پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، مقدار خطا

دانلود پایان نامه ارشد

نوشت:

با استفاده کردن از ماتریس واحد می توانیم معادله فوق را به فرم درجه دو برحسب بنویسیم:

که نماد نماد ضرب المان به المان می باشد. پاسخ بهینه برای با مینیمم کردن معادله فوق نسبت به به دست می آید.
برای جلوگیری از داشتن تنها جواب بدیهی برای باید قید زیر را اعمال بکنیم:

پس از آن به عنوان مینیمم بردار ویژه از ماتریس به دست می آید. با استفاده از در معادله 222-2و 223-2می توان ماتریس را و در نتیجه را تعیین کرد.
3-2-2-2- الگوریتم کالیبراسیون آرایه با فرض وجود خطای گین و فاز [23]
فرض می کنیم که یک منبع سیگنال باریک باند با طول موج داریم. آرایه خطی یکنواخت با M المان که فاصله المان ها ی آن مساوی d می باشد را در نظر می گیریم. المان اول (المان مرجع) از آرایه پوش مختلط سیگنالرا دریافت می کند پس الگوی المان مرجع می باشد و زاویه نرمال ورودی آرایه می باشد. از ساختار آرایه و این فرض الگوهای المان عمومی نتیجه می گیریم که بردار سیگنال دریافتی به شکل زیر می باشد:

که بردار هدایت به شکل زیر می باشد:

و ساختار وندرموند دارد.
برای حالتی که تغییرات مکانی و خطا در الگوی المان اندک می باشد ماتریس قطری خطا که وابسته به می باشد به شکل می باشد و به رابطه 235-2اعمال می شود. در حالی که چنین خطایی می تواند کوچک نگاه داشته شود خطای گین و فاز المان ها که مستقل از زاویه می باشند تشکیل ماتریس قطری می دهند که در بسیاری از کاربردها نمی توان از آنها صرف نظر کرد. اگر ماتریس هم بستگی نویز به شکل زیر باشد:

حال اگر نویز را در روابط فوق وارد کنیم به شکل زیر می شود:

برای یک آرایه 16 المانه داریم:

برای داشتن مقادیر فضایی یکتا از باید این مقادیر در بازه قرار بگیرند. هم چنین باید ضرایب تزویج متقابل نادیده فرض شوند تا ماتریسقطری در نظر گرفته بشود.
الگوریتم :الگوریتمی که در اینجا می خواهیم بیان کنیم برای جبران خطا از روش حداقل مربعات در یک بازه جستجوی از پیش تعیین شده می باشد. همانطور که می دانیم هیچ پاسخ یکتایی برای یک آرایه خطی نمی توان به دست آورد( برای مثال فاز یک المان نسبت به المان های دیگر برای یکتا بودن پاسخ لازم است). برای کالیبراسیون آرایه منبع را باید روی این فاصله زاویه ای از پیش تعیین شده جابه جا بکنیم (همان طوری که در آزمایش عملی انجام می دهیم)یا اینکه منبع را در یک مکان ثابتی قرار بدهیم که مکان آن را به طور دقیق نمی دانیم و آرایه را بر روی سکوب چرخنده کنترل شونده 73قرار بدهیم.
هدف اولیه ما این است که بردارهای مانیفولد آرایه بدون نویز را در های مختلف اندازه گیری بکنیم که به شکل زیر می باشد:

تراکم این اندازه گیری ها می تواند در زیرفاصله های(فاصله های فرعی) فضایی بحرانی افزایش بیابد. برای رسیدن به این هدف ماتریس اطلاعات با ابعاد به ازای هر زاویهاندازه گیری می شود. حذف نویز سفید و نرمالیزه کردن فاز بردار مانیفولد آرایه نسبت به المان اول می تواند با محاسبه SVDاز ماتریس به دست بیاید. یعنی داریم:

پس می توان را با استفاده از ماتریس مرتبه اول تقریب زد که در آن بزرگترین مقدار منفرد74 می باشد. بردار مانیفولد که در آن نویز را کاهش داده ایم به شکل زیر می شود:

در حالت بدون نویز اینSVD ها لازم نمی باشند و بنابراین فقط یک اندازه گیری به ازای هر لازم می باشد تا را به دست بیاوریم. بنابراین ماتریسی که نویز آن کاهش یافته به شکل زیر می شود:

در حالت بدون خطا ماتریس ساختار وندرموند دارد. یعنی داریم:

ساختار وندرموند کلی تر است زمانی که باشد.
در حالتی که باشد دو درجه آزادی برای خطای گین و فاز وجود دارد که بر روی ساختار وندرموند از بردار اطلاعات دریافتی آرایه تأثیری ندارد. این دو شامل:
1- یک گین و فاز مرجع عمومی در حالت کلی به شکل زیر می باشد:

2- خطای گین و فازی که به طورخطی در امتداد آرایه افزایش می یابد به شکل زیر می باشد:

به عبارت دیگر شرایط اولیه برای این الگوریتم ها ساختار وندرموند دلخواه ونه لزوما ساختار وندرموند تک مدله( با مدل یکتا)75می باشد. بنابراین خطای گین و فاز دو المان مطابق با دو درجه آزادی ممکن است مساوی با صفر فرض شود.
تابع هزینه : به علت وجود خطا ساختار وندرموند ماتریس پخش می شود. ما اول نیاز به معیاری داریم تا مقدار انحراف از ماتریس وندرموند را تعیین بکنیم. در نظر داریم که زیر آرایه های تغییرناپذیر مطابق می باشند با زیربردارهایی(بردارهای فرعی) از اطلاعات دریافتی که به طور خطی وابسته می باشند. این واقعیت می تواند از لحاظ جبری استخراج شود. برای مثال در این حالت لنگه های زیر آرایه با زیربردار های خروجی و به ترتیب مشخص می شوند. ما انتظار داریم که یک ثابت اسکالر مانندa به گونه ای داشته باشیم که به ازای هر و دارای رابطه ای به شکل زیر باشد:

اگر ما ملاحظاتمان را در یک بازه جستجو محدود بکنیم می توانیم خطایی با مدل جفتی(دوتایی) تعریف کنیم:
1- (خطای مدل جفتی) تابع تابع خطای مدل جفتی نامیده می شود که به شکل زیر می باشد:

که و در آن به ترتیب زیر آرایه اول و دوم می باشند.
برای داشتن درجه بالاتر می توانیم خطاهایی با مدل سه تایی و چهارتایی و بیشتر داشته باشیم.
با استفاده از این چنین تابع خطایی یک تابع کالیبراسیون می توانیم حالا تعریف کنیم:
2- تابع هزینه دوتایی کالیبراسیون به شکل زیر می باشد:

که در آن ماتریس جبران(کالیبراسیون) می باشد و در حالتی که تنها می خواهیم خطای گین و فاز را جبران کنیم ماتریس قطری می باشد.
پاسخ تحلیلی: مزیت تابع هزینه تعریف شده این است که مسأله کالیبراسیون آرایه یک پاسخ تحلیلی ساده دارد اگر که ما رابطه 249-2 را به ازای تمام ها مینیمم نکنیم بلکه مقدار را تنها به ازای دو المانی حساب کنیم که مقدار خطا برای این دو المان مساوی صفر فرض شود. این بدین معنا است که در این حالت مسأله پاسخ ساده ای دارد. اگر ما از این فرض استفاده بکنیم که المان ها باید از یکدیگر ماکزیمم فاصله را داشته باشند یک نتیجه بهتری به دست می آوریم که به شکل زیر می باشد:

با شروع از ماتریس که ساختار وندرموند آن مختل شده است الگوریتم کالیبراسیون را به شکل زیر تعریف می کنیم:
1- در ابتدا ماتریس را محاسبه می کنیم که این کار با استفاده از ریشه گرفتن از معادله به ازای مقادیر انجام می شود.
واضح است که ریشه گرفتن از این معادله یکتا نمی باشد. برای غلبه بر این مشکل باید زاویه به اندازه کافی فشرده(متراکم) انتخاب شود به گونه ای که پرش فاز بتواند حذف شود و تابع اختلاف فاز المان های مرزی به ازای مقادیر مختلف از زاویه هموار باشد. پس از انجام عمل هموار کردن، به شکل زیر می باشد:

برای مینیمم کردن تابع هزینه کالیبراسیون جفتی بر روی که به شکل زیر می باشد داریم:

که در آن مقدار جبران خطای گین و فاز المان ام به ازای مقادیر مختلف می باشد. البته همان طور که قبلا بیان شد فرض می کنیم که المان های مرزی و را می دانیم و مقادیر آنها ثابت می باشند.
اگر مارا یک بردار بعدی تعریف کنیم به گونه ای که ستون های ماتریس را تشکیل بدهند داریم:

و را به شکل زیر تعریف بکنیم:

بنابراین داریم:

که ستون های در آن این گونه می باشند:

در اینجا ستون ام از ماتریس می باشد.می تواند به فرم ماتریسی به شکل زیر باشد:

که داریم:

که داریم:

بنابراین داریم:

برای حل معادله با استفاده از معادلات نرمال نیاز به یک مجموعه متقارن از معادلات خطی بعدی داریم:

که در آن ماتریس قطری مثلثی 76می باشد و به شکل زیر می باشد:

که در آن به شکل زیر می باشد:

3-2-2-کالیبراسیون مکانی
در این قسمت دو الگوریتم از الگوریتم هایی که خطای مکانی را کالیبره می کنند بررسی می کنیم.
1-3-2-2-کالیبراسیون با استفاده از روش حداقل کردن نرم بردار خطا
اگر فرض کنیم که بردار سیگنال های خروجی آرایه برای هر نمونه مساوی مقدار خروجی سیگنال به علاوه نویز می باشد بنابراین این بردار مقدار مؤلفه های آن به صورت زیر خواهند بود:

که e بردار مجموع نویز و تداخل است و اطلاعات خروجی می باشد.

