مقاله درمورد دانلود تغيير، ميدان، الکتريکي

دانلود پایان نامه ارشد

داد كه قطره رسانا در جهت ميدان كشيده مي شود و در شرايط مناسب نيروهاي الكتريكي وارد بر قطره مي توانند بر كشش سطحي و وزن قطره غلبه كرده و آن را از روي سطح جدا كنند.
چيزا و همكارانش ]28[ مدلي رياضي براي نيرو هايي كه به قطره در حال سقوط وارد مي شود، ارائه كردند.اين نيروها شامل نيروي درگ و نيروي جرم مجازي و نيروهاي بين مولکولي بودند. چگونگي انعقاد دو قطره تحت تأثير ميدان الكتريكي نيز بصورت تحليلي توسط آتن ]29،30[ مورد مطالعه قرار گرفت. تمامي نيروهاي متاثر از حرکت قطره به ويسکوزيته سيال ربط دارند(بجز نيروي بين قطره اي75).هر چه ويسکوزيته روغن کمتر باشد سرعت قطره در هنگام برخورد بيشتر است. نيروي بين قطرهاي انعقاد دو قطره تحت ميدان را بالا ميبرد زيرا دو قطره تمايل دارند تا در راستاي ميدان قرار گيرند.در هنگام برخورد دو قطره نتايج متفاوتي بر حسب انرژي برخورد،قطر قطره،پارامترهاي برخورد نظير(زاويه برخورد) ،خواص مواد و نسبت سايز قطرات(قطر قطره کوچک به بزرگ) حاصل ميشوند.ويسکوزيته بطور غير مستقيم در انعقاد تاثير دارد زيرا سرعت برخورد و حرکت قطره در حال سقوط در روغن به ويسکوزيته وابستهاند.ميدان الکتريکي نيز در فرايند انعقاد تاثير دارد زيرا به قطره اي که بيشترين سرعت را در لحظه برخورد تجربه ميکند شتاب ميدهد. نتايج نشان دادندکه علاوه بر ميدان الکتريکي که بر روي کشش سطحي از طريق تغيير شکل قطره تاثير ميگذارد،دوران داخلي قطره نيز در محاسبات درگ بايد لحاظ شود.هر چه نيروي بين قطره اي بر نيروهاي وابسته به ويسکوز غلبه کند،قطره به حالت سکون تمايل پيدا ميکند.
ايو و غديري ]31[ رفتار قطره آب را در سيال دي الكتريك بصورت تجربي مورد بررسي قرار دادند. نتايج آزمايشگاهي آن ها نشان داد كه قطره آب تحت تأثير ميدان الكتريكي ناپايدار شده و تغيير شكل مي دهد.اين تغيير شکل به خواص فاز پيوسته مانند هدايت الکتريکي،کشش سطحي در نسبت با قطره وابسته است.بطور کلي قطرات قطبي تغيير شکل بيشتري از خود نشان ميدهند.با افزايش شدّت ميدان الكتريكي، ناپايداري قطرات بيشتر شده تا اينكه در يك شدّت ميدان بحراني قطرات بزرگ به قطرات كوچك تبديل مي شوند.تعيين شکل معيني از قطره بدليل غير يکنواختي ميدان الکتريکي و پخش تنش بر روي قطره مشکل است.بطور مثال يک انتهاي قطره ميتواند کروي باشد در حاليکه طرف ديگر آن مخروطي است.همچنين يک طرف آن بصورت صفحه اي نازک76 است در حالي که طرف ديگر کروي مانده و قطرات از آن جدا ميشوند. آن ها در نتايج خود عنوان كردند كه مقدار شدّت ميدان بحراني براي شكست قطرات، به قطر اوليه آن بستگي دارد.بين ولتاژ300 تا 350کيلوولت بر متر قطرات از قطره تغيير شکل يافته توليد ميشوند(عدد وبر الکتريکي بين 0.13 تا 0.06 گزارش شده است).بررسي تغيير شکل قطره در يک جريان پالس مستقيم بدليل وابستگي به فرکانس پالس ، ميزان ميدان الکتريکي و شکل پالس پيچيده است.فرکانس پالس تغيير شکل قطره و نرخ جدايش را معين ميکند در حالي که اندازه ميدان الکتريکي سايز قطره را کنترل ميکند.
