي‌شود و يا به عبارت ديگر واريانس به ازاي niها (حجم طبقات) مينيم مي‌شود. اين مقدار مينيم چنين محاسبه مي‌شود.
Vopt
حال اگر يك يا چند ni از Niهاي مربوط بزرگتر باشد در اين حالت:
در واريانس مينيممي كه براي تخصيص نيمن محاسبه كرديم در اين جا برقرار نيست. حال اگر هزينههاي بررسي يك واحد نمونهاي مقدار ثابت C باشد و حجم نمونه موردنياز براي برآورد ميانگين جامعه با واريانس ثابت 70، آنگاه حجم تحت انتساب نيمن، از رابطه زير به دست خواهد آمد.
3-9-3-3-انتساب متناسب با حجم8
هرگاه تعداد نمونه هر طبقه، متناسب با تعداد واحدهاي همان طبقه گرفته شود (صرفنظر از تغييرات صفت y يعني si هر طبقه) يعني n گوييم انتساب به طريق متناسب با حجم (N) انجام گرفته است در اين صورت برآورد ميانگين و واريانس نمونهاي به شكل زير خواهد بود:
در اينجا اگر را به عنوان برآورد y كل صفت موردنظر جامعه در نظر بگيريم به سهولت در مي‌يابيم كه:
در اين حالت بنابراين
كه در آن v مقدار معلومي است كه از رابطهي زير بدست ميآيد.
V
بنابرين :
مثال) يكي از نشانه‌‌هاي ارتباط و تأثير فرهنگ‌ها بر هم‌ديگر اسم اشخاص است. به اين صورت كه نام‌هايي وجود دارد كه در يك فرهنگ رواج دارد و فرهنگ ديگر آن را وام مي‌گيرد. اين تأثير و تأثيرها بيشتر در نقاط مرزي فرهنگ‌ها و كشورها ديده مي‌شود براي اين منظور و تشخيص ميزان تأثير نام‌هاي غير ايراني بر فرهنگ ايراني دست به انتخاب نمونههاي تصادفي با طبقهبندي مي‌زنيم به اين صورت كه از جمعيت سه شهر كوچك مرزي كه هر كدام به ترتيب 40000 N1 = و 20000N2 = و 30000N3 = جمعيت دارند، 400 واحد نمونهاي را انتخاب مي‌كنيم. از روي سرشماري‌هاي قبلي مقدار واريانس‌ها را به ترتيب 20 S1=و 12 S2 = و 14 S3=برآورد کردهايم، حجم نمونههاي كه بايد از هر شهر انتخاب كنيم براي
الف) تخصيص متناسب با حجم.
ب) تخصيص اپتيم در حالي كه هزينه هر واحد 36 است.
چنين است: در تخصيص متناسب داريم
+ ?
ب) چون حالت اپتيم است و هزينه ثابت است پس حالت اپتيم نيمن است. بنابراين:
n
240000 (12)
مثال)فرض كنيم در نظر داريم جمعيت مناطق روستانشين يك استان را به روش نمونهگيري تصادفي با طبقهبندي برآورد كنيم. براي اين منظور هر شهرستان را يك طبقه در نظر مي‌گيريم. اگر هزينه جمع‌‌آوري اطلاعات براي هر واحد 50 هزار تومان باشد و هزينههاي اداري و غيره هم 500000 تومان باشد، اندازه اپتيم n، حجم نمونه را طوري بيابيد كه واريانس نمونه داراي كوچكترين مقدار باشد.
هزينه كل پيش‌بيني شده براي اين بررسي 750000 است. اطلاعات حاصل در جدول زير آمده است. با اين اطلاعات حجم نمونه در هر طبقه را تعيين كنيد.
جدول3-8- جدول نمونهگيري با طبقهبندي جمعيت مناطق روستانشين يك استان
4 3 2 1 طبقه
52 66 82 110 تعداد روستا
1100 900 800 400 جمعيت روستا
1160 920 900 500 sh
چون هزينه از قبل معلوم و ثابت است براي اينكه واريانس کمترين مقدار شود بايد از:
حجم كل نمونه را بدست آوريم در اين مسئله: 50000=
750000 C =
5000 Ci =
حال كه حجم نمونه را بدست آورديم از فرمول زير حجم هر طبقه را مصاحبه مي‌كنيم.
