پایان نامه با واژگان کلیدی بهينه، (‏2-، پايدار

دانلود پایان نامه ارشد

سفارشات عقب افتاده گرفته ميشود و عملاً ريسک غير موجه شدن جواب حاصل از متغيرهاي مرحله اول در قبال برخي عدم قطعيتهاي آشکار شده، با استفاده از متغيرهاي مرحله دوم به نوعي منتفي ميگردد. با توجه به حضور عدم‌قطعيت، هزينه مرحله دوم يک متغير تصادفي است. بنابراين هدف اصلي برنامهريزي تصادفي، تعيين متغيرهاي مرحله اول به قسمي است که مجموع هزينه‌هاي مرحله اول و اميد رياضي هزينه‌هاي مرحله دوم کمينه گردد. مفهوم ارجاع براي برنامه‌ريزي خطي (بيرج و لووکس1997132 ،کال و والاک1331994 ، اينفانجر134 1994، پريکوپا 1351995)، عددصحيح (دمپ استر و همکاران1361981 ،کان و استوگي 1984137، اسپاکاملا و رينوي 1381985) و غيرخطي (باستين 1392001) نيز بکار برده ميشود. در تحقيق حاضر از برنامهريزي خطي تصادفي استفاده گرديده است. از اين رو فرم استاندارد اين مسئله در ادامه ارائه شده است.
(‏2-1)

که در آن متغير مرحله اول و متغير مرحله دوم، هر دو مجموعههاي چند وجهي هستند. و يک متغير تصادفي از فضاي احتمالي () است به قسمي که ، ،،و
چنانچه در برنامهريزي فوق متغير داراي قيد عدد صحيح باشد، برنامهريزي حاصل يک برنامهريزي عدد صحيح تصادفي است.
2-4-2- بهينه‌سازي پايدار
بهينه سازي پايدار پاسخي است به عدم قطعيت در دادههاي ورودي و تصميم گيران را قادر ميسازد که در تصميم گيريهاي خود با مسئله ريسک، منطبق بر سطح ريسک پذيري و ريسک گريزي140 خود عمل نمايند و در نهايت منجر به ايجاد يک سري از جواب ها ميشود که بطور فزاينده اي حساسيت کمتري به عدم قطعيت در دادههاي ورودي و تحقق کامل مجموعه سناريوها داشته باشند.
جواب بهينهاي که توسط مدل بهينه سازي پايدار ارائه ميشود، پايدار141 ناميده ميشود اگر چنانچه با تغيير دادههاي ورودي، جواب ارائه شده حتي الامکان شدني و نزديک به جواب بهينه باقي بماند. که معمولاً اين حالت را در ادبيات تحت عنوان پايداري جواب142 ارجاع ميدهند.
يک جواب شدني143، پايدار ناميده ميشود اگر چنانچه با تغييرات کوچک در دادههاي ورودي اين جواب همچنان شدني باقي بماند. که معمولاً اين حالت را در ادبيات تحت عنوان پايداري مدل144 ارجاع ميدهند.
براي توضيح بيشتر، يک فضاي جواب برنامهريزي خطي دو متغيره را مطابق شکل 2-1 در نظر بگيريد. چنانچه پارامترهاي مسئله مثل ضرائب فني145 قطعي فرض شود، فضاي جواب چيزي شبيه مستطيل سبز رنگ خواهد بود که در شکل تحت عنوان مرز اسمي146 نامگذاري شده است. در اين حالت چنانچه ضرائب تابع هدف قطعي فرض گردد جواب بهينه جايي در محل برخورد ترازهاي اين تابع با فضاي جواب بدست خواهد آمد و اين جواب، جواب بهينه قطعي مسئله مورد بحث خواهد بود.