ووک و همکاران [32] بطور تجربي شکست و تغيير شکل محلول قطرات را بررسي کردند.بدليل کسر حجمي پايين قطرات داخلي سيال نيوتني با غير يکنواختي کم فرض شدهاست.نتايج نشان دادندکه محلول روغن در آب مانند قطره هادي عمل ميکند و از سوي ديگر محلول آب در روغن مانند قطره leaky dielectric عمل ميکند.در حالت روغن در آب نسبت ويسکوزيته نقش مهمي ندارد اما در محلول آب در روغن نسبت ويسکوزيته در تغيير شکل سهم مهمي ايفا ميکند.در حالت روغن در آب (استريمينگ77) پديده غالب شکست است.در حالت آب در روغن غير يکنواختي روغن به اندازه اي نيست تا تغيير شکل از حالت پينچ آف78 به تيپ استريمينگ تبديل شود.
ووک و همکاران [33] به بررسي تغيير شکل قطره نيوتني و غير نيوتني پرداختند.آنها ابتدا سه حالت(هدايت نسبي متفاوت) را براي نيوتني در نظر گرفتند.قطرات با هدايت بالا، قطرات هادي و قطرات با هدايت پايين.نتايج نشان دادند وقتي هدايت قطره در مقابل محيط اطراف بسيار بالاست ميتوان با توجه به الکتروهيدرواستاتيک تغيير شکل قطره را مورد ارزيابي قرارداد و همچنين وقتي مقاومت79 قطره نسبت به محيط اطراف(R<10-5) باشد تئوري الکتروهيدرواستاتيک صادق است.قطره با هدايت بالا هنگامي که سيال پيرامون و يا قطره غير نيوتني باشد،در ميدان متوسط و يا ضعيف پايا است .از سوي ديگر هنگامي که هر دو فاز غير نيوتني باشند نتايج با توجه به نسبت ويسکوزيته متفاوت خواهد بود.هنگامي که قطره نسبت به سيال اطراف بسيار هادي باشد و ويسکوزيته آن پايين باشد،قطره کشيده شده و به شکل رباط با انتهاي پيازي80 تبديل ميشود.اين شکل انتها نشان دهنده تاثير ويسکوزيته بالاي محيط اطراف در جلوگيري از انتهاي نقطه اي81 ميباشد.هر چه هدايت قطره کم تر شود سايز نقاط انتهايي کم تر شده و بيشتر حجم قطره در وسط مي ماند.با افزايش نسبت ويسکوزيته بالاتر از يک نقاط انتهايي بصورت نوک تيز تبديل مي شوند.همچنين نتايج نشان دادند هنگامي که هر دو فاز غير نيوتني باشند ،تيپ استرييمينگ پديده غالب است.
ايو و غديري [34] به بررسي اثر جهت ميدان الکتريکي و هندسه الکترودها در انعقاد قطرات پرداختند.زاويه بين ميدان الکتريکي و خط واصل بين دو قطره،جهت ايجاد ماکزيمم جاذبه بايد صفر باشد. هنگامي که يک ميدان الکتريکي پالس به قطره اعمال ميشود،قطره با فرکانس مطابق با فرکانس پالس نوسان ميکند تا محدودهاي که رابطه فرکانس نوسان قطره با ميدان خطي نيست.اين محدوديت بستگي به خواص سيال اطراف دارد.(مثلا براي روغن آفتابگردان 70 هرتز و براي انهپتان 100 هرتز مي باشد).بالاتر از اين محدوده، نوسان قطره نسبت به فرکانس پالس اعمال شده کم ميشود.هنگامي که سطح الکترود آبدوست باشد لايه اي از سيال را نگه داشته و باعث افزايش انعقاد سطح ميشود و همچنين باعث جدايش قطره از روغن ميگردد.
ايو و غديري [35] به بررسي اثر الکترواستاتيک در فرايند انعقاد پرداختند. هر پديده انعقاد شامل سه مرحله است.مرحله نزديک شدن دو قطره،ايجاد فيلم نازک و زهکشي82 ،ازهم گسيختگي فيلم سيال. آنها مکانيزم اصلي انعقاد الکتريکي و جدايش مانند ايجاد زنجيره قطرات،انعقاد دو قطبي،دي الکتروفرسيس،الکتروفرسيس،برخورد رندوم را مورد بررسي قرار دادند.مکانيزم غالب در تمامي موارد به طراحي الکترود،خواص محلول و نوع ميدان الکتريکي بستگي دارد.براي انعقاد دوقطبي موثر،قطرات بايد در فاصله کمي نسبت به هم قرارگيرند. همچنين نقش قيود الکتريکي تا بحال بطور دقيق مورد ارزيابي قرار نگرفته است و مکانيزم واقعي انعقاد در حال بررسي است. روغن خام داراي اجزا جامد و مواد فعال در سطح هستند.هنگامي که اين ذرّات در فصل مشترک روغن و آب قرار ميگيرند بر روي ثبات قطره تاثير ميگذارند.فيلم جامد سطحي مانع از انعقاد قطرات در حضور ميدان ميشود.آنها به اين نتيجه رسيدند که هنوز مطالعات بيشتري جهت شناخت فرايند انعقاد قطرات در مقياس ميکروسکوپي بايد صورت گيرد. دي الکتروفرسيسها ميتوانند در شرايط ميدان يکنواخت بدليل آشفتگي ميدان ناشي از بار دار شدن قطرات حاصل شوند.مؤلفين همچنين به بررسي سه نوع ميدان،مستقيم،متناوب و پالس مستقيم و اثرات آن در پديده انعقاد پرداختند.
