منبع پایان نامه با موضوع روش حداقل مربعات، شبیه سازی

دانلود پایان نامه ارشد

زمانی سفید با واریانس می باشند. اگر ماتریس بردار هدایت آرایه نامیده شود و ابعاد آن M×Nباشد ستون های آن همان بردار هدایت سیگنال ها خواهند بود. در حضور خطای گین و فاز آرایه که وابسته به جهت زاویه می باشند بردار هدایت با ابعاد l×N به شکل زیر مدل می شود:

که ماتریس یک ماتریس قطری مختلط با ابعاد N×Nمی باشد به طوری که المان jj ام آن همان خطای گین و فاز المان j ام که وابسته به جهت زاویه می باشد را نشان می دهد. که بردار هدایت فرضی می باشد به شکل زیر مدل می شود:

که در آن طول موج سیگنال و مختصات المان j ام نسبت به المان مرجع می باشد.
ماتریس هم بستگی آرایه و تجزیه ویژه آن به شکل زیر می باشد:

که و به ترتیب مقادیر ویژه و بردارهای ویژه از ماتریس می باشند. زیر فضای سیگنال و نویز از ماتریسبه ترتیب برد27 ماتریس ها می باشند:

فرض می کنیم که به تعداد L نمونه از بردار خروجی آرایه داریم و می خواهیم DOA های منابع را بیابیم و هم چنین خطای گین و فاز آرایه که وابسته به جهت زاویه می باشند را برایK المان کالیبره نشده می خواهیم تخمین بزنیم.
توصیف الگوریتم:اگر فرض کنیم دراین آرایه P المان کالیبره شده حضور دارد بنابراین P المان اول قطری از ماتریس همگی به مقدار یک کاهش می یابند. بردار هدایت فرضی و ماتریس اختلالات را به شکل زیر می توان افراز کرد:

که در آن یک بردار l× P و یک بردار l×K می باشد که به ترتیب قسمت های المان های آزمایشی و کالیبره نشده را از تشکیل می دهند. به طور مشابه المان های قطری از ماتریس قطری شامل خطای گین و فاز نامعلوم از المان های کالیبره نشده می باشند. بنابراین بردار هدایت را به می توان به شکل زیر نوشت:

که درآن یک ماتریس می باشد در حالی که یک بردار می باشد. عملگر قطری [v]28 عملگری است که یک ماتریس قطری را مشخص می کند که المان های قطری آن از المان های بردار[v] تشکیل می شود و عملگر برداری [A]29 عملگری است که یک برداری را مشخص می کند که المان های آن از المان های قطری ماتریس[A] تشکیل می شود.
پایه واساس الگوریتم های تخمین DOA که براساس زیر فضا عمل می کنند همان عمود بودن زیر فضای سیگنال بر زیر فضای نویز از ماتریس هم بستگی آرایه می باشد یعنی داریم:

اگر رابطه 79-2را در رابطه 80-2قرار بدهیم خواهیم داشت:

که در آن یک ماتریس ترانهاده هرمیتی با ابعاد می باشد. از آنجایی که می باشد معادله 82-2 نشان می دهد که ماتریس یک ماتریس منفرد می باشد. این بدین معنا است که مرتبه آن کمتر از می باشد:

در نظر داریم که در حالتی شرط یا برقرار باشد و زمانی که شرط برقرار باشد مانیفولد آرایه مبهم می باشد یعنی ماتریس منفرد می باشد و مرتبه آن کامل نمی باشد اگر و فقط اگر باشد زیرا بعد زیر فضای سیگنال از ماتریسمساویM می باشد. براساس این ایده یک تخمین گر DOA در معادلات 85- 2و 86-2طراحی می کنیم و یک الگوریتم کالیبراسیون برای خطای گین و فاز آرایه که و ابسته به جهت زاویه می باشد در معادله 87-2 بیان می کنیم:

که در آنتخمینی از زیر فضای نویزرا مشخص می کند که این تخمین با استفاده از تعداد محدودی از نمونه ها به دست آمده است. همان کوچکترین مقدار ویژه از ماتریس و همان بردار ویژه مطابق با کوچکترین مقدار ویژه از ماتریس می باشد و همان دترمینان ماتریس می باشد.
ا ز معادلات 85-2 تا 87-2 نتیجه می گیریم که تخمین DOA و کالیبراسیون آرایه می تواند با استفاده از یک جستجوی یک بعدی بر روی FOV30مربوط به آرایه تکمیل بشود. یعنی این روش از سایر روش هایی که دارای جستجوی چند بعدی می باشند بار محاسباتی بسیار کمتری دارد. علاوه بر آرایه های ULA که ماتریس بردار های هدایت فرضی در آنها ساختار وندرموند دارند برای ریشه گرفتن از یک چند جمله ای با درجه می توان از الگوریتم ROOT-MUSIC استفاده کرد.
در اینجا یک الگوریتم کالیبراسیون آرایه در حضور خطای گین و فاز وابسته به جهت زاویه آنتن با استفاده از چند المان آزمایشی کالیبره شده بیان شد. این روش از بار محاسباتی کمتری نسبت به سایر روش ها(الگوریتم Weiss) که دارای جستجوی چند بعدی می باشند برخودار می باشد و مهمتر این که ما در این روش از مدل خطای گین و فاز عمومی تری استفاده می کنیم تا مدلی که در سایر الگوریتم های جستجوی چند بعدی استفاده می شود که در آنها تنها خطای فاز را وابسته به جهت زاویه می گیرند. در واقع با فرض اینکه خطای گین و فاز وابسته به جهت آنتن می باشد تعداد پارامترهای مجهول افزایش می یابد که این عملکرد روش های جستجوی چند بعدی (الگوریتم Weiss) باعث می شود که تا اندازه ای از لحاظ محاسباتی سنگین بشوند و مشکل همگرایی عمومی آن واضحتر بشود.
4-1-2- تخمین [4] DOA
هدف از این قسمت ارایه چند روش تخمین DOA می باشد. مسأله تخمین DOA به شکل زیر می باشد:
اگر فرض کنیم مشاهدات ما به این شکل باشند می خواهیم تخمین DOA ها از روی سیگنال ورودی را تعیین بکنیم. ما معمولا مدل پاسخ آرایه را یک تابع معلوم از فرض می کنیم به طوری که مقدار بر روی محدوده مطلوبی از DOAقرار دارد. این پاسخ ممکن است از نتیجه شبیه سازی الکترومغناطیسی با جزییات کامل توسط یک فرآیند کالیبراسیون محاسبه بشود.
روش تشکیل پرتو به فرم کلاسیک: شاید طبیعی ترین روش تخمین DOA ترکیب خروجی تمام المان ها به طور منسجم می باشد با این فرض که یک منبع در یک فرضی قرار می دهیم و توانی که از آن نتیجه می شود را اندازه می گیریم. پس از آن FOV بطور اجمالی بررسی می شود و قله ها در تخمین طیف فضایی توان به عنوان تخمین های DOA در نظر گرفته می شوند. ترکیب منسجم آن همان (یک فیلتر منطبق 31فضایی) می باشد وتوان متوسط آن به شکل زیر می باشد:

برای یک آرایه ULA بردار های انتشار شکل زیر را به خود می گیرند:

که در آن زاویه الکتریکی نامیده می شود. در اینجا شماره موج 32 وc همان سرعت انتشار و فاصله داخلی المان ها می باشد.DOA همان زاویه می باشدکه نسبت به زاویه پهنی اندازه گرفته می شود. بنابراین معادله 89-2 در این حالت پریودگرامی33 به طول M می باشد که بر روی N نمونه از مشاهدات متوسط گیری شده است. این روش فقط نیاز به Q عدد از بلندترین قله ها در طیف یک بعدی دارد و از لحاظ بار محاسباتی مناسب می باشد. اما شکل دهی پرتو عیب روش های دیگری را که براساس فوریه عمل می کنند را تسهیم می کند که این عیب ها شامل قدرت تفکیک محدود و پوشانده شدن34 میسر سیگنال های ضعیف می باشد. برای آرایه ULA یک منبع سیگنال پهنای را نسبت به گلبرگ اصلی 35به وجود می آورد که همان قدرت تفکیک فوریه کلاسیک می باشد و یک گلبرگ فرعی که به طور ماکزیمم در حدود dB13 در زیر گلبرگ اصلی قرار دارد. این گلبرگ های فرعی را می توان توسط پنجره گذاری36 کاهش داد اما بهایی که برای این کار می پردازیم قدرت تفکیک ضعیف تر می باشد. این قدرت تفکیک می تواند در سناریو ها37 با مقادیر بالای SNR توسط شکل دهی پرتو به صورت وفقی38 بهبود بیابد. اما این روش های شکل دهی پرتو در حالت کلی ناتوان هستند از این که بتوانند از مدل اطلاعات ورودی بهره برداری کنند و تخمین های درستی را هنگامی که باشد به دست بیاورند.
روش حداقل مربعات غیر خطی NLLS: یک روش خیلی طبیعی دیگر برای تخمین پارامترها روش حداقل مربعات LS39 می باشد. به عبارت دیگر این روش تلاش می کند تا پارامترهایی که بیشترین تطبیق با مشاهدات در روش حداقل مربعات دارند را پیدا بکنند. اگر مدل زیر را با پارامترهای مجهول برای و S در نظر بگیریم :

ماتریسی است که ستون های آن بردارهای هدایت سیگنال می باشند و سیگنال و نویز می باشد. در این شرایط تخمینگر LS به شکل زیر تدوین و فرموله می شود:

که در آن بیانگر نرم فروبنیوسی می باشد. رابطه بالا معمولاNLLSنامیده می شود زیرا پارامترهای DOA به طور غیر خطی در آن (تابع معیار) وارد می شوند. در نظر داریم که این روش مشابه روش ML40می باشد اگر امواج سیگنال به عنوان پارامترهای مشخص 41مجهول در نظر گرفته بشوند.
بنابراین اصطلاح DML42 یا CML43 معمولا استفاده می شود. برای یک مقدار ثابت اما نامعلوم از این معیار به طور خطی در ماتریس سیگنال S وارد می شود. بنابراین این مسأله به طبقه مساﺋل تفکیک پذیر از NLLSتعلق دارد. با جلوگیری کردن از وابستگی ماتریسA به ( برای راحتی در نماد گذاری) تخمینگر مسأله LSبه شکل زیر می باشد:

با جایگزین کردن معادله فوق در معادله92-2 تخمین NLLS از به شکل زیر می شود:

که در آن یک تصویر 44عمودی می باشد و در آن ماتریس هم بستگی است که از روی نمونه های ورودی به دست آمده است.
در نظر داریم که معادله 94-2 برای حالتی که (تعداد منابع) و باشد به معادله تشکیل پرتو به فرم کلاسیک تبدیل می شود. اگرچه برای حالتی که باشد روش NLLS در حالت کلی برتر است. قدرت تفکیک نه فقط به M (تعداد المان ها)بستگی دارد بلکه به N (تعداد نمونه ها) و مقدار SNR نیز بستگی دارد. عیب این روش این است که معادله 94-2 یک مسأله بهینه سازی غیرخطی بعدی می باشد که ممکن است به طورکلی جواب آن معروف نباشد. یک حل معروف آن براساس راه حلی که برای پارامترهای یک منبع در یک جستجوی بازگشتی به دست می آید عمل می کند. زمانی که برای پارامترها تخمین های اولیه مناسب را انتخاب بکنیم مناسب تر است که مسأله را به یک مسأله بهینه سازی محلی که با استفاده از روش نیوتن 45 عمل می کند تبدیل بکنیم.
ما می توانیم امواج سیگنال را به فرم توزیع گوسی و اتفاقی مدل کنیم. تخمینگر ML ای که منتج می شود می تواند در بعضی از سناریو ها بهتر از NLLS عمل کند مخصوصا وقتی که سیگنال ها به مقدار زیاد هم بسته باشند.
روش های زیرفضا مبتنی بر الگوریتم MUSIC: اگر چه روش NLLS می تواند ویژگی های آماری خوبی داشته باشد اما بار محاسباتی آن ما را وادار می کند که از روش هایی استفاده کنیم که نه تنها ارزانتر می باشند بلکه نسبت به روش های تشکیل پرتو به فرم معمولی عملکرد بهتری داشته باشند. یک دسته مهم از این چنین روش ها روش های زیر فضایی 46هستند. مشاهدات اصولی به گونه ای برقرارند که اگر ماتریس سیگنال S از مرتبه کامل باشد اطلاعات ورودی بدون نویزبه محدوده47ستون های A محدود می شوند که توسط نمادspan{A}مشخص می شوند که زیرفضای سیگنال نامیده می شود. آسان است نشان دهیم که زیرفضای سیگنال توسط بردار ویژه اصلی از ماتریس هم بستگی اندازه گیری 48می شود که به شکل زیر بیان می شود:

بنابراین زیرفضای سیگنال از روی اطلاعات موجودی که توسط بردار ویژه اصلی از ماتریس هم بستگی نمونه هابه دست می آیند تخمین زده می شود:

یعنیشامل بردار ویژه اصلی از زیرفضای سیگنال می باشد وشامل بردار ویژه اصلی از زیرفضای نویز می باشد. اگر حالت ایده آل را در نظر بگیریم:

و از آنجایی که و بر هم عمود می باشند داریم:
در الگوریتم MUSIC این رابطه با تشکیل یک شبه طیف 49 استخراج می شود:

تخمین های DOA در الگوریتم MUSIC در حال حاضر عدد از بلندترین قله ها از می باشند. از آنجایی که وقتی می باشدو بنابراین طیف MUSIC می تواند برای مقادیر بالای N(مقادیر بالای SNR )نقاط نزدیک به منابع را بیابد. این روش تنها نیاز به یک جستجوی یک بعدی دارد که این ویژگی آن مشابه با روش تشکیل پرتو به فرم کلاسیک می باشد اما یک بار محاسباتی اضافی در آن وجود دارد که همان تجزیه ویژه می باشد. یعنی اگر باشد تجزیه ویژه می تواند به طور مؤثر ی محاسبه شود. به همین خاطر از زمانی که این روش در آخر دهه 1970 معرفی شد خودش و تغییراتش خیلی معروف شده اند. دوباره بیان می کنیم که ماتریس سیگنال نیاز دارد که از مرتبه کامل باشد تا روش MUSIC در آن بتواند کار بکند (یعنی منابع منسجم نمی توانند به کار گرفته بشوند). برای آرایه های ULA تکنیک هایی که متوسط گیری پس و پیش50 و صاف کردن فضایی51 نامیده می شوند ارایه شده اند تا بتوانند بر این محدودیت غلبه کنند.
5-1-2- الگوریتم خود کالیبراسیون و تخمین DOA برای آرایه دایره ای یکنواخ

پایان نامه
Previous Entries منبع پایان نامه با موضوع ترتیب نزول، شبیه سازی Next Entries منبع پایان نامه با موضوع شبیه سازی، داده های ورودی