براي تعيين تعداد افراد هر طبقه تعداد روستا را در جمعيت متوسط هر روستا ضرب مي‌كنيم. Niها به صورت زير است:
57200 59400 65600 440000 :
49/98
3-9-4- نمونهگيري با طبقهبندي براي نسبت‌ها
به منظور برآورد نسبت واحدهايي از يك جامعه كه در رده معيني مانند C قرار مي‌گيرند، فرض مي‌كنيم متغير قراردادي X وجود دارد كه اگر واحدي از جامعه در رده‌ي C قرار بگيرد. عدد 1 و در غير اين صورت عدد صفر را اختيار مي‌كند، با اين فرض تعاريف زير را در نظر مي‌گيريم:
: عبارت است از نسبت واحدهايي از جامعه كه در طبقه iم و رده‌ي C قرار مي‌گيرند
:عبارت است از نسبت واحدهايي از نمونه كه در طبقه iم و در رده‌ي C قرار مي‌گيرند
2-9-4-1- برآورد نسبت در نمونهگيري با طبقهبندي
برآورد نسبت در نمونهگيري با طبقهبندي چنين عمل مي‌كند كه براي متغيرهايي كه در رده معيني مانند C قرار دارد و جامعه در L طبقه، دسته‌بندي شده باشد و تعداد واحدهايي از طبقه iم باشد كه در رده C قرار مي‌گيرند، عبارت است از نسبت واحدهايي از جامعه كه در طبقه iم و رده‌ي C قرار قرار مي‌گيرد و عبارت است از نسبت واحدهايي از نمونه كه در طبقه iم و در رده C قرار مي‌گيرد. حال اگر نسبت واحدهايي از جامعه كه در رده C قرار دارند با نمايش داده شود داريم:
برآورد ميانگين واريانس نسبت چنين است.
P
حال اگر تحضيص متناسب باشد برابري را منظور مي‌کنيم.
ولي چون در عمل Pi و Qi مجهول‌اند نمي‌توانv() را به دست آورد بنابراين براي تعيين از Pi و Qi نمونه استفاده مي‌كنيم و برآورد تقريباً برابر با است لذا
3-9-5- انتخاب حجم بهينه طبقات ها با بيشترين دقت
1) حجم نمونه ثابت باشد براي اعمال بيشترين دقت مي‌بايست واريانس مينيم شود.
2) اگر هزينه ثابت باشد، وقتي بيشترين دقت اعمال مي‌شود
مثال: فرض کنيد باستانشناسي در خصوص تعيين برهمکنش فرهنگي ميان بين النهرين و مس و سنگ مياني زاگرس مرکزي به مطالعه نمونهاي از تکه سفالهاي بهدست آمده از سه منطقه زاگرس مرکزي پرداخته است و با هدف بررسي تعيين نسبت سفالهاي فرهنگ عبيد به سفالهاي زاگرس مرکزي دوره مس و سنگ مياني در حوزه فر هنگي زاگرس مرکزي دادههاي جدول زير را بهدست آورده است. تعيين کنيد زماني که حجم کل سفالها 5000 تکه است با تخصيص نيمن از هر منطقه چه نمونهاي انتخاب شود.
جدول3-9 – جدول محاسبه سفالهاي مربوط بهدوره مس و سنگ مياني زاگرس مرکزي
سفال شهر
A 2000 0.10 0.06 0.3 600
1050 0.35 0.1275 0.15 3000 B
2000 0.4 0.16 20.0 5000 C
3650 10000 مجموع
حجم نمونههاي انتخابي از هر منطقه از قرار زير است:
n
3-9-6-مقايسه كارايي نمونهگيري طبقهبندي شده با انتساب‌هاي مختلف با هم و با نمونهگيري تصادفي ساده
در مبحث پيشين با نمونهگيري طبقهبندي شده و انتساب‌هاي مختلف آن آشنا شديم. در اينجا به مقايسه كارايي اين روش‌ها با هم و با نمونهگيري تصادفي ساده به صورت نكته‌اي مي‌پردازيم. چرا كه بيان كامل مقايسه‌ها مستلزم استفاده از فرمول‌هايي است كه باعث پيچيدگي موضوع و بيان اثباتي مطلب مي‌شود. بنابراين درخصوص نحوه مقايسه اين روش‌ها تنها به بيان اين مطلب كفايت مي‌كنيم كه اين كار براساس مشاهده و مقايسه اختلاف واريانس برآورد ميانگين جامعه در حالت‌هاي مختلف صورت مي‌گيرد.
1) نمونهگيري به روش طبقهبندي متناسب با حجم، دارايي كارايي بيشتري نسبت به نمونهگيري تصادفي ساده است و هر چه قدر اختلاف ميانگين مقدار صفات در طبقات بيشتر باشد، كارايي نمونهگيري با طبقهبندي، بيشتر از نمونهگيري به روش تصادفي است.
