پایان نامه ارشد درمورد ریشه واحد، شاخص قیمت، نوسانات نرخ ارز، مدل ARIMA

دانلود پایان نامه ارشد

صنایعی نظیر سیمان برخوردار است. در نمودارهای (3-3) تا (3-5) روند شاخص 3 صنعت (محصولات فلزی، فرآورده‌های نفتی و قندو شکر) ارائه شده است. همچنین روند شاخص 14 صنعت دیگر در پیوست (ه) ضمیمه آورده شده است.

نمودار (3-3): شاخص قیمت صنعت محصولات فلزی برای دوره 31/6/1388 تا 31/6/1393

نمودار (3-4): شاخص قیمت صنعت فرآورده‌های نفتی برای دوره 31/6/1388 تا 31/6/1393

نمودار (3-5): شاخص قیمت صنعت قندو شکر برای دوره 31/6/1388 تا 31/6/1393
منبع: شرکت بورس و اوراق بهادار تهران

3-3- مبانی پژوهش
ساختار 7 گامی مدنظر پژوهش حاضر شامل مجموعه‌ای از مدل‌های مختلفی می‌باشد که تلاش می‌گردد در این بخش مبانی ریاضی آنها تشریح گردد. در این رابطه شکل (3-1) مدل‌های مورد استفاده بر حسب هر یک از گام‌ها را نشان می‌دهد.

منظور از پارامترهای GED,t ,N به ترتیب توزیع‌های نرمال،تی-استیودنت و توزیع خطا تعمیم‌یافته152 می‌باشد.

در گام فوق مدل‌های خانواده GARCH با مدل‌های سوئیچینگ مارکوف (MS153) تلفیق شده‌اند که در این باره شناخت کافی از مدل‌های سوئیچینگ مارکوف و نحوه تلفیق آنها با مدل‌های خانواده GARCH ضروری می‌باشد.

شکل (3-1) مبانی ریاضی مدل‌های مورد استفاده در ساختار 7 گامی اندازه‌گیری ریسک بازده صنعت از نوسانات نرخ ارز

در ادامه به تشریح مبانی ریاضی مدل‌های فوق‌الذکر پرداخته می‌شود.
3-3-1 مدل ARIMA
فرآيندARIMA(P,d,q) براي متغير x را مي توان به صورت رابطه زیر نشان داد:
(3-1)
که در آن :

وf(t) روند زماني را (در صورت وجود) در برآورد مي کند. در اکثر متغير هاي اقتصادي، معمولاًd=1 بوده در نتيجهµ f(t)= و يا d=0 مي باشد154و

در فرآيند q,d,P ,ARIMA(P,d,q)به ترتيب بيانگر تعداد جملات خود رگرسيو، مرتبه تفاضل گيري وتعداد جملات ميانگين متحرک مي باشند. در صورتي که d برابر با صفر گردد، فرآيند ARIMA تبديل به فرآيند ARMA مي‌گردد. معمولاً براي تخمين الگويARIMA و ARMA از روش باکس- جنکينز استفاده مي‌شود که داراي چهار مرحله شناسايي، تخمين، تشخيص دقت پردازش و پيش‌بيني مي‌باشد. تعداد جملات خود رگرسيو و تعداد جملات ميانگين متحرک معمولاً با استفاده از توابع خودهمبستگي155(AC) و خودهمبستگي‌جزئي156(PAC) محاسبه مي‌گردد (صادقی و ذوالفقاری، 1390).
3-3-2 مدل‌های خانواده GARCH
3-3-2-1 مدل GARCH
فرآیند GARCH(p,q) دارای تابع واریانس شرطی به صورت زیر است:
(3-2) σ_t^2= α_0+∑_(i=1)^p▒〖α_i ε_(t-i)^2+ 〗 ∑_(i=1)^p▒β_i σ_(t-i)^2= α_0+ α(L) ε_t^2+ β(L) σ_t^2
که در آن P0 و β_i≥0 α_i≥0 و 1≤i≤p
برای بهتر تعریف کردن واریانس شرطی مدل GARCH(p,q)، باید تمام ضرایب ARCH(∞) مدل σ_t^2= θ_0+ θ(L)ε_t^2 مثبت باشند، و شرط آن این است که (L) α و (L) β دارای ریشه‌های مضاعف (تکراری) نبوده و ریشه‌های (L) β خارج از دایره واحد قرار داشته باشند. این قید مثبت بودن برقرار می‌گردد، اگر و فقط اگر تمام ضرایب θ(L)= α(L)/ (1-β(L)) غیرمنفی (صفر یا مثبت) باشند. برای یک فرآیند GARCH(1,1) داریم:
(3-3) σ_t^2= α_0+ α_1 ε_(t-1)^2+ β_1 σ_(t-1)^2
فرآیند GARCH می‌تواند مانای کم‌توان (ضعیف) باشد، اگر و فقط ریشه‌های α(L)+ β(L) خارج از دایره‌ی واحد قرار داشته باشند، یعنی: 1β(L)+α(L) (بلرسلوف ،1986).

3-3-2-2 مدل GARCH- M
وجود همبستگي مثبت ميان ريسك و بازده يكي از تئوري‌هاي مطرح در مباحث مالي را تشكيل مي‌دهد. بر اين اساس صرف ريسك بيشتر، بازدهي بيشتري را به همراه خواهد داشت. مدل GARCH-M اين ويژگي را مدلسازي ميكند (كيم و كن، 1994) ساختار يك مدل GARCH-M استاندارد را مي‌توان به صورت زير نشان داد (انگل، 2010):
r_t=μ+θσ_t^2+ε_t
ε_t~N(0,σ_t^2) (3-4)
σ_t^2= α_0+ α_1 ε_(t-1)^2+ β_1 σ_(t-1)^2
3-3-2-3 مدل IGARCH
معادله‌ی واریانس معادله‌ی GARCH می‌تواند به‌صورت زیر باشد:
(3-5) V_t= ε_t^2- σ_t^2 (1- α(L)-β(L)) ε_t^2= ω(1-β(L)) V_t
مطالعات تجربی انگل و بلرسلوف (1986) نشان می‌دهد که تخمین چندجمله‌ای (1- α(L)-β(L)) دارای ریشه واحد در بعضی از کاربردهای GARCH است. در بسیاری از مطالعات تجربی انجام شده روی مدل GARCH(1,1)، مقدار α(L)+ β(L)، خیلی نزدیک به 1 است، اگر چنین باشد، آن‌گاه α(L)+ β(L) دارای یک ریشه واحد است و این مدل را GARCH انباشته یاIGARCH می‌نامند (انگل و بلرسلو (1986). در اغلب موارد این حالتی است که در آن α(1)+ β(1) برای سری‌های زمانی مالی، نزدیک واحد است. اگر این شرط برقرار باشد، شوک وارد شده به واریانس شرطی دیرپا بوده و به آن مفهوم است که این شوک برای پیش‌بینی تمام آینده با اهمیت خواهد بود. در مدل IGARCH با در نظر گرفتن چندجمله‌ای
(3-6) (1- α(L)-β(L))= (1-L)Φ(L)
که Φ(B) تمام ریشه‌های خارج از دایره واحد را در بر می‌گیرد، انگل و بلرسلوف (1986) مدل IGARCH را پیشنهاد دادند.
(3-7) (1-L)Φ(L) ε_t^2= ω(1-β(L)) V_t V_t= ε_t^2- σ_t^2
که در آن Φ(B)=1-Φ_1 (L)-…-Φ_q (L)^q است. مدلIGARCH که به صورت زیر نشان داده شده است:
(3-8) r_t=μ+ε_t σ_t^2= ω+β_1 (L) σ_(t-1)^2+(1-β_1) ε_(t-1)^2
معادله فوق یک مدل جایگزین مناسب برای GARCH(1,1) است. به طور کلی می‌توان گفت مدل IGARCH، تابع GARCH با ریشه واحد است. از نظر تئوری، مدل IGARCH وقتی اتفاق می‌افتدکه یک انتقال سطحی ناگهانی در تلاطم‌ها صورت گیرد (بلرسلو و همکاران، 2007).

