منبع پایان نامه با موضوع شبیه سازی، روش حداقل مربعات، مقدار خطا

دانلود پایان نامه ارشد

فاصله بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده یعنی معیار حداقل مربعات عمل می کرد. اما در این روش براساس حداقل کردن خطای نرم بین مقدار تخمین زده شده و مقدار اندازه گیری شده با استفاده از معیار دیگری به نام beamsum عمل می کند. این بدین معناست که در این روش یک پارامتر اضافی تعریف می کنیم. بنابراین یک درجه آزادی اضافی به تابع هزینه در رابطه 14-3می دهیم و سپس این تابع را با روشی مانند آنچه در بالا ذکر کردیم حداقل می کنیم تا مقدارهای بهینه برای پارامتر جدیدی که در این الگوریتم با نماد نمایش می دهیم و هم چنین مقدار بهینه برای ماتریس کالیبراسیون که بانماد C نمایش می دهیم به دست بیاوریم. البته با این تفاوت که در این روش تعداد متغیرها بیشتر است. چون درجه آزادی در این روش نسبت به روش قبلی بیشتر است بنابراین خطا در این روش مقدار کمتری نسبت به روش قبلی دارد که البته نتایج آزمایش نیز همان طور که بعدا خواهیم دید دقت و اعتبار این بیانات را تأیید می کند. بنابراین برای حداقل کردن مقدار خطا باید ابتدا بردار هدایت تخمینی را از روش زیر به دست بیاوریم.
ابتدا بردار هدایت فرضی که با نمادنمایش می دهیم را در ماتریس کالیبراسیون ضرب می کنیم و سپس آن را در پارامتر جدید که همان می باشد ضرب می کنیم و پس از آن این بردار هدایت تخمین زده شده را با بردار هدایت اندازه گیری شده مقایسه می کنیم و سعی می کنیم که مقدار این خطا را به حداقل برسانیم. بنابراین فرم تابع هزینه در این روش به صورت زیر اصلاح می شود:

حال مانند روش قبلی مسأله بهینه سازی به حداقل کردن نرم تابع فوق می انجامد. بنابراین همانند روش پیشین که مسأله بهینه سازی به مینیمم شدن نرم خطا می انجامید در اینجا نیز همان طور که می بینیم به حداقل شدن نرم خطا می انجامد و آن را این گونه بیان می کنیم:

حال برای حداقل کردن نرم تابع فوق باید ابتدا نسبت به پارامتر جدید در این روش مشتق بگیریم و حاصل مشتق را به ازای هر k مساوی صفر قرار بدهیم. طبق قضایای جبر خطی مشتق ماتریس از رابطه زیر به دست می آید. بنابراین پاسخ بهینه در این حالت از رابطه زیر به دست می آید:

حال از روی روابطی که در بالا ذکر شد پارامتر جدیدی که در این الگوریتم تعریف کردیم را می خواهیم در اینجا محاسبه بکنیم. بنابراین داریم:

همان طور که می بینیم مینیمم کردن ترم به ترم رابطه20-3 مجاز است از آنجایی که این مقدار برحسبمحدب می باشد.
حال اگر رابطه 23-3 را در20-3 جایگزین کنیم به روابط زیر می رسیم:

نتایجی را که از رابطه 24-3 به دست آوردیم به عنوان تخمین گر طیف beamsum شناخته می شود و می تواند به عنوان کسینوس زاویه بین بردار هدایت اندازه گیری شده و بردار هدایت تخمین زده شدهدر یک فضای هیلبرت تعبیر شود. بنابراین رابطه 24-3 معادل با حداقل کردن زاویه بین دو بردار هدایت اندازه گیری شده و بردار هدایت تخمین زده شده می باشد.
چندین توصیف برایامکان پذیر است که این مقدار اسکالر را به عنوان یک ترم تصحیح که وابسته به زاویه می باشد را می توانیم در نظر بگیریم. بنابراین بردار هدایت کالیبره شده به ازای هر زاویه دید k توسط یک ثابت مختلط وابسته به زاویه تصحیح می شود. هم چنین از رابطه 23-3 می توان نتیجه گرفت که به عنوان یک تصویر از بردار هدایت فرضی به بردار هدایت اندازه گیری شده تفسیر می شود. وقتی تطابق بین بردار هدایت فرضی و بردار هدایت اندازه گیری شده به ازای هر زاویه دید k خوب باشد مقدار بزرگتری خواهد داشت که این ترم نیز به نوبه خود بر روی کالیبراسیون برای دقیق بودن جهت مربوط به زاویه تأکید می کند. وقتی تطابق بین بردار هدایت فرضی و بردار هدایت اندازه گیری شده ضعیف باشد مقدارهای کوچکتری که برای نتیجه می شود اهمیت زاویه دید منبطق را به طور مناسبی تضعیف خواهد کرد.
در این روش هم چنین مناسب است که به به دید مناسبی نظر بیاندازیم از آن جایی که متناسب با قدرت منبع(ریشه توان) سیگنال kام باشد. این تفسیر به این خاطر است که یک مقدار فاز خالص می باشد و بنابراین یک ثابت مقیاس دهی می باشد که بین توان سیگنالو تطابق برقرار می کند. علاوه بر این همان طور که در رابطه 23-3 مشاهده می شود افزایش در توان منبع kام از طریق افزایش در دامنه منجر به افزایش مقدار می شود. بنابراین به طور مستقیم سطوح نسبی توان هر سیگنال را به ما نشان می دهد.
در روش اول که مبتنی بر حداقل کردن مربعات خطا بود یعنی معیار آن معیار حداقل مربعات بود بردار هدایت تخمین زده شده را با استفاده از ضرب ماتریس کالیبراسیونی که از رابطه19-3به دست می آید در بردار هدایت فرضی به دست آوردیم اما در روش دوم که روش beamsum بود برای به دست آوردن بردار هدایت تخمینی باید ابتدا ثابترا که از رابطه 23-3 به دست آوردیم را در ماتریس کالیبراسیون که از رابطه 19-3به دست می آید ضرب کنیم و سپس این ماتریس را در بردار هدایت فرضی ضرب کنیم تا بردار هدایت تخمینی به دست بیاید. روش دوم چون یک ثابت خطا دارد خطای بین بردار هدایت واقعی و بردار هدایت تخمین زده شده در آن از روش اول کمتر است. این بدین معناست که بردار هدایت تخمین زده شده در روش دوم به بردار هدایت واقعی( بردار هدایت اندازه گیری شده) مقدار نزدیکتری دارد و عملکرد بهتری در مقایسه با روش اول دارد. بنابراین روش دوم خطای کمتر و دقت بیشتری دارد.
حال این دو روشی که بیان شد هر دو الگوریتم های کالیبراسیون خارجی بودند به گونه ای که مکان منبع را معلوم فرض می کردیم و براساس آن و نیز براساس بردار هدایت فرضی بردار هدایت واقعی را تخمین می زدیم. اما در اینجا می خواهیم روش های دیگری را بیان کنیم که الگوریتم های خودکالیبراسیون می باشند. این بدین معناست که در این روش ها دیگر مکان واقعی منبع سیگنال را نداریم بلکه باید خودمان آن را تخمین بزنیم سپس از روی آن بردار هدایت واقعی را بیابیم. بنابراین در الگوریتم های خودکالیبراسیون دیگر منابع با مکان های معلوم قرار نمی دهیم که با استفاده از آنها بتوانیم عمل کالیبراسیون را انجام بدهیم.

2-3-الگوریتم های خودکالیبراسیون
برخلاف الگوریتم های خارجی در کالیبراسیون آرایه الگوریتم های خودکالیبراسیون معمولا فرض نمی کنیم که از AOAsمنابع سیگنال آگاهی داریم. اگر چه که یک پاسخ شهودی آن همان استفاده کردن از تابع هزینه کالیبراسیون خارجی می باشد که همراه با یک بهینه سازی اضافی بر روی AOAs منابع سیگنال می باشد. بنابراین از آنجایی کهAOAs منابع سیگنال را نداریمرا نیز نداریم. پس باید در کلیه روابط فوق به جایمقادیر اصلاح شده آنها که همان(از آنجایی که مکان منابع سیگنال را نداریم زوایای آنها را نیز نداریم و مجبوریم آنها را به ازای هر k تخمین بزنیم) می باشند را در روابط جایگزین بکنیم. پس روابط اصلاح شده در شماره های 16-3 و 24-3 به شرح زیر می باشند:

در روابط فوق و به ترتیب زاویه افقی تخمینی و زاویه واقعی مربوط به AOAs منابع سیگنال به ازای هر k می باشند و هم چنین و به ترتیب زاویه تخمینی عمودی و زاویه واقعی عمودی مربوط به AOAs منابع سیگنال به ازای هر k می باشند. از آنجایی که ماتریس کالیبراسیون باید بر روی تمام ماتریس های مختلط که ابعاد آنها(N×N)می باشند بهینه شود مقدار بهینه برای زاویه باید در بازه قرار بگیرد در حالی که این مقدار برای زاویه باید در بازه قرار بگیرد.
این الگوریتم این گونه توصیف می شود: اگر آگاهی اولیه از AOAs مربوط به منابع سیگنال موجود باشد می توانیم از آنها استفاده بکنیم تا با استفاده از آنها تخمین اولیه از مکان سیگنال ها را به دست بیاوریم. در اینجا حالت قبلی را فرض می کنیم همان طور که برای یک سناریو عملیاتی مناسب می باشد. برای اهداف شبیه سازی تخمین های اولیه مربوط به AOAs منابع سیگنال با فرض مقداری خطا از مقدار واقعی AOAs مربوط به منابع سیگنال به دست می آیند که مقدار این خطا یک متغیر تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه کوچک می باشد.
برای الگوریتم های خودکالیبراسیون که از روش حداقل مربعات استفاده می کنند و در رابطه 25-3 معیار آنها را می بینیم ماتریس کالیبراسیون از رابطه زیر به دست می آید:

که و به ترتیب مقادیر تخمینی از زاویه و می باشند.

