منبع پایان نامه ارشد با موضوع فرايند، توزيع، پواسن، ناهمگن

دانلود پایان نامه ارشد

t≥0 α,β0.
اگر F(t) و R(t) به ترتيب توابع توزيع و قابليت‌اعتماد T باشند، داريم
F(t;α,β)=1-e^(-(t/α)^β ) t≥0 α,β0,
R(t;α,β)=e^(-(t/α)^β ) t≥0 α,β0.
اميد رياضي و واريانس اين توزيع برابراست با
E(T)=α Γ(1+1/β),
Var(T)=α^2 [Γ(1+2/β)-Γ^2 (1+1/β)].
به راحتي ملاحظه مي‌شود که تابع نرخ شکست وايبل برابراست با
λ(t)=β/α (t/α)^(β-1).
[براي مثال به ناکاگاوا 7(2005)مراجعه کنيد.]
1-4 فرايند پواسن ناهمگن (NHPP)
فرايند شمارشي {N(t) ; t≥0} را يک فرايند پواسن ناهمگن با تابع شدت شکست λ(t) گويند، هرگاه
N(0)=0.
{N(t) ; t≥0} داراي نموهاي مستقل باشد.
P(N(t+h)-N(t)≥2)=o(h).
P(N(t+h)-N(t)=1)=λ(t)h+o(h).
در اينصورت متوسط تعداد شکستها در بازه [0,t] برابر است با
μ(t)=∫_0^t▒λ(s)ds. (1-1)
قضيه1-1: در فرايند پواسن ناهمگن تعداد شکستها در فاصله(t, t+s] داراي توزيع پواسن با ميانگين
μ(t,s)=μ(t+s)-μ(t),
است. به عبارت ديگر داريم
P(N(t+s)-N(t)=k)=e^(-μ(t,s) ) [μ(t,s)]^k/k! k≥0.
حال اگر N(t) نشان‌دهنده تعداد شکست تا لحظه t باشد، شدت شکست8 به‌صورت
λ(t)=N(t)/t,
تعريف مي‌شود. با معکوس کردن شدت شکست، يکي ديگر از مفاهيم مهم قابليت‌اعتماد، به نام ميانگين زمان بين شکست‌ها9 (MTBF) به‌دست مي‌آيد. يعني
m(t)=[λ(t)]^(-1)=t/N(t) .
[براي مثال به گرتسباخ (2000)مراجعه کنيد.]
1-5 فرايند تجديد کامل
فرض کنيد {X_n ; n=1,2,…} دنباله اي از متغيرهاي تصادفي غيرمنفي با توزيع F باشد، بطوريکه X_n زمان بينn-1 –امين و n-امين شکست باشد و
F(0)=P(X_n=0)<1.
اميدرياضي زمان بين شکستها عبارتست از
μ=E(X_n )=∫_0^∞▒〖x dF(x).〗
زمان رخداد n-امين شکست را با S_n نشان مي دهيم. يعني
S_0=0 , S_n=∑_(i=1)^n▒X_i n≥1 .
اگر تعداد رخدادها تا زمان t را به صورت N(t)=sup⁡{n : S_n≤t} تعريف کنيم، دراينصورت فرايند شمارشي {N(t) ; t≥0} را يک فرايند تجديد کامل مي نامند. از آنجا که زمانهاي بين رخداد شکست، مستقل و همتوزيع اند، مثل اين است که با هر رخداد، فرايند از ابتدا آغاز شود. به همين دليل، هر رخداد را يک تجديد و {N(t) ; t≥0} را فرايند تجديد گويند. توزيع احتمال N(t) به‌صورت
P(N(t)=n)=F_n (t)-F_(n+1) (t)
است، که در آنF_n پيچش nگانه F با خودش است. [براي مثال به راس10(1996) مراجعه کنيد.]
1-6 مدل رتبه- ميانه
فرض کنيدX_n و…و〖 X〗_2 و〖 X〗_1 يک نمونه تصادفي از X باشد. با مرتب کردن آنها از کوچک به بزرگ، نمونه ترتيبي X_((n) ) و…و〖 X〗_((2) ) و〖 X〗_((1) ) حاصل مي‌شود که اگر X_((j) ) نمايانگر j- امين آماره ترتيبي باشد، چگالي آن به‌صورت زير بيان مي‌شود
f_j (x)=n(■(n-1@j-1)) [F(x)]^(j-1) [1-F(x)]^(n-j) f(x). (1-2)
که در آن F(x) و f(x)به ترتيب تابع توزيع و تابع چگالي متغير تصادفي X است.
حال فرض کنيد X داراي توزيع يکنواخت در بازه (0,1) باشد. دراينصورت تابع چگالي و تابع توزيع X به ترتيب برابراست با
f(x)=1 0با استفاده از(1-2) تابع چگالي j- امين آماره ترتيبي آن مي‌شود
f_j (x)=n!/((j-1)! (n-j)!) x^(j-1) (1-x)^(n-j).
به X_0.5 رتبه- ميانه گويند هرگاه
F_j (X_0.5 )=∫_0^(X_0.5)▒〖f_j (x) dx〗=0.5.
جدول(1-1) مقادير رتبه- ميانه را براي n=1,2,…,9 نشان مي‌دهد؛ که در آن n نمايانگر اندازه نمونه و j نشان‌دهنده رتبه آماره ترتيبي است. درصورتيکه رتبه- ميانه موردنظر در جدول(1-1) نباشد، براي محاسبه آن از فرمول تقريبي زير استفاده مي‌شود
x_0.5=(j-0.5)/(n+0.4) . (1-3)
[به سان و همکاران11 (2009)مراجعه کنيد.]
جدول1-1: مقادير رتبه-ميانه براي n=1,2,…,9

9
8
7
6
5
4
3
2
1
j/n
0.0741
0.0830
0.0943
0.1091
0.1294
0.1591
0.2033
0.2929
0.5
1.
0.1806
0.2021
0.2295
0.2655
0.3147
0.3864
0.5000
0.7071

2.
0.2871
0.3213
0.3648
0.4218
0.5000
0.6136
0.7937

3.
0.3935
0.4404
0.5000
0.5782
0.6853
0.8409

4.
0.5000
0.5596
0.6352
0.7345
0.8706

5.
0.6065
0.6787
0.7705
0.8909

6.
0.7129
0.7979
0.9057

7.
0.8194
0.9170

8.
0.9259

9.
1-7 روش براورديابي بيزي
روش‌هاي براورديابي کلاسيک مبتني بر نمونه‌گيري و تحليل اطلاعات به‌دست آمده از مشاهدات است. اما در روش براورديابي بيزي همزمان با استفاده از مشاهدات فعلي، اطلاعات قبلي درمورد جامعه نيز به‌کار برده مي‌شود. معمولاً اين اطلاعات قبلي در قالب يک توزيع پيشين براي پارامترها بيان مي‌گردد. حال اين توزيع پيشين مي‌تواند به صورت يک توزيع شناخته شده و آگاهي‌بخش باشد، و يا اينکه به صورت يک عبارت مبهم و ناآگاهي‌بخش بيان شود. پس از تعيين توزيع پيشين و جمع‌آوري مشاهدات، مي‌توان يک توزيع جديد را که مبتني بر اطلاعات (توزيع) پيشين و نيز مشاهدات فعلي جامعه است، به‌دست آورد. اين اطلاعات به‌روز شده در قالب توزيع پسين بيان مي‌شوند. اگر x بردار مشاهدات، θ بردار پارامترهاي جامعه، π_0 (θ) توزيع پيشين پارامترها وL(x│θ) تابع درستنمايي مشاهدات باشد، توزيع پسين پارامترها به‌صورت زير به‌دست مي‌آيد
π_1 (θ│x)=(L(x│ θ) π_0 ( θ))/m(x) .
که در آن m(x) چگالي توام کناري مشاهدات است.
يک گروه مهم از توزيع‌هاي پيشين آگاهي‌بخش، توزيع‌هاي پيشين مزدوج12 هستند. اين توزيع‌ها به اين خاطر نام مزدوج گرفته‌اند که منجر به يک توزيع پسين هم‌خانواده با خود مي‌شوند.
بسته به تابع زيان موردنظر، اميدرياضي، ميانه، مد و… توزيع پسين مي‌تواند براوردگر بيزي پارامترهاي جامعه باشد. تحت تابع زيان درجه دوم خطا، براورد بيزي پارامترها، از اميد رياضي توزيع پسين θ به‌دست مي‌آيد. [براي مثال به شائو13(1998) مراجعه کنيد.]