3-3-2-4 مدل IGARCH-M
همبستگي مثبت ميان ريسك و بازده در مدل ناهمساني واريانس شرطي انباشته بصورت زیر می‌باشد:

r_t=μ+θσ_t^2+ε_t
ε_t~N(0,σ_t^2) (3-9)
σ_t^2= ω+β_1 (L) σ_(t-1)^2+(1-β_1) ε_(t-1)^2
3-3-2-5 مدل EGARCH
در مدل GARCH نمایی نلسون (1991) (EGARCH) در صورت درنظر گرفتن یک واکنش نامتقارن به شوک‌ها، معادله زیر جهت برآورد واریانس شرطی درنظر گرفته می‌شود.
(3-10) Log (σ_t^2)=α_0+α_1 f(ε_(t-1)/σ_(t-1) )+β_1 log⁡〖(σ_(t-1)^2)〗
در آن:
(3-11) f(ε_(t-1)/σ_(t-1) )=θ_1 ε_(t-1)/σ_(t-1) +((|ε_(t-1)/σ_(t-1) |)-E(|ε_(t-1)/σ_(t-1) |))
منحنی تاثیر اخبار F(0)، بازنگری در تلاطم شرطی را که در اینجا بوسیله Log (σ_t^2) نشان داده می‌شود، به اخبار ε_(t-1) مرتبط می‌کند. این مشخصه نمایی منعکس‌کننده واکنش نامتقارن نسبت به تغییرات ε_(t-1) است. زیرا برای ε_(t-1)0 داریم: δf/(δε_(t-1) )=θ_1+1/σ_(t-1) و اگر ε_(t-1)<0 آنگاه δf/(δε_(t-1) )=θ_1-1/σ_(t-1) و اگر خبری نباشد. یعنی ε_(t-1)=0، تلاطم در حداقل مقدار خود قرار می‌گیرد. این عدم تقارن بطور بالقوه سودمند است زیرا این امکان را فراهم می‌کند که تلاطم با سرعت بیش‌تری به شرایط بد بازار نسبت به شرایط خوب بازار از خود واکنش نشان دهد. این یک واقعیت تحقق‌یافته در بسیاری از بازارهای مالی است که به عنوان اثر اهرمی شناخته می‌شود. این مدل توسط نلسون (1990) برای حل محدودیت GARCH (p,q) ارایه شد. نمایش مدل EGARCH(1,1) به صورت زیر است:
(3-12) ln⁡(σ_t^2 )=ω+β ln⁡(σ_(t-1)^2 )+α |ϵ_(t-1) |/|σ_(t-1) | +γ ϵ_(t-1)/σ_(t-1)
در طرف چپ معادله وجود ln برای واریانس شرطی است و نشانگر آن است که اثر اهرمی بجای اینکه تابعی درجه دوم باشد، به‌صورت تابعی نمایی است و وجود این شرط سبب می‌شود که غیرمنفی بودن واریانس شرطی تضمین شود. وجود اثر اهرمی از θ_1 نشات می‌گیرد. این اثر غیرمتقارن است، اگر θ_1≠0 باشد. حالت تعمیم یافته مدل به صورت زیر نوشته می‌شود:
(3-13) ∑_(j=1)^q▒β_j ln⁡(σ_(t-j)^2 )+∑_(i=1)^p▒[θ_i ε_(t-i)/σ_(t-i) ] +γ_i (|ϵ_(t-i) |/|σ_(t-i) | -E |ϵ_(t-i) |/|σ_(t-i) | )
در GARCH نمایی ln⁡(σ_t^2 ) یک فرآیند خطی است و مانا در کواریانس بودن را به راحتی نمایان می‌کند (نلسون، 1991).

3-3-2-6 مدل EGARCH-M
همبستگي مثبت ميان ريسك و بازده در مدل ناهمساني واريانس شرطي نمایی بصورت زیر می‌باشد:
r_t=μ+θσ_t^2+ε_t
ε_t~N(0,σ_t^2) (3-14)
ln⁡(σ_t^2 )=ω+β ln⁡(σ_(t-1)^2 )+α |ϵ_(t-1) |/|σ_(t-1) | +γ ϵ_(t-1)/σ_(t-1)

3-3-3 توزیع ‌نوسانات سری زمانی
3-3-3-1 توزیع نرمال
توزیع نرمال، یکی از مهمترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع نرمال در قضیه حد مرکزی است. به زبان ساده، در قضیه حد مرکزی نشان داده می‌شود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسان‌های مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود(سارنج، 1391).
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ2 به صورت زیر است
(3-15) f(x;μ, σ^2 )=1/√(2πσ^2 ) e^(-〖(x-μ)〗^2/(2σ^2 )), xϵR

3-3-3-2 توزیع تی- استیودنت
تابع چگالی احتمالات Zt بصورت زیر داده شده است:
(3-16) f(Z_t )=(Γ ((ν+1))/2)/(Γ ν/2 √((v-2)π)) 〖(1+(z_t^2)/(v-2))〗^(-1/2(v+1))
در رابطه فوق v تعداد درجه آزادی است و 2سری‌های زمانی که دارای مشخصه لپتوکورتیک157 (نوک تیز) همراه با دم کلفت158 (کشیدگی بزرگ) می‌باشند از توزیع GED استفاده می‌کنند. تابع چگالی توزیع GED بصورت زیر نوشته می‌شود.
(3-17) f(ε)=(k*exp⁡(-1/2 |ε/λ|^k))/(λ*2^[(k+1)/k] Γ(1/k))
در رابطه فوق، λ=[(2^[(-2)/k] Γ(1/k))/(Γ(3/k))]^(1/2) و Γ(0) تابع گاما است. همچنین k برابر با پارامتر GED که درجه آزادی نامیده می‌شود و در واقع نشان دهنده چگونگی کلفتی دم است. اگر k=2، GED دارای توزیع نرمال است؛ اگر k>2 دم آن باریکتر از توزیع نرمال است و اگر k<2دم آن ضخیم‌تر است(باردواج و سوانسون، 2012).
3-3-4 ارزش در معرض ریسک
3-3-4-1 ارزش در معرض ريسک (VaR)
VaR بيانگر حداكثر زيان مورد انتظار روي سبد داراييها يا مجموعه سرمايهگذاري در طول افق زماني معين در شرايط عادي بازار و در سطح اطمينان معين ميباشد. به عبارت سادهتر، تفسير اين معيار به صورت ذيل است:
« ما X درصد اطمينان داريم كه طي N روز آتي، قطعاً بيشتر از مبلغ V متحمل زيان نخواهيم شد.»
متغير V همان ارزش در معرض ريسك، يا VaR سبد سرمايهگذاري ميباشد كه در بردارندة دو پارامتر N يعني افق زماني و X يعني سطح اطمينان است. شکل(3-2) محاسبه VaR با استفاده از توزيع احتمالات تغييرات در ارزش سبد؛ با سطح اطمينان X% را نشان ميدهد(جان‌هال، ترجمه کارگزاری مفید).

شکل (3-2): توزيع احتمالات تغييرات در ارزش سبد: محاسبه VaR

به عبارت ديگرVaR، برآوردي از سطح زيان روي يك سبد سرمايهگذاري است، كه به احتمال معين كوچكي (در اينجا ۱٪) پيشبيني ميشود با آن مساوي شود و يا از آن تجاوز كند.
روشهاي برآورد VaR به ترتيب زير مي‌باسد:
1) روشهاي پارامتريک؛ شامل مدلهاي ريسک‌متريک، مدلهاي‌تلاطم‌چندگانه و مدلهاي خانواده GARCH هستند.
2) روشهاي ناپارامتريک؛ مبتني بر فرض عدم وجود توزيع معين هستند و از مهمترين اين روشها ميتوان به شبيهساز تاريخي، روش هيبريدي و شبيهساز مونت کارلو اشاره نمود.
3) روشهاي نيمهپارامتريک؛ بطور کلي براي پيشبيني تلاطم و انحراف معيار از روشهاي پارامتريک استفاده ميشود، در حالي که براي نشان دادن توزيع بازده از روشهاي نيمه‌پارامتريک استفاده مي‌گردد. از جمله اين مدلها ميتوان به تئوري ارزش حدي و مدل GARCH شبه ماکزيمم راستنمايي اشاره نمود(جان‌هال، ترجمه کارگزاری مفید).

بطور کلي مدلهاي پارامتريک، بيشترين کاربرد در بين مدلها را دارند. در بين مدل‌هاي پارامتريک نيز مدلهاي خانواده GARCH با درنظر گرفتن ويژگي تلاطم در حال تغيير، بيشترين استفاده را دارند