شکل ‏2-1- فضاي جواب شدني مسئله برنامه ريزي خطي با ضرائب فني غيرقطعي
حال تصور کنيد که ضرائب فني مسئله فوق داراي عدم قطعيت باشد. اين فرض بدين معني است که هرکدام از محدوديتهاي مسئله که در حالت قبل مثل يک مرز ثابت و بصورت خطي با شيب ثابت عمل مينمود ديگر چنين نخواهد بود بلکه با توجه به عدم قطعيت در شيب خط مفروض، اين محدويت همانند يک خط با شيبي نا معلوم حوالي شيب اسمي خود در نوسان است. نتيجه چنين فرضي براي تمام محدويت ها منجر به ايجاد فضائي شبيه مستطيلهاي آبي شکل فوق ميگردد که در اثر عدم قطعيت در شيب آن ها که معادل ضرائب فني محدوديت هاست، بوجود ميآيد. در نتيجه فضاي موجه مسئله که در حالت قبل يک مستطيل ثابت بود، تحت اين فرض به شکلي نا منظم تبديل خواهد شد که با خط مشکي پُررنگ در شکل فوق مشخص گرديده است. اين فضاي موجه جديد تحت عنوان فضاي موجه هم ارز147 مسئله غيرقطعي، شناخته ميشود. اولين و ساده ترين رويکرد اين است که با تقريبات کاملاً ريسک گريزانه، يک فضاي جوابي را تقريب بزنيم که مطمئن باشيم تحت هيچ شرايطي و با وقوع همزمان غيرمحتمل ترين رخدادها در مقادير ضرائب فني هيچگونه خللي به فضاي جواب پيشنهادي وارد نمي گردد. اين فضاي موجه تقريبي در شکل 2-1 با يک شکل بيضي آبي رنگ درون مستطيل قبلي مشخص شده است. بديهي است محل برخورد اولين بهترين تراز تابع هدف با بيضي فوق الذکر، جواب بهينه مسئله است (تقاطع خط تقريبي148 با بيضي). اما چند نکته مهم در مورد اين جواب بهينه قابل ذکر است؛ اول اينکه مقدار جواب بدست آمده به شدت از مقدار واقعي جواب بهينه فاصله دارد و اين از رويکرد ريسک گريزي اين حل نشأت گرفته است و مطلوبيت جواب فوق را براي شرايط واقعي مسئله کاهش ميدهد. ثانياً اين رويکرد هيچگونه احتمالاتي را براي جواب گزارش نمي دهد. چه بسا جوابهاي بهتر و با احتمال ناچيزِ نقضِ موجهيت موجود باشد که تصميم گير در مقابل جواب بهتر، ريسک کم ناشي از احتمال نشدني بودن آن را بپذيرد.
با اين توضيحات هدف از رويکرد بهينه سازي پايدار ارائه مدلي از عدم قطعيت است که ريسک پذيري و ريسک گريزي تصميمگير را نيز به عنوان يک پارامتر وارد مدل نمايد و جواب هايي را ارائه دهد که حاصل بالانس149 بين بهتر بودن جواب و احتمال نشدني بودن آن باشد.
با جستجوي واژه پايدار در ادبيات موضوع ميتوان به خيل وسيعي از مقالات با اين رويکرد دست يافت. اما اين واژه به واقع منحصر به يک رويکرد مشخص با ادبيات منحصر به فرد نيست. چرا که طبق تعاريف فوق هر مدلي که شرايط تعريف را احراز نمايد ميتواند پايدار ناميده شود. فلذا در اين تحقيق سعي ميشود تا رويکردهاي مختلف پايدارسازي جواب بهينه مورد بررسي قرار گيرد و از حيث کارائي، سهولت مدلسازي، درجه غيرخطي بودن، احتمالي يا قطعي بودن، کنترل پذيري محافظه کاري150 و ساير عوامل مورد مقايسه قرار گرفته و در نهايت يک چارچوب کلي تصميم گيري در شرايط و مقتضيات مسئله اي که قرار است در قالب اين نوع بهينه سازي مدل گردد بدست آيد.
از اين رو در اين تحقيق چهار نوع رويکرد متفاوت در اينگونه بهينه سازي ارائه ميگردد.
2-4-2-1- بهينه‌سازي تصادفي پايدار151
بهينه‌سازي تصادفي پايدار يکي از متداولترين روشها در زمينه بهينه‌سازي و علم کنترل پس از سال 1990 ميلادي است، و مساله بهينه‌سازي با پارامترهاي غيرقطعي را مورد بررسي قرار ميدهد. مولوي و همکاران152(1995) مدلي را براي بهينه‌سازي پايدار معرفي ميکند که شامل دو نوع پايداري است: پايداري جواب (جواب در همه سناريوها تقريباً بهينه است) و پايداري مدل (جواب در تمامي‌سناريوها تقريباً شدني است). تعريف “تقريباً” وابسته به مدل ساز است؛ تابع هدف مدل مورد نظر توابع جريمه کلي را هم براي پايداري مدل و هم پايداري جواب دارد و به منظور دستيابي به ارجحيت مدل‌کننده بين دو حالت فوق با استفاده از دو پارامتر وزن‌دهي مي‌شود. روش بهينه‌سازي پايدار ارائه شده توسط مولوي و همکاران (1995) درحقيقت برنامه‌ريزي تصادفي را از طريق تعويض تابع هدف کمينه‌سازي هزينه مورد انتظار با تابعي که صريحاً تغييرپذيري هزينه را نشان ميدهد، توسعه مي‌دهد. در مدل پيشنهادي تحقيق حاضر از روش برنامهريزي تصادفي پايدار و توسعه آن به حالت دو هدفه بهره گرفته شده است بنابراين در ادامه فرم استاندارد اين نوع برنامهريزي تشريح ميگردد.

