منبع پایان نامه ارشد با موضوع اصول موضوعه، سلسله مراتب، به رسمیت شناختن، سلسله مراتبی

م هندسی را در جهت کسب اهداف خواسته شده، کشف کند (گوتی ارز، 1992 ؛ به نقل از اردوگان4، آکایا5 و سلبی آکایا6، 2009).
نظریه ون هیل تاکید می‌کند که یک زمینه‌ي توسعه یافته‌ي سیستماتیکی از دانش باید در همه‌ي جنبه‌هاي هندسه قبل از اینکه دانش آموز قادر به دست یابی به مرحله ي تئوري باشد، حاصل شود (تپو7؛ 1991 ؛ به نقل از گنز8، 2006).

1 Yee
2 Dina van Hiele
3 Pierre van Hiele
4 Edrogan
5 Akkaya
6 Çelebi Akkaya
7 Teppo
8 Genz

شورای ملی معلمان ریاضی نیز اگر چه به طور خاص به نظریه ون‌هیل اشاره نمی‌کند، اما در برنامه درسی و ارزیابی اصول و استانداردهای ریاضیات مدرسه‌ای (1989) آمده است:
“مدارک و شواهد نشان می دهد که توسعه و پیشرفت ایده‌های هندسی از طریق سلسله مراتبی از سطوح صورت می‌گیرد و اشاره شده است که دانش‌آموزان در مرحله نخست باید به رسمیت شناختن تمام اشکال هندسی را یاد بگیرند و سپس بتوانند خصوصیات مربوط به این اشکال را تجزیه و تحلیل کنند. سپس آن ها می‌توانند روابط بین اشکال را دیده و استدلال‌هایی ساده بیاورند. به طوری که در اثر تکرار این فرایند استدلال آن ها پیچیده‌تر شده و به بیان رسمی ریاضی خواهند رسید و برنامه‌ریزان آموزشی نیز در توسعه برنامه‌های درسی باید این سلسله مراتب را در نظر بگیرند”.
نظریه ون‌هیل ادراك دانش‌آموزان از هندسه را به پنج سطح طبقه بندي می‌کند و تحول در درون این سطوح به این ترتیب است که ادراك دانش‌آموزان از هندسه از سطوح پائین به سطوح بالا منتقل می‌شود.
این سطوح، به ما نمی‌گوید که یک شخص، چه مقدار دانش دارد. بلکه در عوض، توصیف می‌کنند که یک شخص، چگونه و در مورد چه نوع از ایده‌های هندسی فکر می‌کند (ریحانی، 1384).

2-5-1 سطوح تفکر
سطح یک- تشخیص یا دیداري1؛
سطح دو- تجزیه و تحلیل2؛
سطح سه- استنتاج غیر رسمی3؛
سطح چهار- استنتاج رسمی4؛
سطح پنج- دقت5.

1 Recognition/Visualization
2 Analysis
3 Informal Deduction
4 Formal Deduction
5 Rigor

• سطح یک- تشخیص یا دیداري
به‌طور کلی اشکال هندسی تنها به وسیله‌ي شکلشان و نه به وسیله‌ي ویژگی‌هایشان شناخته می‌شوند. آن‌ها در برخورد با اشکال هندسی به نمونه‌هاي بصري رجوع می‌کنند. مثلا می‌گویند یک مستطیل شبیه یک در است یا یک دایره شبیه یک توپ است. به علت عدم توجه به خواص اشکال، یک مربعی که به اندازه 45 درجه دوران یافته دیگر از دید آنها یک مربع نیست بلکه یک لوزي است. زیرا اشکال با توجه به ظاهرشان در سطح یک ون‌هیلی دسته بندي می شوند. این سطح در شماره‌گذاري اولیه توسط ون‌هیل ابتدا به صورت سطح صفر و با نام پایه مطرح شد اما بعدا به علت اهمیت این سطح شماره ي آن به یک تغییر کرد تا روي اهمیت سطح دیداري تاکید شود (ون هیل، 1986 ؛ به نقل از هندسکومب، 2005).
نتیجه‌ی تفکر در این سطح، کلاس ها یا گروه‌هایی از شکل‌ها هستند که شبیه هم می‌باشند.

