منبع پایان نامه ارشد درباره دینامیکی

دانلود پایان نامه ارشد

را برای آنتروپی فضازمانهای مجانباً تخت انجام داده است. در این صورت قانونهای صفرم، دوم و سومِ ترمودینامیکِ سیاهچالهها به طور اتوماتیک، اما در حضور خمشهای مراتب بالا، دوباره برقرار میشوند. تنها نکتهی غیربدیهی برقراری قانون اول ترمودینامیک برای این نوع از سیاهچالههای گرانشِ خمشِ مراتب بالاست. والد نشان داد که آنتروپی سیاهچاله همیشه میتواند به عنوان یک کمیتِ هندسی موضعی انتگرالگیری شده بر سرتاسرِ ناحیهی فضایی سطحِ مقطعِ اُفق رویداد بیان شود. آنتروپی والد به شکل [49,50]
(4-3-1)
میباشد که در آن لاگرانژی، بردار نرمالِ واحدِ اُفق و اِلمان سطحِ اُفق است. با قرار دادن لاگرانژی لاولاک در رابطهی آنتروپی والد، شکل تعمیم یافتهی آنتروپی در ابعاد بالاتر برای گرانش لاولاک بهدست میآید، که برای گرانش لاولاک مرتبه اول به همان قانون مساحتِ آنتروپی گرانش اینشتین میرسیم. آنتروپی والد در حضور لاگرانژی لاولاک بهصورت زیر در میآید
(4-3-2)
که در آن انتگرالگیری روی اَبَرسطح فضاگونهی بُعدی اُفق کیلینگ انجام میگیرد، و متریکِ القایی وابسته به اُفق، دترمینانِ و لاگرانژی لاولاک مرتبهی اُمِ است. بنابراین آنتروپی والد در گرانش لاولاک مرتبه سوم به صورت زیر خواهد شد
(4-3-3)
که در آن و بهترتیب تانسورهای ریمان و ریچی و اسکالر ریچی برای متریکِ القایی روی اُفقِ بُعدی هستند. در این تحقیق جوابهای سیاهچاله‌ای مجانباً تخت برای گرانش لاولاک مرتبه سوم را به دست خواهیم آورد که برقراری قانون اول ترمودینامیک برای این جوابها را با استفاده از آنتروپی والد بررسی میکنیم. با برقراری قانون اول در کنار سه قانونِ دیگرِ ترمودینامیک سیاهچالهها، توصیف کاملی از ترمودینامیک اینگونه از سیاهچالهها خواهیم داشت. از سوی، به دلیل اهمیت فضازمانهای مجانباً ، علاقهمند به بررسی اینگونه از فضازمانها نیز هستیم. از آنجاییکه آنتروپی والد برای فضازمانهای مجانباً تخت نوشته شده است، و در گرانش لاولاک هنوز فرمولبندی کلیای برای آنتروپی ارائه نشده است، برای محاسبه آنتروپی برای فضازمانهای مجانباً از رابطهی گیبس-دوهم به صورت زیر استفاده میکنیم
(4-3-4)
که در آن کُنش متناهی نهایی مربوط به جوابها، و و نیز به ترتیب کمیتهای پایسته (فزونور) و پتانسیلهای شیمیایی (نافزونور) وابسته به این کمیتهای پایسته هستند. در واقع با استفاده از این رابطهی گیبس-دوهم داریم برای فضازمانهای مجانباً در گرانش لاولاک یک آنتروپی مناسب مینویسیم که به منزلهی نوشتن ترمودینامیک برای اینگونه از فضازمانهاست. این کار را برای بررسی ترمودینامیک لایههای سیاه انجام خواهیم داد.

4-4 کمیتهای ترمودینامیکی
برای بررسی قانون اول ترمودینامیک سیاهچالهها (و همچنین لایههای سیاه) باید بتوانیم کمیت (بار)های ترمودینامیکی مورد نیاز را محاسبه کنیم. با معرفی شدن جرم، تکانه زاویهای، دما و آنتروپی در بخشهای پیشین به معرفی بقیه کمیتهای ترمودینامیکی میپردازیم.

4-4-1 بار الکتریکی
برای محاسبهی بار الکتریکی بر واحد حجم (منظور از حجم همان ابر سطح و ثابت است)، ابتدا تصویر میدان الکترومغناطیسی را بر روی یک ابرسطح بهدست میآوریم. بردارهای عمود بر این اَبرسطح را به صورت زیر تعریف میکنیم:
(4-4-1)
با توجه به روابط فوق، میدان الکتریکی برابر است با:
(4-4-2)
بنابراین بار الکتریکی کل بر واحد حجم را میتوان با محاسبهی شار میدان الکتریکی در بینهایت فضایی محاسبه نمود.

