د در تابع لگاريتمي (βi وβj) کميت‌هاي ثابتي نيستند، بلکه متاثر از سطح قيمت‌هاي مربوط مي‌باشند. همچنين اين مدل در بطن خود قيدهاي خاصي را به همراه دارد و آن ثابت بودن کشش‌هاي قيمتي و خودي است. به عبارت ديگر ضرايب متغيرهاي مستقل در اين مدل همان کشش ها مي‌باشند.
توابع تقاضاي ذکر شده در بالا مربوط به روش دوم برآورد تابع مي‌باشد. جهت برآورد تابع تقاضا، از توابع مطلوبيت استفاده مي‌کنيم. يکي از توابع تقاضايي که به اين صورت به دست مي‌آيد، تابع تقاضاي سيستم مخارج خطي است که با در نظر گرفتن فرم‌هاي خاص تابع مطلوبيت استون – گري حاصل ميشود.
3-3 تابع تقاضاي سيستم مخارج خطي
در سال 1948 کلاين و روبين20 دستگاهي از توابع تقاضا را ارائه نمودند که بعدها پايه‌ي نظري بسياري از مطالعات تجربي تقاضا گرديد و اصطلاحا سيستم مخارج خطي نام گرفت. متعاقبا ساموئلسون و گري طي مقاله‌هايي نشان دادند که دستگاه فوق الذکر بر مبناي تابع استون – گري استوار است.
با توجه به رتبه‌اي بودن مطلوبيت، يک تبديل يکنواخت از رابطه‌ي بالا نيز مي‌تواند به همان دستگاه ترجيحات دلالت داشته باشد. لذا لگاريتم گيري از رابطه‌ي فوق و اندک تغييرات به تابع زير دست پيدا مي‌کنيم که به لحاظ کاربردي مناسب تر است:
U = ∑n βi log ( qi – ϒi ) (7)
با حداکثر کردن تابع مطلوبيت فوق نسبت به قيد بودجه :
I = ∑n pi qi
تابع تقاضاي زير به دست مي‌آيد:
L = ∑n βi log ( qi – ϒi ) + λ ( I – ∑n pi qi ) (8)
δL / δqi = [ βi /( qi – ϒi )] – pi λ = 0 (9)
βi = pi λ ( qi – ϒi ) , ∑ βi = ∑ pi λ ( qi – ϒi) , I = λ ∑ pi ( qi – ϒi) (10)
λ = [ ∑ pi ( qi – ϒi) ] -1 (11)
از رابطه‌ي 10 داريم:
λ = βi / [pi ( qi – ϒi)] (12)
لذا با جايگذاري رابطه‌ي 10 در رابطه‌ي 11 خواهيم داشت:
[pi ( qi – ϒi)] / βi = ∑ ( pi qi – pi ϒi ) , qi = ϒi + ( βi / pi ) ∑ ( pi qi – pi ϒi ) (13)
با ضرب کردن رابطه‌ي فوق در pi دستگاه تقاضا براي n کالا به دست مي‌آيد که در آن مخارج مصرف شده براي کالاي i ام به دو جزء تقسيم ميشود:
Ei = pi qi = pi ϒi + βi ∑ ( pi qi – pi ϒi ) (14)
تابع مذکور بدينصورت است که، مخارج صرف شده بر روي i امين کالا به دو جزء تقسيم ميشود:
1) جزء مربوط به حداقل معاش يعني ميزان مخارجي که براي مصرف کننده الزامي است (pi ϒi).
2) جزء مربوط به مخارج فرامعيشتي که نشانگر مخارجي است که مصرف کننده به اختيار خود بر روي iامين کالا صرف کرده است. به عبارت ديگر با توجه به ميزان مخارج (درآمد) و بردار قيمتها، مصرف کننده مخارج فرامعيشتي خويش را (I – ∑ Pi ϒi) به خريد کالاهاي مختلف اختصاص ميدهد که سهم نهايي (Ei/∂E∂) اين تخصيص براي i مين کالا ضريب βi است. βi را ميل نهايي به مصرف در ارتباط با درآمد فرامعيشتي مي‌توان تفسيرکرد.