• سطح دو- تجزیه و تحلیل
در این سطح دانش‌آموزان ویژگی‌های هر شکل را تشخیص می‌دهند و می‌دانند که هر شکل دارای مجموعه‌ای از ویژگی‌ها است، اما آن‌ها نمی‌توانند ارتباط بین ویژگی‌ها را دریابند. وقتی شکلی را توصیف می‌کنند، ممکن است تمام ویژگیهای آن شکل را لیست کنند، اما ویژگیهایی را که برای توصیف، ضروری و لازم هستند را نمی‌دانند(میسون، 1998). دانش‌آموز می‌تواند اشکال را با توجه به اجزا و روابط بین آن‌ها تحلیل کند، ویژگی‌هاي یک طبقه از اشکال را به طور تجربی معین کند، و ویژگیها را براي حل مسائل استفاده کند. دانش‌آموزان شکل‌های هندسی را از خصوصیاتشان توصیف می‌کنند، نه از روی ظاهرشان( شورای ملی معلمان ریاضی، 1995). به طور مثال مربع، چهار زاویهی قائمه و چهار ضلع برابر دارد.
نتیجه ی تفکر در این سطح، خواص شکل ها هستند.

• سطح سه- استنتاج غیر رسمی یا مرتب سازي
دانشآموز ارتباط بین ویژگیها و اشکال را درک میکند. در این سطح دانشآموز میتواند تعریف با معنی و همچنین استدلالهای رسمی برای توجیه استدلال خود به کار ببرد(میسون، 1998). به گفته‌ی ون‌هیل(1986)، دانش‌آموزان در این سطح می‌توانند دلایل خود را به روش استقرایی مدیریت کنند و اثباتهایی را توسط خودشان انجام دهند.
آن‌ها نه‌تنها قادر به تشخيص ويژگي‌هاي دروني هر شکل هستند بلکه خواهند توانست روابط بين اين ويژگي‌ها را در اشکال متفاوت شناسایی کنند. دانشآموزان با درك اين روابط شروع به بحث‌هاي استنتاجيِ غير رسمي مي‌کنند، اما نقش استنتاج را درك نمي‌کنند و دلايل تجربي را با دلايل استنتاجي ترکيب مي‌کنند(برگر1 و شائوگنسی2، 1986). در این سطح دانشآموزان می‌توانند یک خاصیت را از دیگری نتیجه بگیرند.
یادگیرنده‌ها در این سطح، مستعد تفکر “اگر- آن‌گاه” (ولی نه اثبات رسمی)، هستند. به همین دلیل، این سطح را می توان سطح ارتباط‌ها نیز، نامید زیرا در این سطح است که شخص باید بتواند ارتباط مجرد بین شکل ها را درک کند. برای مثال، یک لوزی، یک چهارضلعی با چهارضلع مساوی، و یک مستطیل، یک چهارضلعی با چهار زاویه ی قائمه است. دانش آموزی که در این سطح فکر می کند، می تواند تحلیل کند که پس یک مربع، هم یک لوزی و هم یک مستطیل است.
نتیجه تفکر در این سطح، درک ارتباطات بین خواص اشیای هندسی است.

• سطح چهار- استنتاج رسمی
دانشآموز میتواند اثبات کند، نقش تعاریف، قضیهها و معنی لازم و کافی را میداند(میسون3، 1998). در این سطح استنتاج معنی‌دار می‌شود. دانشآموز اهمیت استنتاج و نقش فرضها، اصول موضوعه، قضایا و اثبات‌ها را درک می‌کند(هافر4، 1981). همچنین آنها باید قادر باشند در حالی که یادگیریِ طوطیوار و از روی عادت را به حداقل رساندهاند، برای هر مرحله از اثبات خود دلایلی ارائه دهند. به عنوان مثال اگر از دانشآموزی سؤال شود که یک شکل هندسی، مثل مستطیل را با حداقل اطلاعاتِ ممکن توصیف کند، او در پاسخ خواهد گفت که مستطیل، متوازی‌الاضلاعی است که یک زاویه‌ی قائمه دارد(پگ5، 1995). دلایل دانشآموزان به‌طور رسمی در یک چارچوب سیستم ریاضی، اصطلاحات تعریف نشده، اصول موضوعه، قضایا، سیستمهای منطقی و تعاریف قرار می‌گیرد(برگر و شائوگنسی، 1986).
در این سطح، دانش آموز می تواند به فهم و درکی قابل اتکا و با ثبات از آنچه که قضایای ریاضی و تعریف نشده ها هستند، برسد و توانایی نوشتن یک اثبات را پیدا کند. موضوعات تفکر در این سطح، ارتباطات بین خواص اشیای هندسی و نتیجه ی چنین تفکری، ایجاد توانایی فهم و درک نظام های اصل موضوعی استنتاجی برای هندسه است.

