منبع پایان نامه ارشد با موضوع انحراف معیار، بازدهی سهام، ضریب همبستگی، بازارهای مالی

سال‌های 1373 تا 1382

طول فاصله یا دامنه‌ی تغییرات بازدهی این سهم برابر است با:
‌R=X_Max-X_Min=45/8-(-30/5)=76/3

شاخص مزبور مشخصه‌ی پراکندگی صفت متغیر را به خوبی نمایان نمی‌کند، چرا که فقط از مجموعه‌ی مشاهدات، تنها به دو عدد بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین اکتفا کرده و عملاً مجموعه‌ای از اطلاعات را نادیده گرفته است. این شاخص برای محاسبه‌ی نوسانات نرخ بازدهی دارایی‌های مالی نیز معیار مناسبی نمی‌باشد، چرا که بازارهای مالی گاهی با رکود و گاهی با رونق مواجه هستند و در صورت انتخاب یک دوره‌ی زمانی که در آن یکی از دوره‌های رکود یا رونق نیز وجود داشته باشد، عدد محاسبه شده برای ریسک عدد قابل اتکایی نخواهد بود و عملاً سایر نرخ‌های بازدهی را به حساب نمی‌آورد.

ب- متوسط قدر مطلق انحرافات (متوسط انحراف خطی)
دامنه‌ی تغییرات تعریفی بسیار تقریبی از پراکندگی به دست می‌دهد، چرا که تنها به دو عضو از مجموعه‌ی مشاهدات توجه دارد. بنابراین به دنبال شاخص دیگری هستیم که از یک طرف پراکندگی را نشان دهد و از طرف دیگر کلیه‌ی مشاهدات را در نظر داشته باشد. بدین منظور ابتدا انحرافات انفرادی هر یک از مشاهدات را از میانگین حسابی به دست می‌آوریم تا بیانگر صفت پراکندگی باشد.
d=x_i-X ̅(2-31)

سپس برای اینکه مشخصه‌ی مورد نظر تمامی مشاهدات را در نظر داشته باشد، حاصل جمع کلیه‌ی انحرافات انفرادی را محاسبه می‌کنیم. البته به علت اینکه مجموعه‌ی اعداد منفی و مثبت در این حاصل جمع قرینه‌اند و یکدیگر را خنثی می‌کنند، حاصل جمع برابر صفر می‌باشد (∑_(i=1)^N▒〖(X_i-X ̅ 〗)=0 ) به همین منظور از علامت قدرمطلق استفاده می‌کنیم تا پراکندگی، مستقل از علامت خود را نشان دهد. در آخرین مرحله نیز متوسط حسابی قدر مطلق انحرافات انفرادی محاسبه شده را به‌دست می‌آوریم و شاخص به‌دست‌آمده را متوسط قدرمطلق انحرافات173 می‌نامیم:
σ ̅=(∑_(i=1)^N▒|X_i-X ̅ | )/N(2-32)
مثال دوم متوسط قدرمطلق انحرافات بازدهی سهام الف به شرح زیر محاسبه می‌شود.

سال
1382
1381
1380
1379
1378
1377
1376
1375
1374
1373

بازدهی
1/42
9/10-
4/20
5/12
3/10
8/45
5/30-
4/11
2/10
2/2-
متوسط= 91/10
|X_i-X ̅ |
19/31
81/21
49/9
59/1
61/0
89/34
41/41
49/0
71/0
11/13
جمع = 3/155
جدول 2-2 متوسط قدرمطلق انحرافات بازدهی سهام الف

متوسط قدرمطلق انحرافات بازدهی این سهم برابر است با:

σ ̅=(∑_(i=1)^N▒|X_i-X ̅ | )/N=(155/3)/10=15/53

این شاخص نیز با این اشکال مواجه است که علامت مشاهدات را منظور نمی‌کند و با استفاده از تابع قدرمطلق، تمامی مشاهدات را به عدد مثبت تبدیل می‌کند. بنابراین نرخ‌های بازدهی منفی تبدیل به مثبت شده، عملاً میزان پراکندگی را بسیار کمتر از واقعیت نشان می‌دهد. به عبارت دیگر تابع قدرمطلق تنها بر برخی از مشاهدات اثر می‌گذارد و نسبت به اعداد مثبت خنثی است.