4-4-2 پتانسیل الکتریکی
پتانسیل الکتریکی کمیت وابسته به بار الکتریکی‌ست و در رابطهی قانون اول ترمودینامیک برای سیستمهای باردار ظاهر میشود. پتانسیل الکتریکی که توسط ناظری در یک چارچوب مرجع نسبت به اُفق رویداد اندازهگیری میشود، با استفاده از رابطهی زیر محاسبه میگردد [51]
(4-4-3)
و در چارچوب مرجع ناظر را برابر صفر انتخاب میکنیم. در این رابطه، پتانسیل برداری و مولدهای نول61 افقِ رویداد – ترکیبی خطی از بردارهای کیلینگ – هستند.

4-4-2 سرعت زاویه‌ای
با استفاده از روش استمرار تحلیلی62 میتوان سرعت زاویهای سیاهچاله را محاسبه کرد. برای استفاده از این روش ابتدا با نامگذاری پارامترهای چرخش با علامتِ و مختصههای متناظر با پارامترهای چرخش با علامتِ ، و سپس با قرار دادن و متریک را به فرم اقلیدسی در میآوریم. همچنین برای خوشرفتاری فضازمان در اُفق رویداد، ها باید متناوب و خوشرفتار باشند. یعنی:
(4-4-4)
که در آن و ها بهترتیب عکس دمای هاوکینگ و سرعتهای زاویهای اُفق رویداد هستند.

فصل پنجم
ترمودینامیک جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاسهای نمائی و لگاریتمی نظریه الکترودینامیک غیرخطی

در این فصل جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم را در حضور دو کلاسِ نمائی و لگاریتمی از نظریه الکترودینامیک غیرخطی معرفی میکنیم. ابتدا، به منظور معرفی جرم هندسی در گرانش لاولاک مرتبه سوم و انجام محاسبات عددی، به ارائه و تحلیل جوابهای 1+6 بُعدی میپردازیم و سپس این جوابها را به ابعاد بالاتر گسترش میدهیم. در این بین دو رده جدید از جوابهای سیاهچالههای مجانباً تخت و لایههای سیاه مجانباً را در حضور کلاسهای الکترودینامیک و به دست میآوریم. سیاهچالههای گرانش لاولاک همان گسترش سیاهچالههای 4-بُعدی گرانش اینشتین به ابعاد بالا، در حضور خمش مراتب بالا، هستند ولی میتوانند دارای خصوصیاتی متفاوت از سیاهچالههای گرانش اینشتین باشند که به این تفاوتها اشاره میشود. لایههای سیاه تعمیمِ توپولوژیکی از سیاهچالهها و ریسمانهای سیاه هستند که مشخصه آنها در شکل اُفق رویدادشان است. در ادامه ترمودینامیک این رده از سیاهچالهها و لایههای سیاه را مورد بررسی قرار میدهیم، کمیتهای پایا را برای آنها محاسبه میکنیم و نشان میدهیم که قانون اول ترمودینامیک برای آنها برقرار است. در انتها، به تحلیل پایداری جوابها میپردازیم.

5-1 کُنش و معادلات میدان گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی

کُنش گرانشی در بُعد، برای فضازمانهای مجانباً (آنتی) دوسیته، با مرزِ ، در حضور یک منبع غیرخطی از میدانهای الکترومغناطیسی به صورت زیر است
(5-1-1)
که در آن ثابت کیهانشناسیست و مقدارش برابر میباشد و علامت مثبت این ثابت مربوط به فضاهای مجانباً دوسیته و علامت منفیاش مربوط به فضاهای مجانباً آنتی دوسیته است. ، و همان جملات اول، دوم (گاؤس-بونه) و سومِ لاگرانژی لاولاک هستند که در فصل مربوط به نظریه لاولاک معرفی شدند. ضرایب لاولاک نیز به محدود میشوند زیرا بر طبق نتیجهای که از نظریه ریسمان به دست میآید این ضرایب باید مثبت باشند [60]. در کُنش بالا جملهی مرزی کُنش به منظور خوشرفتار کردن معادلات میدان و جملهی معرف کُنش کانترترم برای گرانش لاولاک مرتبه سوم است. در کُنش گرانشی شکلهای نمائی و لگاریتمی نظریهی الکترودینامیک غیرخطی را برای تانسور انرژی-تکانه در نظر میگیریم
(5-1-2)
با وردش دادن کُنش گرانشی نسبت به تانسور متریکِ و پتانسیل برداری ، معادلات عام میدانهای گرانشی و الکترومغناطیسی به صورت زیر به دست میآیند
(5-1-3)

که
(5-1-4)
تانسور انرژی-تکانه مربوط به میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی است و . در معادلات میدان گرانشی همان تانسور اینشتین، و و تانسورهای مرتبه دوم و سوم لاولاک هستند که در بخشِ 2-6 معرفی شدند.