1 Burger
2 Shaughnessy
3 Mason
4 Hoffer
5 pegg

• سطح پنج- دقت
دانش‌آموزان در این سطح جنبههای رسمی اثبات، مثل مقایسه و ایجاد سیستمهای ریاضی را درک میکنند. در این سطح، دانشآموز اهمیتِ اثبات غیرمستقیم و اثبات مستقیم را میفهمد و میتواند هندسهی نااقلیدسی را درک کند(میسون، 1998). آنها قادرهستند قضیهها را در سیستم‌هاي اصول موضوعه‌ي متفاوت به طور دقیق مشخص کنند. دانشآموزان قادرند سیستم‌های قیاسی و استقرایی، مانند استخراج قضایا در سیستمهای مختلف اصول موضوعه را تحلیل کنند. هندسهی نا‌اقلیدسی می‌تواند مورد مطالعه قرار بگیرد و با سیستمهای دیگر مقایسه شود(میبری، 1983). به عنوان مثال دانشآموز می‌داند که مکان هندسی نقاطی که از یک نقطهی ثابت به یک اندازه‌اند، در هندسهی اقلیدسی یک دایره است در صورتی که همین نقاط در هندسهی تاکسی یک مربع هستند(کراوس1، 1986).
به گفته کرولی، آخرین سطح یعنی دقت، کم‌ترین توسعه را در کارهای اصلی ون هیلی داشته است و از طرف محققان دیگر نیز، کم‌تر مورد توجه واقع شده است. به طوری که پی‌یر‌ماری ون‌هیلی ابراز کرده بود که خود، به ویژه به سه سطح نخست علاقه مند بوده است، زیرا بخش عمده‌ی هندسه‌ی دبیرستانی در سطوح 3 یا 4، آموزش داده می‌شود. در نتیجه، نباید تعجب براتگیز باشد که چرا بیش‌تر محققان، روی سطوح پایین‌تر تمرکز کرده‌اند.

2-5-2 ویژگی هاي مدل ون‌هیلی
مارگارت میسون (1995)، ویژگی‌های زیر را برای مدل ون‌هیلی برشمرده است.

• دنباله‌ای بودن2
مثل هر نظریه‌ی توسعه‌ای – تحولی یادگیری، در مدل ون‌هیلی نیز، یادگیرنده باید در داخل سطوح، به ترتیب حرکت کند. یعنی یک دانش‌آموز نمی‌تواند در سطح n ون‌هیلی باشد بدون اینکه n-1 سطح قبلی را طی کرده باشد (تامپسون، 2006).

1 Krause
2 Sequential
نظراتی مخالف با این ویژگی نیز وجود دارد زیرا بعضی از دانش‌آموزان با استعداد در ریاضی به نظر می‌رسد که در بین سطوح پرش دارند آن‌هم شاید به این دلیل است که آن‌ها مهارت‌هاي استدلال منطقی را از راه‌هایی دیگر به غیر از هندسه کسب می‌کنند (میسون، 1995؛ به نقل ازتامپسون 2006).
به‌هر‌صورت، برای عملکرد موفق در یک سطح، یادگیرنده باید استراتژی‌های مورد نیاز را در سطوح قبلی یادگرفته باشد.

