منبع پایان نامه ارشد با موضوع تحلیل پوششی، تحلیل پوششی داده‌ها، کارایی نسبی، تابع تولید

ه دادند که توانایی اندازه گیری کارایی با چندین ورودی و چندین خروجی را داشت و آن ‌را تحلیل پوششی داده‌ها نامیدند و برای اولین بار در سال 1976 آن را مورد استفاده قرار دادند .آن‏ها مدل CCR را ابداع کردند و بعد بنکر Banker با کامل کردن مقاله آن‏ها مدل BCC را ایجاد نمود (احمدپور، 1385). اين دو مقاله پايه بسياري از مطالعات تحليلي كارايي شدند و اين شاخه از علم پژوهش در عمليات به سرعت پيشرفت كرد و تحت عنوان تحليل پوششي داده‌ها ناميده شد (علیرضایی و رفیعی ثانی، 1389). نام تحلیل پوششی داده‌ها به این دلیل است که ما مرز کارایی تمام داده ایی که در اختیار داریم پوشش می‌دهیم (احمدپور، 1385) تحليل پوششي داده‌ها DEA براي اندازه گيري كارايي يك تعداد از واحدهاي در حال فعاليت مشابه استفاده مي‌شود كه اين واحدهاي در حال فعاليت را واحدهاي تصميم گيري (Decision Making Unit) DMU مي‌نامند . در DEA عموماً براي ارزيابي كارايي هر DMU از مدل‌های جداگانه اي استفاده مي‌شود . در نتيجه در تحليل كارايي، هر يك از DMU ها به طور جداگانه بر روي مرز كارا تصوير مي‌شوند( طلوع و جوشقانی، 1389). DEA يك روش ناپارامتري براي يافتن تابع توليد مجموعه اي از واحدهاي تصميم گيرنده است به عبارت ديگر ، DEA يك روش ناپارامتري است كه هيچ فرضي را در خصوص شكل تابع توليد نياز ندارد. (علیرضایی و رفیعی ثانی،1389)( تابع تولید به تابعی گفته می‌شود که برای هر ترکیب از ورودی‌ها ماکزیمم خروجی را بدهد) (هاشمی گرم داره، 1387).
2-1-7- انتخاب نهاده‌ها و ستانده‌ها
انتخاب نهاده‌ها و ستانده‌ها یکی از مهم‌ترین موارد مرتبط با به کارگیری تحلیل پوششی داده‌‏ها است و باید با در نظر گرفتن قواعد خاصی صورت بگیرد . از جمله آ نکه در صورتی که تعداد عوامل نهاده و ستانده در مقایسه با تعداد واحدهای تصمیم گیری زیاد باشند نتایج حاصل اطلاعات مفیدی را در اختیار قرار نمی‌دهد و اغلب واحدها به عنوان واحد کارا معرفی می‌شوند . چارنز و کوپر به عنوان یک قاعده تجربی تعداد واحدها را حداقل 3 برابر مجمع نهاده‌ها و ستانده‌ها پیشنهاد می‌کنند . شرایطی که در انتخاب عوامل داده و ستانده باید در نظر گرفته شوند عبارتند از :
یک ارتباط مفهومی بین داده‌ها و ستانده‌ها برقرار باشد .
یک ارتباط مقداری بین داده‌ها و ستانده‌ها در عمل استنباط شود .
ارتباط بین داده‌ها و ستانده‌ها مستقیم باشد .
اندازه داده‌ها و ستانده‌ها مخالف صفر باشد (زارعی 1379 ) .
2-1-8-مدل‌های پايه تحليل پوششی داده‌ها
در این قسمت مدل‌های پایه تحلیل پوششی داده‌ها یعنی مدل‌های CCR ، BCC تشریح خواهند شد . در شرح تمامی این مدل‌ها فرض شده است n واحد تصمیم گیرنده وجود دارند که هرکدام بردار m تایی ورودی‌ها را به کار می‌گیرند تا بردار s تایی خروجی‌ها را تولید کنند .
2-1-8-1-مدل CCR
در اندازه گیری نسبی واحدها فارل برای ساختن یک واحد مجازی بر مجموع موزون واحدها تمرکز نمود و به عنوان یک وسیله سنجش متداول برای اندازه گیری کارایی فنی رابطه زیر را پیشنهاد کرد:
کارایی=( ها خروجی موزون مجموع )/(ها ورودی موزون مجموع)
در صورتیکه هدف بررسی کارایی n واحد که هر کدام دارای m ورودی و s خروجی است باشد، کارایی واحد jام (j=1,2,….,n) به صورت زیر محاسبه می‌گردد:
امjواحد کارایی=(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj 〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij 〗)