لانگمن و کروگر[36] بطور عددي به بررسي سه بعدي شکل قطره (در تماس با الکترود) پرداختند.آنها سپس نتايج خود را با حالت دو بعدي مقايسه نمودند.در مقايسه با روش انتگرال محدود83 بر روي گريد مستطيلي ثابت،روش حاضر بر اساس تغييرات اعمال شده بر قطره و مش چارضلعي مطابق با تغيير شکل قطره است.آنها به محدوديت محاسباتي در روش المان محدود و همچنين درون يابي و برون يابي نيروهاي روي سطح اشاره کردند.آنها در کار خود اثرات چسبندگي و اصطکاک سطح بين گراند وآب را در نظر نگرفتند و همچنين از کوچک کردن مش در نزديکي قطره صرفنظر کردند.
برد و همکاران [37] زاويه بحراني برخورد دو قطره مخروطي شکل را به روش تجربي مورد ارزيابي قرار دادند.قطرات با بارهاي متضاد همديگر را جذب ميکنند و هنگامي که به هم نزديک ميشوند،تنش الکتريکي باعث تغيير شکل قطره و مخروطي شدن آنها ميشود.آنها با استفاده از دوربين با سرعت بالا نشان دادند فرايند انعقاد وابسته به زاويه مخروط است که توسط ولتاژ و سايز قطره کنترل ميشود. وقتي که شيب مخروط کم است دو قطره منعقد ميشوند اما وقتي شيب از يک مقدار بحراني تجاوز کند قطره برگشت ميکند.آنها مدلي را ارائه نمودند تا توسط آن انتقال بين دو حالت را تفکيک کنند.مدل آنها زاويه بحراني را 30.8 درجه بدست آورد که مطابقت خوبي با نتايج آزمايشگاهي دارد.نتايج نشان دادند انتقال بين بازگشت و انعقاد مربوط ميشود به انحناء قسمت نوک تيز قطره.
ووک ويانگ [38] بطور تئوري به تغيير شکل و شکست قطره غير نيوتني تحت ميدان الکتريکي پرداختند.نتايج نشان داد که قطره ميتواند پايا يا ناپايدار شود.هنگامي که تنش نرمال وارد به قطره افزايش يابد قطره به حالت prolateدر ميآيد اما براي قطره oblate افزايش تنش نرمال باعث کاهش پايداري ميشود.هنگامي که نسبت ويسکوز افزايش يابد اثرات غير نيوتني بودن بيشتر نمايان ميشود.
بايجنت و همکاران [39] به روش عددي، برهم کنش دو قطره مجاور را بررسي کردند.تغيير شکل قطره بستگي به خواص الکتريکي سيال دارد.اگر سيال کاملا دي الکتريک فرض شود آنگاه تنش الکتريکي نرمال به سطح خواهد بود و شکل قطره دوکي است و در نهايت سيال ساکن ميشود.بر اساس leaky dielectric،تنش مماسي روي سطح قطره عمل ميکند و باعث چرخش سيال در درون و بيرون آن ميشود.تنشهاي ويسکوز اعمال شده ميتوانند باعث دوکي شدن ويا oblate شدن قطره گردند.اين چرخش باعث افزايش جرم و انتقال حرارت ميشود.فعل و انفعال هيدروديناميکي ايجاد شده در اثر چرخش ميتواند بر نيروي الکتريکي بر هم کنش دو قطره غالب شود. .