• عدم وابستگی به سن
سطوح تفکر هندسی ون هیلی، وابسته به سن نیستند و در عوض، بستگی به تجربیاتی دارند که دانش‌آموزان کسب کرده‌اند. به عبارت دیگر، فرایند توسعه از یک مرحله به مرحله‌ی دیگر، بیش تر از آن که به سن وابسته باشد، به آموزش و روش‌های آموزشی وابسته است. نکته‌ی مهم این است که تجربیات هندسی، عامل مؤثری برای پیشرفت در این سطوح است.

• مجاورت1
ون‌هیلی‌ها تاکید می‌کنند که این سطوح، به وسیله‌ی تفاوت در موضوع تفکر، از یکدیگر تمییز داده می‌شوند، و موضوع های ذاتی در یک سطح، موضوعات مورد مطالعه در سطوح بعدی می‌شوند. برای مثال، در سطح 1، فقط شکل ظاهری درک می‌شود. در حالی که یک شکل، به وسیله‌ی خواص خود تعیین می‌گردد که این مطلب، تا سطح 2 که یک شکل به وسیله‌ی اجزا و مولفه‌هایش تجزیه و تحلیل می‌شود و خواص آن کشف می‌گردد، به‌دست نمی‌آید.

• افتراق2
هر سطح نشانه‌هاي زبانی مخصوص به خود را دارد و یک شبکه ارتباطی آن نشانه‌ها رابه هم متصل می‌کند (یوسسکین، 1982 ). بعضی بر این ویژگی اشکال گرفته‌اند. آن‌ها معتقد هستند که نمی‌توان مرز خاصی بین این

1 adjacency
2 distinction

سطوح قائل شد. زیرا عوامل اثبات مثل تفسیر، کشف و بازبینی در سطوح پایین‌تر از سطح سوم نیز می‌توانند معنی‌ دار باشند و این موضوع تائید می‌کند که استدلال‌ها از یک طبیعت دیداري یا بصري برخوردار هستند (ویلرز، 2004 ؛ به نقل از تامپسون، 2006).

• جدا سازی
دو شخص که در سطوح متفاوت استدلال قرار دارند نمی‌توانند همدیگر را درك کنند. اگر در یک کلاس درس، معلم و سایر دانش‌آموزان در سطوح متفاوتی از تفکر باشند، با نمادهای مختلف زبانی و شبکه های ارتباطی متفاوتی با هم ارتباط برقرار میکنند و در نتیجه نه معلم، نه دانش‌آموز، همدیگر را درک نمیکنند(میسون، 1998).

• نقش معلم
ون‌هیلی‌ها، تاکید زیادی بر نقش آموزش و اهمیت کسب تجریه توسط یادگیرنده، برای سهولت عبور از یک سطح به سطج دیگر دارند. این امر، با نقش‌آفرینی معلم از طریق طراحی فعالیت‌های مناسب برای یادگیرنده‌های سطوح مختلف امکان‌پذیر است.

2-5-3 مراحل آموزشی نظریهی ون هیلی
بخشی از کار دینا ون‌هیل گلدوف درباره تئوري ون‌هیلی شامل پنج مرحله آموزشی است. این مراحل براي معلمان طراحی شده تا به دانش‌آموزان کمک کند که از یک مرحله به مرحله بعدي بروند (فویز و همکاران، 1984). دینا ون‌هیل ( 1957 ) زمان زیادي روي دوره‌هاي درسی در چندین سال براي آزمودن، تعداد وسیعی از دانش‌آموزان در حمایت از مفروضات اولیه‌اش درباره پیشرفت سطوح گذاشت (فریکولم، 1994). پیر ون‌هیل و دینا ون‌هیل بر خلاف پیاژه که معتقد بود پیشرفت در یادگیري با بالا رفتن سن تقویمی ارتباط مستقیم دارد، با این نکته موافق بودند که آموزش نقش مهمی در پیشرفت دانش‌آموزان بین سطوح دارد.
این مراحل به صورت زیر است:

1 Information
2 Direct Orientation
3 Explicitation
1) مرحلهی کسب اطلاعات1
2) مرحلهی جهت‌دهی2
3) مرحلهی شفاف‌سازی3
4) مرحلهی