3-3-4-2 معیارهای ارزیابی مبتنی بر VaR
1- توابع زیان مدیریت ریسک
تابع زیان دوتایی159 (BLF)
اگر مقدار VaR پیش‌بینی‌شده نتواند زیان واقعی را پوشش بدهد ، این یک “استثنا” نامیده می‌شود. وزن معادل، مطابق با هر زیانی که بیشتر از VaR تخمین زده شده است.
(3-18) 〖BL〗_(i,t+1)={█(1, if r_(i,t+1)<〖VaR〗_(i,t)@0, if r_(i,t+1)≥〖VaR〗_(i,t) )┤
اگر مدل VaR واقعاً سطحی از پوشش تعریف شده را بوسیله سطح اطمینان فراهم کند، تابع متوسط زیان دوتایی (ABLF) کل نمونه معادل 1-c درصد VaR را پوشش خواهد داد. تابع متوسط زیان دوتایی160 یک تخمینی از احتمال مشاهده زیانی بزرگتر از مقدار VaR را فراهم می‌کند(شیان161، 2007).
1-2 تابع زیان درجه دوم
نیشی‌یما162 (1998) نشان داد که استفاده از اطلاعات اضافی تابع زیان درجه دو گنجاند شده در اندازه “استثنا”، معیار مناسبی از صحت مدل تابع زیان دوتایی است.
(3-19) 〖QL〗_(i,t+1)={█(1+〖(r_(i,t+1)-〖VaR〗_(i,t))〗^2, if r_(i,t+1)<〖VaR〗_(i,t)@0, if r_(i,t+1)≥〖VaR〗_(i,t) )┤ تابع زیان درجه دو در مقایسه با تابع زیان دوتایی”استثناها” جریمه بیشتری می‌کند.
2- آزمون LR برای پوشش غیرشرطی (LRuc)
تابع زیان یک برآورد نقطه‌ای از احتمال مشاهده یک زیان بالاتر از مقدار VaR را فراهم می‌نماید. برای بررسی صحت و ارزیابی عملکرد تخمین‌های مدل مبتنی بر VaR، چو و همکاران163 (1996) یک آزمون «نسبت احتمالات» را برای آزمایش دقت مدل پیشنهاد داد که مشابه با آزمون فرضیه صفر احتمال شکست برای هر آزمایش (π ̂) برابر با احتمال مشخص شده مدل (P) است. آماره آزمون نسبت احتمالات بصورت زیر داده شده است(همان):
(3-20) 〖LR〗_uc=-2log[(p^n1 (1-p)^n0)/(π ̂^n1 (1-π ̂ )^n0 )]~χ^2 (1)
در معادله فوق π ̂=n_1/(n_0+n_1 ) برابر است با تخمین MLE از P، وn_1 نشان دهنده یک متغیر تصادفی برنولی که به نمایندگی از تعداد کل استثناهای VaR می‌باشد. آزمون LRuc می‌تواند به عنوان یک آزمونی بکار برود که به این سوال پاسخ دهد که آیا برآورد نقطه‌ای نمونه، به لحاظ آماری مطابق با سطح اطمینان تجویز شده مدل VaR است یا نه؟
3- آزمون LR برای پوشش شرطی (LRcc)
اگرچه آزمون LRuc می‌تواند یک مدلی که هم بالاتر از حد تخمین زده و هم کمتر از حد تخمین زده را رد بکند، اما VaR واقعی غیرقابل مشاهده است، این آزمون نمی‌تواند این موضوع را بررسی کند که آیا استثنا‌ها بصورت تصادفی توزیع شده‌اند یا نه.
در یک چارچوب مدیریت ریسک، این موضوع اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد که استثناء‌های VaR در طول زمان ناهمبسته‌ باشند، که این امر نیازمند آزمون‌های پوشش شرطی و مستقل برپایه ارزیابی پیش‌بینی‌های فاصله (بازه‌ای) است.
کریستین164 (2003) یک آزمون پوشش شرطی را توسعه داد که بطور مشترک این موضوع را بررسی می‌کند که آیا تعداد کل شکست‌ها برابر با آنچه که مورد انتظار بود است و آیا استثناء‌های VaR دارای توزیع مستقلی است. در عمل مزیت روش کریستوفرسون این است که آن می‌تواند مدلی را که بیشتر از حد یا کمتر از حد خوشه استثنا‌ها را تولید کرده رد بکند. با داشتن سری بازدهی واقعی (rt) و مجموعه تخمین‌های VaR ، متغیر شاخص It می‌توان فرمول فوق را بصورت زیر نشان داد(همان):
(3-21) I_t={█(1, if r_(t+1)<〖VaR〗_t@0, if r_(t+1)≥〖VaR〗_t )┤
از آنجا که برآورد دقیق VaR ، ویژگی پوشش شرطی صحیح است، این سری‌ها باید هم استقلال سری و هم پوشش غیر شرطی صحیح را نشان بدهند.
آزمون LRcc یک آزمون مشترک بین این دو ویژگی است و آماره آزمون مربوطه برابر است با LRcc=LRuc+LRind همانگونه که ما برروی مشاهده اول شرط کردیم. بنابراین تحت فرضیه صفر، استقلال پروسه شکست‌ها مستقل و نسبت انتظاری از استثناء‌ها معادل p خواهد بود. بنابراین نسبت احتمالات مناسب بصورت زیر می‌باشد(همان).
(3-22) 〖LR〗_cc=-2log (p^n1 (1-p)^n0)/((1-π ̂_0,1 )^n00 π ̂_01^(n_0,1 ) (1-π ̂_1,1 )^n10 π ̂_11^(n_1,1 ) )~χ^2 (2)
در معادله فوق n_(i,j) تعداد مشاهدات با ارزش i به ارزش j بصورت زیر است:
(3-23)
(i,j=0,1),π_ij=P{I_t=j│I_(t=i)=i}(i,j=0,1), π ̂_01=n_01/(n_00+n_01 ), π ̂_11=n_11/(n_10+n_11 )

3-3-4-3 برآورد ارزش در معرض ریسک
الف) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع نرمال
میانگین و واریانس شرطی مدل GARCH-N بصورت زیر نوشته می‌شود (پینگ165، 2007):
(3-24) r_t=μ+ε_t, ε_t=σ_t u_t, ├ u_t ┤| Ω_(t-1) ~N(0,1)
σ_t^2=ω+αϵ_(t-1)^2+βσ_(t-1)^2
rt نرخ بازدهی و α, β, ω پارامترهای غیر منفی است همچنین جهت اطمینان از مثبت بودن واریانس شرطی و مانایی محدودیت α+β<1 صادق است.
تابع لگاریتم درستنمایی مدل GARCH-N بصورت زیر نوشته می‌شود:
(3-25) L(├ r_t ┤|Θ)=∑_(t=1)^T▒〖-(1/2) 〗(ln⁡〖2π+lnσ_t^2+u_t^2 〗)
جاییکه Θ={μ, ω,α,β} پارامتر بردار مدل GARCH-N هستند. از آنجایی که در بسیاری از مطالعات زیان ریالی مربوطه (VaR) بصورت VaR روزانه محاسبه می‌شود، بصورت تجربی می‌دانیم که بازدهی روزانه متوسط در مقایسه با انحراف معیار آن بسیار کم است و درنتیجه VaR مربوطه یا «VaR – نسبی» بسیار نزدیک به VaR- صفر می‌باشد. در مطالعه هانگ و همکاران (2008) از VaR- صفر استفاده شده زیرا آن برای شرایط ریسکی که معاملگران با آن مواجه هستند واقعی‌تر است. جوریون166(2000)، VaR- صفر بر پایه توزیع نرمال را بصورت زیر تعریف می‌نماید.
(3-26) 〖VaR〗_t^N=Z_c σ ̂_t+μ
Zc بیانگرد درصد سمت چپ c برای توزیع نرمال استاندارد است.
همچنین:
(3-27) 〖VaR〗_(t+1,p)=μ_(t+1)+σ_(t+1) Φ^(-1) (p)

که Φ^(-1) کوانتایل توزیع نرمال استاندارد و μ_(t+1) و σ_(t+1) میانگین و انحراف معیار شرطی دوره t+1 است(همان).

ب) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع تی- استیودنت
با توجه به ویژگی‌های غیرنرمالی بسیاری از داده‌های مالی، توزیع تی-استیودنت رایج‌ترین توزیع برای تفسیر ویژگی‌های دم پهن توزیع‌های آنها می‌باشد. بنابراین بولرسلو(1986) از توزیع تی-استیودنت برای توزیع شرطی مدل GARCH استفاده نمود. این توزیع نشان دهنه دامنه پهن‌تر و کشیدگی بیشتر نسبت به توزیع نرمال است. با درنظر گرفتن معادله واریانس و میانگین شرطی تابع لگاریتم مدل GARCH-t بصورت زیر محاسبه می‌شود.
(3-28) L(├ r_t ┤|Θ)=∑_(t=1)^T▒〖ln⁡〖((Γ ((ν+1))/2)/(√((ν-2)π) Γ(ν)/2))〗-(1/2) 〗 lnσ_t^2-((ν+1)/2)ln[1+(u_t^2)/(ν-2)]

جاییکه Θ={μ, ω,α,β} پارامتر بردار مدل GARCH-N هستند. معادله VaR-t بصورت زیر می‌باشد.
(3-29) 〖VaR〗_t^T=t_(c,v) σ ̂_t+μ
و همچنین
(3-30) 〖VaR〗_(t+1,p)=μ_(t+1)+σ_(t+1) √((υ-2)/υ) F^(-1) (p)

〖 F〗^(-1) کوانتایل توزیع تی-استیودنت با درجه آزادی بزرگتر از 2 است.

