چاربرداری، و استفاده از رابطهی به دست میآید. با احتساب جملهی مربوط به منبع بار در کُنش (3-1-1)، با وردش کُنش نهایی نسبت به میدان پیمانهای در فضازمانی 1+3 بُعدی با پیکربندی مینکوفسکی، معادلات میدان الکترومغناطیسی به صورت زیر بدست میآیند
(3-1-3)
این معادلات اساس تمام پدیدههای الکترومغناطیسی هستند. و معرف چگالی جریان و بار آزاد چشمهها هستند. ممکن است در یک محیط مادی جابه‌جایی الکتریکی و شدت میدان مغناطیسی رابطهی سادهای با میدانهای الکتریکی و مغناطیسی نداشته باشند، در کلیترین حالت، این ارتباط توسط روابط ساخت‌مندی و بیان میشود. علاوه بر این برای محیط‌های دارای رسانندگی قانون اُهم نیز به صورتِ کلی بیان میشود. این معادلات به همراه معادلهی نیروی لورنتس توصیف کاملی از دینامیک پدیدههای الکترومغناطیسی کلاسیک ارائه میدهند. از نتایج اولیهی این معادلات پیشبینی امواج الکترومغناطیسی ست که تأیید تجربی آن توسط هاینریش هرتز صورت گرفت [27]. از خصوصیات بارز این نوع از امواج، انتشارشان با یک سرعت ثابت جهانی است. از این رو الکترودینامیک ماکسول نمونهای از یک سیستم دینامیکیست که در قلمرو نسبیت خاص قابل توصیف است.
3-1-1 جرم الکترومغناطیسی47 و مسئلهی واگرائی خودانرژی بارهای نقطهای48
واگرایی خود انرژی الکترون یک مسئلهی قدیمی و حل نشده در فیزیک کلاسیک است. از دیدگاه کلاسیکی فیزیک برای محاسبهی انرژی میدان الکتروستاتیکی الکترون میتوان فرض کرد که بار الکتریکی به طور یکنواخت روی سطح کره‌ای به شعاع توزیع شده است. برای یک الکترون ساکن انرژی میدان الکتروستاتیکی، مطابق با رابطهی هم‌ارزی جرم-انرژی اینشتین، باید برابر (یا لااقل با فرض وجود نوع دیگری از جرم در ساختار الکترون متناسب) با محتوای انرژی جرم سکون الکترون باشد؛ یعنی
(3-1-4)
به کمیت شعاع کلاسیکی الکترون اطلاق میشود که مقدار عددی آن برابر است با . جرم هم‌ارز با انرژی الکترون برابر میباشد. ولی از آنجا که الکترون یک ذرهی بدون ساختار داخلی و بدون سایز است (شرایط بار نقطهای) با میل دادن ، انرژی میدان بینهایت میشود. این به مسئلهی واگرایی خودانرژی برای ذرات باردار نقطهای معروف است. با اِعمال اصل بقای جرم-انرژی، برای برخورد یک جفت الکترون و پوزیترون و تبدیل آنها به دو فوتون، دیده میشود که وجود چنین بینهایتی کاملاً منتفی است. هم‌چنین در توصیف حرکت یک الکترون با خودانرژی بینهایت چه میتوان گفت؟ از سوی دیگر برای یک الکترون که با سرعت یکنواخت در فضا در حال حرکت است میتوان رابطهی را برای تکانه‌ی میدانِ الکترون متحرک به دست آورد (این نتیجه، حتی قبل از توسعه‌ی نظریه نسبیت خاص، توسط لورنتس به دست آمده بود). این تکانه متناظر است با ذره‌ای به جرم که موسوم به جرم الکترومغناطیسی الکترون است. با ترکیب روابط مربوط به جرم الکترومغناطیسی و جرم میدان الکترون به رابطهی می‌رسیم که هم‌ارزی جرم-انرژی اینشتین را رعایت نمی‌کند. پوانکاره پیشنهاد کرد که چیزی با منشأ غیر الکترومغناطیسی باید ساختار کروی الکترون را پایدار نگه دارد و این نیروها در مقدار اضافی انرژی ذخیره شده حضور دارند. اما هیچ نظریه قابل اطمینانی برای حضور این نیروها وجود ندارد. خودانرژی از انرژی لازم برای چیدن بار میآید. خودانرژی از یک دیدگاه انرژی برهم‌کنشی ست که یک بخش از الکترون بر بخش دیگر وارد میکند. در عوض میتوان، مطابق پیشنهاد اولیهی فاینمن، فرض کرد که الکترون نمی‌تواند با خودش برهم‌کنش داشته باشد. بدین معنی که الکترون فقط روی بارهای دیگر تأثیر می‌گذارد (پس الکترون می‌تواند یک بار نقطهای باشد). اما هنوز به کُنش یک الکترون روی خودش برای توضیح دادن پدیده‌ی تابش الکترومغناطیسی نیاز داریم. نرخ مقدار کاری که روی یک بار شتاب‌دار انجام می‌دهیم باید برابر با مقدار تابش گسیل شدهی الکترون در واحد زمان باشد. یک بار شتاب‌دار تابش میکند، انرژی از دست می‌دهد و بنابراین نیروی شتاب‌دهنده باید کار انجام دهد. اساسی‌ترین سؤالی که در سازوکار بنیادی پدیدههای الکترومغناطیسی پیش میآید این است که این کار انجام شده توسط یک نیروی خارجی علیه چه چیزی است؟ تاکنون هیچ پاسخ کاملی، حتی در الکترودینامیک کوانتومی، پیدا نشده است. بر طبق فیزیک کلاسیک کار اِعمال شده توسط نیروی خارجی علیه نیروی تولید شده توسط کُنش یک بخش از الکترون روی بخش دیگرش است. با این دیدگاه میتوان نیروی وارد بر یک الکترون متحرک، ناشی از برهم‌کنش نیروهای الکترومغناطیسی یک بخش از الکترون با بخش دیگرش، را به صورت
(3-1-5)
به دست آورد. اولین جمله در رابطهی بالا در توافق با جرم الکترومغناطیسی متناظر با تکانه میدان است. جملهی دوم نیروی واکنشی ناشی از تابش گسیل شدهی الکترون است. به بیان ساده کُنش یک الکترون روی خودش به عنوان جرم الکترومغناطیسی تعبیر میشود. با اعمال فرض نقطهای بودن الکترون () با واگرایی روبرو می‌شویم. وجود جملهی اول (جملهی مربوط به جرم الکترومغناطیسی) تحلیل را خراب میکند. در واقع این جمله نباید وجود داشته باشد. اما از سوی دیگر شواهد آزمایشگاهی نشان میدهند که جرم الکترومغناطیسی وجود دارد. اما در اینجا ناسازگاری درونی نظریه شروع میشود و تاکنون هیچ نوع تعمیمِ کلاسیکی قابل قبولی برای رفع ناسازگاری پیدا نشده است. حتی در حوزه‌ی الکترودینامیک کوانتومی هنوز یک نظریهی کاملاً رضایت‌بخش به‌وجود نیامده است. به همین دلیل هنوز تلاش برای تعمیم نظریه ماکسول، برای رفع واگرایی خودانرژی ذرات باردار نقطهای و ایجاد یک سازگاری درونی در نظریه، در حوزه‌ی فیزیک کلاسیکی وجود دارد. در نگاه اول به نظر می‌رسد با انجام تعمیم معادلات ماکسول بتوان این معادلات را بدون حضور هیچ‌گونه واگرایی کوانتیزه کرد.