کيم و همکاران [40] تغيير شکل و حرکت يک قطره باردار هادي غوطه ور در سيال دي الکتريک را در يک ميدان غير يکنواخت و در وبر کمتر از يک بطور تحليلي(روش آشفتگي) بررسي کردند.بطوريکه ميدان الکتريکي بصورت مجموع ميدان هاي يکنواخت در نظر گرفته شد.تغيير شکل قطره ناشي از ميدان الکتريکي با تقريب مرتبه اول وبر بدست آمد.آنها شکل قطره را با سه هندسه p1,p2,p3 مدل کردند.تحت يک ميدان الکتريکي،پخش بار آزاد دو اثر را به دنبال دارد.بارهاي آزاد ناشي از پلاريزاسيون و بارهاي ذخيره شده ابتدايي.بارهاي آزاد در ايجاد نيروي دي الکتروفورتيک و بارهاي ابتدايي در نيروي کلمب نقش دارند.کل بارهاي آزاد تغيير شکل دوکي(p2) را نتيجه ميدهند.علاوه بر اين هنگامي که ميدان غير يکنواخت باشد اين اثر ديده ميشود. تغيير شکل قطره باعث تغيير نيروي الکتريکي در ميدان غير يکنواخت ميشود.بسته به افزايش و کاهش ميدان سه هندسه مورد ارزيابي قرار گرفتند.
سوپين و همکاران[41] به بررسي عددي رفتار ديناميکي گذراي قطره در سيال کاملا دي الکتريک و leaky dielectric تحت تغييرات ميدان پرداختند.همچنين اثرات خواص الکتريکي و کشش سطحي را در تغيير شکل قطره نشان دادند.براي leaky dielectric ديناميک ناشي از بارهاي آزاد در سطح مشترک(تاثيرات جابجايي روي سطح در نتيجه چرخش الکتروهيدروديناميکي) مورد بررسي قرار گرفت.آنها حل عددي خود را با حل تحليلي و تجربي مقايسه کردند و نشان دادند مدل آنها حتي در تغيير شکل هاي بزرگ قطره کارايي دارد.آنها از روش المان محدود و مش متحرک در کار خود بهره بردند.
ايمانو و بروال[42] تغيير شکل قطرات در تماس با سطح جامد را در حضور ميدان الکتريکي متناوب بطور تحليلي و تجربي بررسي کردند.بنابر مدل آنها تغيير شکل قطره به پارامترهاي متعددي نظير حجم وتعداد قطرات،هدايت الکتريکي و نفوذ پذيري،ميزان نزديکي آنها،خواص مواد سطح جامد و محل قرارگيري قطره در سيال اطراف بستگي دارد.نتايج نشان دادند هرچه قطر قطره بيشتر باشد تغيير شکل آن بيشتر است.اين اثر در افزايش ولتاژ بين دو الکترود نيز ديده شدهاست.ميدان ايجاد شده در نوک هر قطره در حضور چند قطره کشيده شده ديگر افزايش مييابد و اين افزايش به فاصله دو قطره مجاور نيز بستگي دارد.يک قطره در حضور ميدان مستقيم وقتي اندازه ميدان بزرگ باشد تغيير شکل ميدهد و همين نتيجه در جريان متناوب نيز ديده شدهاست.تفاوت در اين است که در جريان متناوب،اين تغيير شکل با نوسان قطره همراه است.نوسان قطره با توجه به الکترود و حجم قطره در جهت ميدان است.حتي براي سطح صاف قطرات ميتوانند با افزايش نوسان در امتداد سطح حرکت کنند. در بررسي دو قطره،ولتاژ تا آن جا افزايش مييابد که يکي از قطره ها با الکترود تماس پيدا کند.نتايج نشان ميدهد تنها قطره متصل به الکترود کشيده ميشود و نيروها در نزديک ترين نقطه به الکترود ماکزيمم ميباشند.نتايج نشان ميدهند هر چه قطره به الکترود نزديک تر باشد و يا شعاع انحناء نوک آن کوچکتر باشد ميدان و نيروهاي الکتريکي قوي ترند.در آزمايشي ديگر آنها سه قطره را بررسي کردند و ولتاژ افزايش يافت تا قطرات کشيده شوند.نتايج نشان داد تنها دو قطره در جهت ميدان کشيده شدند و شکل قطره مياني بدون تغيير ماند.در نهايت دو قطره بخاطر فاصله کم و نوسان ناشي از ميدان به هم مي پيوندند و به سمت الکترود مخالف حرکت ميکنند .
کن و همکاران[43] تغيير شکل حباب را بطور عددي و تئوري(در محدوده تغيير شکل کم) بررسي کردند. مقدار ميدان الکتريکي و تنش نرمال اعمالي به حباب و تغيير حجم حباب در يک ميدان يکنواخت بررسي شد. شکل حباب و پتانسيل الکتريکي از طريق اعمال قانون پتانسيل گوس بطور عددي محاسبه شد.همچنين تنش نرمال وارد به حباب از تانسور تنش ماکسول محاسبه شد.آنها ازمختصات منطبق بر بدنه استفاده نمودند.نتايج نشان داد تنش نرمال در زاويه 90 درجه داراي بيشترين مقدار است و همين امر باعث تغيير شکل قطره از کروي به بيضوي ميشود. با توجه به اين که حباب تراکم پذير است با افزايش وبر الکتريکي،حجم قطره بشکل خطي کاهش مييابد.نتايج حاکي از آن است که حباب کشيده شده و اين کشيدگي با افزايش ميدان بيشتر ميشود.با افزايش ميدان،تنش نرمال با نسبت توان دو ميدان الکتريکي افزايش مييابد. نتايج نشان دادند هر چه ثابت دي الکتريک سيال اطراف بيشتر باشد تغيير شکل نيز بيشتر است.
