ه است که توصیف کنندهی رفتار آن پدیدهها هست ولی چیزی دربارهی ماهیت و سازوکار این رفتار نمیگوید. برای مثال قانون پایستگی انرژی و قانون گرانشی نیوتن. در اینجا میتوان با روابط ریاضی مربوط به این قوانین کار کرد، کمیات را در آنها قرار داد و به یک نتیجه و رفتار رسید. فیزیک مدرن به سطح عمیقتر پدیدهها نگاه میکند، برای مثال با گلوئونها سازوکار برهمکُنش قوی را توضیح میدهند، بوزونهای و را مسئول نیروها در برهمکُنش ضعیف میدانند و فوتونها مسئولیت برهمکُنشهای الکترومغناطیسی را بر عهده دارند. اما تاکنون هیچ چیز و سازوکاری پیدا نشده است که ماهیت گرانش را توضیح دهد. یعنی هیچ توضیح رضایتبخشی برای گرانش بر حسب نیروهای دیگر یا ذرات بنیادی وجود ندارد. تنها توصیفی که تاکنون توانسته است سازوکار گرانش را توسطِ اجزایی بنیادی توضیح دهد نظریهی بحث‌برانگیز ریسمان است که حیاتش منوط به وجودِ ابعادِ اضافی در فضازمان است [1].
از دید یک نظریه ریسمان، رفتار هندسی فضازمانِ توصیف شده توسط نظریه نسبیت عام حد کلاسیکی یک نظریه گرانش کوانتومی‌ست که به واسطه‌ی مقیاس‌های عظیم انرژی از دنیای ماکروسکوپیک ما جدا شده است، و این رفتار به عنوان تجلی‌ای از خمشِ فضازمان توسط ما درک میشود. بنابراین با کارکردن در پارادایم میدانهای کلاسیکی گرانشی در ابعاد بالا می‌توانیم به رفتارهای حدی نظریههای منتج‌شده از ریسمان دست پیدا کنیم. در نتیجه با محدود کردن خود در پارادایم میدانهای کلاسیکی گرانشی در ابعاد بالا، در حضور خمش مراتب بالا، انتظار می‌رود ویژگی‌هایی از جمله “انواع فضازمان‌های مشابه جواب‌های نظریه نسبیت عام (گسترش یافته شده به ابعاد بالا)” ، “وجود تکینگی30 در فضازمان” و “اُفق رویداد31″، دوباره ولی با پیچیدگی‌های بیشتر، ظهور کنند. در این بین میتوان از یک نظریه گرانشی خمش مراتب بالا بدون فرضِ اَبرتقارن استفاده کرد. این نظریه گرانشی در ابعاد بالا میتواند، به منظور داشتن ویژگی‌های نظریه نسبیت عام، گسترش استاندارد نظریه نسبیت عام در ابعاد بالا باشد. در این بین حل‌های سیاه‌چاله‌ای گرانش در ابعاد بالا میتواند نقش مهمی را در ارتباط بین گرانش و اَبرریسمان (کاندیدای نظریه گرانش کوانتومی احتمالی) ایفا کند. در اولین قدم، سیاهچالهها به عنوان سیستم‌هایی که میتوان آنها را به صورت نیمه کلاسیکی، یعنی با لحاظ کردن بعضی ملاحظات کوانتومی، در نظر گرفت میتوانند مهمترین نقش را ایجاد ارتباطِ هم‌زمانِ مفاهیمی هم‌چون خمش مراتبِ بالا32، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیک سیاهچالهها33 داشته باشند. از سوی دیگر از طریق مطالعهی لایهها در نظریه ریسمان است [2,4] که کُنشی غیرخطی برای میدانهای الکترومغناطیسی از نوع کُنش بورن-اینفلد34، که قبلاً به طور مستقل برای تعمیم کلاسیکی نظریه الکترومغناطیس ماکسول35 پیشنهاد شده بود، پیدا میشود [4]. این لایههای چند بُعدی از یک دینامیک غیرخطی برای میدانهای الکترومغناطیسی مانند الکترودینامیک نظریه بورن-اینفلد تبعیت میکنند36. همانند سیاهچالهها، مفهومی تحت عنوان لایههای سیاه را میتوان وارد حوزه‌ی نظری بررسی‌ها کرد، که نام لایه‌ی سیاه اشاره به اُفق‌های توپولوژیکی با شکل‌های کاملاً منحصربه‌فرد دارد. لایههای سیاه همانند سیاهچالهها نقشی کلیدی در درکِ مفاهیمی هم‌چون خمش مراتب بالا، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیکِ اُفق‌شان دارند. بنابراین انگیزه‌های لازم برای یافتن جواب‌های نظریه گرانش خمش مراتب بالا در حضور یک دینامیک غیرخطی از میدانهای الکترومغناطیسی به دست می‌آید.