فصل دوم
برنامه رشد قابليت‌اعتماد

2-1 مقدمه
اين فصل به معرفي برنامه رشد قابليت‌اعتماد14 اختصاص يافته است. در بخش 2-2 مفهوم رشد قابليت‌اعتماد، لزوم مطالعه آن، زمان و انواع برنامه‌هاي ارتقا15 در راستاي تحليل رشد قابليت‌اعتماد را بيان مي‌کنيم. در بخش 2-3 به معرفي شاخص‌ها و معيارهاي تحليل رشد قابليت‌اعتماد مي‌پردازيم. در بخش 2-4 نيز داده‌هاي قابل استفاده براي تحليل رشد قابليت‌اعتماد را مرور مي‌کنيم.
2-2 معرفي رشد قابليت‌اعتماد
به طور کلي اولين نمونه‌هاي توليد شده در حين ارتقا و توسعه يک سيستم پيچيده جديد، دچار نقص هاي طراحي، ساخت ومهندسي است. به خاطر اين نقايص قابليت‌اعتماد اوليه اين نمونه ها ممکن است از قابليت‌اعتماد هدف سيستم يا قابليت‌اعتماد مورد نياز کمتر باشد. به منظور شناسايي وتصحيح اين نقصها، نمونه ها در معرض آزمايشهاي سخت وجدي قرار مي گيرند. در طول آزمايش قسمت هاي مشکل ساز شناسايي شده و اقدامات اصلاحي16 مناسب يا طراحي مجدد صورت مي گيرد. رشد قابليت‌اعتماد، بهبود در قابليت‌اعتماد محصول (جزء، سيستم، زيرسيستم) در طول يک بازه زماني است، که از تغييرات در طراحي محصول يا فرايند توليد ناشي مي‌شود.
لغت “رشد” بر اساس اين فرض به‌کار مي‌رود که قابليت‌اعتماد محصول، با اجراي تغييرات طراحي و تعميرات، در طول زمان افزايش يابد. با اين حال در عمل رشد صفر يا منفي نيز ممکن است رخ دهد.
هدف قابليت‌اعتماد، به برنامه رشد قابليت‌اعتماد بستگي دارد و از برنامه اي به برنامه ديگر متفاوت است. يک برنامه ممکن است بيش از يک هدف داشته باشد. به عنوان مثال، يک هدف ممکن است مرتبط با اشتباهاتي باشد که به تعمير و نگهداري برنامه‌ريزي نشده مي‌انجامد، و هدف ديگر مرتبط با اشتباهاتي باشد که باعث يک شکست بزرگ مي‌شود.
به طورکلي اهداف قابليت‌اعتماد يک برنامه ارتقا، مجموعه اي است که درطول برنامه آزمون ارتقا با تخصيص لازم منابع محقق مي‌شود. بنابراين برنامه ريزي و ارزيابي، دو عامل ضروري در برنامه فرايند رشدند. عوامل مهم در يک برنامه رشد قابليت‌اعتماد موثر و کارا عبارتند از:
– مديريت: تصميمات و استراتژي مديريت در خصوص اصلاح يا عدم اصلاح مشکل و تاثير اقدامات اصلاحي.
– آزمون: فرصتي براي تشخيص ضعف و حالت شکست در طراحي و فرايند توليد.
– شناسايي علل ريشه‌اي شکست: تحليل، جداسازي وتشخيص علل شکستها با استفاده از بودجه، پرسنل و روشهاي علمي.
– تاثير اقدامات اصلاحي: طراحي منابع به منظور به‌کارگيري اقدامات اصلاحي موثري که دستيابي به هدف قابليت‌اعتماد را تضمين مي‌کند.
– ارزيابي معتبر قابليت‌اعتماد.
اما زمان مناسب براي اجراي برنامه رشد قابليت‌اعتمادچيست؟ دو روش کلي وجود دارد:
آزمون اختصاصي17 (RGDT)
RGDT آزموني است که بر کشف مشکلات قابليت‌اعتماد و ترکيب اقدامات اصلاحي براي رسيدن به هدف قابليت‌اعتماد تمرکز مي‌کند. اين آزمون بطور اختصاصي و مجزا پس از طراحي و کنترل محصول انجام مي‌گيرد.
آزمون کلي18 (IRGT)
روشهاي مدرن قابليت‌اعتماد بيان مي‌کند که گاهي قابليت‌اعتماد درحين طراحي و کنترل محصول به ميزان مطلوب مي‌رسد. بنابراين نيازي به گنجاندن برنامه مجزاي آزمون ارتقا، پس از طراحي محصول نيست و رشد قابليت‌اعتماد مي‌تواند خيلي زود با استفاده از آزمون کلي رشد قابليت‌اعتماد شروع شود. IRGT به مشکلات قابليت‌اعتمادي که درآزمونهاي مهندسي زودتر بروز مي‌کند توجه مي‌کند. البته از آنجايي‌که اين آزمونهاي مهندسي بر عملکرد توجه دارند نه بر قابليت‌اعتماد، IRGT شکستهاي قابليت‌اعتماد در آزمونهاي مهندسي را با يک حالت غير رسمي گزارش مي‌دهد.
علاوه بر روشهاي فوق رشد قابليت‌اعتماد ممکن است طي آزمايش‌هاي نمونه‌هاي اوليه، يا طي آزمون توليد، يا از بازخورد هر ساخت، يا طي آزمون کيفيت به وجود آيد. [به MIL-HDBK-189cمراجعه کنيد.]
هدف از آزمون، يافتن مشکلات، به‌کارگيري اقدامات اصلاحي، و افزايش قابليت‌اعتماد اوليه است. در طول آزمون شکستها مشاهده مي شوند. براي هر شکست، يک حالت شکست19 اصلي وجود دارد. يک حالت شکست، به وسيله يک مشکل و يک علت تعريف مي‌شود. وقتي يک حالت شکست جديد در طول آزمون مشاهده مي‌شود، مديريت طبق استراتژي مديريتي تصميم به اصلاح يا عدم اصلاح آن مي گيرد. درکل، هنگام مشاهده حالت شکست، اگر قابليت‌اعتماد سيستم، طبق انتظارات مديريت باشد، انتظار اقدام اصلاحي را نداريم و اگر قابليت‌اعتماد حالت شکست کمتر از حد مورد انتظار باشد، استراتژي مديريت عموماً به‌کارگيري يک اقدام اصلاحي را مي‌طلبد. يک اقدام اصلاحي يک حالت شکست را حذف نمي‌کند، بلکه نرخ رخداد آنرا کاهش مي‌دهد. به عبارتي مقدار مشخصي از شدت حالت شکست را از بين برده، ولي ميزاني از آن در سيستم باقي مي‌ماند. کاهش کسر در شدت حالت شکست ناشي از اقدام اصلاحي را عامل اثرگذاري20 (EF) مي ناميم. EF از يک حالت شکست به حالت شکست ديگر متفاوت است، اما يک ميانگين کلي براي سيستم هاي صنعتي حدود 7/0 اعلام شده است.
تاثير اقدامات اصلاحي به قابليت‌اعتماد اوليه نيز بستگي دارد. وقتي يک اقدام اصلاحي در تجهيزاتي که قابليت‌اعتماد اوليه آن 1/0 قابليت‌اعتمادهدف است، 400% بهبود به همراه داشته باشد، و در سيستم ديگري که قابليت‌اعتماد اوليه آن 5/0 قابليت‌اعتماد هدف است، 50% بهبود به همراه داشته باشد، اين دو مقدار بهبود، قابل قياس نخواهند بود.
برنامه هاي ارتقا معمولاً در قالب آزمونهايي هستند که به محض رخداد شکست، حالت شکست شناسايي شده و اقدام اصلاحي بر شکست صورت مي‌گيرد. اين نوع برنامه‌هاي ارتقا آزمون- تعمير- آزمون21 ناميده مي‌شوند. اما اگر بعضي اقدامات اصلاحي يا تعميرات نتوانند در طول آزمون گنجانده شوند چه کنيم؟ گاهي به دليل اينکه توقف وشروع دوباره آزمون پرهزينه بوده و يا تجهيزات براي يک خاموشي کامل خيلي پيچيده است، اقدامات اصلاحي به آخر آزمون موکول مي‌شود. به‌کارگيري اين اقدامات اصلاحي معوق، در انتهاي آزمون يک پرش واضح را در قابليت‌اعتماد نمايان مي‌کند. اين دسته از برنامه‌هاي ارتقا آزمون- کشف- آزمون22 نام دارند. حال اگر برنامه به گونه‌اي باشد که برخي شکستها در طول آزمون و برخي ديگر بعد از اتمام آزمون تعمير شوند، برنامه ارتقا را آزمون- تعمير- کشف- آزمون23 مي‌ناميم. همچنين، برنامه ارتقا مي‌تواند طي چند مرحله آزمون انجام پذيرد.