3-4 فرم‌هاي مختلف سيستم مخارج خطي
سيستم مخارج خطي نخستين بار به طور تجربي توسط استون مبناي مطالعه سيستم تقاضا گرديد که هم از جهت سادگي و هم به دليل مزيت‌هاي تئوريکي شناخته شده مي‌باشد و به همين علت نيز مبنا و الگو براي بسياري از محققان ديگر قرار گرفت.
پس از کار استون، سيستم مخارج خطي از جهات مختلف با اختيار نمودن فرم‌هاي تبعي متنوع براي تابع مطلوبيت و همچنين تعديل قيود تکامل يافت. از جمله سيستم مخارج خطي با شکل گيري عادات21 HLES، شکل عمومي سيستم مخارج خطي22 GLES، و سيستم مخارج تعميم يافته23 ELES، که توضيح هرکدام در ذيل آمده است.
3-4-1 سيستم مخارج خطي با شکل گيري عادات
يکي از ايرادات وارده بر سيستم مخارج خطي استون اين است که اين مدل، پويايي پارامترها را در نظر نگرفته و خود مدل نيز به صورت تصادفي تصريح شده است. استون که توابع تقاضاي خود را براي 6 گروه کالايي گوشت، حبوبات، سبزيجات، نوشيدني، دخانيات، اجاره مسکن و کالاهاي بي دوام و ساير کالاها در نظر گرفته است، ضمن اين که اين گروه از استقلال کامل نسبت به همديگر برخوردار نبودند تا فروض ترجيحات جمع پذيري منطقي تر باشد. حداقل مصرف کالاهاي مختلف را نيز در طول زمان ثابت در نظر گرفته بود. بعدها پولاک و واليز24 امکان تغيير حداقل مخارج را بررسي نمودند. آنها فرض کردند که تغييرات (ϒit) از مقدار مصرف خانوار در دوره قبل مي‌باشد. يعني
= F (Xit -1 ) ϒit
اين تابع در دوره‌ي قبل يک رابطه‌ي خطي ساده دارد:
= £i + θi (Xit -1 ) ϒit
£i بيانگر حداقلي از مصرف کالاي i ام مي‌باشد که مستقل از زمان است و θi افزايش در حداقل مصرف کالاي i ام به ازاي يک واحد افزايش در مصرف همين کالا در دوره قبل را نشان ميدهد.
3-4-2 شکل عمومي سيستم مخارج خطي
همانطور که اشاره شد پولاک و واليز با در نظر گرفتن حداقل مصرف کالاها وضعيت بهتري را نسبت به مدل LES ارائه نمودند. ولي بايستي اذعان داشت که ثابت فرض کردن سهم نهايي مخارج β هيچ دليل منطقي ندارد. بنابراين پارکز با بررسي فرم‌هاي تبعي مختلف، سيستم معادلات تقاضايي را پيشنهاد داد که سهم مخارج نهائي نيز در طول زمان با روند مشخصي تغيير نمايد. يعني:
βit = βi* + βi** T
که T متغير زمان بوده، βi* ثابت مخارج نهائي و βi** سهم متغير مخارج نهايي در طول زمان مي‌باشد.