در حال حاضر باور عمومی فیزیکدانان بر این است که نظریهی گرانشی اینشتین حد انرژیهای پایین یک نظریهی گرانش کوانتومی است. بنابراین صرف‌نظر از طبیعت بنیادی گرانش کوانتومی، باید یک کُنش مؤثر در انرژیهای پایین وجود داشته باشد که گرانش را در سطحی کلاسیکی توصیف کند. این کُنش مؤثر شامل کُنش اینشتین-هیلبرت به علاوه‌ی جملات خمش مراتب بالا میشود. ظهور جملات خمش مراتب بالا در بازبهنجارش نظریه میدانهای کوانتومی در فضازمان‌های خمیده [6] و یا در ساختن کُنش‌های مؤثر انرژی پایین در نظریه ریسمان دیده میشود .[7] در کیهان‌شناسی جهان‌لایه‌ای (که با نظریه ریسمان سازگار است) نیز فرض بر این است که ماده و میدانهای پیمانه‌ای در یک لایه جایگزیده و درون یک فضازمان با ابعاد بالاتر محصور شده‌اند و میدان گرانشی میتواند در سرتاسر این فضازمان با ابعاد بالا منتشر شود. این‌ها دلایلی هستند که نیاز به بررسی گرانش در ابعاد بالا را مهم و بنیادی جلوه میدهند. در این راستا چارچوبی که برای بررسی گرانش در ابعاد بالا، از یک کُنش مؤثر کلاسیکی، انتخاب میکنیم چارچوبی‌ست که فرضیات اینشتین در نسبیت عام را نگه دارد و در عین حال در ابعاد بالا در انرژیهای پایین نظریه اَبریسمان سازگار باشد. چنین چارچوبی مدل گرانش لاولاک37 است [8,9]. از آن‌جایی که تنها کُنش‌های مؤثری که شامل جملات مراتب بالا از مشتقات مرتبه دوم متریک هستند بدون شبح38 می‌باشند [10]، و گرانش لاولاک از چنین خاصیتی برخوردار است، بنابراین مناسب‌ترین کُنش برای برای بررسی گرانش در ابعاد بالا به نظر می‌رسد39. در نتیجه به نظر لازم می‌آید که اثرات خمش مراتب بالا را در ویژگی‌ها و ترمودینامیکِ جواب‌های سیاه‌چاله‌ای بررسی نماییم. در این پایان‌نامه گرانش لاولاک را تا چهار جمله اول بررسی میکنیم که آن را تحتِ عنوانِ گرانش لاولاک مرتبه سوم ارجاع می‌دهیم (اولین جمله در کُنش لاولاک با شماره‌ی صفر مشخص میشود). از سوی دیگر در حد انرژیهای پایین نظریههای ریسمان کُنشی غیرخطی از نوع کُنش بورن-اینفلد ظاهر میشود [11-14]. در این کُنش یک لاگرانژی جدید به جای لاگرانژی ماکسول قرار میگیرد که مشکل نامتناهی شدن خود انرژی ذراتِ باردار نقطهای را، به صورت کلاسیکی، حل میکند[15]. این کُنش میتواند به عنوان تصحیحات ریسمانی بر روی نظریه ماکسول در نظر گرفته شود. بنابراین طبیعی به نظر می‌رسد که، با توجه به مطالب گفته شده، به دنبال جواب‌های سیاه‌چاله‌ای و همچنین لایههای سیاه در ابعاد بالا باشیم. هنوز فهم دقیق و کاملی در مورد ارتباط بین چارچوبهای نظریِ گرانشِ خمش مراتب بالا، نظریه ریسمان، فیزیکِ سیاهچالهها، و مفهومِ ابعاد بالاتر از 1+3 بُعد بدست نیامده