ژو و همکاران [44] بطور تجربي به بررسي رفتار قطره آب بر روي سطح روکش دار84 و اثر آن بر روي پخش بار در ميدان پرداختند.نتايج نشان داد که قطره تحت ميدان بواسطه نيروي الکترواستاتيک تغيير شکل ميدهد و نوسان ميکند.قطره در ابتدا بار (منفي) ميگيرد.علت آن اصطکاک ناشي از نوسان قطره بر روي سطح در ميدان الکتريکي ذکر شدهاست.علت ديگر آن پلاريزاسيون قطره آب است و در نتيجه قطره بار منفي ميگيرد. آنها از دو سطح متفاوت استفاده کردند و نتايج متفاوتي حاصل شد.هر چه سطح صاف تر باشد نوسان بيشتر است.در SR85 قطره ابتدا تحت ميدان پلاريزه شده و کشيده ميشود.هنگامي که ميدان الکتريکي اطراف قطره به ميدان يونيزاسيون بحراني در هوا مي رسد قطره تمايل دارد تا سمت الکترود مثبت برود.هنگامي که ميزان بار بر روي قطره از مقدار بحراني تجاوز کرد،قطره در نزديکي الکترود مثبت بار منفي را از دست ميدهد.در نهايت در ولتاژ 18 کيلوولت جرقه ايجاد ميگردد.قطره آب بسمت هر دو الکترود کشيده ميشود و مخصوصا چند قطره کوچک از نوک قطره بواسطه از دست دادن بارهاي منفي جدا ميشوند سپس اين قطرات کوچک به هم مي پيوندند و تشکيل يک پل بين دو الکترود را ميدهند و همين عامل باعث ايجاد جرقه الکتريکي ميشود.نتايج بر روي سطح 86EVA همان نتايج قبلي را با اندکي تفاوت نشان ميدهد.بدليل اين که بار کمتري بر روي قطره و سطح وجود دارد،نوسان و تغيير شکل قطره کم تر از سطح SR است.همچنين هيچ قطره اي از نوک جدا نميشود و قطره شکل خود را حفظ ميکند.هنگامي که ولتاژ بالاتر از 23 کيلوولت ميرسد،پل الکتريکي و جرقه بوجود ميآيد.در نتيجه خواص سطحي متفاوت ميتواند در تغيير شکل قطره تاثير گذار باشد.
اسپرانزا و غديري[45] بطور تجربي سقوط قطره هادي را تحت ميدان بررسي کردند. نتايج نشان داد با افزايش ميدان الکتريکي،قطر قطره کم ميشود. آنها بيان داشتند که يک بالانس نيروي ساده قادر به پيش بيني قطر قطره است.اما اين مدل در ميدان هاي بالا جواب درستي نميدهد.جهت بالانس نيرو نياز به مدل سازي نيروي کشش سطحي است که اين امر جز با محاسبه سطح تماسي که نيرو به آن وارد ميشود امکان پذير نيست.جهت اين کار سطح تماسي مساحت نازل در نظر گرفته ميشود و اين کار وقتي ولتاژ بيشتر از 4 کيلوولت شود باعث کاهش دقت ميگردد.
ژانگ و همکاران[46] باردار شدن الکتريکي قطره آب هادي را بر روي سطح الکترود بطور تجربي بررسي کردند.آنها در بررسي خود قطر قطره و ويسکوزيته ميدان را بررسي کردند.نتايج نشان داد با افزايش ميدان و قطر قطره شارژ الکتريکي بيشتر مي شود.ويسکوزيته ميدان تاثير چنداني بر بار الکتريکي ندارد.آنها سپس با توجه به نتايج آزمايشگاهي آناليز ابعادي انجام دادند.نتايج نشان داد که بر خلاف حالت کاملا هادي،ميزان بار تخميني متناسب است با توان 1.59 از شعاع قطره و توان 1.33 از ميدان الکتريکي، در صورتي که براي قطره کاملا هادي بار تخميني با توان 2 از شعاع قطره و ميدان الکتريکي متناسب است.همچنين حل عددي نيز براي قطره کاملا هادي انجام شدهاست.تفاوت حل عددي و تجربي در ايده ال نبودن قطره ، پايين بودن نسبي هدايت الکتريکي و تاثير فعل و انفعال شيميايي در سطح الکترود است.هنگامي که قطره کاملا هادي باشد ميدان الکتريکي درون آن وجود ندارد.