ج) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع GED
پولیتیز (2004) جهت نرمال‌سازی و تبدیل تثبیت واریانس یک مدل ARCH(p) زیر را پیشنهاد داد
(3-31) r_t=z_t √(α+∑_(i=1)^p▒〖α_i r_(t-i)^2 〗)

در معادله فوق Zt دارای i.i.d N(0,1). است. تحت فروض ARCH(P)، باقیمانده‌های می‌تواند بصورت زیر نوشته شود.
(3-32) z ̂_t=r_t/√(α ̂+∑_(i=1)^p▒〖α ̂_i r_(t-i)^2 〗)

که در آن α ̂,α ̂_1, α ̂_2,… تخمین‌های غیرمنفی از ,α_1,α_2….هستند. و همچنین Z ̂_t باید مشابه i.i.d N(0,1). تحت فروض ARCH رفتار کند. پولیتیز جهت استیودنت‌سازی بازدهی یک نرخ تجربی را با اضافه نمود r_t^2 به سمت راست معادله فوق بصورت زیر
(3-33) w ̂_t=r_t/√(α ̂+α ̂_0 r_t^2+∑_(i=1)^p▒〖α ̂_i r_(t-i)^2 〗)
در آورد.
همچنین تخمین‌زن r_t=w_t √(α+α_0 r_t^2+∑_(i=1)^p▒〖α_i r_(t-i)^2 〗) پس از برخی دستکاری‌های جبری بصورت زیر بازنویسی می‌شود.
(3-34) r_t=u_t √(α+∑_(i=1)^p▒〖α_i r_(t-i)^2 〗)
که u_t=w_t/√(1-α_0 w_t^2 ) و همچنین u_t باعث می‌شود که شکل ARCH ضمنی بصورت معادله فوق باشد. تابع چگالی f(u_t;α_0,l) تحت عنوان توزیع GED نامیده می‌شود. در واقع تابع چگالی f(ε) بصورت زیر است.
(3-35) f(ε)=(k*exp⁡(-1/2 |ε/λ|^k))/(λ*2^[(k+1)/k] Γ(1/k))
تابع لاگاریتم درستنمایی GARCH-GED به شکل زیر می‌باشد.
(3-36) L(├ r_t ┤|Θ)=∑_(t=1)^T▒〖-1/2 [3.ln⁡(l+α_0 u_t^2 )+(u_t^2)/(l+α_0 u_t^2 )+ln2π+2ln⁡(Φ(α_0^(-1/2) )-Φ(〖-α〗_0^(-1/2) ))] 〗

جاییکه Θ={μ, ω,α,β,α_0 } پارامتر بردار مدل GARCH-GED هستند. معادله VaR-GED بصورت زیر می‌باشد(بولرسلو(1986).
(3-37) 〖VaR〗_t^GED=X_(c,α_0 ) σ ̂_t+μ

3-3-5 زنجیره مارکوف
زنجیره مارکوف، سیستم ریاضی است که انتقالات از یک حالت به حالت دیگر در آن به صورت زنجیره‌وار صورت می‌گیرد و تعداد حالات ممکن، قابل شمارش و محدود است. این زنجیره، فرآیند تصادفی بدون حافضه می‌باشد. به این معنی که حالت بعدی فقط به حالت جاری و نه به کل حالت‌های گذشته بستگی دارد. بطور کلی زنجیره مارکوف بصورت زیر توصیف می‌شود: مجموعه حالت‌های S را درنظر بگیرید. فرایند در یکی از حالت‌ها آغاز شده و بطور متوالی از یک حالت به حالت دیگر حرکت می‌کند. هر حرکت مرحله نامیده می‌شود. اگر زنجیره در حال حاضر در حالت i باشد در این صورت زنجیره در مرحله بعدی به حالت j با احتمال pij حرکت می‌نماید. احتمالات pij، احتمالات انتقال نامیده می‌شود(سارنج، 1391).
بطور کلی زنجیر مارکوف فرایند تصادفی گسسته (زمان گسسته) با ویژگی مارکوف می‌باشد. اغلب واژه زنجیره مارکوف به منظور فرآیند مارکوفی که فضای حالت گسسته (محدود یا قابل شمارش) دارد بکار می‌رود. فرآیند تصادفی گسسته زمانی به این معنی است که سیستم در هر مرحله در حالت معینی است و حالات بصورت تصادفی میان مراحل در حال تغییر می‌باشند. مراحل اغلب بصورت زمان نشان داده می‌شوند ولی می‌توانند بصورت فاصله فیزیکی یا هر اندازه گسسته دیگر نیز باشند.
ویژگی مارکوف بیان می‌کند که توزیع احتمال شرطی سیستم در مرحله بعد (و درواقع در تمام مراحل آتی) با توجه به حالت فعلیش، تنها به حالت جاری سیستم و نه به حالت سیستم در مراحل قبلی وابسته می‌باشد. از آنجایی که سیستم بصورت تصادفی تغییر می‌کند، بطور کلی غیرممکن است که حالت دقیق سیستم در آینده پیش‌بینی گردد. با وجود این، ویژگی‌های آماری سیستم در آینده را می‌توان پیش‌بینی نمود. مجموعه‌ای از همه حالات و احتمالات انتقال به طور کامل زنجیره مارکوف را مشخص می‌نمایند. طبق قرارداد فرض می‌گردد که همه حالات ممکن و انتقالات در تعریف فرآیندها وارد شده‌اند و بنابراین همیشه مرحله بعدی وجود داشته و فرآیند ببرای همیشه ادامه می‌یابد. زنجیره مارکوف دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی X1، X2، X3 … با ویژگی مارکوف و با توجه به حالت فعلی است که حالات آتی و گذشه مستقل می‌باشند.
(3-35) P(X_(n+1)=x│X_1=x_1, X_2=x_2…X_n=x_n )=P(X_(n+1)=x│X_n=x_n )
ارزش محتملX_i مجموعه قابل شمارش s را تشکیل می‌دهد که فضای حالت زنجیره نامیده می‌شود.

3-3-5-1 احتمالات انتقال
در زنجیره مارکوف، احتمال رفتن از رژیم یا حالتی به رژیم یا حالت دیگر احتمال انتقال نامیده می‌شود.
فرض می‌کنیم که دو حالت ، که با متغیر پنهان ، نشان داده می‌شود، وجود دارد. این متغیر، دو ارزش را بسته به حالت اقتصاد اتخاذ می‌نماید، 1 و 2. انتقال میان حالت‌ها تحت فرآیند مارکوف مرتبه اول به‌صورت زیر می‌باشد (همیلتون (1989)):
(3-38)
احتمالی است که اقتصاد در زمان از حالت 1 (یا 2) به حالت 2 (یا 1) سوئیچ می‌نماید. مرسوم است که این احتمالات انتقال را در ماتریس خلاصه نماییم:
ماتریس احتمال انتقال
در ابتدا فرض می‌گردد که احتمال انتقال میان رژیم‌ها ثابت می‌باشد. بنابراین، احتمال انتقال در طول زمان ثابت بوده و با و همانند دو پارامتر برخورد خواهد شد و یا برای تعریف احتمال انتقال رژیمی از تابع لوجستیک استفاده خواهد شد. ضعف مدل با احتمالات انتقالی ثابت این است که مدت زمان‌های مورد انتظار رونق‌ها و رکودها می‌توانند متفاوت باشند ولی مجبورند که در طول زمان ثابت باشند.

3-3-5-2 تابع لوجستیک
تابع لوجستیک مانند احتمالات، همیشه ارزش‌های بین صفر و یک را اتخاذ می‌نمایند:
(3-39)
نمودار این تابع در شکل (3-3) نشان داده شده است(همان):

شکل (3-3) تابع لوجستیک با z بر روی محور افقی و f(z) بر روی محور عمودی

تابع لوجستیک مفید است زیرا می‌تواند ارزشی از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت به‌عنوان ورودی اتخاذ نموده ولی خروجی محدود میان صفر و یک بدهد. متغیر نماینده مجموعه متغیرهای مستقل است در حالی که نماینده احتمال پیامد خاص با توجه به مجموعه متغیرهای توضیح‌دهنده می‌باشد. متغیر معمولاً به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(3-40)
تابع لوجستیک شیوه مفیدی برای توصیف روابط میان یک یا چند متغیر مستقل و متغیر واکنش جفتی است که به‌‌صورت احتمال بیان شده و فقط دو ارزش دارد. تابع لوجستیک احتمال انتقال متغیر در زمان با متغیرهای اطلاعاتی که (a تعداد متغیرهای برون‌زا) است به‌صورت زیر می باشد:
(3-41)
(3-42)
فیلاردو (1994) ذکر نمود که این شکل از توابع، احتمالات انتقال را به فاصله ]1و0[ محدود می‌نماید.

(3-43)
و
(3-44)
احتمالات انتقال، غیرمنفی و محدود بین صفر و یک است به این معنی که علامت‌های و تحت کنترل علائم و می‌باشند. برای ، سطح بالای در به این معنی است که بازده‌های سهام با احتمال بیشتری در رژیم 1 باقی می‌ماند. برعکس، به این معنی است که سوئیچ به حالت نوسان‌پذیری بالا با احتمال بیشتری به دنبال سطح بالای خواهد بود(همان).
مطابق با تابع لوجستیک، احتمال انتقال ثابت به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(3-45)
(3-46)
در این حالت برای تعیین احتمال انتقالات رژیمی باید پارامترهای و تخمین زده شوند. مزیت استفاده از تابع لوجستیک و تخمین پارامترهای و به جای تخمین مستقیم پارامترهای و این است که در تابع لوجستیک پارامترهای و می‌توانند از تا تغییر نمایند در صورتی که در حالت دوم باید پارامترهای و را در فرآیند بهینه‌سازی بین 0 تا 1 محدود نماییم. بنابراین برای کارایی بیشتر از تابع لوجستیک استفاده می‌کنیم.