است و به همین دلیل تاکنون گرانش لاولاک نقش یک آزمایشگاه را برای فیزیکدانان در ابعاد بالا داشته است. سیاهچالهها و لایههای سیاه در ابعاد بالا نقطه برخورد مفاهیمی هم‌چون خمش مراتبِ بالا، گرانش کوانتومی، ابعاد بالا و ترمودینامیکِ اُفق‌شان هستند و از این حیث پیدا کردن چنین جواب‌هایی ضروری می‌باشد. بنابراین انگیزه‌ای علمی ایجاد میشود که سیاهچالهها و لایههای سیاه مربوط به گرانش خمش مراتب بالا، در حضور یک دینامیک غیرخطی برای میدانهای الکترومغناطیسی، پیدا و بررسی شوند. تاکنون گرانش لاولاک مرتبه سوم فقط در حضور دینامیک غیرخطی بورن-اینفلد برای میدانهای الکترومغناطیسی مورد بررسی قرار گرفته است [16]. هدف این تحقیق پیدا کردن جواب‌های گرانش مرتبه سوم در حضورِ کلاس‌های نمائی و لگاریتمی از نظریه الکترودینامیک غیرخطی (به عنوان کُنش‌های بورن-اینفلد گونه) و بررسی ترمودینامیک اُفق جواب‌ها است.
در این راستا چنین طرحی برای ساختار پایان‌نامه در نظر گرفته‌ایم:
ابتدا در فصل دوم نظریه نسبیت عام اینشتین را با تأکید بر روی بُعد چهارم زمان مرور میکنیم و به بررسی اصول و مهمترین نتایج این نظریه میپردازیم. در این بین، مفاهیمی را که برای بحث در ابعاد بالا به آنها نیازمندیم ابتدا در حوزه نسبیت عام مطرح میکنیم، بنابراین تعمیم آنها به ابعاد بالا سرراستتر خواهد بود. در ادامه گرانش لاولاک مرتبه سوم را، به عنوان امتداد استاندارد نظریه نسبیت عام به ابعاد بالا، معرفی میکنیم.
در فصل سوم به مطالعهی نظریه الکترودینامیک غیرخطی به عنوان تعمیمی از نظریه ماکسول میپردازیم. در این بین دو انگیزه‌ی مهم نظری وجود دارد: رفع مشکل نامتناهی شدن خودانرژی بارهای نقطهای در نظریه ماکسول و پیروی کردن میدانهای الکترومغناطیسی در جهان‌حجم‌های -لایهها از یک دینامیک غیرخطی برای میدانهای الکترومغناطیسی، نظیر الکترودینامیکِ شبه بورن-اینفلد. در ادامه مشکل نظری معادلات ماکسول و ناسازگاری درونی نظریه را خاطر نشان می‌سازیم و به معرفی نظریه الکترودینامیک غیرخطی، به منظور رفع این ناسازگاری میپردازیم. در پایان با به دست آوردن میدانهای الکتروستاتیکی مقایسه‌هایی بین کلاس‌های نمائی، لگاریتمی و بورن-اینفلد انجام می‌دهیم و سپس ایده‌ی اصل برهم‌نهی غیرخطی برای میدان‌ها را، با توجه به معادلات موج نظریه، ارائه می‌دهیم.
در فصل چهارم نیز به منظور ورود به بحث ترمودینامیک سیاهچالهها ابتدا به بیان قوانین مرسوم ترمودینامیک برای سیستم‌ها در طبیعت میپردازیم. سپس در تناظر با قوانین ترمودینامیک مرسوم، قوانین ترمودینامیک مربوط به سیاهچالهها را مرور میکنیم و سپس این بحث را به سیاه‌چاله‌های ابعاد بالا می‌کشانیم.