که و به ترتیب بردار هدایت فرضی و تخمینی به ازای جهت k ام خواهند بود و سیگنال خروجی می باشد. این مقادیر به ازای هر k حداکثر مساوی Kخواهد بود. حال اگر کل این مقادیر را در یک ماتریس قرار دهیم به تعداد K بردار ستونی خواهیم داشت که هر کدام از این بردارها N مؤلفه دارند. پس یک ماتریس K × N از مقادیر فرضی و تخمینی خواهیم داشت که این ماتریس های بردارهای هدایت فرضی و تخمینی را به ترتیب و می نامیم. بنابراین داریم:

که در آن بردارهایی هستند که المان هایk ام آنها به ترتیب می باشند.
روش حداقل مربعات: این روش با استفاده از معیار خطای حداقل کردن نرم فاصله بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده یعنی معیار حداقل مربعات عمل می کند. بنابراین می توانیم با حداقل کردن مجموع زیر که همان نرم بردار خطا می باشد تخمینی از ماتریس کالیبراسیون را به دست آوریم:

هدف ما در اینجا حداقل کردن تابع هزینه فوق می باشد. بنابراین می توانیم به جای اینکه تابع هزینه فوق را حداقل کنیم آن را ساده تر کنیم و سپس مجموع را که خلاصه تر شده است مینیمم بکنیم. این بدین معنا است که نرم ستون اول به توان دو به علاوه نرم ستون دوم به توان دو وبه همین ترتیب به علاوه نرم ستون آخر به توان دو مساوی نرم کل ماتریس می باشد.

بنابراین به جای اینکه مجموع نرم های کل ستون های اختلاف بردارهای هدایت واقعی و تخمین زده شده را حداقل کنیم می توانیم نرم کل ماتریس های هدایت واقعی و تخمین زده شده را حداقل کنیم.

که در آن بیانگر نرم فروبنیوس می باشد.
حال برای حداقل کردن نرم فوق باید ابتدا نسبت به ماتریس کالیبراسیون مشتق بگیریم و سپس حاصل مشتق را مساوی صفر قرار دهیم. طبق قضایای جبر خطی مشتق ماتریس از رابطه زیر به دست می آید. بنابراین پاسخ بهینه در این حالت مساوی مقدار زیر می شود:

پس اگر تعریف بکنیم:

از این پس ما نماد # را برای عملی به صورت رابطه بالا به کار می بریم. حال تخمین ماتریس کالیبراسیون C برابر خواهد بود با:

روش beamsum: روش دوم برخلاف روش اول می باشد که با استفاده از معیار خطای حداقل کردن نرم فاصله بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده یعنی معیار حداقل مربعات عمل می کرد.در این روش براساس حداقل کردن خطای نرم بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده با استفاده از معیار beamsum عمل می کند. بنابراین در این روش یک درجه آزادی اضافی به تابع هزینه در رابطه 276-2می دهیم و سپس این تابع را با روشی مانند آنچه در بالا ذکر کردیم حداقل می کنیم تا مقدارهای بهینه برای پارامتر جدیدی که در این الگوریتم با نماد نمایش می دهیم و هم چنین مقدار بهینه برای ماتریس کالیبراسیون که بانماد C نمایش می دهیم به دست آوریم. البته با این تفاوت که در این روش تعداد متغیرها بیشتر است. بنابراین فرم تابع هزینه در این روش به صورت زیر اصلاح می شود :

حال مانند روش قبلی مسأله بهینه سازی به حداقل کردن نرم تابع بالا می انجامد. بنابراین مسأله بهینه سازی مانند روش پیشین که به مینیمم شدن نرم خطا می انجامید در اینجا نیز همان طور که می بینیم به حداقل شدن نرم خطا می انجامد و آن را این گونه بیان می کنیم:

حال برای حداقل کردن نرم فوق باید ابتدا نسبت به پارامتر جدید در این روش مشتق بگیریم و حاصل مشتق را به ازای هر k مساوی صفر قرار بدهیم. طبق قضایای جبر خطی مشتق ماتریس از رابطه زیر به دست می آید. بنابراین پاسخ بهینه در این حالت از رابطه زیر به دست می آید:

حال از روی روابطی که در بالا ذکر شد پارامتر جدیدی را که در این الگوریتم تعریف کردیم را می

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، مکان یابی Next Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، ترتیب نزول، مقدار خطا