5-2 جوابهای سیاهچالهای باردار استاتیک در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکلهای نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی

در این بخش هدف اصلی ما به دست آوردن جوابهای سیاهچالهای باردار برای دو فضازمان با کلاسهای الکترودینامیکی نمائی و لگاریتمی است. در واقع میخواهیم جوابهای معادلات حاکم بر میدان عام گرانشی و الکترومغناطیسی (5-1-3) را بیابیم. عامترین متریک ایستای بُعدی را به صورت زیر را در نظر میگیریم
(5-1-5)
که در آن به صورتِ
(5-1-6)
میباشد. در رابطهی بالا ، که نوع تقارن به کار رفته در فضازمان را مشخص میکند، متریک یک اَبَرسطح بُعدی با خمشِ ثابتِ و حجمِ میباشد. با انتخاب پتانسیل پیمانهای به صورتِ و قرار دادن آن در معادلات حاکم بر میدانِ الکترومغناطیسی و حل کردن معادلات دیفرانسیلِ حاصل شده به صورتِ
(5-1-7)
برای پتانسیل الکتریکی رابطهی زیر را بدست میآوریم
(5-1-8)
که در آن و یک ثابت انتگرالگیری متناسب با پارامتر بار است.
در رابطهی (5-1-8)، نمایانگر یک تابع فوق هندسی است و در تمام این پایاننامه قراردادهای زیر برای تابعهای فوق هندسی63 به کار برده میشود:
(5-1-9)
پتانسیل پیمانهای نیز به صورتِ
(5-1-10)
به دست میآید. لازم به ذکر است که با میل کردنِ (معادل با و یا ) توابع فوق هندسی به میل میکنند و بنابراین در حد روابط بالا به پتانسیل پیمانهای میدانهای ماکسولی کاهش مییابند. همچنین با استفاده از رابطه میتوان نشان داد که تنها مؤلفههای غیرصفر تانسور میدان الکترومغناطیسی مؤلفهی است
(5-1-11)
با در دست داشتن تانسور میدان الکترومغناطیسی میتوانیم تانسور انرژی-تکانه را با استفاده از رابطهی (5-1-4) تشکیل دهیم. برای تانسور انرژی-تکانهی ماکسول یک واگرایی در محل بار نقطهای دیده میشود، چنین واگرایی ای در تانسور انرژی تکانهی الکترودینامیک لگاریتمی وجود ندارد، ولی در تانسور انرژی تکانهی الکترودینامیک نمائی هنوز واگرایی در مبدأ باقی میماند اما شدتِ این تکینگی بسیار ضعیفتر از مشابه آن در نظریه گرانشی اینشتین-ماکسول است. با داشتن تانسور انرژی-تکانه و متریک معرفی شده در رابطههای (5-1-5) و (5-1-6)، معادلات دیفرانسیلی حاکم بر میدان گرانشی برای تقارنهای مختلف به دست میآید که شکل بُعدی مولفهی آن برای کلاسهای و به ترتیب به صورتِ زیر است:
(5-1-12)

مؤلفهی معادلات میدان با یک ضریب ضربی اضافی برابر با مؤلفهی معادلات میدان است و جوابهایی که در این معادلهی دیفرانسیل صدق میکنند کلیترین جوابها هستند و از حل همزمانِ تمامِ مؤلفهها باز همان جوابهای قبلی بازتولید میشوند. بنابراین کار کردن با معادلهی دیفرانسیل مؤلفهی برای تمام هدفهای ما کافیست.

5-2-1 جوابهای باردار استاتیک 1+6 بُعدی
معادلات میدان گرانش لاولاک در هر بُعد عامترین معادلات میدان بر حسب مشتقات مرتبه دوم متریک است و طبیعیترین تعمیم از نظریه نسبیت عام به ابعاد بالا، با حفظ اصول نظریه نسبیت عام، به شمار میرود. بنابراین جواب معادلات میدان گرانشی مرتبه سومِ گرانشِ لاولاک در 1+6 بُعد، عامترین جوابِ میدانِ گرانشی بر اساسِ استانداردهای نظریه نسبیت عام خواهد بود. از آنجاییکه جوابهای معادلات میدان گرانشی با ضرایب لاولاکِ و مستقل بسیار طولانی و تحلیل کردن آنها غیر ممکن میباشد حالت خاصی را در نظر میگیریم که در آن ضرایب لاولاک به یکدیگر وابسته باشند و این وابستگی، با حفظِ یکاهای مناسب برای ضرایب لاولاک در 1+6 بُعد، به صورتِ میباشد [52]. در حضور دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی جوابهای استاتیکی در 1+6 بُعد به صورت زیر معرفی میشوند:
(5-2-1)

که در آن تابع لَمبرت در 1+6 بُعد محاسبه میشود و به صورت میباشد و نیز یک ثابت انتگرالگیری متناسب با پارامتر جرم است. در حالتِ، و اشاره دارند بر:
(5-2-2)
حل انتگرالها نیز در پیوست ج ارائه شده است. یک ویژگی گرانش لاولاک مرتبه سوم این است که جوابهایش در هر بُعد دارای دو شاخهی موهومی (که مزدوج مختلط یکدیگرنداین ب پیمانهرگذاری پارامترها ازحیح

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه ارشد رایگان درمورد اخلاقي، زيباشناختي، جنبه‌هاي Next Entries پایان نامه ارشد رایگان درمورد ناخودآگاه، سازمان ملل