ايو و غديري [47] شکست و تغيير شکل قطره را در يک ميدان الکتريکي بالا بررسي کردند.با توجه به اين که رفتار قطره بستگي به خواص الکتريکي،کشش سطحي و ويسکوزيته نسبي قطره با سيال اطراف دارد.آنها چهار نوع سيال دي الکتريک را در نظر گرفتند.روغن آفتابگردان،روغن خرما،روغن کاليبراسيون و ان هپتان.بطور معمول فاز پيوسته با هدايت الکتريکي و نفوذپذيري بالا بدليل ايجاد تنش الکتريکي بر روي سطح بيشترين تاثير را بر روي قطره ميگذارد.علاوه بر اين بارهاي حاضر در سيال قطبي بر روي سطح مشترک سيال و روغن جمع شده و باعث ايجاد تنش هاي الکتريکي بيشتري ميشوند.نتايج نشان دادند کشش سطحي بالا در سطح مشترک دو سيال باعث تغيير شکل کم تر ميشود.همچنين قطرات با قطر کوچک تر تغيير شکل کمتري دارند.نتايج نشان دادند هنگامي که نسبت طول محور اصلي به طول عرضي 1.9 شود ناپايداري شروع ميشود.عدد وبر ناپايداري 0.49 مي باشد.بالاتر از اين مقدار قطره دوکي شده شروع به انتشار قطرات کوچک تر از يک يا هر دو انتها ميکند.هر چه قطره بزرگتر باشد در ميدان الکتريکي کوچک تري ناپايدار ميشود.علاوه بر اين مدلهاي مختلفي از شکست ديده شدهاست.مثلا يک طرف داراي انتهاي مخروطي نازک، در حالي که طرف ديگر انتهاي دايروي دارد و يا يک طرف بصورت رشته87 در فاز پيوسته نفوذ ميکند در حالي که از طرف ديگر قطراتي جدا ميشوند.در شکل ديگر قطرات از هر دو طرف جدا ميشوند.قطرات ميتوانند از رشته هاي قطره تغيير شکل يافته و يا از انتهاي تيز مخروطي جدا شوند. با توجه به اين که اين رشته ها ميتوانند از هر نقطهاي از طول جدا شوند لذا قطرات با قطرهاي مختلف توليد ميشوند.پيش بيني شکل قطره بدليل غير يکنواختي ميدان الکتريکي و پخش تنش روي سطح بسيار مشکل ميباشد.با توجه به اين که قطره کروي نيست نتايج تجربي و تئوري همخواني ندارند.نتايج تحليلي تنها در قطرات با قطر کم که تغيير شکل زيادي ندارند صادق اند.
نتز و باساران[48] بطور عددي ديناميک تشکيل قطره را بررسي کردند.سيستم آزمايش شامل قطره کاملا هادي است که توسط لوله مويين فلزي جريان دارد.سيال اطراف دي الکتريک (هوا )است.صفحه کپيلاري داراي پتانسيل است در حالي که صفحه پاييني گراند ميباشد.با توجه به عدد باند الکتريکي88 که معرف نيروي الکتريکي به کپيلاري است،مد شکست قطره تعريف ميشود. نتايج نشان دادند با افزايش عدد باند الکتريکي،حجم قطره کاهش مييابد.آنها ابتدا تشکيل قطره را در غياب ميدان بررسي کردند.در مراحل اوليه رشد قطره نيروي کپيلاري به نيروي وزن غالب است و قطره به شکل کره رشد ميکند.به محض اين که مقدار کافي از سيال در قطره جاري شد،نيروي وزن بر کشش سطحي فائق ميآيد و قطره به شکل گلابي در ميآيد.سپس به حالت گلويي تبديل ميشود.در ادامه نازکشدن، با گذشت زمان قطره اوليه از کپيلاري جدا ميشود. تغيير محل شکست قطره در شرايطي ديده مي شود که نيروهاي داخلي و نيروي وزن در مقابل کشش سطحي کم تر باشند و نيروي الکتريکي در مقابل کشش سطحي بزرگ باشد.