3-3-5-3 مدت زمان مورد انتظار
احتمالات انتقالی همچنین مدت زمان مورد انتظاری که انتظار می‌رود سیستم در رژیم معینی باشد را تعیین می‌نماید.
اگر را مدت زمان رژیم تعریف نماییم، در این‌‌صورت احتمال دوره ماندن در رژیم عبارت است از:
(3-47)
بنابراین مدت زمان مورد انتظار رژیم توسط معادله ذیل بدست می‌آید(همان):
(3-48)
که

3-3-5-4 احتمالات انتقال متغیر در زمان
با اجازه دادن به ماتریس انتقال که وابسته به متغیر باشد، ماتریس انتقال متغیر در زمان به‌صورت زیر فرموله می‌گردد:
(3-49)
در این معادله متغیر(های) اطلاعاتی است که تکامل تدریجی رژیم نامشهود به آن وابسته خواهد بود.

3-3-5-5 مدل‌های رژیمی سوچینگ
پرتفوی ریسکی بنگاه‌ها یا یک اقتصاد در طول زمان ثابت نمی‌ماند، تغییر رویدادهای سیستماتیک و غیرسیستماتیک ممکن است ریسک مالی و تجاری بنگاه‌ها را تغییر بدهد. در اینجا این استدلال می‌شود که این ممکن است بدلیل انتقالات ناپیوسته در نوسانات بازدهی مشتق شود. تغییر در رژیم بصورت قابل پیش‌بینی درنظر گرفته شود بلکه به عنوان یک رویداد تصادفی درنظر گرفته می‌شود. تاثیر این انتقالات ریسک باید در محاسبه تحلیل ریسک و فرایند پیش‌بینی توسط مدیران ریسکی در بررسی ریسک بازار و تخصیص سرمایه و بوسیله قانون‌گذاران در تعریف الزامات سرمایه‌ای درنظر گرفته شود. در ادامه به معرفی انواع مدل‌های رژیم سوئیچینگ پرداخته می‌شود(کیم167 1994).
– مدل‌های رژیم سوئیچینگ ساده (SSRM)
یک مدل رژیم سوئیچینگ ساده می‌توان بصورت زیر نوشت:
(3-50) R_t=μ(s_t )+σ(s_t)ε_t
در رابطه فوق R_t=ln⁡(P_t/P_(t-1) ), ε_t~IIN(0,1) و P_t قیمت سهام می‌باشد. s_t یک زنجیره مارکوف با k حالت و ماتریس احتمال انتقال Π اگر k=2 داریم:
(3-51) R_t={█(μ_0+σ_0 ε_t if〖 s〗_t=0 @μ_1+σ_1 ε_t if〖 s〗_t=1)┤
و ماتریس انتقال برابر است با
(3-52) Π=[■(p&1-p@1-q&q)]
پارامتر p وq احتمالاتی هستند که نوسانات در همان رژیم باقی می‌مانند. در مدل میانگین و واریانس بازدهی‌ها فقط به عنوان نتیجه یک دوره، رویداد گسسته تغییر می‌کنند.
مدل‌های رژیم سوئیچنگ که توسط کیم (1994) و نوردن و اسکالر168 (1993) برای بازدهی بازار سهام بکار برده شد ، فرض می‌کند که بازدهی‌های دارای ویژگی ترکیبی از توزیع‌ها می‌باشند. این رویکرد که با ترکیب دو توزیع نرمال توسط مورگان پیشنهاد شده به عنوان یک متودولوژی جدید برای تخمین ارزش در معرض ریسک دشوار می‌باشد. در روش مورگان متغیرهای تصادفی انتقال ناپیوسته یک متغیر برنولی است و فرض گردیده که s_t دارای دو ارزش 0 و 1 به ترتیب با احتمالات π و (1- π) می‌باشد. ارزش آتی این متغیر (s_(t+1)) بستگی به ارزش s_t دارد. در روش مورگان توزیع بازدهی‌های آینده صرفاً بستگی به احتمالات غیرشرطی زنجیره مارکوف دارد:
(3-53) Π=[■((1-q)/(2-p-q)@(1-p)/(2-p-q))]
مزیت استفاده از زنجیره مارکوف در مقابل مشخصه برنولی، برای تغییر ناپیوسته تصادفی این است که زنجیره مارکوف اجازه می‌دهد تا اطلاعات شرطی در فرآیند پیش‌بینی استفاده بشود. منافع این رویکرد عبارت است:1) انطباق و تشریح سری زمانی 2) تفسیر اثر خوشه شناخته شده 3) پیش‌بینی بهتر در مقایسه با ترکیبی از مدل توزیع‌ها، زیرا مدل‌های رژیم سوئیچینگ یک توزیع پیش‌بینی شرطی زمانی را نسبت به توزیع پیش‌بینی‌شده غیر شرطی تولید می‌کنند.
برای محاسبه VaR تحت این مدل ساده، ضروری است که برای تعیین ارزش بحرانی از توزیع شرطی استفاده شود که چگالی تجمعی آن a است. با فرض k=2 ارزش بحرانی (و همچنین VaR ) بصورت زیر تعریف می‌شود:
(3-54) a=∑_(S_(t+h)=0,1)▒〖pr(S_(t+h)│I_t ) 〗 ∫_(-∞)^VaR▒〖N(x,μ(S_(t+h) ), σ^2 (S_(t+h)│I_t )dx〗
در رابطه فوق N توزیع نرمال است، It اطلاعات موجود در دوره t و Pr⁡(S_(t+h)│I_t )) از فیلتر هامیلتون (1994) بدست آمده است. 〖 μ(s〗_(t+h))و 〖σ^2 (s〗_(t+h)) میانگین و واریانس بصورت:
(3-55) μ(0)=μ_0, μ(1)=μ_1, σ^2 (0)=σ_0^2 and σ^2 (1)=σ_1^2
– مدل بتای رژیم سوئیچینگ (SRBM)
مدل ساده فوق یک رابطه صریحی را بین بازدهی سهام و بازدهی شاخص بازار فراهم نمی‌کند. مدل بتای رژیم سوئیچینگ (SRBM) بر اساس مدل بازار مرتب می‌گردد است بگونه‌ای که بازدهی یک سهام نوعی i بوسیله رژیم سودیچینگ شاخص بازار و تغییرات رژیمی ریسک خاصی از دارایی مشخص می‌شود. این مدل بصورت زیر نوشته می‌شود:
(3-56) {█(〖R_mt=μ〗_m (s_t )+σ_m (s_t ) ε_t, ε_t~IIN(0,1) @〖R_it=μ〗_i (s_it )+β_i (s_t,s_it ) R_mt+σ_i (s_it ) ε_ti, ε_it~IIN(0,1))┤
در چنین چارچوبی میانگین شرطی دارایی ریسکی بوسیله پارامتر (μ_i (s_it)) داده شده بعلاوه بار عاملی169170 β_i (〖s_t,s〗_(i,t)) بر میانگین شرطی عامل. بار عاملی برای جبران ریسک دارایی است که بستگی به عامل: کواریانس بالاتر متقاضی صرف ریسک بالاتر است. واریانس هست مجموع واریانس بازاری شاخص وزن‌دهی شده بوسیله بار عامل و واریانس ریسک ویژه.
برای محاسبه VaR با فرض k=2 داریم:
(3-57) a=∑_(S_(t+h)=0,1)▒∑_(S_(i,t+h)=0,1)▒〖pr(S_(t+h), S_(i,t+h)│I_t ) 〗
×∫_(-∞)^VaR▒〖N(x,μ(S_(t+h),S_(i,t+h) ), σ^2 (S_(t+h), S_(i,t+h)│I_t )dx〗

N معادل توزیع نرمال با:
(3-58) μ(S_(t+h),S_(i,t+h) )=μ_i (S_(i,t+h) )+β_i (S_(t+h),S_(i,t+h) ) μ_m (S_(t+h) )
و واریانس
(3-59) σ^2 (S_(t+h),S_(i,t+h) )+β_i^2 (S_(t+h),S_(i,t+h) ) σ_m^2 (S_(t+h) )+σ_i^2 (S_(t+h))
این مدل صرفاً یک دارایی را درنظر می‌گیرد اما آن را می‌توان به یک پرتفوی تعمیم داد.
– مدل رژیم سوئیچینگ چندمتغیره (MSRM)
نسخه تعمیم‌یافته‌ای از SRBM با درنظر گرفتن N دارایی ریسکی بصورت زیر نوشته می‌شود.
(3-60) {█(〖R_mt=μ〗_m (s_t )+σ_m (s_t ) ε_t, ε_t~IIN(0,1) @〖R_1t=μ〗_1 (s_1t )+β_1 (s_t,s_1t ) R_mt+σ_1 (s_1t ) ε_1t, ε_1t~IIN(0,1)@〖R_2t=μ〗_2 (s_2t )+β_i (s_t,s_2t ) R_mt+σ_2 (s_2t ) ε_2t, ε_2t~IIN(0,1)@.@.@.@〖R_Nt=μ〗_N (s_Nt )+β_i (s_t,s_Nt ) R_mt+σ_N (s_Nt ) ε_Nt, ε_Nt~IIN(0,1) )┤