حال می خواهیم برای روش beamsum در الگوریتم خودکالیبراسیون که در رابطه 26-3 معیار آن را می بینیم ماتریس کالیبراسیون بهینه C را به دست بیاوریم که برای این کار باید مقدار فوق را در رابطه 14-3 جایگذاری کنیم تا مقدارهای بهینه برای C و به دست بیایند.
بنابراین معیار حداقل کردن خطا در رابطه 24-3 دیده می شود. حال اگر فرض کنیم و را نداشته باشیم ( که در عمل هم چنین می باشد)، با تکرار متوالی دو گام زیر پارامترهای مطلوب به دست میآید:

البته باید مقدارهای اولیه مناسب برای هر یک از پارامترها در نظر گرفته شود. به طور مثال مقدار اولیه برای ماتریس کالیبراسیون در تکرار اول از رابطه 27-3 به دست می آید.
حال یک معیاری باید داشته باشیم که به تعداد تکرارهای الگوریتم خودکالیبراسیون خاتمه بدهد. نتایجی که بعدا در شبیه سازی خواهیم دید معیار پایان دادن به الگوریتم را توصیف خواهند کرد. به طور مثال می توانیم این معیار پایان دادن به الگوریتم را مساوی 01. فرض کنیم. این بدین معناست که تغییرات مربوط به نرم فروبنیوسی ماتریس کالیبراسیون را به عنوان معیار خطا در نظر می گیریم و از آن به عنوان معیار پایان دادن به الگوریتم استفاده می کنیم. یعنی اگر ماتریس کالیبراسیونی را که در مرحله تکرار ام به دست می آوریم از ماتریس کالیبراسیونی که در مرحله تکرار ام به دست می آوریم را در نظر بگیریم وسپس نرم فروبنیوسی اختلاف این دو ماتریس را به دست بیاوریم و به توان دو برسانیم این مقدار باید کمتر یا مساوی با 01. باشد تا مراحل تکرار الگوریتم به پایان برسد. به طوری که پس از آن دیگر این الگوریتم خاتمه می یابد. باید در نظر بگیریم که حتی الگوریتم های خودکالیبراسیون تلاش می کنند تا به طور هم زمان ماتریس کالیبراسیون و زوایای را بهینه کنند. اما فقط و نیاز به جستجو دارند. از یک جستجوی بعدی برای یافتن درایه های ماتریس کالیبراسیون (چون المان های ماتریس کالیبراسیون مختلط هستند بنابراین ضریب 2 در جستجوی درایه های ماتریس داریم)پرهیز می کنیم. این عمل را با استفاده از این واقعیت انجام می دهیم که توابع هزینه کالیبراسیون ماتریس بهینه کالیبراسیون را به یک فرم ریاضیاتی مشخص محدود می کنند. بنابراین ماتریس کالیبراسیون C به طور تحلیلی در هر تکرار الگوریتم براساس روابط 27-3و 29-3 ساخته می شود.
یک ایراد مشترک مربوط به یک الگوریتم بازگشتی که برای حل معادله 25-3 و 26-3 به کار برده شد این بودکه وقتی سطح رویه تابع هزینه تک مدلی125 باشد ممکن است لزوما به پاسخ بهینه سراسری126 همگرا نخواهیم شد. پس زمانی برای ما کالیبراسیون دقیق امکان پذیر می باشد که خطای تخمین AOAs مربوط به منابع سیگنال برای هر دو الگوریتم beamsum و حداقل مربعات تقریبا صفر باشند. در یک چنین مواردی الگوریتم های خودکالیبراسیون به مقدار واقعی همگرا خواهند شد. البته به شرط اینکه خطایی که مربوط به حدس اولیه می باشد به طور نسبی کوچک باشد. به عبارت دیگر حدس اولیه ما از مقدار واقعی خیلی دور نباشد و خطای آن مقدار کمی داشته باشد. اما به طور کلی این الگوریتم به پاسخ بهینه محلی برای تخمین هایی از ماتریس کالیبراسیون و AOAs مربوط به منابع سیگنال همگرا می باشد. برای مقادیر متوسط خطا پاسخ های بهینه محلی در نزدیکی پاسخی خواهند بود که با استفاده از الگوریتم کالیبراسیون خارجی به دست می آیند. در نظر داریم که در حالت کالیبراسیون ناقص حتی اگر تمام نیم کره جستجو شود نقطه بهینه منتج ممکن است با AOAs مربوط به منابع سیگنال واقعی منطبق نباشد.
حال اگر الگوریتم فوق را بخواهیم برای کالیبره کردن خطای گین و فاز استفاده کنیم به شکل زیر عمل می کنیم:
3-3-الگوریتم کالیبراسیون گین و فاز

پایان نامه
Previous Entries منبع پایان نامه با موضوع نمونه برداری، روش حداقل مربعات Next Entries منبع پایان نامه با موضوع مقدار خطا، شبیه سازی، نمونه برداری، عدم اطمینان