پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، مکان یابی

دانلود پایان نامه ارشد

مکان یابی شده اند اعمال می شوند. به طوری که چندین الگوریتم با قدرت تفکیک بالا برای تخمین DOA ها ارایه شده اند. اما بیشتر الگوریتم های جهت یابی با قدرت تفکیک بالا مانندMUSIC به تغییراتی که در پاسخ فضایی آرایه به وجود می آید بسیار حساس می باشند و نیاز به آگاهی دقیق از پاسخ فضایی آرایه دارند تا این که بتوانند توسط آن تخمین دقیقی از DOA به دست بیاورند. آگاهی غیر دقیق از پارامترهای آرایه مخصوصا ضرایب تزویج متقابل و مکان المان ها و گین و فاز المان ها می تواند عملکرد تخمینگر را به طور جدی کاهش بدهد. بنابراین الگوریتم های کالیبراسیون آرایه اغلب برای رسیدن به عملکردی با قدرت تفکیک بالا ضروری می باشند.
یک آرایه ممکن است با اندازه گیری پاسخ فضایی آرایه کالیبره بشود که این پاسخ بر روی شبکه ای که به طور یکنواخت در طول FOV گام برمی دارد اندازه گرفته می شود. اما این فرایند یک فرآیند خسته کننده می باشد و نیاز به درون یابی برای تخمین پاسخ فضایی آرایه بین گام های شبکه دارد. یک روش مفید برای سبک کردن آن این است که کالیبراسیون آرایه را به عنوان یک مسأله تخمین پارامتر مطرح بکنیم. با فرض اینکه مکان المان ها معلوم باشند کالیبراسیون آرایه می تواند به عنوان مسأله تخمین پارامترهای مجهول آرایه که شامل ضرایب تزویج متقابل و گین و فاز المان ها می باشند در نظر گرفته بشود. یکی از این روش ها(الگوریتم Weiss )که در قسمت های قبلی بیان شد این مسأله را حل می کند و یک تکنیک خودکالیبراسیون ارایه می دهد. در حالی که این روش مزیت تخمین پارامترهای مجهول آرایه و DOA را به طور هم زمان دارد اما نیاز به ماتریس ضرایب تزویج متقابل که قرار است ساخته بشود دارد و ممکن است که این ماتریس مشکل ابهام را داشته باشد. روشی که در قسمت های قبل بیان شد(الگوریتم کاوه) یک روش حداقل مربعات برای تخمین ماتریس کالیبراسیون می باشد که این روش با استفاده از مجموعه ای از منابع کالیبراسیون در مکان های معلوم عمل می کند. ماتریس کالیبراسیون همان پارامترهای آرایه می باشند که اثرات ترکیبی از تزویج متقابل و گین و فاز نامعلوم المان ها را توصیف می کنند. اما این الگوریتم به طور ضمنی فرض می کند که بردار های هدایت واقعی در DOA مربوط به سیگنال های کالیبراسیون طول مساوی دارند. متاسفانه این فرض یک فرض محدودکننده می باشد. به طور کلی طول بردارهدایت واقعی یک مقدار ثابت نمی باشد بلکه تابعی از DOA می باشد. علاوه بر این در خیلی از این الگوریتم ها مشکل است که طول بردار هدایت واقعی را به طور دقیق اندازه بگیریم. مطالعات عددی نشان می دهند که نقض این فرض عملکرد تخمین گرهای DOA با قدرت تفکیک بالا را کاهش می دهد.
در اینجا ما الگوریتم کالیبراسیونی(الگوریتم کاوه)که در قسمت های قبلی بیان شد را بسط می دهیم. بسط این الگوریتم در حالتی است که طول بردار های هدایت واقعی در DOA مربوط به سیگنال های کالیبراسیون مساوی نیستند یا اینکه آنها را به طور صریح نمی دانیم. مثال های عددی نیز دقت و اعتبار این الگوریتم را تأیید می کنند.
با در نظر گرفتن ماتریس کالیبراسیون به عنوان یک ماتریس مختلط با ابعاد m×m و مشخص کردن به عنوان بردار هدایت فرضی آرایه می توانیم بردار هدایت واقعی را به شکل زیر بنویسیم:

وقتی که به آرایه ای یک سیگنال باریک باند در زاویه اعمال می شود پوش مختلط بردار اطلاعات دریافتی به شکل زیر می شود:

که شامل پوش مختلط سیگنال باریک باند می باشد و بردار مختلط نویز با ابعاد می باشد. با فرض اینکه نویز از نظر فضایی ناهم بسته می باشد ماتریس هم بستگی Rوابسته به یک منبع سیگنال که در زاویه واقع شده است به شکل زیر می باشد:

که نماد نماد مکمل ترانهاده62 می باشد و توان نویز می باشد و توان سیگنال می باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود:

که نماد (.)E در آن همان عملگر امید ریاضی 63می باشد.
برای حالتی که اطلاعات ورودی محدود می باشد ماتریس هم بستگی می تواند به شکل زیر تخمین زده شود:

که Lدر آن تعداد نمونه ها می باشد.
الگوریتم کالیبراسیون: از معادله 197-2 متوجه می شویم که بردار ویژه اصلی از ماتریس R توسط یک ثابت مقیاس گذاری مختلط به بردار هدایت واقعی مرتبط می شود. با مشخص کردن به عنوان بردار ویژه اصلی نرمالیزه شده از R داریم:

برای حالتی که اطلاعات ورودی محدود می باشد تخمین های سازگارمربوط بهمی توانند از روی بردار ویژه اصلی نرمالیزه شده از ماتریس به دست بیایند. یک روش مقاوم که در اینجا بیان نشده است تخمین در یک میدان نویز نامعلوم رنگی64 می باشد. با فرض اینکه اطلاعات را از n منبع غیرخطی در مکان های معلوم که از لحاظ زمانی ناهم بسته می باشند جمع آوری کرده ایم آسان است نشان دهیم که تخمین حداقل مربعات مربوط به ماتریس های Mو ممکن است با مینیمم کردن تابع زیر به دست بیایند:

که مقادیر آن به شکل زیر می باشند:

که نماد در آن همان نرم فروبنیوسی می باشد و همان DOAمربوط به سیگنال کالیبراسیون می باشد به طوری که به ازای تمام مقادیر زوایای می باشند.
باحداقل کردن معادله 201-2 نسبت به Mداریم:

و با جایگزین کردن معادله 206-2در معادله 207-2 مسأله مینیمم سازی به شکل زیر می شود:

نماد در آن عملگر رد65 می باشد. با استفاده از ماتریس واحد و مشخص کردن عملگر به عنوان ضرب داخلی معادله 207-2 به شکل زیر می باشد:
یک پاسخ بدیهی برای معادله فوق با انتخاب به دست می آید. از آنجایی که تمام منابع کالیبراسیون دارای توان محدودی می باشند c می تواند به طور یکتا با اعمال شرط به دست بیاید. به طوری که حل آن منجر به یافتن مسأله مقدار ویژه مینیمم و بردار ویژه مینیمم می شود:

بنابراین وقتی بردار c قرار است بردار ویژه مینیمم باشد تابع هزینه در معادله 209-2 مینیمم می شود. با جایگزین کردن c در معادله 206-2ماتریس کالیبراسیون می تواند به طور یکتا توسط یک ثابت مختلط غیرصفر تخمین زده بشود.
از آنجایی که در این مسأله به تعداد مشاهدات اندازه گیری شده مستقل و حقیقی وجود دارد و به تعداد متغیر حقیقی وجود دارد به طوری که قرار است این متغیرهای تخمین زده بشوند اگر مسأله به شکل زیر باشد در شرایط ناقص66 به سر می برد:

که عملگر[s] کوچکترین مقدار صحیح که بزرگتر یا مساوی s باشد را مشخص می کند.
در اینجا یک روش کالیبراسیون آرایه ارایه شد که پارامترهای مجهول شامل ضرایب تزویج متقابل و گین و فاز المان ها را تخمین می زند. برخلاف الگوریتم کاوه این الگوریتم هیچ نیازی به این فرض محدود کننده ندارد که طول بردار هدایت واقعی در DOA مربوط به سیگنال های کالیبراسیون مساوی باشد و یا به طور صریح معلوم باشد. الگوریتم MUSIC که بعد از کالیبراسیون اعمال می شود منجر به دقت بیشتر و قدرت تفکیک بیشتری می شود. یک راه گسترش این کار در نظر گرفتن موارد بیشتری از پارامترهای مجهول آرایه شامل ضرایب تزویج متقابل و گین و فاز المان ها و هم چنین خطای مکانی می باشد.
2-2-2-2- تخمین ضرایب تزویج متقابل با وجود قید وشرط برای کالیبراسیون آرایه [29]
اگر یک آرایه Nالمانی داشته باشیم بردار هدایت برای آن را با نماد نمایش می دهیم. اثرات خطای گین و فاز و تزویج متقابل می تواند با اعمال ماتریس به بردار هدایت نشان داده بشود. این بدین معناست که اگر بردار هدایت فرضی باشد باید بردار هدایت واقعی را به ما نشان بدهد. ماتریس می تواند از ضرب یک ماتریس تزویج متقابل با المان های یک روی قطر اصلی آن در یک ماتریس قطری که شامل خطای گین و فاز می باشد به دست بیاید. همان طور که می دانیم اگر فاصله المان ها چند طول موج باشد ضرایب تزویج متقابل را می توان نادیده در نظر گرفت. بنابراین برای آرایه های نسبتا بزرگ ماتریس اختلالیک ماتریس پراکنده67 با المان های صفر در مکان های مناسب خواهد بود که المان های صفر آن تزویج صفر را نشان خواهند داد. برای آرایه ULAماتریس ماتریسی با ساختار نوار نواری68(مانند ماتریس قطری مثلثی یا قطری پنج ضلعی)می باشد. فرض کنیم که باشد که نمونه های بردار اطلاعات آرایه به ازای هر مکان تست سیگنال با جهات می باشد. بردارهای ویژه اصلی با نرم واحد از ماتریس هم بستگی می باشند که براساس نمونه مطابق با منبع سیگنال در جهت عمل می کنند. بنابراین در غیاب نویزمساوی ضرب یک اسکالر در بردار می باشد. حال می خواهیم ماتریسو بردار ضرایبرا تعیین کنیم که این کار را با استفاده از مینیمم کردن نرم خطای حداقل مربعات انجام می دهیم:

نماد نماد نرم اقلیدسی 69بردار می باشد.
تخمین ماتریس اختلال پراکنده با قید وشرط: یک مقدار صفر در ردیفm ام از ستونn ام بردار از ماتریسمعادل با اعمال قید خطی بر روی می باشد که بردار واحد مختصات دارای یک المان مساوی با یک در مکان m ام و المان صفر در سایر مکان ها می باشد. برای هم بستگی جبری ما معمولا ترجیح می دهیم که با ستون های ماتریسکار بکنیم تا ماتریس. اگر یک ماتریس نوارنواری باشد ماتریس نیز همان پهنای باند را خواهد داشت. به طور کلی المان های صفر در ماتریس صفر های منطبق با آنها را در مکان های معلوم از ماتریستصویر می کنند. بنابراین مینیمم کردن معادله فوق معادل با مینیمم کردن رابطه زیر می باشد:

که مینیمم کردن تابع 212-2معادل با مینیمم کردن تابع فوق نسبت به تحت یک مجموعه از قیدهای خطی زیر می باشد

ماتریسی با ابعاد می باشد که المان های آن زیرمجموعه مناسبی از بردارهای می باشند به طوری که لازم است در مکان های مناسب از بردارهای ستونی صفر باشند. ها المان nام از بردارویژه iام می باشند.
پاسخ این معادله با بیان کردن هربر حسب یک پایه70 که شامل ستون از ماتریس و ستون از ماتریس می باشد به دست می آید که این دو ماتریس بر یکدیگر عمود می باشند به گونه ای که داریم:

در نظر داریم که ساختار ساده از ماتریسبه این شکل می باشد که دقیقا عدد از ستون هایش المان های یکی هستند که در مجموعه قرار دارند اما در قرار ندارند. می تواند به عنوان یک ترکیب خطی از ستون های و بیان شود به گونه ای که داریم:

برای نشان دادن بردار ضرایب بعدی از استفاده می کنیم و برای نمایش بردار ضرایب بعدی از استفاده می کنیم. آسان است نشان بدهیم که با استفاده از معادله 214-2 و خاصیت عمود بودن که در معادله 215-2 بیان شد می باشد. بنابراین داریم:

پس رابطه213-2 به شکل زیر می شود:

که برای اختصار به جای از نماد استفاده می کنیم.
با مشتق گرفتن نسبت به به ازای و مساوی صفر قرار دادن آن داریم:

اگر ماتریس را با ابعاد به شکل زیر تعریف بکنیم داریم:

برای به دست آوردن پاسخ داریم:

به طوری که به شکل زیر می باشد:

و به شکل زیر می باشد:

ستون های ماتریسشامل بردارهای ای می باشد که مطابق با المان های غیر صفر در ستون nام از ماتریس می باشند. بنابراین ماتریسی از مرتبه کامل می باشد و از آنجایی که فرض می شود که ها به طور خطی مستقل از یکدیگر هستند(زیرا ها بردارهای هدایت به ازای زوایای متمایز می باشند) ماتریس معکوس پذیر می باشد. هم چنین ساختن ماتریسساده می باشد زیرا به سادگی می توان یک ستون خاص را انتخاب کرد که این ستون زیر مجموعه ای از ستون ماتریس مربوط به مکان المان های غیر صفر ستون nام از ماتریس می باشد. در نظر داریم که مینیمم تعداد مکان های زاویه ای منابع فقط لازم است که بزرگتر از باشد.
معادله فوق تخمین ستون های ماتریس (ردیف های ماتریس ) را توسط یک بردار مختلط مجهول از ضرایب مقیاس بندی مشخص می کنند. ما را با مینیمم کردن معادله213-2 و با کمک گرفتن از معادله 223-2تعیین می کنیم. بنابراین معادله 213-2 را می توان به شکل زیر نوشت:

اگر از معادله223-2 استفاده بکنیم داریم:

که یک عملگر تصویر عمودی 71می باشد و مکمل عمودی آن می باشد داریم:

با جایگزین کردن معادله 223-2 در معادله 224-2 داریم:

که نماد اثر 72می باشد. اگر ماتریس قطری با المان های قطری باشد داریم:

سپس معادله 230-2را می توان به شکل زیر

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، داده های ورودی Next Entries پایان نامه ارشد رایگان با موضوع روش حداقل مربعات، مقدار خطا