2-3 شاخص‌هاي اندازه‌گيري رشد قابليت‌اعتماد
به منظور مديريت مؤثر يک برنامه رشد قابليت‌اعتماد، و دستيابي به هدف قابليت‌اعتماد، لازم است براورد قابليت‌اعتماد سيستم در دست باشد. براورد قابليت‌اعتماد جاري24 يک براورد از قابليت‌اعتماد سيستم در طول آزمون است، و براورد قابليت‌اعتماد پیش‌افکن25 براورد قابليت‌اعتماد بعد از اجراي اقدامات اصلاحي در انتهاي آزمون مي باشد. در واقع قابليت‌اعتماد جاري بر اساس عملکرد واقعي جاري در سيستم، و قابليت‌اعتماد پیش‌افکن براورد قابليت‌اعتماد آتي سيستم به خاطر تعميرات موکول شده به انتهاي آزمون يا بين مراحل آزمون است که به صورت يک پرش در منحني نمايان مي‌شود. شکل 2-1 منحني رشد قابليت‌اعتماد جاري و قابليت‌اعتماد پیش‌افکن را به خوبي نشان مي‌دهد.

شکل 2-1: قابليت‌اعتماد جاري و پیش‌افکن
رشد قابليت‌اعتماد، مي‌تواند به وسيله شاخصهايي مثل افزايش ميانگين زمان بين شکستها (MTBF) ، کاهش درشدت شکستها، يا افزايش در احتمال پيروزي اندازه گيري شود. اين شاخص ها به صورت نظري با هم در ارتباط اند و از همديگر حاصل مي شوند.
MTBF اوليه براي سيستمي که در معرض برنامه ارتقاست، نشانگر قابليت‌اعتماد سيستم هنگام شروع آزمون است. اگر آزمون رشد و اقدامات اصلاحي تا زمان مورد نياز اجرا شود MTBF سيستم به ماکسيمم خود مي‌رسد. اين ميزان از MTBF، رشد پتانسيل26 ناميده مي‌شود. رشد پتانسيل مستقيما تابع طراحي و استراتژي مديريت است. تغيير در اين مقادير به عنوان تابعي از زمان آزمايش، روند رشد قابليت‌اعتماد نام دارد. روند رشد قابليت‌اعتماد توسط منحني رشد قابليت‌اعتماد نشان داده مي‌شود که اين منحني‌ها بر اساس مدلهاي آماري و رياضي با نام مدل‌هاي رشد قابليت‌اعتماد تعريف مي‌شود. شکل2-2 نشان‌دهنده مقادير قابليت‌اعتماد در طول برنامه ارتقا است.

شکل 2-2: نمودار رشد قابليت‌اعتماد

دستيابي به براورد دقيق قابليت‌اعتماد جاري و پیش‌افکن، ما را در موارد زير قادر مي‌سازد:
توانايي دست يافتن به قابليت‌اعتماد مورد نياز
تعيين زمان مشاهده نقص ها
تعيين هزينه مشاهده نقص ها
تعيين همبستگي ميان تغييرات قابليت‌اعتماد و اقدامات قابليت‌اعتماد
ايجاد ضمانت
برنامه ريزي براي تعمير و نگهداري منابع و اقدامات منطقي
تحليل چرخه هزينه- طول عمر
اگر مقادير شاخص هاي نامبرده، کمتر از هدف مشخص شده يا مقدار مورد نياز پیش‌افکن باشد، مدير بايد فنون ارزيابي را بازنگري کرده، يا آنها را به مقاديري بيش از هدف تصحيح کند. همچنين ممکن است لازم باشد طراحي را ارتقا دهد، از اجزا با قابليت‌اعتماد بيشتري استفاده کند يا نسبت بيشتري از منابع را به مهندسي طراحي، مهندسي قابليت‌اعتماد، مهندسي تعمير و نگهداري، تحقيق و توسعه، توليد، خريد، کنترل کيفيت، و آزمون تخصيص دهد و شايد واحدهاي آزمايشي بيشتري را فراهم کند.
“تحليل رشد قابليت‌اعتماد”، فرايندي از جمع آوري، مدلسازي، تحليل، وتفسير داده‌هاي به‌دست آمده از برنامه آزمون رشد قابليت‌اعتماد (آزمون ارتقا) است. بسته به شاخصهاي مورد نظر و روش جمع آوري داده‌ها، مدلهاي متفاوتي مي‌توانند براي تحليل فرايندهاي رشد تعريف شوند.

2-4 داده‌هاي رشد قابليت‌اعتماد
تحليل رشد قابليت‌اعتماد با استفاده از انواع مختلف داده‌ها امکان پذيراست. ازجمله:
– داده‌هاي زمان شکست پيوسته
– داده‌هاي گسسته
– داده‌هاي چندمرحله اي
– داده‌هاي قابليت‌اعتماد
– داده‌هاي سيستم هاي ميداني
در ادامه به معرفي اين گروه داده‌ها مي‌پردازيم.
[به http://www.weibull.com/relgrowthwebcontents.htm مراجعه کنيد]

2-4-1 داده‌هاي زمان شکست پيوسته
داده‌هاي (پيوسته) زمان شکست، رايج ترين نوع مشاهده شده از داده‌هاي رشد قابليت‌اعتماد است. اين داده‌ها، زمان شکست را براي واحدهاي تحت آزمايش ثبت مي‌کند و براي واحدهاي تکي، يا سيستم، يا ترکيبي از واحدها و سيستم ها، به کار مي روند. اين داده‌ها مي توانند به صورت تجمعي (که هر داده زمان کل آزمايش تا آن شکست را نشان مي‌دهد) يا غيرتجمعي (که هرداده زمان بين شکست ها را نشان مي‌دهد) وارد شوند. جدول 2-1 مثالي از اين نوع داده‌ها را نشان مي‌دهد. در اين مثال زمان تجمعي براي شکستهاي اول تا پنجم به ترتيب ثبت شده است.
جدول 2-1: داده‌هاي پيوسته زمان شکست
5
4
3
2
1
i
130
79
50
25
10
ti

زمان اتمام آزمون در داده‌هاي پيوسته، براساس تصميم مديريت مشخص مي‌شود. دراينصورت ممکن است آزمون در زمان مشخص T خاتمه يابد و يا اينکه پس از مشاهده تعداد مشخص n شکست، پايان پذيرد. واضح است که درحالت اول، زمان آزمون معلوم بوده اما تعداد رخداد شکست مشخص نيست. اين نوع داده‌ها را داده‌هاي خاتمه زمان27 مي‌ناميم. اما در حالت دوم، زمان آزمون نامعلوم است و زمانهاي شکست تا رخداد n-امين شکست ثبت مي‌شوند. اين نوع داده‌ها را داده‌هاي خاتمه شکست28 مي‌ناميم.
2-4-2 داده‌هاي گسسته
داده‌هاي گسسته به عنوان داده‌هاي پيروزي- شکست يا داده‌هاي صفتي شناخته مي شوند. اين نوع داده، نتايج ثبت شده از آزمايش يک واحد هستند وقتي فقط دو برآمد ممکن پيروزي يا شکست وجود دارد. جدول 2-2 مثالي از اين داده‌ها را نشان مي‌دهد که تعداد ستونها نمايانگر تعداد تکرار آزمايش است. دراين داده‌ها آزمايش اول پيروزشده، دومي شکست مي خورد وبه همين ترتيب.
جدول 2-2: داده‌هاي گسسته پيروزي- شکست
4
3
2
1
i
F
F
F
S
Success/Failure

اغلب بعد از تحليل شکست، علت شکست در طول يک آزمايش خاص معلوم مي‌شود. اينگونه، علت هر شکست مي‌تواند براي تحليل نيز استفاده شود. ثبت اين داده‌ها مثل داده‌هاي صفتي است با اين تفاوت که کد حالات شکست يا ID بعد از هر شکست اضافه مي‌شود. بنابراين تحليل مي تواند براي حالت شکست‌هاي مختلف محاسبه شود. جدول 2-3 مثالي ازاين نوع داده را نشان مي‌دهد.
جدول 2-3: داده‌هاي گسسته با حالت شکست
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
S
F
F
S
S
S
S
F
F
S
Success/
Failure

Mode A
Mode B

Mode B
Mode A

Failure Mode

گاهي نيز چند محصول در آزمون قرار گرفته و تعداد واحدهاي شکست خورده براي هر وضعيت ثبت مي‌گردد. هر کدام از ستونهاي جدول2-4 يک مرحله را نمايش مي‌دهند. براي مثال ستون اول، مرحله 1 را که 10 آزمايش انجام شده و 5 شکست رخ داده مشخص مي‌کند. سطر2، مرحله 2 را که 8 آزمايش انجام شده و3 شکست رخ داده مشخص مي‌کند. داده‌ها مي توانند تجمعي يا غير تجمعي باشند. در جدول2-4 داده‌ها به‌صورت غيرتجمعي و در جدول 2-5 داده‌ها به‌صورت تجمعي ظاهر شده‌اند.
جدول2-4: داده‌هاي گسسته تعداد شکست با واحدهاي غيرتجمعي
5
4
3
2
1
i
10
9
9
8
10
Number of Units
4
2
3
3
5
Number of Failures

جدول2-5: داده‌هاي گسسته تعداد شکست با واحدهاي تجمعي
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
0
1
1
2
1
0
1
3
0
3
Failures in interval
24
22
20
19
15
13
12
9
5
4
Cumulative Trials