آتن و همکاران[49] به بررسي تجربي ناپايداري در فصل مشترک روغن و آب پرداختند.آنها ابتدا سطح مشترک هوا و آب را در نظر گرفتند.با دادن ولتاژ ناگهاني به سيستم ناپايداري سطح صاف را بررسي کردند.همچنين ميدان الکتريکي توسط يک کره فلزي که در بالاي سطح مشترک قرار دارد ايجاد ميشود.در بحث هوا وآب،هنگامي که فاصله الکترود از سطح 0.6 ميليمتر است در ولتاژ بالاتر از 900 ولت سطح بسيار ناپايدار ميشود.در حالت روغن وآب با افزايش فاصله الکترود از سطح تغيير شکل سطح افزايش يافته و آب در لحظه رسيدن به الکترود سوزني ميشود.همچنين در نزديکي الکترود بواسطه افزايش ميدان الکتريکي ستون آب در ضمن بالا آمدن بصورت جت در ميآيد. .
موچيزوکي و همکاران[50] انتقال حرارت قطرات تحت ميدان را بطور تجربي بررسي کردند.قطرات با توجه به نيروي کلمب و وزن بين دو الکترود رفتار زيگزاگي دارند و اين عامل در افزايش انتقال حرارت و انتقال جرم تاثير ميگذارد.افزايش ميدان الکتريکي باعث افزايش نرخ انتقال حرارت از قطره ميشود.در حالي که شيب الکترودها در زمان تماس به الکترودها تاثير ميگذارد .
ريو و لي[51] بطور تجربي قابليت پخش قطرات باردار برخورد کننده به سطح دي الکتريک را بررسي کردند.آنها در کار خود به بررسي نقش بارهاي الکتريکي در فرآيند پخش قطره پرداختند.قطرات باردار آب بر روي صفحه تفلون برخورد ميکنند.در هنگام برخورد قطرات باردار کشش سطحي قطره/گاز وجامد/قطره تغيير ميکند و در نتيجه قابليت خيسي89 سطح نيز تغيير ميکند. قابليت خيسي سطح که با زاويه تماسي محاسبه ميشود در فرايند پخش قطره اهميت دارد.عمدتاً تاثير بارهاي الکتريکي بر قابليت خيسي توسط معادله ليپمن-يانگ90،بيان ميشود.در اين مدل،کشش سطحي سيال/ هوا و همچنين جامد/ گاز بر روي خيسي الکتريکي تاثير ندارد و تنها کشش سطحي سيال/ جامد تاثير گذار است.مؤلفين مدلي تحليلي را براي پيش بيني قطر قطره ارائه نمودند که در آن اثر دو کشش سطحي ديگر (که متاثر از شکل و ميزان بار قطره ميباشند) نيز لحاظ شدهاست. بدليل دي الکتريک بودن سطح برخورد قطره ، باردار ميماند و اين بار در طي فرايند پخش تاثير گذار است. جهت از بين بردن بارهاي باقي مانده از برخورد قبلي از گراند استفاده ميکنند.نتايج نشان دادند سه حالت وجود دارد.پخش،ماکزيمم پخش و برگشت. آنها دريافتند قطر قطرات در ماکزيمم پخش بيشتر از حالتي است که قطره در غياب ميدان به صفحه برخورد کند.همچنين نتايج نشان داد که با افزايش بار الکتريکي اين افزايش بيشتر ميشود.در توجيه اين پديده ميتوان گفت افزايش بار الکتريکي موجب کاهش کشش سطحي موثر بين هوا/ آب ، آب/ سطح ميگردد.

ريستنپارت و همکاران [52] به بررسي تجربي برخورد قطره باردار به سطح سيال پرداختند.آنها از ظرفي استفاده نمودند که در پايين آب و روي آن با روغن پر شدهاست.سپس قطره باردار از نازل مستقر در روغن و از يک ارتفاع معيني رها ميشود و به سطح آب برخورد ميکند.بعد از اعمال ميدان،قطره باردار شده از الکترود بالايي به سمت بار مخالف(سطح مشترک روغن وآب) حرکت ميکند.در ميدان هاي پايين،قطره به آهستگي نزديک سطح مشترک شده و سپس يک انعقاد سريع را شاهد خواهيم بود.اين پديده در کارهاي گذشته نيز ديده شده و بيانگر تاثير ميدان بر افزايش نرخ انعقاد است و علت آن پلاريزاسيون بارهاي تحميلي توسط ميدان است.بطوريکه پايين ديواره قطره بار مثبت و سطح مشترک داراي بار منفي است.بارهاي مخالف همديگر را جذب ميکنند و قطره را مجبور به انعقاد با فصل مشترک ميکنند. نتايج نشان داد که يک ميدان حدي الکتريکي وجود دارد که بالاتر از آن قطرات با بار مخالف منعقد نميشوند و يا بعد از انعقاد از هم جدا91 ميشوند. قبل از برخورد پل واسط قطره کشيده ميشود.