میزان ورودی i ام برای واحد j ام (i=1,2,….,m) x_ij
میزان خروجی r ام برای واحد j ام (r=1,2,….,s) y_rj
وزن داده شده به خروجیr ام (قیمت خروجی r ام ) u_r
وزن داده شده به ورودی i ام (هزینه ورودی i ام) v_i
مورد مهم در رابطه فوق این است که این وسیله سنجش کارایی، نیازمند مجموعه ای از وزن‌ها است که برای تمامی واحد های تحت بررسی مورد استفاده قرار گیرد. در این رابطه به دو نکته باید توجه داشت اول اینکه ارزش ورودی‌ها و خروجی‌ها می‌تواند متفاوت باشد و اندارزه گیری آن‏ها مشکل باشد و از طرف دیگر ممکن است واحدهای مختلف به گونه ای عملیات خود را سازمان دهند که خروجی‌هایی با ارزش‌های متفاوت ارائه کنند. لذا نیازمند وزن‌های متفاوتی در اندازه گیری کارایی می‌باشند.
چارنز،کوپر و رودز مشکل فوق را شناخته و برای حل این مشکل در مدل خود به ورودی‌ها و خروجی‌ها وزن‌های مختلفی را اختصاص دادند و واحدهایی را مطرح کردند که می‌توانند وزن‌هایی را که برای آن‏ها متناسب‌تر و روشن کننده تر در مقایسه با سایر واحدها باشد بپذیرند. در تحت این شرایط مدل ارائه شده آن‏ها برای ارزیابی واحد تحت بررسی که از این به بعد آن را واحد صفر می‌نامیم از حل مدل برنامه ریزی خطی زیر بدست می‌آید. که نام مدل نسبت CCR دارد.برای ساختن مدل فرض کنید n واحد موجود است و هدف ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی ( واحد صفر یا واحد تصمیم گیرنده DMU )که ورودی‌های… , x_m0 x_10 〖,x〗_20,را برای تولید خروجی‌های … , y_s0 y_10 〖,y〗_20,مصرف می‌کند، است.
در صورتی که وزن‌های تخصیص داده شده به خروجی‌ها (یا قیمت خروجی‌ها) با … , u_s u_1 〖,u〗_2, و وزن تخصیص داده شده به ورودی‌ها ( یا هزینه خرید ورودی‌ها) با … , v_m v_1 〖,v〗_2, نشان داده شود آنگاه کسر زیر باید حداکثر گردد:
(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0 〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗)
این روش را برای سایر واحدها نیز باید انجام داد. به این ترتیب
Max Z0=(کارایی واحد صفر)
st:
1 ≥کارایی تمامی واحدها
متغیر های مسئله فوق وزن‌ها بوده و جواب مسئله مناسب‌ترین و مساعدترین مقادیر را برای وزن‌های واحد صفر ارائه و کارایی آن را اندازه گیری می‌کند. مدل ریاضی آن به صورت زیر می‌باشد:

Max Z_0=(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0 〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗)
st: (j=1,2,….,n)برای هر واحد
(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj 〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij 〗)≤1
u_r,v_i≥0
2-1-8-1-مدل نسبت CCR
در مدل فوق اگر u_r ها خیلی بزرگ و v_jها خیلی کوچک باشند، مقادیر نسبت‌های بیان کننده محدودیت‌ها، بی‌نهایت و نا محدود خواهد شد. برای جلوگیری از چنین مشکلی تمامی نسبت‌ها (کارایی واحدها) را کوچکتر مساوی با یک در نظر می‌گیرند و به عنوان محدودیت وارد مدل می‌کنند. لازم به توضیح است که در محدودیت‌ها به جای عدد یک، هر عدد مثبت دیگر مانند k را می‌توان قرار داد، در این صورت کارایی واحدها نسبت به سطح سنجیده می‌شود.
همان طور که اشاره شد مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها به دو گروه«ورودی محور» و «خروجی محور» تقسیم می‌شود که در ادامه به آن‏ها پرداخته خواهد شد.
برای تبدیل نسبت CCR به یک مدل برنامه ریزی خطی به روشی که توسط چارنز و کوپر به کار گرفته می‌شود توجه کنید. در این روش استدلال بر آن است که برای حداکثر کردن مقدار یک عبارت کسری کافی است که مخرج کسر معادل یک عدد ثابت در نظر گرفته شود و صورت کسر حداکثر گردد(مهرگان،1383). بر این اساس، با اعمال محدوديت ∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗=1 در مدل برنامه‌ریزی کسری CCR، این مدل به مدل برنامه‌ريزي خطي زير تبديل شد. دقت کنید که مدل اخیر اگرچه شباهتی با متغیرها و پارامترهای مدل قبل دارد اما مدلی متفاوت و جدید است (فارسیجانی-1390)

Max Z_0=∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0 〗
st:
∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗=1
∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj-∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij≤0〗〗 (j=1,2,….,n)
u_r,v_i≥0
مدل اولیه (مضربی) CCR ورودی محور

MinZ_0=∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗
st:
∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0 〗=1
∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj-∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij≤0〗〗 (j=1,2,….,n)
u_r,v_i≥0
مدل اولیه (مضربی) CCRخروجی محور

2-1-8-3-قانون بازده به مقياس:
بازده به مقیاس مفهومی است بلند مدت که منعکس کننده نسبت افزایش در خروجی به ازاء افزایش در میزان ورودی‌ها می‌باشد. این نسبت می‌تواند ثابت، صعودی و با نزولی باشد. نسبت بازده ثابت به مقیاس وقتی صادق است که افزایش در ورودی به همان نسبت موجب افزایش خروجی شود. برای مثال اگر نیروی کار و سرمایه دو برابر شود، نتیجه آن دو برابر شدن میزان محصول گردد. بازده صعودی نسبت به مقیاس آنست که به میزان خروجی به نسبتی بیش از میزان افزایش در ورودی‌ها، افزایش یابد و در صورتیکه میزان افزایش در خروجی‌ها کمتر از نسبتی باشد که ورودی‌ها افزایش داده شوند، بازده نزولی نسبت به مقیاس ایجاد می‌شود.
جهت بررسی بازده به مقیاس، در حالتیکه دو ورودی و یک خروجی وجود داشته باشد، یک منحنی تولید یکسان را که در نمودار 1-2 نمایش داده شده می‏توان در نظر گرفت. y1 واحد محصول با استفاده از ترکیب دو ورودی x1’ و x1در شکل زیر مورد توجه قرار دهید. دو برابر کردن هر دو ورودی موجب تغییر منحنی تولید یکسان به y2می‌شود. اگر y2دقیقاً برابر با y12باشد، سیستم را نماینده بازده ثابت به مقیاس در دامنه x1 x1’ تا x2 x2’نامند. اگر y2بیشتر از y12باشد،بازده به مقیاس صعودی است و اگر y2دقیقاً کمتر از y12باشد، بازده به مقیاس نزولی خواهد بود.