2-4-3 داده‌هاي چندمرحله‌اي
يک نمونه از اين نوع داده‌ها برآمده از آزمايش هايي است که چند مرحله را در بر مي گيرد. اگر در اين آزمونهاي چندمرحله اي زمان شکست واقعي ثبت ‌شود، به اين نوع داده‌ها، داده‌هاي چندمرحله اي پيوسته گوييم. جدول 2-6 يک مثال از داده‌هاي زمان شکست چند مرحله اي را که رخدادهاي متفاوت شکست با F ، مرحله آزمون با PH و نقاط تحليل با AP نشان داده شده، نمايش مي‌دهد.
گاهي نيز داده‌ها برآمده از آزمونهايي است که چند مرحله را بدون معلوم بودن زمان شکست واقعي پوشش مي‌دهد و فقط تعداد شکست در بازه زماني ثبت مي‌شود. اين نوع از داده‌ها را داده‌هاي چندمرحله‌اي گسسته مي‌ناميم. در جدول2-7 رخدادهاي متفاوت شکست با F، مرحله آزمون با PH و نقاط تحليل با AP نشان داده شده است.
جدول 2-6: داده‌هاي چندمرحله‌اي پيوسته
Mode
Classification
Time to Event
Event
i
1
A
1
F
1
3000
BD
302
F
2
400
BC
450
F
3
4
A
534
F
4
1
A
602
F
5
5000
BD
657
F
6

1000
AP
7
600
BC
1057
F
8
5000
BD
1237
F
9
400
BC
1298
F
10

2000
AP
11
8000
BD
2757
F
12

3000
PH
13
5000
BD
3112
F
14
700
BC
3359
F
15
5
A
3400
F
16
1
A
3451
F
17
8000
BD
3670
F
18
100
BC
3703
F
19
5000
BD
3780
F
20

4000
PH
21
جدول 2-7: داده‌هاي چندمرحله‌اي گسسته
Interval End Time
Failures in interval
Event
I
300
2
F
1
300
1
F
2
400
1
F
3
500
2
F
4
500

AP
5
600
1
F
6
700
2
F
7
800
1
F
8
900
2
F
9
1000
1
F
10
1000

PH
11

2-4-4 داده‌هاي قابليت‌اعتماد
داده‌هاي قابليت‌اعتماد، شامل قابليت‌اعتماد تجهيزات در زمان ها يا مراحل متفاوت است. مثالي از اين نوع داده‌ها در جدول2-8 آمده است. در اين حالت، قابليت‌اعتماد فرايند در بازه‌هاي زماني معين به وسيله نسبت تعداد واحدهايي که هنوز درحال کارند به تعداد واحدهاي تحت آزمون، يا با استفاده از تحليل داده‌هاي بقا و روش هاي مربوطه (مثل تحليل وايبل ) محاسبه مي‌شود.
جدول 2-8: داده‌هاي قابليت‌اعتماد
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Time/Stage
99
98.6
96.4
92.2
83
70.1
49.3
35.5
31
Reliability

2-4-5 داده‌هاي سيستم هاي ميداني
سيستم هاي ميداني، سيستم هايي هستند که براي مشاهده شکست آنها، آزمونهاي زمان‌بندي شده به‌کار گرفته نمي‌شود، بلکه توسط مشتريان استفاده شده و اطلاعات به‌دست آمده تحليل مي‌شود. اين نوع داده‌ها شبيه داده‌هاي ضمانت است. جدول2-9 نمونه‌اي از اين داده‌ها را نشان مي‌دهد. همانطور که مشاهده مي‌شود، فرض شده که هر سيستم قابليت اين را دارد که بعد از شکست تعمير شده و دوباره به‌کار گرفته شود. حرف S در جدول نشاندهنده شروع کار سيستم، و حرف E نمايانگر پايان کار سيستم است.
جدول2-9: داده‌هاي سيستم‌‌هاي ميداني
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
System
E
F
F
F
S
E
F
F
F
S
Event
1300
831
744
682
0
1268
1167
1137
68
0
Time to Event

فصل سوم
مدل‌هاي پارامتري در رشد قابليت‌اعتماد

3-1 مقدمه
مطالعه علمي رشد قابليت‌اعتماد به دهه هفتاد ميلادي باز مي‌گردد. وقتي براي اولين بار دوان29 (1964) يک مدل تجربي را براي رشد قابليت‌اعتماد معرفي کرد. از آن پس مدلهاي مختلفي براي بررسي رشد قابليت‌اعتماد بيان شد، که در اين فصل به تعدادي از پرکاربردترين آنها مي‌پردازيم. اولين مدل معرفي شده، مدل دوان است که در بخش3-2 معرفي شده است. کورو30 (1975) به مدل دوان صورت تصادفي داده و آنرا AMSAA ناميد. که در بخش 3-3 آنرا بيان مي‌کنيم. دونوان و مورفي31 (2000) با استفاده از يافته کورو، مدل دوان را به يک مدل جديد تبديل کردند، که در بخش 3-4 اين مدل را معرفي کرده و با مدل دوان مقايسه مي‌کنيم. کينگتين و همکاران32 (2010) نيز مدل کوروAMSAA را براي انواع تعميرات انجام شده بر حالت شکست گسترش داده و آن را GRG ناميدند،که در بخش 3-5 به آن مي‌پردازيم. کورو همچنين مدلي را براي برنامه آزمون-کشف-آزمون با نام مدل پیش‌افکن کورو معرفي کرد(1983). اين مدل به لحاظ زمان اجراي تعميرات بر حالت شکست، مکمل مدل کوروAMSAA است. او مدل تعميم‌يافته کورو را نيز براي برنامه آزمون-تعمير-کشف-آزمون که دربرگيرنده هر دو مدل کوروAMSAA و پیش‌افکن کورو است، معرفي کرد(2004) و آنرا به آزمونهاي چندمرحله‌اي با ارزيابي پيوسته تعميم داد(2010). اين سه مدل به ترتيب در بخشهاي 3-6، 3-7 و 3-8 معرفي مي‌شوند. هرکدام از مدلهاي فوق به همراه براورد پارامترها و نيز يک مثال بيان شده‌اند. در طي اين فصل خواهيم ديد که بسته به شرايط موجود، هر مدل بر ساير مدلها ارجحيت دارد.

3-2 مدل دوان
دوان(1964) حين مطالعه بر روي داده‌هاي زمان شکست سيستمهاي مختلفي که تحت برنامه ارتقاء آزمون- تعمير-آزمون قرار گرفته بودند، نتيجه جالبي به‌دست آورد. او دريافت که وقتي متوسط زمان شکست تجمعي در برابر زمان کارکرد تجمعي بر کاغذ لگ – لگ رسم شود، از يک خط صاف پيروي مي‌کند، و براساس اين مشاهده، مدل خود را ترتيب داد.
فرض کنيم سيستمي تحت يک برنامه ارتقا قرار گرفته است و زمان‌هاي رخداد شکست سيستم ثبت مي‌شود. اگر N(t) نمايانگر تعداد شکست‌ها در زمان t باشد، متوسط زمان مشاهده بين شکستها يعني MTBF در زمان t برابر است با
MTBF =t/(N(t)).
حال بر اساس مدل دوان، اگر MTBFC نشان دهنده متوسط زمان تجمعي بين شکستها باشد، معادله خط مي‌تواند به‌صورتy=a+bx بيان شود، که در آن
y=Ln (MTBFC) x=Ln(t) a=Lnα b=β.
درنتيجه
Ln (MTBFC) = Lnα + β Ln(t).
اگر با فرض وجود رابطه خطي از MTBFC اميد بگيريم
MTBFC =α〖 t〗^β,
پس شدت شکست تجمعي عبارتست از
λ_(c )= (1 )/α 〖 t〗^(-β),
و اميد تعداد شکست در زمان t برابر است با
E(N(t)) = (1 )/α 〖 t〗^(1-β),
که در آن
t زمان تجمعي آزمون يا زمان تجمعي برنامه ارتقاء است.
β نرخ رشد در λ و 1≥ β ≥0 است.
(1 )/αشدت شکست تجمعي در t=1 است. که t=1 مي تواند اولين زمان پيش بيني λ ، يا λ سيستم در آغاز فرايند ارتقاء، يا زمان شروع آزمايش باشد.
حال با گرفتن مشتق ازE(N(t)) نسبت به t نرخ شکست لحظه اي به‌دست خواهد آمد

λ_( i)= (d(E(N(t)) ))/dt = (1 )/α (1-β) 〖 t〗^(-β) = (1-β) λ_( c) ,
و MTBF لحظه اي نيز عبارتست از :
m_( i)= (1 )/(1-β) α〖 t〗^β = (1 )/(1-β) MTBFC .

