منبع پایان نامه ارشد درباره دینامیکی

دانلود پایان نامه ارشد

برمیگردد. روش لاولاک یک فرمالیزم ریاضیاتی‌ست که با انجام روند تکرار طی یک دستورالعمل منجر به ساخت لاگرانژی لاولاک، مطابق با فرضیات اینشتین، در ابعاد دلخواه می‌شود. بنابراین تمام اصولی که برای رسیدن به نظریه نسبیت عام باید لحاظ شوند در این‌جا نیز به قوت خود باقی می‌مانند. بنابراین نسبیت عام حالت حدی گرانش لاولاک در 1+3 بُعد و هم‌چنین حد میدان‌های گرانشی ضعیف است. در این‌جا از آوردن روش لاولاک خودداری می‌کنیم (برای جزئیات بیشتر به [8] مراجعه شود). لاگرانژی لاولاک به صورت
(2-6-1)
نوشته میشود، که در آن بُعد فضازمان را مشخص میکند و یک ثابت اختیاری است که دارای ابعاد میباشد و بر طبق نتیجهای که از نظریه ریسمان به دست میآید این ضرایب باید مثبت باشند [60]. علامت اشاره به قسمتِ جزء صحیحِ حدِ بالای علامتِ مجموع دارد. به شکل
(2-6-2)
است که در آن تانسور انحنای ریمان در بُعد و دلتای کرونکر پادمتقارنِ تعمیم یافته، به صورتِ است. به ازای خواهیم داشت ، که با احتساب یک ثابت مناسب در لاگرانژی نهایی یک جملهی کیهانشناسی در معادلات میدان حاصل میگردد. به ازای خواهیم داشت ، که همان لاگرانژین اینشتین-هیلبرت است. به ازای، جملات مرتبه دوم تئوری لاولاک حاصل میشود که، وقتی مطالعات محدود به مرتبه دوم گرانش لاولاک باشند، به گرانش گاوس-بونه معروف است. لاگرانژی گاوس-بونه به صورت زیر معرفی میشود
(2-6-3)
تأثیراتِ گرانش گاوس-بونه (جملات مرتبه دومِ گرانش لاولاک) در فضازمانهای 1+4 بُعد به بالا ظاهر میشود. به ازای جملاتِ مرتبه سومِ تئوری لاولاک حاصل میشود که به صورت زیر است
(2-6-4)
تأثیرات این جملات در فضا-زمانهای 1+6 بُعد به بالا ظاهر میشود، و با ترکیب کردن این جمله مرتبه سوم با جملات قبلی، معادلات میدان اینشتین بسیار پیچیدهتر از قبل خواهند شد. در این تحقیق گرانش لاولاک را تا چهار جمله‌ی اول (با احتساب ثابت کیهان‌شناسی) مورد بررسی قرار می‌دهیم و جواب‌های معادلات میدان این گرانش را در ابعاد دلخواه، در حضور میدان‌های الکترومغناطیسی غیرخطی، به دست می‌آوریم. جوابهای گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور یک تانسور انرژی-تکانه دارای خصوصیاتی است که در گرانش اینشتین و گرانش گاوس-بونه مشاهده نمیشود. این خصوصیات در فصل پنجم بررسی میشوند. در یک فضازمان تهی وردش کُنش لاولاک تا مرتبه سوم منجر به تولید معادلاتِ میدانِ تهی لاولاک به صورتِ
(2-6-5)
می‌شود که در آن همان تانسور اینشتین است، و و به ترتیب تانسورهای مرتبه دوم و سوم لاولاک هستند و به صورت زیر به دست می‌آیند
(2-6-8)