3-1-2 اصل برهمنهی خطی49 در نظریه ماکسول
وقتی دو ذره با یکدیگر برخورد میکنند پراکنده میشوند، ولی دو موج از یکدیگر عبور میکنند بدون اینکه تأثیری برهم بگذارند. وقتی دو موج با یکدیگر تداخل میکنند و روی یکدیگر میافتند دامنههاشان به طور جبری با هم جمع میشوند. در بعضی نقاط موجها به گونهای تداخل میکنند که دامنههایی بزرگتر تولید کنند و در بعضی نقاط دامنههایی کوچکتر. به چنین ویژگیای از امواج کلاسیکی اصل برهمنهی خطی میگویند. جوابهای معادلات ماکسول از این اصل، مانند امواج مکانیکی (امواج روی سطح آب، موج صدا و …)، پیروی میکنند.
3-2 نظریه الکترودینامیک غیرخطی
در اینجا به دنبال تعمیمی از نظریه الکترودینامیک ماکسول هستیم به طوری که مشکل واگرایی مربوط به این نظریه را حل کند و در عین حال مفهوم بار نقطهای دست نخورده باقی بماند. از نتایج اولیه نظریه ماکسول پیشبینی امواج الکترومغناطیسی و انتشارشان با یک سرعت ثابت جهانی است. خصوصیت دیگر نظریه ماکسول جوابهای موج و میدانی است که از اصل برهمنهی خطی پیروی میکنند و این اصل در فیزیک آنتنها بدیهی فرض میشود. از طرف دیگر این نظریه نامتناهی شدنِ خودانرژی ذرات باردار نقطهای و نیز واگرا شدن شدیدِ میدان در نزدیکی بار نقطهای را پیشبینی میکند. چنین بینهایتهایی به دلیل ملاحظات مربوط به اصل پایستگی انرژی یک جواب غیرفیزیکی برای ما محسوب میشوند. در اینجا طبیعی است که به فکر تدوین یک نظریهی میدان الکترومغناطیسی غیرخطی باشیم که مشکل نامتناهی شدن خودانرژی ذرات نقطهای را به صورت کلاسیکی حل کند. در طراحی مدلهای الکترودینامیکی غیرخطی برای اجتناب از بینهایت شدن خودانرژی ذرات باردار نقطهای باید فرض کنیم که یک نوع اشباعشدگی (حد بالا) در قدرتِ میدانها اتفاق میافتد. فرض وجود چنین اشباعشدگیای، شکل اولیهی معادلات میدان -در اینجا معادلات ماکسول- را به هم میریزد. بنابراین باید پیکربندی معادلات دچار تغییر اساسی شود ولی تمام نتایج صحیح نظریه ماکسول دوباره بازتولید یا حفظ شوند. اولین نظریهی کاملی که بدین منظور طرح شد و مسئله نامتناهی شدن خودانرژی بارهای نقطهای را به صورت کلاسیکی حل کرد توسط بورن و اینفلد ارائه شد [15]. ابتدا بورن و اینفلد، مطابق مرسوم‌ترین دیدگاه در بین فیزیک‌دانان تحت عنوان دیدگاه دوگانه50، ارتباط زیر را بین ماده و میدان الکترومغناطیسی فرض کردند:
دیدگاه دوگانه : ذرات باردار منابع ایجاد کنندهی میدان الکترومغناطیسی هستند و خودشان نیز تحت تأثیر میدان هستند اما بخشی از میدان محسوب نمی‌شوند و صفت مشخصه‌ی آنها یک لختی‌ست که پس از اندازه‌گیری توسط یک ثابت خاص به اسم جرم معرفی میشوند.