بنابراين براي به‌دست آوردن خط رشد MTBF لحظه اي کافيست خط MTBF تجمعي را در کاغذ لگ لگ به اندازه (1 )/(1-β)به بالا انتقال دهيم . شکل3-1 اين مسئله را نشان مي‌دهد .خط رشد شدت شکست تجمعي و شدت شکست لحظه اي نيز به آساني قابل محاسبه است .

شکل3-1: نمودارلگاريتم MTBF تجمعي در مقابل لگاريتم زمان تجمعي

3-2-1 برآورد پارامترهاي مدل دوان
با توجه به اينکه مدل دوان يک مدل رگرسيون خطي ساده است، براي برآورد پارامترهاي آن مي توان از روش کمترين مربعات استفاده کرد. با فرض اينکه m_c نشان‌دهنده MTBF تجمعي باشد، معادله زير را در نظر بگيريد
ln⁡(m_c )=ln⁡α+β ln⁡t .
براي راحتي در محاسبات، تعريف مي‌کنيم
ln(m_ci )=y_i Ln α=a β=b ln(t_i )=x_i.
بنابراين معادله بالا مي‌شود
y_i=a+b x_i.
فرض کنيد مجموعه اي ازداده‌هاي زوجي (〖 X〗_N,Y_N )و…و(〖 X〗_2,Y_2 )و(〖 X〗_1,Y_1 ) در اختيار داريم که برآمده از يک آزمون ارتقا هستند. براساس قاعده کمترين مربعات، به دنبال خطي هستيم که فاصله عمودي بين نقاط و خط برازش داده شده به آنها را مينيمم کند. پس اگر بهترين خط برازش داده شده به اين مجموعه y=a ̂+b ̂x باشد آنگاه
∑_(i=1)^N▒〖(a ̂+ b ̂ x_i-y_i)〗^2 =min┬((a,b))⁡∑_(i=1)^N▒〖(a+ b x_i-y_i)〗^2 ,
که a ̂ و b ̂ براوردهاي کمترين مربعات خطاي a و b خواهند بود. براي به‌دست آوردن a ̂ و b ̂ به طريق زير عمل مي‌کنيم
F=∑_(i=1)^N▒〖(a+ b x_i-y_i)〗^2 .
مشتق F نسبت به a وb نتيجه مي‌دهد
∂F/∂a=2∑_(i=1)^N▒〖(a+ b x_i-y_i)〗, (3-1)
∂F/∂b=2∑_(i=1)^N▒〖(a+ b x_i-y_i)x_i 〗 . (3-2)
با مساوي صفر قرار دادن معادلات(3-1) و(3-2) داريم
∑_(i=1)^N▒〖〖(a ̂+ b ̂ x_i-y_i )=∑_(i=1)^N▒〖(y ̂_i 〗-y_i)=-∑_(i=1)^N▒〖(y_i 〗-y ̂_i)=0〗^ ,〗 (3-3)
∑_(i=1)^N▒〖〖(a ̂+ b ̂ x_i-y_i ) x_i=∑_(i=1)^N▒〖(y ̂_i 〗-y_i)X_i=-∑_(i=1)^N▒〖(y_i 〗-y ̂_i)X_i=0〗^ ,〗 ((3-4
و با حل همزمان معادلات(3-3) و (3-4) براوردهاي a ̂ و c ̂ عبارتند از
a ̂=(∑_(i=1)^N▒y_i )/N-b ̂ (∑_(i=1)^N▒x_i )/N=y ̅-b ̂x ̅,
b ̂=(∑_(i=1)^N▒〖x_i y_i 〗-((∑_(i=1)^N▒x_i ∑_(i=1)^N▒y_i ))/N)/(∑_(i=1)^N▒x_i^2 -(∑_(i=1)^N▒x_i )^2/N).
با جايگزين کردن Ln(m_ci )=y_i , Ln α=a ,β=b , Ln(t_i )=x_i براوردهاي β ̂ وα ̂ به صورت زير به‌دست مي آيد
α ̂=〖exp(1/N [∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(m_ci )-β∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(t_i)〗〗]),〗^( )
β ̂=(∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(t_i )ln⁡(m_ci)〗-(∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(t_i)〗 ∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(m_ci)〗)/N)/(∑_(i=1)^N▒[ln⁡(t_i)]^2 -(∑_(i=1)^N▒〖ln⁡(t_i)〗)^2/N).
3-3 مدل کورو33AMSAA (NHPP)
کورو(1974) به مدل دوان صورت تصادفي داد. او طي گزارشي از فعاليت تحليل سيستمهاي مواد ارتش (AMSAA) بيان کرد فرضيه هاي دوان منطبق بر فرايند پواسون ناهمگن با نرخ شکست وايبل است. به عبارتي اگر در فرايند پواسون ناهمگن، تابع نرخ شکست به‌صورت زير باشد
λ(x)=β/α^β x^(β-1).
با در نظر گرفتن θ=1/α^β شدت شکست لحظه‌اي به‌صورت زير است
λ_i (x)=θβx^(β-1) x>0 θ0 β0.
آنگاه براساس معادله(1-1)
E(N(t))=∫_0^t▒〖θβx^(β-1) dx〗=θt^β.
بنابراين شدت شکست تجمعي برابر است با
λ_c=(E(N(t)))/t=θt^(β-1),
و در نتيجه MTBF تجمعي مي‌شود
MTBF_c=1/θ t^(1-β).
براي حالت نمائي ، 1= β است پس λ λ_( i)(t) = ثابت بوده و هيچ رشدي در قابليت‌اعتماد رخ نمي‌دهد. براي 1β، λ_( i)(t) افزايشي بوده که نشان‌دهنده کاهش قابليت‌اعتماد است و براي 1β، λ_( i)(t) کاهشي است و در نتيجه قابليت‌اعتماد افزايش مي يابد. در حالت 1 β فرايند معمولا يک فرايند تواني (PLP) ناميده مي‌شود.

3-3-1 برآورد پارامترهاي مدل کورو AMSAA
براي برآورد پارامترها در مدل کورو AMSAA از روش درستنمائي ماکسيمم استفاده مي‌کنيم. اگر 0f(t_i│t_(i-1) )=θ βt_i^(β-1) e^(-θ (t_i^β-t_(i-1)^β ) ).
در نتيجه تابع درستنمائي به‌صورت زير است
L(θ,β)=θ^n β^n e^(-θT^β ) ∏_(i=1)^n▒〖t_i^(β-1).〗 (3-5)
با گرفتن لگاريتم طبيعي از دو طرف معادله (3-5)
Λ=n Lnθ+n Lnβ-θT^β+(β-1)∑_(i=1)^n▒〖Ln t_i.〗
با گرفتن مشتق Λ نسبت به θ ,β ، برآوردهاي درستنمائي ماکسيمم عبارتند از
θ ̂=n/T^β , (3-6)
β ̂=n/( nLnT- ∑_(i=1)^n▒〖Ln(t_i)〗) .
البته برآورد β در معادله فوق اريب است و با قرار دادن n-1 به جايn در صورت، β ̂ نااريب مي‌شود. يعني
β ̂u = (n-1)/( nLnT- ∑_(i=1)^n▒〖Ln(t_i)〗) . (3-7)
با استفاده از برآورد پارامترها شدت شکست مدل کوروAMSAA به شکل زير برآورد مي‌شود:
λ ̂_CA (T)=θ ̂β ̂T^(β ̂-1).
3-3-2 مثال
فرض کنيد سيستمي تا زمان T=400 تحت آزمون قرار گرفته، و تعداد 56 شکست مشاهده شده و اقدام اصلاحي مناسب انجام پذيرفته باشد. زمانهاي شکست در جدول 3-1 آمده است. مي‌بينيم که زمانهاي شکست به صورت تجمعي ثبت شده‌اند، يعني اولين شکست در زمان 7/0 و آخرين شکست در 2/395 رخ داده است. دراينصورت با استفاده از(3-6) و (3-7) براوردهاي ماکسيمم درستنمايي پارامترهاي مدل مي‌شود
θ ̂=0.2397 , β ̂=0.9103.
به اين ترتيب براورد شدت شکست در زمان T=400 برابراست با
λ ̂_CA (T)=θ ̂β ̂T^(β ̂-1)=0.1274 ,
و درنتيجه براورد MTBF در زمان T=400برابر خواهد بود با
(MTBF) ̂_CA (T)=7.84 .
جدول 3-1: زمان‌هاي رخداد56 شکست
0.7
63.6
125.5
244.8
315.4
366.3
3.7
72.2
133.4
249
317.1
373
13.2
99.2
151
250.8
320.6
379.4
15
99.6
163
260.1
324.5
389
17.6
100.3
164.7
263.5
324.9
394.9
25.3
102.5
174.5
273.1
342
395.2
47.5
112
177.4
274.7
350.2