در رابطه فوق s_(jt, j=1, ……………, N) زنجیره مارکوف مستقل است و ε_(jt, j=1, ……………, N) بطور مستقل توزیع شده اند.
با استفاده از این رویکرد ما قادر هستیم همبستگی بین دارایی‌های مختلف را بحساب بیاوریم. در حقیقت اگر ما دو دارایی داشته باشیم و فرض K=2 درنظر بگیریم. برای مثال s_t=s_1t=0 & s_2t=1 ماتریس وارانس-کواریانس بین این دو دارایی برابر خواهد بود با:
(3-61) ∑▒〖(0,0,1)〗=[■(β_1^2 (0,0) σ_m^2 (0)+σ_1^2 (0)&β_1 (0,0) β_2 (0,1)+σ_m^2 (0)@β_2 (0,1) β_1 (0,0)+σ_m^2 (0)&β_2^2 (0,1) σ_m^2 (0)+σ_2^2 (1) )]
همبستگی بین دارایی‌های مختلف بوسیله پارامترهای β و واریانس بازار داده شده است.
در این مدل، کواریانس بین دارایی 1 و دارایی 2 بستگی به این داد که تا چه حد هر دارایی از طریق فاکتور عاملی با شاخص بازار در ارتباط است.
برای محاسبه VaR با N دارایی کافی از رویکرد بالا استفاده کنیم. با فرض دو دارایی و K=2 ما داریم:
(3-62) a=∑_(S_(t+h)=0,1)▒∑_(S_(1,t+h)=0,1)▒∑_(S_(2,t+h)=0,1)▒〖pr(S_(t+h), S_(1,t+h),S_(2,t+h)│I_t ) 〗×∫_(-∞)^VaR▒〖N(x,w ́μ(S_(t+h),S_(1,t+h),S_(2,t+h) ), w ́∑▒(S_(t+h), S_(1,t+h),S_(2,t+h))w│I_t ) dx〗
در رابطه فوق W بردار درصد ثروت سرمایه‌گذاری شده در دو دارایی و μ(S_(t+h),S_(1,t+h),S_(2,t+h) ) بردار بازدهی متوسط دارایی‌های ریسکی است که بر اساس متوسط بازدهی دارایی‌ها نوعی (فردی) است که قبلاً در SRBM توزضیح داده شد. برای مثال بادرنظر گرفتن s_t=s_1t=0 & s_2t=1 ما داریم:
(3-63) μ(0,0,1)={█(μ_1 (0)+β_1 (0,0)μ_m (0)@μ_2 (1)+β_1 (0,1)μ_m (0))┤
با این حال، MSRM نیازمند تخمین شماری از پارامترهایی است که بصورت نمایی همراه با تعداد دارایی‌ها رشد می‌کنند. در حقیقت تعداد رژیم‌های احتمالی تولید شد بوسیله این مدل برابر با 2N+1 است.
– مدل سوئیچینگ عاملی (FSRM)
یک راه‌حل ممکن جهت حل مسئله تاثیر پذیری MSRM از ریسک ناشی از درنظر گرفتن توزیع به صورت IIN(0,σ_i^2) و تشخیص ریسک سیستماتیک با بیش از یک منبع ریسک، مدل سوئیچینگ عاملی است. این رویکرد مترادف با مدل تئوری قیمت‌گذاری آربیتراژی است که فاکتورهای ریسکی بوسیله فرآیند رژیم سوئیچینگ مشخص می‌شوند. این مدل بصورت زیر نوشته می‌شود:
(3-64) {█(F_jt=a_j (s_jt )+θ_j (s_jt ) ε_jt ε_jt~IIN(0,1)@〖R_1t=μ〗_1+∑_(j=1)^g▒〖β_1j (s_jt ) F_jt 〗+σ_1 ε_1t, ε_1t~IIN(0,1)@〖R_2t=μ〗_2+∑_(j=1)^g▒〖β_2j (s_jt ) F_jt 〗+σ_2 ε_2t, ε_2t~IIN(0,1)@.@.@.@.@〖R_Nt=μ〗_N++∑_(j=1)^g▒〖β_Nj (s_jt ) F_jt 〗+σ_N ε_Nt, ε_Nt~IIN(0,1) )┤

در مدل فوق F_jt ارزش فاکتور j در زمان t(j=1,2……g)، β_i (s_jt) بار عامل دارایی i بر روی فاکتور j و s_jt زنجیره مارکوف است که مشخصه فاکتور j است. این مدل صرفه‌جو تر است، در حقیقت معرفی یک دارایی اضافی به این معنی است که فقط g+2 پارامتر برای تخمین نیاز است.
این مدل زمانی معتبر است که تعداد دارایی‌ها در پرتفوی بالا باشد و ریسک آنها با تنوع‌سازی حذف گردد.
با استفاده از این رویکرد ماتریس واریانس-کواریانس بصورت زیر می‌باشد:
(3-65 )
Var پرتفوی برای N دارایی با فرض K=2 عبارت است از:
(3-66) a=∑_(S_(t+h)=0,1)▒〖pr(S_(t+h)│I_t ) 〗 ∫_(-∞)^VaR▒〖N(x,w ́μ(S_(t+h) ), w ́∑▒(S_(t+h))w│I_t ) dx〗
و μ(S_(t+h) ) بردار بازدهی متوسط دارایی‌های ریسک که بصورت:
(3-67) μ(S_(t+h) )=[█(μ_1+β_1 (S_(t+h))α(S_(t+h))@μ_2+β_2 (S_(t+h))α(S_(t+h))@█(…@μ_N+β_N (S_(t+h))α(S_(t+h))))]

3-3-5-6 مدل آرچ سوئیچینگ مارکوف (SWARCH)
همیلتون و سوسمل (1994) تصریحی را ارایه نمودند که پارامترهای فرآیند ARCH در آن می‌توانند تغییرات ناگهانی داشته باشند. چگالی به شرط ارزش‌های تأخیری خودش و نیز ارزش جاری متغیر حالت و ارزش قبلی آن به‌صورت زیر می‌باشد:
(3-68)
بنابراین، شیوه‌های تدوین شده توسط همیلتون (1989) می‌تواند برای ارزیابی تابع درست‌نمایی داده‌های مشاهده شده مورد استفاده قرار گرفته و استنباط‌هایی درباره رژیم‌های مشاهده نشده داشته باشیم.
آن‌ها فرض نمودند که سری زمانی از فرآیند خودرگرسیون مرتبه اول به‌صورت زیر پیروی می‌کند:
(3-69)
آن‌ها تلویحاً فرض نمودند که میانگین شرطی وابسته به رژیم نیست. این فرض تخمین را ساده‌تر نمود و اجازه می‌دهد که تنها بر روی تغییر زمانی فرآیند واریانس شرطی متمرکز گردیم.
در رویکرد همیلتون و سوسمل (1994) برای واریانس شرطی، مدل‌سازی پسماند به‌صورت زیر می‌باشد:
(3-70)
که از فرآیند استاندارد پیروی می‌نماید:
(3-71)
که دنباله‌ای با توزیع یکسان و مستقل با میانگین صفر و واریانس واحد است و از فرآیند به‌صورت زیر پیروی می‌نماید:
(3-72)
در معادله فوق، عامل واریانسی ثابتی است که به مقیاس نمودن فرآیند ARCH کمک می‌نماید. این عامل به متغیر حالت بستگی دارد. حرکت از یک حالت به حالت دیگر، به‌صورت تغییر در مقیاس فرآیند نوسان‌پذیری نمایش داده می‌شود. در این تصریح، مقیاس فرآیند نوسان‌پذیری به‌گونه‌ای اعمال می‌گردد که و برای ، می‌باشد. از این‌رو، حالت 1 به‌صورت حالت نوسان‌پذیری پایین دیده شده و برای ، اندازه نوسان‌پذیری در را نسبت به حالت‌ نوسان‌پذیری پایین نشان می‌دهد. 4 معادله فوق مدل سوئیچینگ رژیم را توصیف می‌کنند که k تعداد حالت‌ها و تعداد تأخیرهای در فرآیند آرچ می‌باشد. با تصریح معادلات 7-10، مقیاس‌بندی شده از فرآیند استاندارد پیروی می‌نماید، بنابراین زمانی که این فرآیند در رژیم است در ضریب ثابت ضرب می‌گردد و زمانی که در رژیم است در ضریب ثابت ضرب می‌گردد و به همین ترتیب بنابر این ایده، مدل‌سازی تغییرات رژیمی به‌صورت تغییرات در مقیاس فرآیند می‌باشد. توجه نمایید زمانی که است، مدل به کاهش می‌یابد.
بنابراین واریانس شرطی پسماند عبارت است از:
(3-73)
در این مدل نیز فرض می‌گردد حالت نوسان‌پذیری از فرآیند مارکوف مرتبه اول پیروی می‌نماید. تابع درست‌نمایی لگاریتمی نمونه به‌صورت زیر می‌باشد:
(3-74)
که می‌توان آن را با توجه به پارامترهای جامعه و محدودیت‌های و برای به‌صورت عددی حداکثر نمود.
تخمین مدل با استفاده از رویکرد حداکثر درست‌نمایی (همیلتون، 1989؛ همیلتون و سوسمل، 1994) انجام می‌گیرد. احتمالات فیلتر شده و هموار شده نیز با استفاده از الگوریتم‌های همیلتون (1989) و کیم (1994) محاسبه می‌گردند.
کای171 (1994) نیز مورد خاصی از مدل را بررسی نمود که تنها عرض از مبدأ معادله واریانس وابسته به رژیم بوده و سیستم را دو رژیمی فرض می‌نماید.