در فصل پنجم، که مهمترین فصل این تحقیق محسوب میشود، با توجه به انگیزه‌های گفته شده جواب‌های سیاهچالهها و لایههای سیاه گرانش لاولاک را در حضور دو کلاس نمائی و لگاریتمی از نظریه الکترودینامیک غیرخطی را پیدا میکنیم. سپس جواب‌ها را به تمام ابعاد گسترش می‌دهیم. در این بین شاهد خصوصیات جدیدی از گرانش خمش مراتب بالا خواهیم بود که نظیر آن در گرانش اینشتین دیده نمی‌شود. در ادامه به بررسی ترمودینامیک و محاسبه کمیت‌های پایای ترمودینامیکی برای جواب‌ها خواهیم پرداخت. در انتها نیز تحلیلی از پایداری ترمودینامیکی سیاهچالهها و لایههای سیاه ارائه خواهیم داد.
در نهایت فصل ششم را با جمع‌بندی نتایج و مرور کار انجام شده و ارائه چند طرح پیشنهادی به پایان می‌رسانیم.
فصل دوم
گرانش در ابعاد بالا
ابتدا در بخش اول، نظریهی نسبیت عامِ اینشتین را به عنوان چارچوبی که در آن به مفاهیمی چون فضا، زمان و گرانش میاندیشیم مرور میکنیم. در این نظریه زمان به منزلهی بُعد چهارم، به عنوان یک اِلزام و نه یک فرض، در نظر گرفته میشود. سپس به مطالعهی مهمترین رئوس نظریه نسبیت عام و مفاهیم استخراج شده از آن میپردازیم. در ادامه گرانش لاولاک که گسترش استاندارد نظریه نسبیت عام به ابعاد بالا است را با توجه به انگیزه‌های گفته شده در فصل مقدمه معرفی میکنیم.
2-1 بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتین
در یک دستگاه مختصات متعامدِ تختِ دو بُعدی، عنصر ناوردای فاصله بینهایت کوچک توسط رابطهی فیثاغورث تعیین میشود. گسترش این رابطه به یک دستگاه مختصات متعامدِ تخت سه بُعدی به رابطهی ناوردای میانجامد. از لحاظ منطق ریاضیاتی میتوان این گسترشِ مختصاتِ متعامدِ تخت را همچنان ادامه داد. به این دستگاههای مختصاتی، چارچوبهای دکارتی میگوئیم. یک چارچوب دکارتی 3 بُعدی، که آن را با نشان می‌دهیم، میتواند موقعیت و فاصلهی تمام اجسام در فضای فیزیکی را تعیین کند. میتوان مختصهی چهارمی، تحت عنوانِ زمان، به چارچوب دکارتی 3 بُعدی اضافه کرد که موقعیت و فاصلهی اجسام را در فضا و زمانِ فیزیکی نمایش دهد. در این چارچوب 1+3 مختصهای دو جسم میتوانند در یک مکان باشند ولی در زمانهای متفاوت؛ و در یک زمان میتوان دو جسم در مکانهای متفاوت داشت. در این چارچوب، صفحاتِ زمان ثابت، فضای فیزیکی را به صورتِ صفحاتی تخت لایهبندی میکند (شکل 1-1). این ترسیم تفکر نیوتنی از فضا و زمانِ مطلق است. در نظریه نیوتنی دو رویداد میتوانند، به طرز کاملاً خوشتعریف و بدون ابهامی، همزمان رخ دهند؛ یعنی فرضِ همزمانی مطلق. در آن تعیین زمان مستقل از انتخاب فضای مرجع است، یعنی برای هر دو چارچوبِ دکارتی لختی گذر زمان یکسان است و این مبنایی نظری برای تبدیل گالیلهای است. برای انجام یک تحلیل همزمانی بین دو رویداد باید تأخیر زمانی در رسیدن