2-7 کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سوم
با توجه به توضیحات مربوط به گرانش لاولاک کُنش گرانشی لاولاک به صورت زیر نوشته می‌شود
(2-7-1)
و همان‌طور که دیده می‌شود این کُنش در یک فضازمان بُعدی نوشته می‌شود. همان‌طور که برای فضازمان‌های 1+3 بُعدی در نظریه نسبیت عام توانستیم یک مرز نسبت دهیم، و با اضافه کردن یک جمله مرزی در کُنش معادلات میدان اینشتین را تولید کنیم، در این‌جا نیز به کُنش لاولاک می‌توان یک جمله‌ی مرزی اضافه کرد بدون این‌که تأثیری در معادلات میدان لاولاک ایجاد شود. وظیفه‌ی این کُنش مرزی این‌ست که برای خمینه‌های متناهی جمله‌ای متناسب با انتگرال سطحی که شامل مشتق نرمالِ است و در وردش کُنش لاولاک ایجاد می‌شود را حذف نماید. یعنی ایده‌ی گیبونز-هاوکینگ را به گرانش مشتقات بالا گسترش دهیم. این جمله اثری در معادلات میدان عام گرانشی لاولاک ایجاد نمی‌کند و تابعی از هندسه‌ی مرزی فضازمان است. بنابراین برای خوش‌تعریف کردن کُنش باید جملاتی مرزی متناظر با جملات مرتبه دوم و سوم لاولاک به کُنش اولیه اضافه گردند. جمله‌ی مرزی کُنش در گرانش لاولاک مرتبه سوم شکل پیچیده‌ای دارد و به صورت زیر می‌باشد [26]
(2-7-2)
که در آن دترمینان متریک مرزِاست و ردِ انحنای خارجی مرز می‌باشد. در رابطه‌ی بالا جمله‌ی اول در براکت همان جمله‌ی گیبونز-هاوکینگ و دو جمله‌ی دیگر به ترتیب مربوط به جملات مرتبه دوم و سوم کُنش لاولاک هستند. کمیت‌های و نیز به صورت زیر تعریف می‌شوند
(2-7-3)

در این روابط و به ترتیب تانسورهای بُعدی اینشتین و لاولاک مرتبه دوم برای متریک مرزِ هستند. و نیز معرف ردِ عبارت‌های زیر می‌باشند
(2-7-4)