این دیدگاه در مقابل دیدگاه وحدت‌یافته‌ای قرار می‌گیرد که در آن فرض میشود “فقط یک اثر (ماهیت) فیزیکی وجود دارد، آن‌هم میدان الکترومغناطیسی. ذرات مادی به‌عنوان تکینگی‌های میدان در نظر گرفته میشوند و جرم مفهومی مشتق شده است که توسط انرژی میدان (جرم الکترومغناطیسی) بیان میشود”. سه دلیل عمده برای پذیرفتن دیدگاه دوگانه وجود دارد:
1) شکست هرگونه تلاشی برای دست‌یابی به یک نظریه وحدت‌یافته‌ی ذره باردار و میدان الکترومغناطیسی. چنین نظریه‌هایی با دو نقطه نظر متفاوت انجام گرفته بودند:
الف) نظریه‌های شروع شده توسط هویساید، سیرل و تامپسون، و تکمیل شده توسط آبراهام، لورنتس و دیگران فرض‌هایی هندسی درباره شکل و رفتار جنبشی الکترون و توزیع چگالی بار (مانند مدل الکترون سخت آبراهام و مدل الکترون منقبض‌شونده‌ی لورنتس) را به وجود آوردند که همگی با شکست مواجه شدند. زیرا آنها برای توجیه مدل‌هایشان مجبور شدند که نیروهایی چسبنده با منشأ غیرالکترومغناطیسی و ناشناخته معرفی کنند.
ب) نظریهی غیرخطی گوستاو مای که تعمیمی از معادلات ماکسول است و از فرض‌های خاص درباره‌ی الکترون اجتناب کرده است. ولی این نظریه نیز با شکست مواجه شد زیرا معادلات میدان مای ویژگی غیرقابل‌قبولی دارد؛ حل آنها به مقدار مطلق پتانسیل‌ها وابسته است.
2) نتیجه‌ی نظریه نسبیت خاص مبنی بر اینکه وابستگی مشاهده شدهی جرم به سرعت به هیچ‌وجه مشخصه‌ی جرم الکترومغناطیسی نیست ولی میتوان این وابستگی جرم به سرعت را از تبدیلات لورنتس به دست آورد.
3) مکانیک کوانتوم مرسوم مطابق با دیدگاه دوگانه است.
یک نظریه فیزیکی مناسب باید از هرگونه بینهایتی اجتناب کند. بورن و اینفلد با هدف ارائه نمودن معادلات میدانی جدید عاری از واگرایی، در خطوط کلاسیکی آن بدون وارد شدن به حوزه‌ی مکانیک کوانتوم، یک لاگرانژی را برای نظریه میدان غیرخطی جدید معرفی کردند. ایده‌ی شکلِ لاگرانژی نظریه الکترودینامیک غیرخطی از لاگرانژی نظریهی نسبیت خاص گرفته شده است. بورن و اینفلد، مشابه فرض وجودِ یک حدِ بالا در سرعت ذرات مادی در لاگرانژی نظریه نسبیت خاص، فرض کردند که در غیاب میدانهای مغناطیسی یک حدِ بالای مطلق برای شدتِ میدان الکتریکی وجود دارد. کُنش کلاسیکی مربوط به نظریهی میدان غیرخطی الکترومغناطیسی در 1+3 بُعد، با فضای پیکربندی ریمانی به صورتِ زیر ارائه می شود
(3-2-1)
که در آن لاگرانژی نظریه الکترودینامیک غیرخطی میباشد. در اینجا نظریه الکترودینامیک غیرخطی بورن-اینفلد را به همراه دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی دیگر بررسی می‌کنیم. در این صورت مقایسه رفتار سه مدل الکترودینامیک غیرخطی برای فهم عمیق‌تر نظریه مفید خواهد بود. شکل لاگرانژی‌ها به صورت زیر معرفی میشود
(3-2-2)
که در آن موسوم به پارامتر غیرخطی است و در ابعادی که کار می‌کنیم، مطابق بخش قرارداد یکایی در فصل اول، دارای یکای جرم است. این پارامتر نقش تنظیم کنندهی جوابهای نظریه را به عهده دارد و حد بالایی روی شدت میدان اِعمال میکند، بنابراین مقدار آن بسیار بزرگ خواهد بود. به پارامتر قدرت میدان مطلق51 می‌گوئیم. در لاگرانژی‌های معرفی شدهی (3-2-2)، همان کنشِ مربوط به الکترودینامیک بورن- اینفلد [15]، مربوط به شکل لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی52 [29] و مربوط به شکل نمائی الکترودینامیک