54
112.2
191.6
282.8
355.2

54.5
120.9
192.7
285
364.6

56.4
121.9
213
304
364.9

3-4 مدل دونوان و مورفي
اين مدل نيز مبتني بر نمودار MTBF تجمعي در مقابل زمان تجمعي است. ديديم که کورو نشان داد شکستها در مدل دوان از فرايند پواسن ناهمگن پيروي مي کنند. دونوان و مورفي(2000 ) از اين يافته کورو براي بسط مدل دوان استفاده کرده و با اعمال تبديل ثابت کننده واريانس در فرايند پواسن، که همان ريشه دوم زمان فرايند است، مدل خود را ترتيب دادند. مدل به‌صورت زير است
MTBFC =α+ β√t .
N(t) مدل فوق برابر است با
N(t)=t/(α+β t^0.5 ).
با مشتق گيري از N(t) نسبت به t، نرخ شکست لحظه اي به‌دست مي آيد
λ_( i)=(dN(t) )/dt=(0.5(2α+β t^0.5))/〖(α+β t^0.5)〗^2 ,
که به صورت تقريبي برابر است با
λ_( i)=0.5/(α+β t^0.5 )=0.5/(〖 MTBF〗_C ) ,
که برابر نرخ شکست لحظه اي مدل دوان با شيب 0.5 است. MTBF لحظه اي نيز معکوس نرخ شکست لحظه‌اي است
〖 MTBF〗_i=〖(α+β t^0.5)〗^2/(0.5(2α+β t^0.5)).
مدل فوق نسبت به مدل دوان چند مزيت دارد. از جمله اينکه:
درمدل دونوان- مورفي نيازي به اعمال تبديل بر MTBF تجمعي نيست.
مدل دوان بسيار تحت تأثير شکستهاي اوليه بوده و نسبت به شکستهاي انتهايي چندان حساس نيست، در حالي که مدل فوق از شکستهاي انتهايي تأثير مطلوبي مي پذيرد. اين خصوصيت باعث مي‌شود که مدل دونوان- مورفي عملکرد بهتري نسبت به شکستها داشته باشد. به عبارتي وقتي زمان آزمون افزايش مي‌يابد، منطقي است که بيشتر نگران شکستهاي آخر باشيم تا شکستهاي ابتدائي و اين مدل به خوبي از اين منطق پيروي مي‌کند.
شبيه سازي نشان مي‌دهد هنگامي که شيب مدل دوان از 0.5 کمتر است مدل جديد برازش بهتري به داده‌ها دارد . از آنجائي که در بيشتر برنامه هاي رشد قابليت‌اعتماد شيب مدل دوان کمتر از 0.5 مي‌شود، اين ويژگي، يک مزيت براي مدل دونوان- مورفي به حساب مي آيد.
اگر در برنامه هايي که هدف، ادامه آزمون تا رسيدن به MTBF لحظه اي مشخصي است، T_Du وT_Sq به ترتيب نشان دهنده زمان آزمون تحت مدل دوان و مدل دونوان- مورفي باشد، با استفاده از معادلات MTBF لحظه اي دو مدل داريم
MTBF_Du=(α_1 T^(β_1 ))/(1-β_1 ) ,
〖 MTBF〗_sq=((α_2+ β_(2 ) T^0.5))/(0.5(2α_2+ β_(2 ) T^0.5)) .
آنگاه با در نظر گرفتن ميزان ثابت 〖 MTBF〗_insخواهيم داشت
T_Du=[((1-β_1 ) 〖 MTBF〗_ins)/α_1 ]^(1/β_1 ) ,
T_Sq=1/(16β_2^4 ) [-β_(2 ) MTBF_ins+ 4α_2 β_(2 )- β_(2 ) √(MTBF_ins ) √(MTBF_ins+8α_2 ) ]^2 .
از آنجائي که مدل دوان از شکست هاي ابتدائي اثر مي پذيرد، اين خاصيت را دارد که زمان آزمون را براي رسيدن به 〖 MTBF〗_insتا زماني بيشتر از T_Sq به درازا مي‌کشاند. در نتيجه در مواقعي که مدل دونوان – مورفي برازش بهتري به داده‌ها دارد (يعني زماني که شيب مدل دوان از 0.5کمتر است)، براي رسيدن به 〖 MTBF〗_ins زمان کمتري نياز است.
3-4-1 برآورد پارامترهاي مدل دونوان- مورفي
مشابه مدل دوان، براي برآورد کردن پارامترهاي مدل دونوان- مورفي از روش کمترين مربعات خطا استفاده مي‌کنيم. براي راحتي در محاسبات تعريف مي‌کنيم
y = MTBFC x = √t .
معادله زير را در نظر بگيريد
F=∑_(i=1)^n▒〖〖(α+ β x_i-y_i)〗^2.〗
مشتق F نسبت به β وα نتيجه مي‌دهد
∂F/∂α=2∑_(i=1)^n▒〖(α+ β x_i-y_i)〗, (3-8)
∂F/∂β=2∑_(i=1)^n▒〖(α+ β x_i-y_i)x_i 〗. (3-9)
با مساوي صفر قرار دادن معادلات(3-8) و(3-9) داريم
∑_(i=1)^n▒〖(α ̂+ β ̂ x_i-y_i )=∑_(i=1)^n▒〖(y ̂_i 〗-y_i)=-∑_(i=1)^n▒〖(y_i 〗-y ̂_i)=0〗^ , (3-10)
∑_(i=1)^n▒〖〖(α ̂+ β ̂ x_i-y_i ) x_i=∑_(i=1)^n▒〖(y ̂_i 〗-y_i)X_i=-∑_(i=1)^n▒〖(y_i 〗-y ̂_i)X_i=0〗^ ,〗 (3-11)
و با حل همزمان معادلات(3-10) و (3-11) براوردهاي β ̂ وα ̂ عبارتند از
α ̂=(∑_(i=1)^n▒y_i )/n-β ̂ (∑_(i=1)^n▒x_i )/n=y ̅-β ̂x ̅ , (3-12)
β ̂=(∑_(i=1)^n▒〖x_i y_i 〗-((∑_(i=1)^n▒x_i ∑_(i=1)^n▒y_i ))/n)/(∑_(i=1)^n▒x_i^2 -(∑_(i=1)^n▒x_i )^2/n) . (3-13)
با جايگزين کردن x = √t و y = MTBFC، براوردهاي β ̂ وα ̂ به صورت زير به‌دست مي آيد
α ̂=1/n ∑_(i=1)^n▒m_(c_i ) -β ̂ 1/n ∑_(i=1)^n▒√(t_i ) ,
β ̂=(∑_(i=1)^n▒m_(c_i ) √(t_i ) – 1/n( ∑_(i=1)^n▒√(t_i ) ∑_(i=1)^n▒〖m_(c_i ))〗)/〖∑_(i=1)^n▒√(t_i )- 1/n( ∑_(i=1)^n▒√(t_i ))〗^2 .

3-4-2 مقايسه مدل دونوان – مورفي با مدل دوان
براي مقايسه اين دو مدل ميتوان از ضريب تعيين R^2 استفاده کرد. اگر y_i مقدار واقعي متغير پاسخ و y ̂_i مقدار برازش داده شده متناظر y_i باشد . ضريب تعيين رگرسيوني y_i وy ̂_i به‌صورت زير تعريف مي‌شود
R^2=∑_(i=1)^n▒〖(y ̂_i-y ̅)〗^2/∑_(i=1)^n▒〖(y_i-y ̅)〗^2 .
اگرθ ،MTBF تجمعي باشد، حالت کلي مدل دوان و دونوان – مورفي عبارتست از
θ_Du=α_1 t^(β_1 ) ,
θ_Sq= α_2+ β_(2 ) t^0.5 .
در اينصورت R_Du^2 و R_sq^2 به صورت
R_Du^2=∑_(i=1)^n▒〖(θ ̂_Dui-θ ̅)〗^2/∑_(i=1)^n▒〖(θ_i-θ ̅)〗^2 ,
R_sq^2=∑_(i=1)^n▒〖(θ ̂_sqi-θ ̅)〗^2/∑_(i=1)^n▒〖(θ_i-θ ̅)〗^2 ,
خواهد بود. که در آن θ ̂_Du و θ ̂_sq به ترتيب MTBFتجمعي پيش بيني شده تحت مدل دوان و دونوان – مورفي و θ ̅ ميانگين MTBF تجمعي مشاهده شده است. در نتيجه
R_Du^2=∑_(i=1)^n▒〖〖(α〗_1 〖t_i〗^(β_1 )-θ ̅)〗^2/∑_(i=1)^n▒〖(θ_i-θ ̅)〗^2 ,
R_sq^2=∑_(i=1)^n▒〖(α_2+ β_(2 ) 〖t_i〗^0.5-θ ̅)〗^2/∑_(i=1)^n▒〖(θ_i-θ ̅)〗^2 .
فرم R_Du^2 و R_sq^2 به صورتي است که به راحتي قابل قياس است. R_Diff^2 را تفاضل R^2 دو مدل تعريف مي‌کنيم
R_Diff^2=R_Du^2-R_sq^2=(∑_(i=1)^n▒〖〖(α〗_1 〖t_i〗^(β_1 )-θ ̅)〗^2-(α_2+ β_(2 ) 〖t_i〗^0.5-θ ̅ )^2 )/∑_(i=1)^n▒(θ_i-θ ̅ ) ^2 .
هرگاه (dR_Diff^2)/(dt_i ) برابر صفر شود دو مدل مناسبت يکساني خواهند داشت. در اينصورت داريم
(dR_Diff^2)/(dt_i )=2∑_(i=1)^n▒〖〖(α〗_1 〖t_i〗^(β_1 )-θ ̅)〗 〖(α〗_1 〖〖β_1 t〗_i〗^(β_1-1))-2∑_(i=1)^n▒〖(α_2+ β_(2 ) 〖t_i〗^0.5-θ ̅)〗 〖(0.5 β〗_(2 ) 〖t_i〗^(-0.5))=0.
براي برقراري معادله فوق، لازم است β_1=0.5 ،β_2=α_1 و α_2=0 باشد. به اين ترتيب هنگامي که β_1=0.5 است R_Du^2 وR_sq^2 برابر شده و در نتيجه دو مدل بسيار به هم شبيه اند. همچنين هنگامي که β_1<0.5 است مدل جديد برازش مناسب‌تري به داده‌ها دارد و هنگامي که β_1>0.5 باشد مدل دوان مناسب تر است . به عبارتي براي مقادير کوچک β_1 مدل دونوان – مورفي و براي مقادير بزرگ β_1 مدل دوان مناسب تر است .
شکل 3-2 که مقدار R_Diff^2 را (برحسب درصد) براي 6200 مجموعه داده شبيه سازي شده نشان مي‌دهد نيز مويد همين مطلب است. مقادير مثبت نشان دهنده ارجحيت مدل دوان به مدل دونوان – مورفي و مقادير منفي نشان دهنده ارجحيت مدل دونوان – مورفي بر مدل دوان است.