(‏2- 2)

(‏2- 3)

(‏2- 4)

(‏2- 5)
که در آن x، بردار متغيرهاي تصميم‌گيري را نشان مي‌دهد، که بايد تحت عدم‌قطعيت پارامترهاي مدل تعيين شوند. B و C ماتريس ضرايب فني تصادفي و e بردار سمت راست را نشان ميدهد. فرض کنيد ?={1,2,…,s} يک مجموعه محدود از سناريوها براي مدل‌کردن پارامترهاي غيرقطعي باشد و براي هر سناريو sI ?، زيرمجموعه {ds; Us; Vs; es} را داريم. احتمال وقوع هر سناريو برابر است با ps (?s ps = 1).
توجه شود که يک سناريو مجموعه‌اي از داده‌هاي تحقق يافته در افق برنامه‌ريزي است. ضرايب نامشخص B, C, e مي‌توانند براي هر سناريو s I? به صورت Us, Vs و esدرنظر گرفته شوند. همچنين متغير y، که يک متغير کنترلي مي‌باشد و زماني که يک سناريو تحقق مييابد، ميتواند به عنوان ys براي هر سناريو s نشان داده شود. به دليل غيرقطعي بودن پارامتر، جواب مسئله ممکن است به ازاي برخي سناريوها غيرموجه باشد. به اين منظور ds، غير موجه بودن جواب را در سناريوي s نشان مي‌دهد. اگر جواب شدني باشد، ds صفر خواهد بود، در غيراين‌صورت، ds با توجه به معادله (2-8) مقدار مثبت به خود مي‌گيرد. يک مدل بهينه‌سازي تصادفي پايدار به فرم زير فرمول‌بندي ميشود:

(‏2- 6)

(‏2- 7)

(‏2- 8)

(‏2- 9)
اولين عبارت، پايداري جواب را نشان ميدهد و خواسته تصميم گير براي دستيابي به کمترين هزينه را تحقق ميبخشد و در عين حال درجه ريسک گريزي او را نشان مي‌دهد در حاليکه عبارت دوم پايداري مدل را نشان ميدهد و در واقع جواب هايي که نتوانسته اند تقاضا يا هر محدوديت فيزيکي ديگري نظير ظرفيت در يک سناريوي مشخص را ارضا نمايند، جريمه مينمايد. فرض کنيد از ? براي نشان دادن f (x, y)، که يک تابع هزينه يا سود است، استفاده ‌شود و ?s = f (x, ys).
اگر تابع سود يا هزينه ?s =f (x, ys) داراي واريانس قابل توجهي باشد به معني يک تصميم‌گيري پر خطر است. به عبارت بهتر، يک تغيير جزئي در پارامترهاي غيرقطعي ميتواند باعث تغييرات عمده در تابع هدف شود. مولوي و همکاران (1995) معادله ذيل را براي ارائه پايداري جواب بهکار برد