ج- متوسط مجذور انحرافات (واریانس)
همان‌طور که در بخش قبل توضیح داده شد، حاصل جمع انحرافات مشاهدات از میانگین برابر صفر گردید و به همین منظور از قدرمطلق مشاهدات استفاده شد. روش دیگر برای نادیده گرفتن علامت مشاهدات استفاده از مجذور آن‌هاست. بدین منظور شاخص معرفی شده‌ی بعد، متوسط مجذور انحرافات است که در مباحث آماری از خانواده‌ی گشتاورها محسوب شده و خواص مفیدی از آن ذکر گردیده است. ما در اینجا تنها به بیان رابطه‌ی ریاضی محاسبه‌ی آن بسنده می‌کنیم:
σ^2=(∑_(i=1)^N▒〖(X_i-X ̅)^2 〗)/N(2-33)
مثال سوم با استفاده از اطلاعات ارائه‌شده در مثال دوم، متوسط مجذور انحرافات (واریانس) بازدهی سهام الف به شرح زیر محاسبه می‌شود.

سال
1382
1381
1380
1379
1378
1377
1376
1375
1374
1373

بازدهی
1/42
9/10-
4/20
5/12
3/10
8/45
5/30-
4/11
2/10
2/2-
متوسط= 91/10
〖(X〗_i-X ̅)^2
8/972
6/475
06/90
53/2
37/0
3/1217
7/1714
24/0
50/0
8/171
جمع = 17/4646
جدول 2-3 متوسط مجذور انحرافات (واریانس) بازدهی سهام الف

متوسط مجذور انحرافات (واریانس) بازدهی این سهم برابر است با:

σ^2 (∑_(i=1)^N▒〖(X_i-X ̅)^2 〗)/N=(4646/17)/10=464/617

د- انحراف معیار174
همان‌طور که اشاره شد برای جلوگیری از صفر شدن حاصل جمع انحرافات مشاهدات از میانگین، از مجذور انحرافات استفاده می‌شود. درعین‌حال برای مقایسه‌ی مشاهدات با مشخصه‌ی پراکندگی، باید هر دو کمیت از یک درجه باشند. به همین علت جذر واریانس مجدداً حساب می‌شود و شاخص انحراف معیار را می‌سازد.
σ=√(σ^2 ) (2-34)
مثال چهارم با استفاده از اطلاعات ارائه‌شده در مثال دوم، انحراف معیار بازدهی سهام الف به شرح زیر محاسبه می‌شود.
σ=√(σ^2 )=√(464/617)=21/55

بر این اساس معیار مناسب‌تر محاسبه‌ی ریسک بر اساس تعاریف آماری، انحراف معیار می‌باشد. اما ذکر این نکته ضروری است که پیش‌فرض استفاده از واریانس و انحراف معیار، وجود توزیع نرمال برای صفت متغیر است، چرا که در این توزیع، شاخص پراکندگی انحراف معیار و واریانس تعریف می‌شود. لذا در صورت وجود عدم تقارن یا نرمال نبودن توزیع متغیر، انحراف معیار شاخص پراکندگی نخواهد بود.
در کنار محاسبه‌ی ریسک یک سهم، محاسبه‌ی ریسک پرتفوی سهام نیز اهمیت خاصی دارد. ریسک پرتفوی به‌اندازه‌ی ریسک هر یک از سهام تشکیل دهنده‌ی پرتفوی و نیز اندازه‌ی ارتباط بین سهام مربوط است. مثال زیر ریسک پرتفوی دو سهمی را نشان می‌دهد.
مثال پنجم دو سهم A و B در طول سه دوره‌ی مالی مورد بررسی قرار گرفتند که اطلاعات مربوط به آن‌ها در جدول 2-4 منعکس گردیده است.
در این جدول ابتدا بازدهی سهم A در طول سه سال ارائه و در ستون بعد انحراف از میانگین بازدهی هر سال محاسبه شده است. بعد از انجام این محاسبه برای سهام B، میانگین انحراف از میانگین دو سهم محاسبه شده است. همان‌طور که از مباحث آمار به یاد دارید، این میانگین به کوواریانس معروف است. در این مثال، کوواریانس به دست آمده دارای ارزش منفی نسبتاً بزرگی است که البته به علت خلاف جهت بودن بازدهی دو سهم است. همان‌طور که از جدول پیداست، انحراف از میانگین دو سهم قرینه‌ی یکدیگر است و همین امر علت منفی بودن کوواریانس می‌باشد. به عکس اگر روند تغییرات بازدهی دو سهم، همسو می‌بود، کوواریانس عددی مثبت را نشان می‌داد.