شکل 3-2: مقدار R_Diff^2 در مقابل شيب مدل دوان
3-4-3 مثال
جدول 3-2 داده‌هاي برآمده از يک آزمون رشد قابليت‌اعتماد، با 10 شکست است. محاسبات لازم براي برازش مدل دوان و مدل دونوان – مورفي نيز در جدول آمده است.
جدول 3-2: زمان‌هاي رخداد 10 شکست و محاسبات مدل دوان و دونوان- مورفي

Failure
Cumulative
failure time
Cumulative MTBF
Natural log of cumulative MTBF
Natural log of cumulative time
Square root of cumulative time
1
1027
1027
6.934
6.934
32.047
2
1954
977
6.884
7.578
44.204
3
5366
1789
7.489
8.588
73.253
4
7344
1836
7.515
8.902
85.697
5
7540
1508
7.319
8.928
86.833
6
13,981
2330
7.754
9.545
118.241
7
17,344
2478
7.815
9.761
131.697
8
22,830
2854
7.956
10.036
151.096
9
30,907
3434
8.142
10.339
175.804
10
55,684
5568
8.625
10.927
235.975

اگر θ_Du و θ_Sq به ترتيب MTBF تجمعي مدل دوان و دونوان – مورفي باشد، مدلهاي برازش داده شده عبارتنداز
Ln(θ_Du) = 3.82 + 0.412 Ln (t) ,
θ_Sq= -22.95 + 21.175 t^0.5.

R_Du^2 برابر4/92% و R_sq^2 برابر 4/94% است که نمايانگر برازش مناسب تر مدل دونوان – مورفي است. شکل3-3 به خوبي اين مطلب را نشان مي‌دهد.

شکل3-3: برازش مدل دوان و دونوان- مورفي به داده‌ها

3-5 مدل 34GRG
تا اينجا مدلهاي مختلفي را تحت برنامه ارتقاء آزمون – تعمير- آزمون معرفي کرديم. يادآور مي‌شويم برنامه آزمون – تعمير – آزمون به اين صورت است که سيستم در معرض آزمون قرار گرفته و به محض رخداد شکست، به منظور بهبود قابليت‌اعتماد اقدام اصلاحي مناسب بر سيستم شکست خورده انجام مي‌گيرد. حال اگر اقدام اصلاحي موردنظر تعمير مينيمال باشد، به اين معني که سيستم پس از تعمير، وضعيتي مشابه زمان قبل از شکست داشته و فقط حالت شکست مدنظر تعمير شود، با هر تعمير نرخ رخداد شکست کاهش يافته و شاهد يک فرايند پواسن ناهمگن (NHPP ) خواهيم بود. اما اگر اقدام اصلاحي موردنظر تعمير کامل باشد، به اين معني که سسيستم پس از تعمير، به خوبي يک سيستم جديد کار کند و شدت شکست آن مشابه زمان شروع آزمون شود، در اين صورت مثل اين است که يک سيستم جديد در برنامه آزمون قرار داده باشيم و يک فرايند تجديد کامل (PRP) رخ مي‌دهد. اما هنگامي که برخي سيستمهاي تحت آزمون تعمير مينيمال و برخي ديگر تعمير کامل را مي پذيرند، مدل بندي داده‌ها چگونه امکان پذير است؟
کينگتين و همکاران (2010) مدلي کلي براي اين موقعيت معرفي کردند و آنرا GRG (مدل کلي رشد قابليت‌اعتماد) ناميدند. اگر 0λ(t)=αt^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ t_(i-1)که هم به زمان تجمعي آزمون و هم به زمان آخرين رخداد شکست بستگي دارد.
ويژگي جالب مدل GRG اين است که هر دو فرايند پواسن ناهمگن و تجديد کامل را دربر مي گيرد. به عبارتي اگر β=0 باشد شدت شکست عبارتست از
λ(t)=α〖(t-t_(i-1))〗^γ t_(i-1)مي بينيم λ(t)در حالت β=0 فقط تحت تأثير آخرين زمان رخداد شکست است. به اين معني که سيستم پس از تعمير به خوبي يک سيستم جديد است (تعمير کامل دريافت کرده) و اين يک فرايند تجديد کامل را نشان مي‌دهد.
در حالت ديگر اگر γ=0 باشد، شدت شکست مي‌شود
λ(t)=αt^β t_(i-1)و اين همان شدت شکست مدل کورو –AMSAA است.

3-5-1 برآورد پارامترهاي مدل GRG
براي برآورد پارامترهاي مدل GRG از روش درستنمائي ماکسيمم استفاده مي‌کنيم. در ادامه براورد پارامترها را در دو نوع داده‌هاي خاتمه زمان و تعداد شکست معلوم بيان مي‌کنيم.

3-5-1-1 براورد پارامترها در داده‌هاي خاتمه شکست
در حالتي که آزمون ، پس از مشاهده تعداد شکست مشخص n پايان پذيرد، زمانهاي شکست به صورت
t0< t1<…L(α,β,γ)=∏_(i=1)^n▒〖λ(t_i)〗 .e^(-∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖λ(t)dt〗) =∏_(i=1)^n▒〖 α〖t_i〗^β 〖(t_i-t_(i-1))〗^γ 〗.e^(-∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖αt^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗).
از دو طرف لگاريتم طبيعي مي‌گیریم. داريم
Λ(α,β,γ)=nLn α+β∑_(i=1)^n▒Ln t_i+γ∑_(i=1)^n▒Ln 〖(t〗_i-t_(i-1))-∑_(i=1)^n▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖αt^β (t-t_(i-1) )^γ dt〗 .

براي به‌دست آوردن α ̂ از Λ نسبت به α مشتق گرفته و مساوي صفر قرار مي دهيم. در اينصورت برآورد α برابراست با
α ̂=n/(∑_(i=1)^n▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖t^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗) .
با جايگذاري α ̂ در لگاريتم تابع درستنمائي خواهيم داشت
Λ(β,γ)=n(Ln n –Ln∑_(i=1)^n▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖t^β (t-t_(i-1) )^γ dt〗)+β∑_(i=1)^n▒〖Ln(〗 t_i)+γ∑_(i=1)^n▒Ln 〖(t〗_(i-) t_(i-1))-n .