3-3-5-7 مدل گارچ سوئیچینگ مارکوف (MSGARCH)
هم ‌کای (1994) و هم همیلتون و سوسمل (1994) استدلال نموده‌اند که مدل‌های گارچ سوئیچینگ رژیمی، به‌خاطر وابستگی واریانس شرطی به کل تاریخ گذشته داده‌ها در مدل گارچ، اساساً غیرمنعطف و غیرممکن می‌باشند. در واقع توزیع در زمان t، به شرط رژیم و اطلاعات موجود ، به‌طور مستقیم به و نیز به‌طور غیرمستقیم به وابسته است. به عبارت دیگر، واریانس شرطی در زمان به واریانس شرطی در زمان وابسته است و واریانس شرطی در زمان نیز به رژیم در زمان وابسته بوده و به همین ترتیب در نتیجه واریانس شرطی در زمان به کل دنباله رژیم‌ها تا زمان وابسته می‌باشد. از آن‌جایی که رژیم‌ها غیرقابل مشاهده هستند، باید تابع درست‌نمایی نمونه در طول همه مسیرهای ممکن تجمیع گردند (انتگرال بگیریم). ولی تعداد مسیرهای رژیم ممکن به‌صورت نمایی با زمان رشد می‌نمایند. به‌عبارت دیگر، برای مشاهده ام در رژیم ، جزء از تابع درست‌نمایی وجود دارد. این مسئله برای اندازه نمونه‌های بزرگ، تخمین را بسیار مشکل و نشدنی می‌کند. برای نشان دادن مسئله وابستگی مسیر، اجازه دهید که
(3-75)

که و زنجیره مارکوف با فضای حالت حالته می‌باشد. با توجه به و جایگزینی بازگشتی در معادله بالا، داریم(همان):
(3-76)
که نشان می‌دهد به کل تاریخ رژیم‌ها وابسته است. همان‌گونه که ذکر شد، سیر تحول تابع درست‌نمایی برای نمونه‌ای با اندازه مستلزم تجمیع172 در طول همه مسیر رژیم (مشاهده نشده) ممکن است که عملاً تخمین معادله بالا را نشدنی می‌کند.
برای حل مشکل مذکور رویکرد کلاسن را مورد توجه قرار می‌دهیم.
مدل GARCH(1,1) سوئچینگ رژیمی کلاسن به صورت زیر توصیف می‌گردد:
(3-77) V_(t-1) {├ ε_t ┤| S_t }=ω_st+a_st ε_(t-1)^2+β_st E_(t-1) [V_(t-2) {├ ε_(t-1) ┤| S_(t-1) }├|s_t ┤]
معادل
(3-78) 〖h_t^((i))=ω〗_i+a_i ε_(t-1)^2+β_i E_(t-1) {h_(t-1)^((i))│s_t }
h_tبرابر با σ_t^2 است.
در معادله فوق امید ریاضی سمت راست معادله در طول مسیر رژیم s_(t-1) به شرط اطلاعات I_(t-1) و s_t می‌باشد. توجه نمایید که این رویه معادل تجمیع فقط رژیم منفرد s_(t-1) می‌باشد و بنابراین V_(t-2) {├ ε_(t-1) ┤| S_(t-1) } به طور ضمنی مستقل از S_(t-2) می‌باشد.
که امید ریاضی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(3-79) E_(t-1) {h_(t-1)^((i))│s_t }=E_(t-1) [V_(t-2) {├ ε_(t-1) ┤| S_(t-1) }├|s_t ┤]=p ̃_(ii,t-1) [(μ_(t-1)^((i)) )^2+h_(t-1)^((i)) ]+p ̃_(ji,t-1) [(μ_(t-1)^((j)) )^2+h_(t-1)^((j)) ]-[p ̃_(ii,t-1) μ_(t-1)^((i))+p ̃_(ji,t-1) h_(t-1)^((j)) ]^2
و احتمالات به صورت زیر محاسبه می‌گردند:
(3-80) p ̃_(ji,t-1)=Pr(s_(t-1)=j│s_t=i, I_(t-1) )=(p_ij Pr(s_(t-1)=j│ I_(t-1) ))/(Pr(s_t=j│ I_(t-1) ) )=(p_ji p_(j,t-1))/p_it
i,j=1,2
مطابق ساختار، V_(t-1) {├ ε_t ┤| S_t } فقط به رژیم واریانس جاری s_t وابسته است. از این رو هیچ مسئله وابستگی مسیری وجود ندارد. برای تصریح واریانس شرطی، محدودیت‌های را برای اطمینان از مثبت بودن V_(t-1) {├ ε_t ┤| S_t } برای همه tها درست مثل گارچ تک رژیمی تحمیل می‌نماییم(همیلتون و سوسمل، 1994).

3-3-6 مدل ARDL
مدل‌ها با وقفه توزیعی، شکل عمومی‌تری از مباحثی است که بطور کلی بصورت ARDL(p,q) در قالب فرمول زیر می‌باشد.
(3-81) Y_t=μ+∑_(j=1)^p▒〖γ_j Y_(t-j) 〗+∑_(j=0)^q▒〖β_j X_(t-j) 〗+u_t
که در آن u_t جمله خطلا است که تمام فروض کلاسک را تامین می‌کند. برای سادگی مدل ARDL(1,1) را درنظر بگیرید:
(3-82) Y_t=μ+γ_1 Y_(t-1)+β_0 X_t+β_1 X_(t-1)+u_t
مدل فوق را می‌توان با استفاده از عملگرهای وقفه به صورت زیر نوشت:
(3-83) (1-γ_1 LY_t )=μ+(β_0+β_1 L)X_t+u_t
C(L) Y_t=μ+B(L)X_t+u_t
C(L)=1-γ_1 L و B(L)=β_0+β_1 L می‌باشد که برای مدل ARDL(p,q) عبارتند از:
(3-84) C(L)=1-γ_1 L-γ_2 L^2-…γ_P L^P
B(L)=β_0+β_1 L+B_2 L^2-…B_q L^q
استفاده عمده مدل ARDL(1,1) در بررسی روابط بلندمدت آن است.
در بلندمدت (وضعیت تعادلی) متغیرها به یک وضعیت ایستا و بدون تغییر می‌رسند، لذا در تعادل (بلندمدت) روابط زیر برقرار است:
(3-85) Y_t=Y_(t-1)=…=Y_(t-P)=Y^*
X_t=X_(t-1)=…=X_(t-P)=X^*
اگر روابط فوق را در مدل ARDL قرار دهیم، رابطه تعادلی بین X و Y به صورت زیر بدست می‌آید:
(3-86) Y^*=μ+〖(γ〗_1+…..+γ_P)Y^*+(β_0+β_1+…+β_q)X^*
〖→Y〗^*=μ/(1-(γ_1+γ_2+…+γ_p))+((β_0+β_1+…+β_q))/(1-〖(γ〗_1+…..+γ_P)) X^*
در بلندمدت، مقادیر جمله خطا صفر است. جمله خطا بیانگر انحراف از تعادل است و چون در بلندمدت در تعادل قرار داریم، لذا خطای تعادل یا انحراف از تعادل برابر با صفر است.
طبق روابط فوق اثر بلندمدت یا ظریب تکاثری بلندمدت برابر است با:
(3-87) (∆Y^*)/(∆X^* )=(β_0+β_1+…+β_q)/(1-〖(γ〗_1+…..+γ_P))
بنابراین بایستی در بلندمدت رابطه زیر برقرار باشد:
(3-88) ∆Y^*=(β_0+β_1+…+β_q)/(1-〖(γ〗_1+…..+γ_P)) ∆X^*
همچنین برای مدل ARDL(1,1) اثرات آنی و تاخیری بصورت زیر می‌باشد:
اثر آنی (∆Y_t)/(∆X_t )=α_0=β_0
اثر تاخیری (∆Y_t)/(∆X_(t-j) )=α_j=β_0
برای تحلیل بلندمدت و مقایسه تعادل‌ها، رابطه فوق مناسب است اما وقتی تعادل موجود به هم می‌خورد تا زمان برقراری تعادل جدید، متغیرها در حال تغییر می‌باشند. بنابراین تغییرات y را می‌توان ناشی از دو عامل دانست:
تغییرات y در زمان t که ناشی از تغییرات x در همان زمان است که برابر با ∆Y_t=β_0 ∆X_t می‌باشد.
تغییرات y در زمان t که ناشی از تصحیح خطای تعادل در دوره قبل است. به عبارتی دیگر y در زمان t به انحراف از تعادل در زمان t-1 واکنش نشان می‌دهد که برابر با ∆Y_t=αu_(t-1)+ε_t است. α ضریب تصحیح عدم تعادل و u_(t-1) انحراف از تعادل در زمان t-1 است. بنابراین کل تغییرات y در زمانt برابر است با :
(3-89) ∆Y_t=β_0 ∆X_t+αu_(t-1)+ε_t

