پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، ترتیب نزول، مقدار خطا

دانلود پایان نامه ارشد

خواهیم در اینجا محاسبه بکنیم. بنابراین:

همان طور که می بینیم مینیمم کردن ترم به ترم رابطه282-2 مجاز است از آنجایی که این مقدار درمحدب می باشد.
حال اگر رابطه 285-2 را در282-2 جایگزین بکنیم به روابط زیر می رسیم:

بنابراین معیار حداقل کردن خطا در رابطه فوق دیده می شود. حال اگر فرض کنیم و را نداشته باشیم ( که در عمل هم چنین می باشد)، با تکرار متوالی دو گام زیر پارامترهای مطلوب به دست میآید:

البته باید مقدارهای اولیه مناسب برای هر یک از پارامترها در نظر گرفته شود. به طور مثال برای مقدار اولیه ماتریس کالیبراسیون در تکرار اول از رابطه 284-2 استفاده بکنیم.
حال یک معیاری باید داشته باشیم که به تعداد تکرارهای الگوریتم خودکالیبراسیون خاتمه بدهیم. به طور مثال می توانیم این معیار پایان دادن به الگوریتم را مساوی 01. فرض کنیم. یعنی تغییراتی که در نرم فروبنیوسی اختلاف ماتریس کالیبراسیون در هر تکرار در نظر می گیریم را به عنوان معیار پایان دادن به الگوریتم لحاظ می کنیم. یعنی اگر ماتریس کالیبراسیونی را که در مرحله تکرار ام به دست می آوریم از ماتریس کالیبراسیونی که در مرحله تکرار ام به دست می آوریم را در نظر بگیریم وسپس نرم فروبنیوسی اختلاف این دو ماتریس را به دست بیاوریم و به توان دو برسانیم این مقدار باید کمتر یا مساوی با 01. باشد تا مراحل تکرار الگوریتم به پایان برسد. به طوری که پس از آن دیگر این الگوریتم خاتمه می یابد. این الگوریتم را به طور کاملتر در فصل های بعدی بررسی خواهیم کرد.
4-2-2-کالیبراسیون عمومی(گین و فاز و مکان)
در این قسمت سه الگوریتم از الگوریتم هایی را که هر سه خطا را کالیبره می کنند بررسی می کنیم. الگوریتم هایی که هر سه خطای مکانی و گین و فاز و تزویج را کالیبره می کنند الگوریتم های کالیبراسیون عمومی نامیده می شوند.
1-4-2-2-روش تجزیه ویژه برای پردازش آرایه و کالیبراسیون با تغییرات گین و فاز[27]
شبیه خیلی از روش های پردازش آرایه ای مسأله کالیبراسیون می تواند به عنوان یک مسأله باریک باند یا پهن باند تدوین و فرموله بشود که ما در اینجا مسأله را باریک باند و رشته دور در نظر می گیریم. علاوه بر این فرض می کنیم آرایه و تمام منابع در یک صفحه قرار دارند.
فرض می کنیم که N منبع مجزا از هم داشته باشیم به طوری که سیگنال های آن باریک باند می باشند و توسط یک آرایه M المانی با شکل هندسی دلخواه دریافت می شوند. المان kام آرایه مختصاتش و می باشد. سیگنال که به وسیله المان kام در لحظه tدریافت می شود به شکل زیر می باشد:

که در آن همان منبع jام در لحظه t می باشد و جمله مربوط به نویز می باشد و اختلال فاز می باشد و جمله گین وابسته به کانال می باشد و المان kام از بردار هدایت ایده آل(فرضی) می باشد که به عنوان یک ترم نمایی مختلط در نظر گرفته می شود:

خطا در مکان المان ها می تواند به عنوان جمله اختلالات فازی وابسته به زاویه در نظر گرفته بشود و هم چنین این اختلالات می توانند در گنجانده بشوند.
اگر ماتریس های قطریو با ابعاد M×M به ترتیب اختلالات در خطای گین و فاز را نشان بدهند بردار هدایت واقعی که بر حسب این مقادیر و بردار هدایت ایده آل به دست می آید به شکل زیر نوشته می شود:
که بردار اطلاعاتt ام می تواند به فرم برداری به شکل زیر نوشته شود:

که در آن فرض های زیر را می کنیم:
1-پارامترهای آرایه ایستا می باشند.
2-تعداد منابع مساوی N و معلوم می باشد.
3-ستون های Wبه طور خطی مستقل از یکدیگر می باشند.
4-سیگنال ها ناهم بسته می باشند و توان مجهول مربوط به منبع j ام می باشد.
ماتریس هم بستگی نویز Jکه به یک ثابت مقیاس گذاری وابسته می باشد برای ما معلوم می باشد.
ماتریس های هم بستگی سیگنال و نویز و بردار اطلاعات ورودی به شکل زیر می باشند:

که تجزیه ویژه از ماتریس منجر به تفکیک زیر فضای سیگنال از نویز می شود. اگر مقادیر ویژه از ماتریس را به ترتیب نزولی مرتب بکنیم داریم:

که عدد ازکوچکترین مقدار ویژه مساوی توان نویز می باشد. از این مقادیر N عدد از بزرگترین بردار ویژه ها مربوط به زیر فضای سیگنال و تای باقیمانده از آنها مربوط به زیر فضای نویز می باشند. اگر بردار های ویژه مربوط زیر فضای سیگنال را در یک ماتریس با یکدیگر قرار بدهیم و اجزای نویز را در یک ماتریس با یکدیگر قرار بدهیم رابطه آن به شکل زیر می شود:

که و ماتریس های قطری از مقادیر ویژه می باشند.
از آنجایی که هر بردار هدایت واقعی می تواند با یک ترکیب خطی از بردارهای ویژه مربوط به زیر فضای سیگنال ساخته شود یک برداری مانند وجود دارد به گونه ای که داریم:

اگر دانسته فرض شود بردار هدایت واقعی که مقیاس گذاری شده می باشد می تواند به آسانی به دست بیاید که از روی آن می توان پارامترهای خطاوو هم چنینرا به دست آورد. حال مسأله کالیبراسیون بستگی به یافتن ماتریس مختلط با ابعاد N×N که نامیده می شود دارد.
قید وشرط معادله: ما می توانیم از اطلاعاتی که از ماتریس هم بستگی به دست می آوریم استفاده کنیم تا یک قید وشرطی را به وجود بیاوریم که یک مجموعه ممکن از مقادیر مجاز را توصیف کند. از معادلات 293-2 تا 298-2 نتیجه می گیریم که ماتریس می تواند برحسب ماتریس های هم بستگی اطلاعات و ماتریس هم بستگی نویز معلوم به این شکل توصیف شود:

بنابراین مقادیر ممکن برحسب به شکل زیر توصیف می شود:
از آنجایی که ماتریس متقارن و هرمیتی می باشد معادله فوق نشان می دهد که به تعداد معادله مختلط و به تعداد مجهول داریم . بنابراین تعداد مجهول ها تقریبا دو برابر تعداد معادلات می باشد. اگر نویز سفید و گوسی و از یک المان به المان دیگر مستقل باشد و برای هر المان دارای توزیع iid 77باشد ماتریس ماتریسی قطری و به شکل زیر می شود:

بنابراین مجموع ضرب خارجی بردارهای مساوی با یک ماتریس قطری از مقادیر ویژه مربوط به زیر فضای سیگنال بدون نویز می باشد. این قید تخمین های بردار های هدایت واقعی مختلف را وادار می کنند تابه یکدیگر بپیوندند.
قید ممکن است ساده نباشد یعنی ممکن است هر مسأله بهینه سازی که دارای این شرط می باشد را خیلی مشکل کند. یک گام در این الگوریتم همان انتقال المان هایی است که خارج از می باشند و باید به تصویر بشوند. معادله زیر یک ماتریس مرتبه کامل و دلخواه را به تصویر خواهد کرد:

که نماد می تواند از طریق تجزیه ویژه از ماتریس مختلط با ابعاد N×N انجام شود.
زاویه ورود AOA78 : از آنجایی که خطای فاز نسبت به تغییرات AOA مستقل می باشد هیچ اطلاعات کالیبراسیون افزوده ای اضافه نمی شود هنگامی که منابع بیشتری داریم. در نتیجه AOA برای هر منبعی به طور جدا به دست می آید. بهایی که برای تعمیم مدل خطای فاز می پردازیم این است که یک بایاس79 غیرقابل بازیافت برای هر منبع مرتبط با آن وجود دارد که این بایاس از یک جزء فاز خطی در خطا نشأت می گیرد. این مشکل می تواند برطرف شود اگر سازمان دهی بیشتری بر روی خطای فاز اعمال شود یا اگر AOA های واقعی دانسته فرض شوند. حتی با این بایاس قدرت تفکیک آرایه می تواند بهبود یابد همان طور که مثال های عملی اعتبار آن را ثابت می کنند.
با فرض اینکه بردار هدایت واقعی باشد مکان منابع می تواند با استفاده از تعیین بردار هدایت ایده آل تخمین زده بشود که بهترین سازگاری با را در روش حداقل مربعات دارد. از آنجایی که گین المان ها در تخمین AOAتأثیر دارند نتایج به طور عمومی بهبود خواهند بخشید اگر اول نرمالیزه شود تا اثراترا از بین ببرد به گونه ای که هر جز دامنه واحد داشته باشد. بنابراین تابع مکان منبع بهینه را به شکل زیر توصیف می کند:

کهبه شکل زیر توصیف می شود:

که المان jام یک بردار را مشخص می کند. از آنجایی که معادله 303-2غیر خطی می باشد هیچ راه حلی به فرم بسته ندارد. بنابراین لازم است که یک تکنیک بازگشتی مانند روش نیوتن به کار بگیریم.
الگوریتم: این الگوریتم براساس روش نیوتن عمل می کند یعنی به طور بازگشتی خطا را مینیمم می کند که این خطا اندازه فاصله بین دامنه المان بردار هدایت تخمین زده شده از هر منبع و متوسط تخمین گین المان ها می باشد. به گونه ای که داریم:

به طوری که می باشد و جملات کلاه دار80 تخمین ها را مشخص می کنند. در اینجا نماد ضرب المان به المان می باشد. این خطا سه ویژگی دارد:
1- مستقل از اجزای فازی بردار هدایت می باشد.
2-منابع با توان بیشتر وزن سنگین تری را دارند.
3-اگر اجزای تمام بردار هدایت ها دامنه یکسان نسبت به فاکتورمقیاس گذاری داشته باشند مقدار خطا مینیمم می شود.
تابع بالا که در رابطه 305-2 نمایش داده شد به تنهایی یک مجموعه Nتایی از بردار های یکتا را نمی دهند. برای غلبه بر این نقص لازم است که پاسخ هایی که در مجموعه مقادیر ممکن ازوجود دارند را محدود کنیم.
از آنجایی که یافتن مجموعه مقادیر ممکن ساده نیست خیلی از تکنیک های بهینه سازی با شرایط محدود81 قابل اجرا نمی باشند. یک راه مقابله با پیچیدگی های این قید تصویر کردن تکرار های متوالی از الگوریتم نیوتن به مجموعه ممکن از مقادیر می باشد. بنابراین یک الگوریتم بازگشتی دو قسمتی استفاده می شود. اول تخمین وزن های بردار هدایت واقعی به مجموعه مجاز که در معادله 304-2 بیان شد تصویر می شوند. سپس تابع خطا که در معادله 305-2بیان شد از طریق تکرار مربوط به روش بازگشتی نیوتن کاهش می یابد.
زمانی که ها در حال به روز دهی می باشند تخمین های توان منابع و تخمین های گین قبل از گام نیوتن به روزدهی می شوند و ثابت نگه داشته می شوند. هر تخمینی از توان منبع مساوی با متوسط82 اجزای دامنه بردار هدایت تخمینی می باشد:

برای تخمین زدن گین المان ها معادله 305-2را مینیمم می کنیم با این فرض که پارامترهای و ثابت می باشند. پاسخ بهینه که از روش حداقل مربعات به دست می آید به شکل زیر می باشد:

که به روزدهی نیوتن برای برحسب مشتقات جزیی مرتبه اول و مرتبه دوم تعریف می شود با فرض این که و ها مقادیر ثابت می باشند. از آنجایی که ها ممکن است برای این مرحله مستقل در نظر گرفته بشوند بنابراین احتمال دارد که آنها به طور جدا از هم به روزدهی بشوند. برای به دست آوردن مشتقات جزیی مفید است که معادله 305-2 را برحسب دوباره بنویسیم که در آن همان ضرب خارجی بردار ردیف ام از ماتریسمی باشد. بنابراین داریم:
که مشتقات جزیی در آن به شکل زیر بیان می شوند:

اگر ماتریس به طور دقیقی معلوم باشد این الگوریتم خطا را به صفر می رساند و مقادیر واقعی وزن ها را می توانیم بیابیم. اما در عمل مقدار واقعی ماتریس هم بستگی المان ها را نداریم بنابراین معمولا از روی نمونه هایش به شکل زیر تقریب زده می شود:

که در آن تعداد نمونه ها می باشد. علاوه بر این برای به دست آوردن ماتریس کافی است توان نویز را تخمین بزنیم که برای این کار از عدد از کوچکترین مقادیر ویژه از ماتریس استفاده می کنیم.
عملیات پردازش کردن زمانی متوقف می شود که عمل به روزدهی دیگر تخمین ها را در هر تکرار بهبود نبخشد. از آنجایی که خطا ممکن است یکنواخت نباشد یک روش راحت این است که دامنه اختلاف بین خطاهای پشت سرهم را با یکدیگر مقایسه بکنیم. وقتی که این دامنه کمتر از یک مقدار آستانه از پیش تعیین شده باشد الگوریتم خاتمه می یابد. به خاطر این که تأثیر مشاهدات در زمان های محدود در نظر گرفته شده اند مینیمم مقدار آن ممکن است در مجموعه مقادیر ممکن قرار نداشته باشد. بنابراین این خطا ممکن است در نزدیکی یک مقدار ثابت تجمع بیابد.
حال خلاصه این الگوریتم به شکل زیر می باشد:
1- مقداردهی اولیه: در مرحله اول قرار می دهیم و یک مقدار اولیه برایانتخاب می کنیم و ماتریس را تجزیه ویژه می کنیم:

2- در مرحله بعدی را به مجموعه مقادیر مجاز را تصویر می کنیم. به گونه ای که داریم:

3- توان سیگنال ها را به ازای مقادیر به روز دهی می کنیم:

4- سپس گین المان ها را به روزدهی می کنیم:

5- سپس با استفاده از الگوریتم نیوتن را به

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، مقدار خطا Next Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع مقدار خطا، شبیه سازی