برآوردهاي β ̂ و γ ̂ و α ̂ به روشني تعريف نمي شوند در نتيجه براي ماکسيمم سازي Λ(β,γ) از روشهاي عددي و نرم افزارهاي رياضي مثل Matlab کمک مي‌گیریم.
3-5-1-2 براورد پارامترها در داده‌هاي خاتمه زمان
حال اگر آزمون در زمان مشخص T اتمام يابد، زمانهاي شکست به‌صورت T>t0 t1…tn مي باشند که t0=0 بوده و T را برابر tn+1 در نظر مي‌گیریم. در اين صورت تابع درستنمائي (tn+1 وt1,…,tn) به اين شکل است
L(α,β,γ)= [ ∏_(i=1)^n▒〖λ(t_i)〗 . e^(-∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖λ(t)dt〗) ] R(t_(n+1) ) = [ ∏_(i=1)^n▒〖 α〖t_i〗^β 〖(t_i-t_(i-1))〗^γ 〗 . e^(-∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖αt^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗) ]. e^(-∫_( t_n)^(t_(n+1) )▒〖αt^β 〖(t-t_n)〗^γ dt〗) =[ ∏_(i=1)^n▒〖 α〖t_i〗^β 〖(t_i-t_(i-1))〗^γ 〗 ][ ∏_(i=1)^(n+1)▒ e^(-∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖αt^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗) ] .
در نتيجه لگاريتم طبيعي تابع درستنمائي مي‌شود
Λ(α,β,γ)=nLn α+β∑_(i=1)^n▒Ln t_i+γ∑_(i=1)^n▒Ln 〖(t〗_(i-) t_(i-1))-∑_(i=1)^(n+1)▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖αt^β (t-t_(i-1) )^γ dt〗 .
با مشتق گيري از Λ نسبت به α و برابر صفر قرار دادن آن برآورد α به صورت زير به‌دست مي آيد
α ̂=n/(∑_(i=1)^(n+1)▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖t^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗) ,
و در نتيجه
Λ(β,γ)=n(ln n –ln∑_(i=1)^(n+1)▒∫_( t_(i-1))^(t_i)▒〖t^β 〖(t-t_(i-1))〗^γ dt〗)+β∑_(i=1)^n▒〖ln(〗 t_i)+γ∑_(i=1)^n▒ln 〖(t〗_(i-) t_(i-1))-n .
β ̂ و γ ̂ با استفاده از نرم افزار به‌دست مي آيند.
3-5-2 مثال
يک برنامه آزمون را درنظر بگيريد که زمانهاي شکست آن به صورت جدول 3-3 است. آزمون در T=899 پايان مي پذيرد.
جدول 3-3: زمان‌هاي رخداد 10 شکست
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Failure number
21.0 36.0 86.0 147.0 167.7 179.4 343.0 474.1 523.1 598.8
Failure
time

برآورد پارامترها برابر است با
α ̂= 0.0493 β ̂= – 0.5508 γ ̂= 0.6838 .
شکل 3-4 نمودار شدت شکست را تحت دو مدل کورو AMSAAو GRG نشان مي‌دهد. مي بينيم که هر چه زمان افزايش مي يابد شيب منحني هاي نرخ شکست مدل GRG کاهش مي يابد.

شکل 3-4: نرخ شکست در دو مدل کوروAMSAA و GRG
شکل3-5 برازش منحني هاي مدل کورو AMSAAو GRG را به داده‌ها نشان مي‌دهد. اينکه مدل GRG برازش بهتري به داده‌ها دارد کاملاً مشخص است.

شکل 3-5: برازش دو مدل کوروAMSAA و GRG به داده‌ها
3-6 مدل پیش‌افکن35 کورو
تا کنون مدلهاي معرفي شده، همه مناسب برنامه ارتقاي آزمون-تعمير- آزمون بودند، برنامه اي که در آن شکستها به محض مشاهده تعمير مي‌شوند. اما گاهي مديريت تصميم مي‌گيرد که اقدامات اصلاحي را به انتهاي آزمون موکول کند. اين تصميم اغلب ناشي از هزينه‌بر بودن توقف آزمون براي تعمير است. در اين حالت داده‌ها برآمده از برنامه آزمون-کشف- آزمون هستند. تفاوت بزرگي که برنامه آزمون-کشف- آزمون با آزمون-تعمير- آزمون دارد اين است که در طول برنامه آزمون-کشف- آزمون هيچ رشدي در قابليت‌اعتماد رخ نمي‌دهد، در عوض با به‌کارگيري اقدامات اصلاحي در انتهاي آزمون، يک پرش واضح در قابليت‌اعتماد ايجاد مي‌شود. بنابراين مدلهاي قبلي قابل استفاده نيستند. کورو (1983) مدل پیش‌افکن کورو را براي داده‌هاي آزمون-کشف- آزمون معرفي کرد.
فرض کنيد سيستم در بازه زماني [0,T] در معرض آزمون قرار گيرد. شکستهاي رخ داده تحت مدل پیش‌افکن به دو حالت تقسيم مي‌شوند: شکست‌هاي حالتA و شکست‌هاي حالت B.
شکست‌هاي حالت A: شکست‌هايي هستند که در صورت مشاهده شدن در طول آزمون، هيچ اقدام اصلاحي بر آنها انجام نمي‌شود. درواقع مديريت تشخيص مي‌دهد که اصلاح اين شکست‌ها به لحاظ مالي، تکنيکي و… به صرفه نيست.
شکست‌هاي حالت B: شکست‌هايي هستند که در صورت مشاهده شدن در طول آزمون، اقدامات اصلاحي آنان به انتهاي آزمون موکول شده و پس از اتمام آزمون تعمير مي‌شوند.
حال فرض کنيم حالات شکست A شدت شکست ثابت λ_A دارد و در صورتي‌‌که در طول آزمونM حالت شکست مجزاي B رخ دهد، حالت شکست B از توزيع نمايي با نرخ شکست λ_i پيروي کند(i=1,2,…,M). همچنين اگر K تعداد کل حالات شکست B باشد، شدت شکست B برابراست با
λ_B=∑_(j=1)^K▒λ_j .
عامل اثرگذاري(EF) مربوط به i- امين حالت مجزاي Bرا با di، i=1,2,…,M ، نشان مي‌دهيم. λ_i پس از انجام اقدامات اصلاحي به ميزان 100×di درصد کاهش مي‌يابد، اما 100×(1-di)درصد از آن در سيستم باقي مي‌ماند.
شدت شکست سيستم در طول برنامه آزمون-کشف- آزمون ثابت بوده و برابراست با
λ_S=λ_Α+λ_Β .
با اجراي اقدامات اصلاحي در انتهاي آزمون، شدت شکست از λ_S به λ_P يعني شدت شکست پیش‌افکن کاهش مي‌يابد به طوريکه
λ_Ρ=λ_Α+∑_(i=1)^M▒〖(1-d_i ) λ_i 〗+(λ_Β-∑_(i=1)^M▒λ_i ) = λ_Α+λ_Β-∑_(i=1)^M▒d_i λ_i ,
که درآن:
∑_(i=1)^M▒〖(1-d_i ) λ_i 〗 شدت شکست باقيمانده M حالت مجزاي B بعد از اقدام اصلاحي است.
λ_Β-∑_(i=1)^M▒λ_i شدت شکست باقيمانده براي حالات شکست B مشاهده نشده است.

3-6-1 براورد پارامترهاي مدل پیش‌افکن کورو
براي براورد پارامترهاي مدل، NA را تعداد شکست‌هاي مشاهده شده حالت A در نظر مي‌گيريم. از آنجايي‌که همه شکست‌ها در طول آزمون رخ نمي‌دهند، NB را تعداد شکست حالت B مشاهده شده تعريف مي‌کنيم. در اين صورت
N_B=∑_(i=1)^M▒N_i ,
که N_i تعداد شکست مشاهده شده i- امين حالت مجزاي B است و M≤N_B≤K .
λ_Sدرواقع شدت شکست جاري است که برآمده از عملکرد سيستم در طول آزمون است. براي براورد λ_S به سادگي از براوردهاي λ_Α و λ_Β استفاده مي‌کنيم
λ ̂_Α=N_A/T , λ ̂_B=N_B/T .

در نتيجه براورد شدت شکست جاري عبارتست از
λ ̂_S=(N_Α+N_B)/T .
به‌دست مي‌آيد λ ̂_Sجاري نيز از معکوس (MTBF) ̂
(MTBF) ̂_S=[λ ̂_S ]^(-1) .
حال به دنبال يافتن براورد شدت شکست پیش‌افکن هستيم. با گرفتن اميدرياضي از λ_Ρ داريم
E(λ_Ρ (T))=λ_Α+∑_(i=1)^K▒〖(1-d_i ) λ_i 〗+∑_(i=1)^K▒d_i λ_i e^(-λ_i T) .
در عبارت فوق دو جمله اول رشد پتانسيل قابليت‌اعتماد را نشان مي‌دهد. به عبارتي، وقتي همه شکست‌ها در طول آزمون مشاهده مي‌شوند، به مينيمم شدت شکست يا معادلاً ماکسيمم MTBFخواهيم رسيد. تحت شرايط واقعي E(λ_Ρ (T)) مي‌تواند به صورت زير بيان شود
E(λ_Ρ (T))=λ_Α+∑_(i=1)^K▒〖(1-d_i ) λ_i 〗+d ̅h(T) ,
که در آنd ̅ ميانگين عوامل اثرگذاري بوده وعبارتست از d ̅=1/M ∑_(i=1)^M▒d_i . h(T) نرخ لحظه اي

پایان نامه
Previous Entries منبع پایان نامه ارشد با موضوع مدل ارزیابی، قابلیت اعتماد، واژه نامه، روش ترکیبی Next Entries منبع پایان نامه ارشد با موضوع زمانهاي، اولين، کورو، AMSAA