(‏2- 10)
که ? وزن نسبي پايداري جواب است و در واريانس جواب ضرب ميشود و در واقع با افزايش مقدار ? از حساسيت جواب به تغييرات پارامترهاي ورودي مدل تحت همه سناريوهاي مفروض کاسته ميشود.
همانطور که ديده ميشود، يک عبارت درجه دوم در معادله (2-12) وجود دارد. يو و لي153 (2000) براي کاهش محاسبات و حذف عامل غيرخطي، قدر مطلق را به جاي عبارت درجه دوم به کار بردهاند که به اين صورت ارائه شده است:

(‏2- 11)
گرچه عبارت فوق يک تابع غيرخطي است ولي ميتواند با تغيير متغير و جايگزين نمودن دو متغير نامفني تبديل به يک مدل برنامه‌ريزي خطي شود، توجيه اين تساوي، يک تغيير ساده در متغيرها است و بر اساس لئونگ و همکاران154 (2007) ، ميتوان آن را بصورت زير بازنويسي کرد:

(‏2- 12)

(‏2- 13)

(‏2- 14)

اين ساده سازي ميتواند اينگونه تفسير شود که از آن جاييکه ?s بزرگتر از ?sI? ps?s است، بنابراين ?s = 0 است. درحالتيکه مقدار ?s?? ps?s بزرگ تر از ?s است، در نتيجه، ?s = ?s?? ps?s – ?s.
عبارت دوم در تابع هدف ?(?1, ?2, …, ?s)، تابع جريمه غيرموجه بودن است و براي جبران ميزان تعدي از سمت راست محدوديت‌هاي کنترلي در برخي سناريوها بهکار ميرود. در واقع تعدي از سمت راست محدوديت به معناي غيرموجه بودن آن محدوديت ميباشد. اين جريمه توسط ضريب ? کنترل ميشود.
با توجه به اين بحث تابع هدف ميتواند به صورت زير مدل شود:

(‏2- 15)

2-4-2-2- بهينه سازي پايدار155 با پارامترهاي بازه اي
بنتال و نميرووسکي156 (2000) در پژوهشي که روي چندين مورد مطالعاتي از کتابخانه مسائل بهينه سازي خطي Net Library انجام دادهاند به اين نتيجه رسيدند که در کاربردهاي برنامهريزي خطي در دنياي واقعي، نمي توان اين احتمال را که عدم قطعيتهاي کوچک در داده ها ميتواند جواب بهينه معمول را از نقطه نظر کاربردي کاملاً بيمعني نمايد، ناديده گرفت. از اين رو بطور طبيعي گرايش به سمت ايجاد مدل هايي که بتواند جواب ها را حتي الامکان نسبت به عدم قطعيت دادهها ايمن نمايد، رو به فزوني نهاد. اولين تلاش ها در اين راستا توسط سويستر157(1973) صورت پذيرفت. او يک مدل بهينه سازي خطي را پيشنهاد داده است که در آن جواب بدست آمده به ازاي تمامي مقادير متعلق به يک مجموعه محدب، شدني باقي ميماند. مدل پيشنهادي او جواب هايي را توليد مينمايد که بسيار محافظه کار هستند بدين معني که قسمت عمدهاي از بهينگي مسئله اسمي جهت تضمين پايداري آن قرباني ميشود.
او مدل برنامهريزي خطي زير را در نظر گرفته است:
P1: maximize c’x

subject to
(‏2- 16)
xj ? 0,

و فرض کرده که عدم قطعيت پارامتر aij را تحت تأثير قرار ميدهد. در روش بهينه سازي پايدار فرض بر اين است که در سطر iام از

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه با واژگان کلیدی سلسله مراتب، بهبود عملکرد Next Entries پایان نامه با واژگان کلیدی برنامهريزي، محدوديت، تصميم