بازدهی
انحراف از
بازدهی سهم
انحراف از
حاصل‌ضرب انحراف از
سال
سهم A
میانگین سهم A
B
میانگین سهم B
میانگین‌ها

rA
(rA-r ̅A)
rB
rB-r ̅B )
(rA-r ̅A) (rB -r ̅B )
1
5
10-
25
10
100-
2
15
0
15
0
0
3
25
10
5
10-
100-

200-
جدول 2-4 محاسبه‌ی کوواریانس (ارقام به درصد)
Cov(rA,rB)=(∑_(i=1)^n▒〖(rA-r ̅A)(rB-r ̅B)〗)/n=(-200)/3=-67%
ρrArB=(Cov(rA,rB))/σAσB=(-66%)/((8/16)(8/16))=-1

مانند واریانس، شاخص کوواریانس نیز از درجه‌ی دو می‌باشد و به این علت در تفسیر تغییرات با مشکل همراه است. حداقل برای تسهیل در کاربرد آن برای افراد غیر متخصص، پیدا کردن شاخصی که با تغییرات مستقیم سهام در ارتباط باشد، نتیجه‌ی بهتری در عمل از خود به‌جای می‌گذارد. به این منظور عدد کوواریانس که به نوعی حاصل ضرب دو انحراف از میانگین است، بر دو انحراف معیار تقسیم می‌شود تا به درجه‌ی یک تبدیل گردد. شاخص به‌دست آمده به این صورت، ضریب همبستگی نامیده می‌شود. ضریب همبستگی دارای دامنه‌ی تغییرات بین 1+ و 1- است. در مثال سوم این شاخص برابر 1- است که مفهوم همبستگی زیاد و همچنین خلاف جهت را دارد.
بر اساس پیشنهاد هری مارکویتز برای محاسبه‌ی ریسک پرتفوی دو سهمی از رابطه‌ی زیر استفاده می‌شود:
σ_P^2=W_A^2 σ_rA^2+W_B^2 σ_rB^2+2W_A W_B Cov(rA,rB) (2-35)

روش محاسبه‌ی ریسک پرتفوی با تعداد سهام بیشتر با استفاده از ماتریس سهام175 و محاسبه‌ی کوواریانس دو به دوی سهام قابل محاسبه است که در کتب سرمایه‌گذاری به تفصیل در مورد آن بحث می‌شود.

ه- نیم‌واریانس176
شاخص دیگری که برای محاسبه‌ی پراکندگی صفت متغیر به کار می‌رود، عبارت است از نیم‌واریانس که برای انحرافات نامطلوب به کار می‌رود. به عبارت دیگر اگر ریسک را احتمال زیان تعریف کنیم، آنگاه تغییرات مطلوب (یعنی افزایش نرخ بازدهی دارایی مالی) به عنوان ریسک محسوب نمی‌شود و فقط آن دسته از مشاهداتی که کمتر از میانگین نرخ بازدهی می‌باشند، به عنوان ریسک محسوب می‌شوند:
SV m=1/K ∑_(t=0)^k▒〖Max[0,(E-rT)]^2 〗(2-36)

مثال ششم با استفاده از اطلاعات مثال دوم، نیم‌واریانس نرخ بازدهی سهام الف را محاسبه کنید.
برای این کار ابتدا باید میانگین مجموعه‌ی مشاهدات را به‌دقت آورده، سپس تنها واریانس مشاهدات کوچک‌تر از میانگین محاسبه کنیم.