نمودار 1-2- نمودار تولید
متداول‌ترین وضعیت برای یک تابع تولید ابتدا بازده به مقیاس صعودی و سپس نزولی است. منطقه بازده به مقیاس صعودی به تخصص نسبت داده می‌شود. با افزایش مقدار تولید کارگران متخصص را می‌توان استخدام کرد و ماشین آلات جدید و کارا در فرآیند تولید مورد استفاده قرار گیرند. لیکن افزایش تولید از یک حد معین نه تنها کسب عواید بیشتر ناشی از میزان افزایش تخصص را محدود می‌کند، بلکه مشکلات مربوط به هماهنگی در مراحل و انجام تولید ممکن است هزینه را به طور قابل ملاحظه‌ای افزایش دهد. وقتی مخارج هماهنگی بیش از مخارج تخصیص داده شود، بازده به مقیاس نزولی تبدیل خواهد شد.
2-1-8-9-مدل BCC
یکی از ویژگی‌های مدل تحلیل پوششی داده‌ها ساختار بازده به مقیاس آن است.همان طور که اشاره شد بازده به مقیاس می‌تواند «ثابت» یا «متغیر» باشد. مدل‌های CCR از جمله مدل‌های بازده ثابت به مقیاس است. مدل بازده ثابت به مقیاس زمانی مناسب است که همه واحدها در مقیاس بهینه عمل کنند. در ارزیابی کارایی واحدها هرگاه فضا و شرایط رقابت ناقص محدودیت‌هایی را در سرمایه گذاری تحمیل کند موجب عدم فعالیت واحد در مقیاس بهینه می‌گردد.
در سال 1384 بنکر، چارنز و کوپر با تغییر در مدل CCR مدل جدیدی را عرضه کردند که با توجه به حروف اول نام آن‏ها به مدل BCC شهرت یافت . مدل BCC مدلی از انواع مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها است که در ارزیابی کارایی نسبی واحدها با بازده متغیر نسبت به مقیاس می‌پردازد. مدل‌های بازده به مقیاس ثابت محدود کنده‌تر از مدل‌های بازده به مقیاس متغیر هستند. زیرا مدل بازده به مقیاس ثابت واحدهای کارای کمتری را در بر می‌گیرد و مقدار کارایی نیز کمتر می‌گردد، علت این امر حالت خاص بودن «بازده ثابت به مقیاس» از مدل «بازده متغیر به مقیاس» می‌باشد.
مدل BCC برای ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی (صفر) به صورت زیر می‌باشد:
Max Z_0=(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0+ω〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗)
St:
(∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj+ω〗)/(∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij 〗)≤ 1 (j=1,2,…..,n)
u_r,v_i≥0آزاد در علامت ω

همان طور که ملاحظه می‌شود تفاوت این مدل با مدل CCR در وجود متغیر آزاد در علامت ω می‌باشد. در مدل BCC علامت متغیر ω بازده به مقیاس را برای هر واحد می‌تواند مشخص کند.
الف. هرگاه ω<0 باشد نوع بازده به مقیاس، کاهشی است.
ب. هرگاه ω=0 باشد نوع بازده به مقیاس، ثابت است.
ج. هرگاه ω>0 باشد نوع بازده به مقیاس، افزایشی است.
همان طور که اشاره شد زمانیکه بازده به مقیاس ثابت نباشد دیگر مدل اولیه CCR مناسب نخواهد بود. به همین دلیل مدل BBC ابداع گردید که در ارزیابی کارایی نسبی واحدها با بازده متغیر به مقیاس مناسب می‌باشد. مدل نسبی BCC را در فصل دوم توضیح دادیم. برای تبدیل آن به یک مدل خطی کافی است یک محدودیت به مدل اولیه اضافه کنیم. برای تبدیل این مدل به مدل ورودی محور ما محدودیت∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗=1 را به مدل اضافه می‌کنیم. مدل مضربی BCC ورودی محور به شکل زیرخواهد بود:
Max Z_0=∑_(r=1)^s▒〖u_r y_r0 〗+ ω
st:
∑_(i=1)^m▒〖v_i x_i0 〗=1
∑_(r=1)^s▒〖u_r y_rj-∑_(i=1)^m▒〖v_i x_ij+ ω≤0〗〗 (j=1,2,….,n)
u_r,v_i≥0 آزاد در علامتω
مدل