از طرف دیگر می‌دانیم که رابطه تعادلی Y و X در تعادل منجر می‌شود تا u_t صفر شود. اما بدیهی است که معمولاً انحراف از تعادل وجود دارد و متغیرها حول مقادیر تعادلی خود در نوسان هستند و لذا رابطه تعادلی برای دوره t-1 عبارت است از:
(3-90) Y_(t-1)-μ/(1-〖(γ〗_1+…..+γ_P))-(β_0+β_1+…+β_q)/(1-〖(γ〗_1+…..+γ_P)) X_(t-1)=u_(t-1)
بنابراین رابطه فوق بیانگر انحراف از تعادل در دوره t-1 است.
به منظور استخراج رابطه ∆Y_t=β_0 ∆X_t+αu_(t-1)+ε_t ابتدا از مدل ARDL(1,1) شروع می‌کنیم. بدین منظور طرفین را از Y_(t-1) کم کرده و و β_0 X_(t-1) به سمت راست اضافه و کم می‌کنیم:
(3-91) 〖Y_t-Y〗_(t-1)=μ+〖(γ〗_1-1)Y_(t-1)+β_0 〖〖(X〗_t-X〗_(t-1))+(β_0+β_1)X_(t-1)+u_t
∆Y_t=β_0 ∆X_t+〖(γ〗_1-1)[Y_(t-1)-μ/(〖(1-γ〗_1))-(β_0+β_1)/(〖(1-γ〗_1)) X_(t-1) ]+u_t
عبارت داخل کروشه برابر با u_(t-1) است که بیانگر انحراف از تعادل در دوره t-1 می‌باشد. γ_1-1 بیانگر واکنش Y به خطای تعادل در دوره t-1 است. اینضریب نشان‌دهنده تعدیل به سمت تعادل است. با توجه به اینکه γ_1<1 است، لذا ضریب تعدیل γ_1-1<0 است. بنابراین اگر در دوره قبل u_(t-1)<0 باشد، بدان معنا است که انحراف از تعادل منفی است و Y کمتر از سطح تعادلی خود می‌باشد. حال در زمان t بایستی Y افزایش یابد و به سمت مقدار تعادلی خود حرکت کند. چون عبارت داخل کروشه منفی است و ضریب 〖(γ〗_1-1) نیز منفی است، لذا ∆Y_t>0 خواهد بود که نشان‌دهنده افزایش Y در دوره t است. این تغییرا در راستای تصحیح خطای تعادل می‌باشد. به همین دلیل این مدل را مدل تصحیح خطا (173ECM) می‌گویند.

3-4 جمع‌بندی
در این فصل ابتدا مروری بر روند تغییرات متغیرهای مورد مطالعه پرداخته شده است. روند آماری متغیرها نشان می‌دهد که روند نرخ ارز در دوره مورد مطالعه در سه فاز صعودی (تا خرداد 92)، نزولی (اواخر سال 93) و مجدداً صعودی قرار دارد. با نگاهی بر 17 صنعت منتخب مورد مطالعه برای دوره زمانی 31/6/1388 تا 31/6/1393 مشاهده می‌گردد که روند کلی هر کلیه صنایع طی دوره مذکور از روند شاخص کل بورس تبعیت می‌کنند. با این وجود سرعت و شیب شاخص صنایع متفاوت می‌باشد به عنوان نمونه در فاز صعودی میزان رشد گروه محصولات فلزی از نیمه سال 91 تا آذر 92 در حدود 88 درصد بوده و میزان رشد فراورده‌های نفتی برای دوره مشابه نزدیک به 20 درصد می‌باشد. همچنین روند کوتاه‌مدت در کلیه گروه‌ها کاملا متفاوت می‌باشد. به عنوان نمونه در طی دوره مورد مطالعه شاخص صنایع قندو شکر از نوسانات بالایی در مقایسه با شاخص صنایعی نظیر سیمان برخوردار است. ادامه فصل نیز به معرفی مدل‌های مورد استفاده در تحقیق پرداخته است. این مدل‌ها عباتند از مدل ARIMA، 6 مدل خانواده GARCH به همراه 3 تابع توزیع احتمال نرمال، t و GED و همچنین مدل‌های زنجیره مارکوف. علاوه بر مدل‌های فوق به تحلیل رهیافت «ارزش در معرض ریسک» پرداخته و نحوه مدل‌سازی آن در قالب روش‌های پارامتریک خانواده GARCH و مدل‌های زنجیره مارکوف پرداخته شده است. در پایان بخش نیز به معرفی مدل آرچ سوئیچینگ مارکوف و مدل گارچ سوئیچینگ مارکوف پرداخته شده است.

فصل چهارم
تجزیه و تحلیل داده‌ها

4-1 مقدمه
در این فصل بر اساس گام‌های ذکر شده در بخش (1-7) فصل اول به برآورد و مدل‌سازی سری‌های زمانی بازدهی صنایع پرداخته و در نهایت پس از تعیین مدل نهایی، به اندازه‌گیری ریسک صنایع و رتبه‌بندی میزان تاثیرپذیری آنها از نوسانات نرخ ارز پرداخته می‌شود.
پس از استخراج ریسک بازدهی صنایع و رتبه‌بندی آنها بر حسب میزان تاثیرپذیری ریسک هر یک از نوسانات کوتاه‌مدت و بلندمدت در بخش پایانی فصل حاضر به معرفی یک ابزار مالی جدید در مدیریت ریسک نوسانات نرخ ارز تحت عنوان «اوراق مشارکت ارزی قابل تبدیل به سهام» پرداخته می‌شود.

4-2 برآورد و تجزیه و تحلیل نتایج
4-2-1 گام نخست: تخمین مدل ARIMA
در ابتدا بر اساس مبانی نظری، متغیر بازدهی شاخص هر یک از صنایع استخراج شده و پس از بررسی مانایی هر یک، فرآیند مدلسازی ARIMA با استفاده از مراحل سه گانه رهیافت باکس جنکینز آغاز میگردد. در این رابطه ابتدا مانايی سري زماني متغیر بازدهی شاخص صنایع (ln p_t/p_(t-1) ) را بررسي کرده و مرتبه انباشتگي (d) تعيين مي‌شود. شایان ذکر است که در اکثر مطالعات جهت بررسی مانایی سری‌های زمانی صرفاً به آزمون دیکی‌فولر اکتفا می‌شود، با این وجود در صورت وجود همبستگی بین جملات خطا استفاده از این آماره صحیح نمی‌باشد و بایستی از آزمون فلیپس پرون استفاده شود (قنبری و رسولی، 1391). در واقع چنانچه فرض استقلال و هم توزیعی جملات خطا رد شود، جداول محاسبه شده توسط دیکی‌فولر قابل استفاه نمی باشد. به این دلیل فیلیپس و پرون، آزمون دیکی فولر را برای مدل‌هایی که در آنها ضرورتا ε_t به عنوان نوفه سفید شناخته نمی‌شود، تعمیم داده‌اند (همان). علاوه‌بر این آزمون فلیپس پرون برای سری‌های زمانی که دارای روند شکست ساختاری هستند نیز مناسب ارزیابی می‌شود (مرزبان و نجاتی، 1389).
جدول (4-1) نتایج آزمون مانایی بازده شاخص صنایع را بر اساس دو آماره دیکی‌فولر تعمیم‌یافته و فلیپس پرون نشان می‌دهد.

جدول (4-1): آزمون مانایی بازده شاخص صنایع بر حسب آماره دیکی فولر
صنعت
آزمون دیکی‌فولر تعمیم‌یافته
آزمون فلیپس پرون
سرمایه‌گذاری
آماره آزمون
-24.02148
آماره آزمون
-24.93253

ارزش بحرانی آزمون
سطح 1%
-3.435554
ارزش بحرانی آزمون
سطح 1%
-3.435554

سطح 5%
-2.863726

سطح 5%
-2.863726

سطح 10%
-2.567984

سطح 10%
-2.567984
شیمیایی
آماره آزمون
-24.25538
آماره آزمون
-24.61879

ارزش بحرانی آزمون
سطح 1%
-3.435554
ارزش بحرانی آزمون
سطح 1%
-3.435554

سطح

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه ارشد درمورد مدل‌سازی، بازار سهام، رگرسیون، قیمت سهام Next Entries پایان نامه ارشد درمورد مواد غذایی، تاثیرپذیری، اخبار خوب