گامالتوس25 (1994) براي ارائه‌ي يک سيستم مخارج کامل تر سيستمي را که به شکل معادله‌ي کاب داگلاس با بازده ثابت به مقياس بودجه، حالت کشش جانشيني ثابت (CES) تعميم داده و تابع مطلوبيت را به شکل زير تعديل نمود:
U = ∑ pδ(1-p) ( xi – ϒi )p p 1 , xi – ϒi 0 , 0 ϒi 1 (15)
بعد از Max کردن تابع مطلوبيت فوق با توجه به قيود بودجه سيستم مخارج خطي زير به دست خواهد مي‌آيد:
Pi xi = pi ϒi + δi pit ( ∑jn δj pjt ) -1 * ( M – ∑jn ϒi pj ) (16)
در مدل گامالتوس پارامتر سهم نهايي مخارج ( βi) تابعي از قيمت کالا و پارامترهاي t و δjدر نظر گرفته شده است:
Βi = f ( pi , t , δi ) = δi pit ( ∑ δj pit ) -1 (17)
3-4-3 سيستم مخارج تعميم يافته
مدل‌هايي که تا به حال در مورد LES، از نظر گذشت به صورت ايستا بررسي شده بودند. يعني مصرف کننده تصميمات خود را در هر دوره، مجزاي از دوره‌هاي بعد مي‌گيرد و هيچ يک از اين مدل‌ها توضيح پس انداز را ندارند. للوچ26 (1973) پس انداز را نيز وارد رفتار مصرفي خانوار کرده و به جاي مخارج خانوار از متغير درآمد خانوار استفاده کرد و سيستم مخارج خطي تعميم يافته را به صورت زير در نظر گرفت:
Pit ϒit = pit ϒit + β? (M – ∑jn ϒj pj ) (18)
للوچ تابع مطلوبيت را به صورت زير در نظر مي‌گيرد:
U [ x (t) ] = ʃoɷ θ-ϒ ∑ f [ λi (t)] dt (19)
که در آن:
Fi [ λ (t) ] = βi ln [ xi (t) – ϒi ] (20)
در ضمن تمام شرايط حاکم بر تابع مطلوبيت جمع پذير کلاين و روبين همچنان برقرار است.
3-5 ويژگي‌هاي سيستم مخارج خطي
سيستم مخارج خطي علاوه بر دارا بودن ويژگي‌هاي معمول توابع تقاضا، مزاياي و همچنين محدوديت‌هايي دارد که اين محدوديت‌ها حتي گاهي بسيار غير واقع بينانه به نظر مي‌آيند. از اين روست که کار با اين سيستم بيشتر در مواردي که گروه کالاها مد نظر هستند، توصيه مي‌شوند. در اين سيستم ثابت ميشود که تمامي کالاهاي مورد نظر به مفهوم هيکس – آلن جانشين يکديگرند. از آنجا که تابع مطلوبيتي که سيستم تقاضا از آن استخراج شده هموتتيک است، لذا معادلات مصرف – درآمد خطي است و بنابراين سيستم مزبور نمي‌تواند کالاي پست را در بر داشته باشد. افزون برآن تابع مطلوبيت مزبور جمع پذير است و اين امر بدان مفهوم است که نرخ نهايي جانشيني بين هر زوجي از کالاها تنها به مقدار مصرف آن دو کالا وابسته است. اثر اين ويژگي که نوعي استدلال بين کالاهاي مصرفي را مي‌رساند اين است که عناصر غير قطري ماتريس اسلاستکي برابر صفر است و يا ماتريس هشين ماتريس قطري است. همچنين سيستم مخارج خطي همگن از درجه صفر بوده و تابع تقاضاي جبراني آن داراي شيب منفي مي‌باشد.
مهم ترين محدوديت سيستم مخارج خطي اين است که در صورت مثبت بودن ϒها کشش‌هاي قيمتي نمي‌توانند از يک (منهاي يک) تجاوز کنند و بنابراين تقاضا براي کالا نسبت به قيمت همان کالا بي کشش خواهد بود. اين ويژگي گرچه بسيار محدود کننده به نظر مي‌رسد، اما هنگامي که مطالعه براي طبقه يا گروه کالا صورت مي‌گيرد سيستم مخارج خطي تقريبي پذيرفتني تر از واقعيت است. با اين حال بزرگترين مزيت سيستم مخارج خطي، يعني همين ويژگي باعث شده در بسياري از پژوهش‌ها مورد استفاده قرار گيرد، کاربردي بودن آن است. توابع تقاضا گرچه نسبت به پارامترها غيرخطي اند، ولي نسبت به متغيرهاي قيمت و درآمد خطي مي‌باشند.