2-8 روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیت‌های پایا
در کُنش‌های گرانشی (2-2-3) و (2-7-1) معرفی شده برای هر دو گرانش اینشتین و لاولاک (به همراه جمله‌ی مرزی کُنش) یک مشکل اساسی وجود دارد: این کُنش‌ها برای فضازمان‌هایی که رفتار مجانبی تخت یا دارند بی‌نهایت می‌شوند. هم‌چنین در محاسبه کمیت‌های پایا از قبیل جرم به مشکل بر می‌خوریم و برای فضازمان جرمی معادل بی‌نهایت می‌یابیم. در مرجع [24] واگرایی‌های کُنش گرانشی برای فضازمان‌های مجانباً تخت و مجانباً بررسی شده است. برای رفع این واگرایی‌ها از تکنیکی موسوم به روش کانترترم44 استفاده می‌شود. در این روش جمله‌ای به کُنش اصلی اضافه می‌گردد که وظیفه آن حذف واگرایی‌هاست. در نتیجه با داشتن جمله‌ی کانترترم در کُنش نهایی، واگرایی‌ها از بین می‌روند و بیان‌های خوش‌تعریفی برای تانسور انرژی-تکانه و کُنشِ گرانشی خواهیم داشت. جمله‌ی کانترترم باید به صورتی باشد که تحت تبدیلات مختصات ناوردا باشد و در معادلاتِ حرکتِ ناشی از کُنشِ حجمی تأثیری نگذارد. پس باید تابعی از هندسه‌ی مرز فضازمان باشد که در تقارن‌ها و معادلات میدان حجم تأثیری نگذارد. در نتیجه جمله‌ی کانترترم فقط تابعی از ناورداهای انحنای مرز به صورت زیر خواهد بود
(2-8-1)
از روی این کُنش دیده می‌شود که ساختِ کانترترم برای فضازمان‌های مجانباً یکتاست. زیرا در آن فقط مقیاس انحنای مطابق رابطه‌ی (2-8-1) دیده می‌شود. در نتیجه با یک بار ساختن آن، می‌توان آن را برای تمام فضازمان‌های مجانباً و هم‌چنین در تمام دستگاه‌های مختصات به کار برد. در این تحقیق چون به بررسی فضازمان‌های مجانباً نیز علاقه‌مند هستیم از جمله‌ی کانترترم نیز در کنار کُنش اصلی برای این فضازمان‌ها استفاده می‌کنیم. کُنش اصلی در این تحقیق، کُنش لاولاک به علاوه‌ی کُنش مرزی‌ست. با توجه به این‌که تاکنون روش کانترترم برای گرانش لاولاک ابداع نشده است ولی می‌توان برای فضازمان‌های با مرزِ تخت، مطابق رابطه (2-8-1) کانترترم مناسب را پیدا کرد. برای فضازمان‌های با مرزِ تخت، انحنای مرز است، و می‌توان نشان داد که برای گرانش‌های مختلف، از جمله گرانش اینشتین و لاولاک مرتبه سوم، کانترترم یکسانی به دست می‌آید که به صورتِ زیر می‌باشد
(2-8-2)
که در آن فاکتور مقیاس طول بوده و به مقیاس انحنای و ضرایب لاولاک بستگی دارد و در حالتِ خواهیم داشت . بنابراین کُنش نهایی محدود برای گرانش لاولاک مرتبه سوم با مرز تخت به صورت زیر خواهد بود
(2-8-3)
با توجه به تعریف ارائه شده توسط براون و یورک [25] برای تانسور انرژی-تکانه‌ی مرز داریم
(2-8-4)
که برای گرانش لاولاک مرتبه سوم به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم
(2-8-5)
سه جمله‌ی اول در رابطه‌ی بالا نتیجه‌ی وردشِ کُنشِ مرزی نسبت به است و آخرین جمله نیز از وردشِ نسبت به به دست می‌آید. برای محاسبه کردن کمیت‌های پایای فضازمان، یک سطح فضاگونه در با متریکِ انتخاب می‌کنیم و متریک مرز را به فرم 45 به صورت زیر می‌نویسیم
(2-8-6)
که در آن مختصه‌های متغیرهای زاویه‌ایِ پارامتریزه کننده‌ی ابرسطوحِ ثابت حولِ مبدأ هستند. هرگاه یک میدان برداری کیلینگِ روی مرز وجود داشته باشد، کمیت‌های پایای موضعی متناظر با تانسور انرژی-تکانه (رابطه‌ی) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود
(2-8-7)
که در آن دترمینان متریک است، و بردار زمان‌گونه واحد عمود بر میباشد. برای فضازمان‌هایی با میدان‌های برداری کیلینگ زمان‌گونه‌ی و دورانیِ می‌توان جرم و تکانه‌ی زاویه‌ای را به صورت زیر به دست آورد
(2-8-8)

و بنا به فرض اولیه تمامی این کمیت‌های پایا توسط سیستمی با مرزِ محصور شده‌اند. این کمیت‌ها همگی به موقعیتِ مرزِ در فضازمان بستگی دارند، گرچه هر کدام از آن‌ها مستقل از نوع انتخاب خاصِ لایه‌بندی درون سطحِ است [26].

