منبع پایان نامه با موضوع نمونه برداری، روش حداقل مربعات

دانلود پایان نامه ارشد

منبعی باریک باند و پایدار122 در فارفیلد در نظر می گیریم.
و ، به ازای، به ترتیب زوایای سمت و ارتفاع منبع در زمان k می باشند. فرض کنیمبردار هدایت مدل شده (مفروض) می باشد که با آگاهی از جهت منبع و با در نظر گرفتن مکان های مفروض برای المان های آرایه به دست می آید. همچنین فرض کنیمنیز بردار هدایت اندازه گیری شده باشد که با استفاده از داده های دریافتی تخمین زده شده است و هر دو بردار دارای ابعادمی باشند. حال با استفاده از کالیبراسیون می خواهیم با استفاده از بردار هدایت فرضی که با نمادنمایش داده شده است بردار هدایت واقعی را پیدا کنیم.
همان طور که می دانیم بردار هدایت فرضی بردار هدایتی است که هنوز دستخوش خطا نشده است و ما در عمل تنها همین بردار هدایت را داریم. سپس با گذر زمان مکان المان ها یا یک سری عوامل دیگر (مانند گین و فاز المان ها) دستخوش تغییراتی می شوند. این تغییرات باعث می شوند مؤلفه های بردار هدایت تغییر کنند و تبدیل به بردار هدایت دیگری بشود که آن را در عمل نداریم. از آنجایی که نمی دانیم مکان المان ها پس از تغییرات چه مقداری خواهند شد پس بردار هدایت واقعی که دستخوش تغییرات شده است را در عمل نداریم. حال می خواهیم از روی بردار هدایت فرضی بردار هدایت واقعی را تخمین بزنیم. همیشه یک رابطه ای بین این دو مقدار وجود دارد که یافتن رابطه بین این دو مقدار را کالیبراسیون می نامیم. مثلا یک ماتریسی که اگر آن را در بردار هدایت فرضی ضرب کنیم بردار هدایت واقعی را به ما می دهد. این ماتریس را ماتریس کالیبراسیون می نامیم. ماتریس کالیبراسیون ماتریسی مربعی است که ابعاد آن به تعداد المان های آرایه می باشد.
می توانیم هر نقطه دلخواه از سیستم را به عنوان مبدﺃ در نظر بگیریم. همان طور که می دانیم در مبدﺃ مؤلفه های سیگنال به طور کامل دریافت می شوند و سپس در سایر المان ها با مقداری تأخیر دریافت می شوند که هر چه المان های آرایه از مبدﺃ دورتر باشند مقدار تأخیر بیشتر می شود. البته انتخاب مبدﺃ اختیاری می باشد. اگر آرایه ما آرایه خطی یکنواخت باشد معمولا المان اول را مبدﺃ فرض می کنیم زیرا تحلیل محاسباتی آن ساده تر می شود.
به طور مثال در اینجا نوع سیگنال را نمایی فرض می کنیم. همان طور که در درس سیگنال می دانیم تأخیر در سیگنال به معنای ضرب شدن یک ترم نمایی در مقدار سیگنال می باشد. بنابراین تأخیر در المان ها را با ضرب شدن در یک ترم نمایی نمایش می دهیم که این ترم نمایی بستگی به فاصله هر المان از مبدﺃ و طول موج و فرکانس سیگنال و فرکانس نمونه برداری شده از سیگنال و هم چنین سرعت نور دارد. همان طور که می دانیم بر طبق قضیه اویلر هر ترم نمایی مجموع دو ترم مختلط سینوسی و کسینوسی می باشد. بنابراین می توانیم به جای استفاده از سیگنال نمایی از سیگنال سینوسی استفاده کنیم و تمام قضایای فوق از جمله تأخیر در المان ها برای این سیگنال نیز صادق می باشند.
حالا اگر سیگنال منبع در محل مبدﺃ را به صورت یک سیگنال نمایی در نظر بگیریم داریم:

در این صورت مؤلفه های بردار سیگنال خروجی آرایه همان طور که می دانیم مساوی مقدار سیگنال در مبدﺃ ضرب در یک ترم تأخیر می باشد. بنابراین تعداد مؤلفه های این بردار به ازای هر نمونه 123به تعداد المان ها خواهد بود. پس اگر این بردار را برای کل نمونه ها در یک ماتریس قرار بدهیم تعداد مؤلفه های آن مساوی تعداد المان ها که همان تعداد ردیف های آن می باشند در تعداد نمونه ها که همان تعداد ستون های ماتریس می باشد. بنابراین مؤلفه های آن به ازای هر نمونه برداری را تشکیل می دهند که ابعاد این بردار به تعداد المان ها می باشد و مقدار مؤلفه های آن به صورت زیر خواهد بود:

c در آن مساوی سرعت نور می باشد که مقدار آن مساوی 1500 می باشد. در آن همان بسامد زاویه ای می باشد و مقدارش مساوی با ضرب در فرکانس کاری سیستم می باشد که معمولا فرکانس کاری سیستم مساوی 50 می باشد. هم چنین در آن همان بردار یکه منبع (عمود بر جبهه موج) می باشد که مؤلفه های آن مساوی:

اگر فرض کنیم که بردار سیگنال های خروجی آرایه برای هر نمونه مساوی مقدار خروجی سیگنال به علاوه نویز می باشد بنابراین مقدار مؤلفه های این بردار به صورت زیر خواهند بود:

که e بردار مجموع نویز و تداخل است و اطلاعات خروجی می باشد.
بنابراین تعداد مؤلفه های این بردار برای هر نمونه به تعداد المان ها خواهد بود. پس اگر این بردار را برای کل نمونه ها در یک ماتریس قرار دهیم تعداد مؤلفه های آن مساوی است با تعداد المان ها که همان تعداد ردیف های آن می باشند در تعداد نمونه ها که همان تعداد ستون های آن می باشند. بنابراین تعداد مؤلفه های آن به ازای هر نمونه برداری به تعداد المان ها می باشد و مقدار مؤلفه های آن از رابطه 4-3 به دست می آید.
اگر کل مؤلفه های این بردار را برای هر نمونه به دست آوریم و آن را در یک ماتریس به نام ماتریس Y قرار دهیم ماتریس هم بستگی المان های آن برای کل نمونه ها به شکل زیر خواهد بود. بنابراین ماتریس هم بستگی آن () به شکل زیر تعریف می شود:

ستون هایی که از رابطه 4-3 به دست می آیند را در ماتریسی به نام ماتریس Yقرار می دهیم. بنابراین داریم:

از آنجایی که در عمل وابستگی آماری المان ها را نمی دانیم و در نتیجه ماتریس هم بستگی را نداریم مجبوریم آن را از روی بردار داده های خروجی آرایه تخمین بزنیم. پس از تخمین زیر استفاده می کنیم:

حالا چون مکان دقیق المان ها را نداریم و فقط مکان فرضی المان ها را می دانیم بنابراین می توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم تا بردار هدایت فرضی که با استفاده از مکان فرضی المان ها به دست می آید را به دست آوریم. از آنجایی که مکان فرضی المان ها و سرعت نور و بردار یکه سیگنال و فرکانس کاری سیستم را می دانیم می توانیم بردار هدایت فرضی را به دست بیاوریم. بنابراین تعداد مؤلفه های این بردار مساوی تعداد المان ها می باشد و مقدار مؤلفه های این بردار مساوی:

که a در رابطه 8-3 همان بردار هدایت واقعی می باشد اما چون در عمل را در هر لحظه از k نداریم بنابراین نمی توانیم بردار هدایت واقعی را بیابیم. اگر از رابطه 9-3 هم بخواهیم بردار هدایت واقعی را پیدا کنیم چون مکان المان ها دستخوش تغییرات شده است و مقادیر جدید را نداریم بنابراین نمی توانیم بردار هدایت واقعی را از این رابطه به دست بیاوریم. بنابراین مجبوریم این بردار هدایت واقعی را از روی بردار هدایت فرضی تخمین بزنیم. اما در عمل فقط نمونه های بردار داده های خروجی آرایه که توسط نویز تغییر یافته اند و با نماد نمایش دادیم را داریم. بنابراین از رابطه8-3 استفاده می کنیم با این تفاوت که به جای نمونه های بردار داده های خروجی آرایه از نمونه های بردار داده های خروجی آرایه که آغشته به نویز می باشند استفاده می کنیم. بنابراین بردار هدایتی را که از روی این مقادیر تخمین می زنیم به صورت زیر خواهد بود:

حال اگر این کار را به طور متوالی برای هرنمونه انجام دهیم هر ستونی از آن همان بردار هدایت به ازای یک زاویه مشخص را به ما می دهد. بنابراین می توانیم هر بار تخمینی از بردار هدایت سیگنال را به دست بیاوریم.
حال همان طور که قبلا اشاره کردیم می خواهیم از روی این بردارهای هدایت فرضی بردارهای هدایت واقعی را بیابیم که این کار را توسط ماتریسی به نام ماتریس کالیبراسیون انجام می دهیم. ابعاد این ماتریس مربعی مساوی تعداد المان ها می باشد. حالا چگونه باید درایه های این ماتریس را بیابیم به طوری که فاصله بین بردار هدایت تخمین زده شده با بردار هدایت فرضی حداقل خطا را داشته باشد. بدین معنا که هر چه درایه های این ماتریس را دقیقتر انتخاب بکنیم بردار هدایت تخمینی که از روی بردار هدایت فرضی به دست می آید به مقدار بردار هدایت اندازه گیری شده نزدیکتر خواهد بود و خطای کمتری در تخمین زدن خواهیم داشت. فرض کنیم ماتریس ماتریس کالیبراسیون باشد به گونه ای که رابطه بین بردار هدایت واقعی و بردار هدایت فرضی را برقرار می کند. بنابراین خواهیم داشت:

که و به ترتیب بردار هدایت فرضی و تخمینی به ازای جهت k ام خواهند بود و سیگنال خروجی می باشد. این مقادیر به ازای هر k حداکثر مساوی Kخواهند بود. حال اگر کل این مقادیر را در یک ماتریس قرار دهیم به تعداد K بردار ستونی خواهیم داشت که هر کدام از این بردارها N مؤلفه خواهند داشت. پس دو ماتریس با ابعاد K × N از مقادیر فرضی و تخمینی خواهیم داشت و این ماتریس های بردارهای هدایت فرضی و تخمینی را به ترتیب و می نامیم. بنابراین داریم:

که در آن بردارهایی هستند که المان هایk ام آنها به ترتیب می باشند.
حال هدف به دست آوردن ماتریس کالیبراسیون می باشد. این ماتریس یک ماتریس (N×N) می باشد که درایه های آن باید عضو اعداد مختلط باشند.
این ماتریس به گونه ای عمل می کند که اگر آن را به بردار هدایت فرضی اعمال کنیم یک تقریب خوب از بردار هدایت اندازه گیری شده به دست می آید. برای به دست آوردن درایه های ماتریس کالیبراسیون روش های متعددی وجود دارد. هر چه المان های این ماتریس را دقیق تر و سنجیده تر انتخاب بکنیم مقادیر تخمین زده شده که از روی مقادیر فرضی به دست می آیند به مقادیر اندازه گیری شده نزدیکتر می باشند یعنی عمل تخمین زدن دقیقتر صورت گرفته است. روش های متعددی برای به دست آوردن درایه های ماتریس وجود دارد و این روش ها بستگی به معیار تخمین دارند. دو تابع هزینه که خوب بودن این تقریب را مشخص می کنند در اینجا بیان می شود. در بعضی موارد معیار حداقل کردن خطای ناشی از مقدار تخمینی و مقدار واقعی می باشد که در اینجا برای حداقل کردن این خطا معیار حداقل مربعات 124را انتخاب می کنیم.
1-1-3-روش حداقل مربعات
این روش با استفاده از معیار خطای حداقل کردن نرم فاصله بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده یعنی معیار حداقل مربعات عمل می کند. بنابراین می توانیم با حداقل کردن مجموع زیر که همان نرم بردار خطا می باشد تخمینی از ماتریس کالیبراسیون را به دست بیاوریم:

هدف ما در اینجا حداقل کردن تابع هزینه فوق می باشد. بنابراین می توانیم به جای اینکه تابع هزینه فوق را حداقل کنیم آن را ساده تر کنیم و سپس مجموعی را که خلاصه تر شده است مینیمم بکنیم. این بدین معنا است که نرم ستون اول به توان دو به علاوه نرم ستون دوم به توان دو و به همین ترتیب به علاوه نرم ستون آخر به توان دو مساوی نرم کل ماتریس می باشد.

بنابراین به جای اینکه مجموع نرم های کل ستون های اختلاف بردارهای هدایت واقعی و تخمین زده شده را حداقل کنیم می توانیم نرم کل ماتریس های هدایت واقعی و تخمین زده شده را حداقل کنیم.

که در آن بیانگر نرم فروبنیوس می باشد.
حال برای حداقل کردن نرم فوق باید ابتدا نسبت به ماتریس کالیبراسیون مشتق بگیریم و سپس حاصل مشتق را مساوی صفر قرار دهیم. طبق قضایای جبر خطی مشتق ماتریس از رابطه زیر به دست می آید. بنابراین پاسخ بهینه در این حالت مساوی مقدار زیر می شود:

پس اگر تعریف بکنیم:

از این پس ما نماد # را برای عملی به صورت رابطه بالا به کار می بریم. حال تخمین ماتریس کالیبراسیون C برابر خواهد بود با:

یعنی ماتریس کالیبراسیونی که از رابطه 19-3به دست می آید فاصله بین بردارهای هدایت تخمین زده شده و اندازه گیری شده را حداقل می کند. بنابراین در کاربرد های جهت یابی که بردارهای هدایت تخمین زده شده برای تعیین جهات منابع(AOA) استفاده می شوند مفید می باشد.
2-1-3-روش beamsum
روش دوم دیگر مانند روش اول عمل نمی کند بلکه به طور گسترده تری عمل می کند. در روش اول دیدیم که این روش با استفاده از معیار خطای حداقل کردن نرم

پایان نامه
Previous Entries منبع پایان نامه با موضوع مکان یابی، روش سناریو Next Entries منبع پایان نامه با موضوع شبیه سازی، روش حداقل مربعات، مقدار خطا