3-6 روش‌هاي تخمين دستگاه معادلات سيستم خطي
برآورد سيستم مخارج خطي همراه با پيچيدگي‌هاي خاصي است. در اين سيستم گرچه معادلات تقاضا نسبت به متغيرها خطي است، اما نسبت به پارامترها غير خطي است. از آن مهم تر اينکه روش برآورد و خصوصيات آماري برآوردکننده‌ها در گرو ساختاري است که براي جمله‌ي اخلال مدل در نظر گرفته شده است. در خصوص شکل غير خطي بودن پارامترها روش‌هاي مختلفي براي تخمين مورد توجه قرار گرفته است که در زير به شرح هر يک پرداخته ميشود:
1) در روش اول مقادير اوليه‌ي (ϒi ) به طور برونزا تعيين مي‌شوند و سپس هزينه‌ي صرف شده بر روي هر کالا( pi qi – pi ϒi ) تابعي خطي از در آمد يا مخارج فرامعيشتي( M – ∑ pj ϒi ) قرار مي‌گيرد. به اين ترتيب ϒi نهايي مخارج يا βi ها مي‌توانند به روش OLS برآورد شوند.
2) در روش دوم βi ها بر اساس اطلاعات قبلي مثلا از طريق منحني انگل تعيين شده و به کمک βi هاي تعيين شده، X ها از طريق سيستمي که در آن متغيرPi qi – βi M به عنوان متغير وابسته تابعي خطي از تمامي قيمتها در نظر گرفته ميشود، برآورد مي‌شوند. در برآورد ϒi ها، روش آن است که مجموع مجذور خطاها براي تمامي کالاها و تمامي مشاهدات حداقل شود.
3) در روشي که روش تکراري استون نام دارد ابتدا مقادير فرضي براي ميل نهايي به مخارج گروه‌ها (βi) ها در نظر گرفته ميشود.سپس با استفاده از آنها در سيستمي که تابعي از تمامي قيمتها است پارامتر مربوط به حداقل معاش هر يک از گروه‌ها (ϒi) ها با روش OLS تخمين زده مي‌شوند. در ادامه ϒ هاي بدست آمده در اين مرحله مبناي عمل براي تخمين βiهاي جديد مدل قرار مي‌گيرند. و همينطور از βi هاي به دست آمده، ϒ هاي جديد تخمين زده مي‌شوند. اين فرآيند تا زماني که همگرايي در مدل ايجاد شود و فاصله‌ي بين پارامترهاي تخميني در هر مرحله نسبت به مرحله‌ي قبل تقريبا کمتر از 001/0 گردد ادامه مي‌يابد.
4) روش ديگر براي تخمين LES، روشي است که در آن پارامترهاي ϒi و βi به طور همزمان برآورد مي‌شوند. محور اصلي اين روش‌ها که به گونه‌هاي مختلف مورد استفاده قرار مي‌گيرند، بر جستجو و بدست آوردن نقطه‌اي در شبکه مقادير ممکن است که در آن نقطه مجموع مجذور پسماندها بر روي تمامي کالاها و تمامي مشاهدات حداقل شود.
3-7 توابع انگل
در اين قسمت لازم است به منحني انگل در تئوري رفتار مصرف کننده اشاره‌اي به عمل آوريم. چرا که در برخي موارد به منظور تخمين تقاضا ابتدا لازم است منحني انگل براي آن کالا برآورد شود.
تابعي که رابطه‌ي ميزان تقاضا را به سطح درآمد بيان مي‌کند به نام آماردان آلماني قرن 19، تابع انگل خوانده ميشود. که با کمک منحني درآمد – مصرف قابل استخراج است.
براي بررسي رابطه‌ي ميزان تقاضا و سطح درآمد به شکل‌هاي تبعي متفاوتي پيشنهاد شده که به صورت خطي لگاريتمي، معکوس و نهايي قابل برآورد هستند. در اين جا سه نمونه از شکل‌هاي تبعي تابع انگل که توسط پريس و تاکر مطرح و آزمون شده‌اند را مورد توجه و بررسي قرار مي‌دهيم:
3-7-1 تابع انگل
خطي : Xi = a + b M، لگاريتم دوطرفه: Ln Xi = a + b