2) كارايي نمونهگيري با طبقهبندي از طريق انتساب نيمن كارايي بيشتري نسبت به نمونهگيري تصادفي ساده دارد و ميزان اين برتري بستگي به ميزان اختلاف ميانگين مقدار صفت در طبقات و انحراف معيار مقدار صفت بين طبقات دارد. هرچه قدر اين اختلافات بيشتر باشد كارايي نمونهگيري با طبقهبندي بيشتر از نمونهگيري تصادفي ساده است.
3) كارايي نمونهگيري با طبقهبندي از طريق انتساب نيمن بيشتر از انتساب متناسب حجم است و هرچه‌قدر اختلاف بين انحراف معيار صفت مورد بررسي در طبقات بيشتر باشد، اين كارايي بيشتر است.
همان‌طور كه از مقايسه‌ها بر ميآيد روش نمونهگيري با انتساب نيمن، داراي نتيجه مطلوب‌تري نسبت به ديگر روش‌هاست با اين حال استفاده از آن با مشكلاتي همراه است كه بي‌توجهي به آن ممكن است سبب بروز اشکالاتي شود.
3-10- نمونهگيري خوشه‌اي
فرض كنيد در نظر داريم به كمك روش‌هاي نمونهگيري ميانگين تعداد كل محوطههاي عصر آهن كشور را برآورد كنيم. تاكنون شيوه‌هاي مختلف نمونهگيري را مطرح كرديم و از هر كدام از اين روش‌ها مي‌توانيم در اينجا استفاده كنيم اما مسئله‌اي كه بايد در نظر گرفت اين است كه هدف‌ها اصلي ما از كار نمونهگيري كاهش هرگونه هزينه مالي و زماني است. ما مي‌خواهيم با صرف كمترين هزينه و در كوتاهترين زمان ممكن مناسب‌ترين نتيجه را بدست آوريم. با توجه به مسائل مطرح شده براي انجام پروژه ممكن است نمونهگيري تصادفي ساده پيشنهاد شوداما چين روش به صلاح نيست به اين علت كه در نمونهگيري تصادفي ساده، نمونه‌ها كاملاً تصادفي انتخاب مي‌شوند چه بسا فاصله آنها آن‌قدر از هم دور باشد كه كار نمونهگيري را با هزينه زياد و كمبود زمان مواجه كند. مشكل ديگري كه در استفاده از روش نمونهگيري تصادفي ساده وجود دارد اين است كه پيش از شروع نمونهگيري مي‌بايست فهرست كاملي از نمونه‌ها (محوطههاي عصر آهن) به عنوان چارچوب نمونهگيري در دسترس باشد كه چنين چارچوبي عملاً موجود نيست بنابراين ممكن است به نمونهگيري با طبقهبندي رو مي‌آوريم و هر شهر كشور را يك طبقه در نظر بگيريم با اين كار تا حدودي از بروز مشكلات جلوگيري مي‌شود اما معايب به طور كامل برطرف نمي‌شود. به عنوان مثال ممکن است گروههايي – حوزههاي فرهنگي – كه شباهت‌هاي زيادي به هم دارند و داراي محوطههاي عصر آهناند آن‌قدر از هم دور باشند كه مشكل وقت و هزينه همچنان وجود داشته باشد.
همينطور نمونهگيري سيستماتيك در اينجا كارايي ندارد، چون چارچوب نمونهگيري و فهرست كل محوطههاي عصر آهن كشور در دسترس نيست. البته در يك جامعه كوچك همه اين روش‌ها كارايي دارند و نتايج تقريباً مشابهي را عرضه مي‌كنند.
مشكلات بر شمرده (هزينههاي مالي و زماني، تهيه چارچوب نمونهگيري و تهيه طرح نمونهگيري از واحدهاي دور از هم) درمورد جامعه با حجم بزرگ مطرح مي‌شود. بنابراين از روش ديگري مرسوم به روش نمونهگيري خوشه‌اي استفاده مي‌كنيم.
3-10-1- تعريف نمونهگيري خوشه‌اي
در نمونهگيري خوشه‌اي يا گروهي ، عده‌اي از واحدهاي جامعه كه به دلايلي گرد هم مي‌آيند و زير مجموعه‌اي از جامعه را بوجود مي‌آورند، گروهي تشكيل مي‌دهند كه به نوبه خود يك واحد نمونهگيري يا نمونهاي محسوب مي‌شود. اگر در نمونهگيري، ابتدا از بين اين گروهها تعدادي را انتخاب كنيم و كليه واحدهاي واقع در هر گروه مورد بررسي را براي اندازه‌گيري صفت در نظر بگيريم، گوييم تحقيق نمونهاي با روش نمونهگيري خوشه‌اي انجام پذيرفته است. دو دليل عمده براي استفاده از آمارگيري خوشه‌بندي وجود دارد. (شيراني 1364: 150).
اول، عدم يك چارچوب