سال
1382
1381
1380
1379
1378
1377
1376
1375
1374
1373

بازدهی
1/42
9/10-
4/20
5/12
3/10
8/45
5/30-
4/11
2/10
2/2-
متوسط= 91/10
(E-rT)
1/31-
8/21
5/9-
59/1-
61/0
8/34-
4/41
49/0-
71/0
1/13
جمع = 21/2363
جدول2-5 نرخ‌های بازدهی کمتر از میانگین
SV m=1/K ∑_(t=0)^k▒〖Max[0,(E-rT)]^2 〗=(2363/21)/10=236/321

و- نیم انحراف معیار177
مشابه انحراف معیار که جذر واریانس می‌باشد، نیم انحراف معیار نیز جذر نیمه واریانس می‌باشد.
ssd=√sv (2-37)
مثال هفتم با استفاده از اطلاعات مثال چهارم نیم انحراف معیار نرخ بازدهی سهام الف را محاسبه کنید.

ssd=√sv=√(236/321)=15/37

دامنه تغییرات
متوسط قدرمطلق انحرافات
واریانس
انحراف معیار
نیم‌واریانس
نیم انحراف معیار
3/76
53/15
617/464
55/21
321/236
37/15
جدول 2-6 نتیجه‌ی محاسبات بر اساس شاخص‌های پراکندگی مختلف سهم الف مثال 5-2

با توجه به ماهیت توزیع نرمال، نیم واریانس باید دقیقاً دو برابر واریانس باشد. در مثال فوق دیده می‌شود واریانس 97/1 برابر نیم واریانس است و به همین علت توزیع بازدهی مثال فوق از توزیع نرمال به مقدار کمی انحراف دارد.
همان‌طور که در ابتدای فصل نیز بیان شد، اولین بار هری مارکویتز شاخص انحراف معیار را برای محاسبه‌ی ریسک، پیشنهاد کرد. بدین صورت ریسک یک سهم عبارت است از انحراف معیار بازدهی سهم در مدت زمان مشخص. انحراف معیار به مفهوم ریسک عبارت از انحراف معیار نرخ بازده یک سهم در مدت زمان معلوم است. نرخ بازدهی سهام نیز می‌تواند به صورت توزیع تصادفی بیان گردد. به عبارت دیگر انحراف معیار محاسبه شده به عنوان ریسک عبارت از پراکندگی نرخ‌های بازدهی حول انحراف معیار محاسبه شده به عنوان ریسک عبارت از پراکندگی نرخ‌های بازدهی حول میانگین است. ضمناً نرخ بازدهی که مربوط به آینده است به علت عدم قطعیت، بر اساس توزیع احتمالات نرخ‌های بازدهی محتمل فرموله می‌گردد. به‌عنوان مثال فرض کنید بر اساس حالات مختلف شرایط اقتصادی، سه نوع نرخ بازدهی محتمل است و احتمال اتفاق افتادن هر یک از این شرایط اقتصادی نیز معلوم است. بر اساس تعاریف علم آمار، تابع توزیع احتمالات178 عبارت است از تابعی که دامنه آن متغیر تصادفی و حوزه‌ی آن احتمال مربوط به هر مقدار متغیر تصادفی است. جدول 2-7 توزیع احتمال نرخ بازدهی را نشان می‌دهد:
رشد سریع
رشد آهسته
رکود

25 ٪
15٪
10-٪
نرخ بازدهی درصورت وقوع شرایط اقتصادی
30٪
50٪
20٪
احتمال وقوع شرایط