فصل سوم
نظریهی الکترودینامیک غیرخطی

انگیزه‌ی مهم برای مطالعه‌ی نظریه الکترودینامیک غیرخطی در بین فیزیکدانان نظری به نظریه‌ی اَبرریسمان برمی‌گردد. -لایه‌ها می‌توانند حامل میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی باشند. ریسمان‌های باز در دو سر انتهایی‌شان با این میدان‌های الکترومغناطیسی جفت می‌شوند. با استفاده از دوگانگی 46 نشان داده‌اند که یک -لایه با یک میدان الکتریکی عملاً با یک -لایه متحرک بدون میدان الکتریکی معادل است. قید وجود یک کران بالایی سرعت، معادل با سرعت نور، برای -لایه‌ها ایجاب می‌کند که شدت میدان الکتریکی نمی‌تواند از یک مقدار بیشینه تجاوز کند. وجود یک بیشینه‌ی میدان الکتریکی در دینامیک میدان‌ الکترومغناطیسی تأثیرات غیرخطی می‌گذارد که با دینامیکی که توسط نظریه ماکسول توصیف می‌شود تفاوت دارد. در واقع نشان داده شده است که میدان‌های الکترومغناطیسی در جهان‌رویه‌های-لایه‌ها توسط نظریه بورن-اینفلد (یا شبه بورن-اینفلد) توصیف می‌شوند. در واقع جالب است که لاگرانژی نظریه بورن-اینفلد که صرفاً برای رفع مشکلات نظریه ماکسول طراحی شده بود در حد پایین انرژی نظریه اَبرریسمان ظاهر می‌شود. در این فصل ابتدا به بررسی مهم‌ترین نتایج نظریه خطی الکترودینامیک ماکسول می‌پردازیم. در ادامه با معرفی مسئله‌ی واگرایی خودانرژی برای ذرات باردار نقطه‌ای در مجموعه معادلاتِ میدان ماکسول، و به منظور رفع آن، به بررسی نظریه الکترودینامیک غیرخطی به عنوان تعمیمی از نظریه خطی ماکسول می‌پردازیم. در اینجا سه کلاس از نظریههای الکترودینامیک غیرخطی را، که دارای ویژگیهایی از قبیل متناهی شدن مقدار خودانرژی الکتروستاتیکی بارهای نقطهای و انحراف از قانون کولن هستند، بررسی می‌کنیم. خصوصیات معادلات میدان، میدان‌های الکتروستاتیکی و معادلات موج را برای سه کلاس متفاوت از نظریه‌های الکترودینامیک غیرخطی به دست می‌آوریم و به تحلیل جواب‌ها می‌پردازیم.

3-1 الکترودینامیک ماکسول
به بیان ساده، نظریه الکترودینامیک ماکسول، توصیفیست کلاسیکی از میدانهای الکتریکی و مغناطیسی، تولید میدانها توسط بارهای ساکن و جریانهای الکتریکی، و نحوهی انتشارشان به صورت موج و واکنش آنها نسبت به ماده. این نظریه با توزیعی ماکروسکوپی از بار و جریان الکتریکی سروکار دارد. این بدین معنی‌ست که مفاهیمِ “بار و جریان جایگزیده”، اعتبارِ فرایندهای حدگیری حساب دیفرانسیل را بدیهی فرض میکنند. در این فرایندهای حدگیری احتمال اینکه توزیع بار و جریان در ناحیهی بسیار کوچکی از فضا جایگزیده باشند لحاظ میشود. در سرتاسر این فصل از چنین فرایندهای حدگیری، تحت عنوان حد کلاسیکی، استفاده میکنیم. یعنی با دید صرفاً کلاسیکی به ذرات باردار و میدانها نگاه میکنیم. معادلات میدان ماکسول، معادلات حاکم بر پدیدههای الکترومغناطیسی هستند که از یک کُنش به شکل زیر
(3-1-1)
در یک فضای 1+3 بُعدی، به دست می‌آیند. در کُنش بالا ناوردای ماکسول است که در آن تانسور میدان الکترومغناطیسی است که به صورت زیر تعریف میشود
(3-1-2)
این تانسور از فرمولبندی نسبیتی معادلات ماکسول، یعنی با ترکیب کردن پتانسیل اسکالر و پتانسیل برداری در یک فرم

پایان نامه
Previous Entries منبع پایان نامه ارشد درباره نسبیت خاص، دینامیکی Next Entries پایان نامه ارشد رایگان درمورد اخلاقي، زيباشناختي، بررسي