اين کشيدگي بعلت تنشهاي الکتريکي وارد به بارها در فصل مشترک ميباشند.شکل مخروطي ايجاد شده را مخروط تيلور92 مي نامند.بعد از تماسي کوچکي که بواسطه جاذبه بين قطره و سطح مشترک با بار منفي ناشي از پلاريزاسيون،صورت ميگيرد قطره به سمت بالا برميگردد.در حرکت بسمت بالا قطره به الکترود بالايي برخورد ميکند،شارژ ميشود و دوباره به سمت پايين بر مي گردد.علت برگشت قطره نيروي الکترواستاتيک مخالف با جهت جاذبه است.عوض شدن جهت حرکت بيانگر انتقال بار در هر برخورد مي باشد.جهت نشان دادن اين پديده چندين قطره را در درون روغن قرار دادند.در اين حالت قطرات بصورت زنجير هايي در امتداد هم قرار ميگيرند بطوريکه قطرات زنجيره،بين دو قطره همسايه بسمت جلو و عقب نوسان ميکنند.پل واسط قطرات همسايه در يک هندسه (مخروط مضاعف93)بسمت يکديگر کشيده ميشوند.تماسي بين آنها برقرار ميشود و سپس بر مي گردند.اين پديده دال بر تغيير بار در زنجيره است.اين انتقال بار از راه پل ايجاد شده بين دو قطره صورت ميگيرد.مقدار حدي ميدان الکتريکي جهت برگشت قطرات به ميزان بار الکتريکي بر روي قطره بستگي دارد(که خود به جزئيات انتقال بار بين الکترود فلزي و قطره وابسته است).
تومار و همکاران[53] به بررسي عددي الکتروهيدروديناميک دوفاز پرداختند.مؤلفين يک متد عددي دو فاز بر اساس الگوي حجم سيال94 ارائه دادند.نيروي الکتريکي در اين سيستمها تنها بر روي سطح مشترک عمل ميکند و در جاهاي ديگر دو سيال صفر است.آنها مدل خود را براي دو سيال دي الکتريک و هادي ارائه کردند.در سطح مشترک دو فاز،خواص الکتريکي از روش درون يابي محاسبه ميشوند. آنها در شبيه سازي خود از کوپل دو روش vof,levelset بهره بردند.
ردي و اسماعيلي[54] بطور تحليلي به برسي تغيير شکل پاياي قطره در ميدان يکنواخت پرداختند.آنها از مدل leaky dielectric در شرايط ميدان پايين و جريان خزشي بهره بردند.با بالانس تنش هاي اعمالي از جانب ميدان و هيدروديناميک قطره بر روي سطح توانستند تغيير شکل قطره را بررسي کنند.بطوريکه قطره تنها اندکي از حالت کروي انحراف داشته باشد.نتايج نشان داد که نسبت هدايت الکتريکي قطره به محيط و همچنين نسبت نفوذپذيري آنها تاثير فراواني در تغيير شکل قطره و چرخش سيال اطراف دارد،بطوريکه اگر نسبت هدايت الکتريکي کمتر از نسبت نفوذپذيري باشد قطره از حالت کروي به دوکي تبديل ميشود.
تيلور[55] چرخش سيال را در ميدان الکتريکي بطور تحليلي بررسي نمود.در مکانيک کلاسيک بارهاي الکتريکي عمدتا در سطح مشترک (دو سيال که ثوابت دي الکتريک متفاوت دارند) جمع ميشوند.اگر يکي از آنها جامد باشد،هيچ جريان هيدروديناميکي بواسطه مولفه مماسي تنش الکتريکي ايجاد نميشود.هنگامي که هر دو ماده سيال باشند،جريان سيال بواسطه ميدان شکل مي گيرد.
فرناندز[56] جريان برشي محلولي از قطرات را در ميدان الکتريکي بطور عددي(front tracking) بررسي کرد.او جريان برشي ساده بين دو صفحه که در جهت خلاف هم حرکت ميکنند را در نظر گرفت.سيال داراي هدايت الکتريکي پاييني است.او از مدل leaky dielectric تيلور استفاده کرد.تيلور تابع تمايز را براي تشخيص اين که قطره در يک ميدان الکتريکي prolate ميشود يا oblate بر اساس نسبت ويسکوزيته،نسبت هدايت الکتريکي و نسبت نفوذ پذيري معرفي کرد.بر اين اساس هرگاه اندازه اين تابع مثبت باشد شکل دوکي و هر وقت منفي باشد پخت ميشود.از ديگر اعداد بي بعد مهم عدد ميسون[56](نسبت ويسکوز به نيروي الکتريکي) و عدد کپيلاري الکتريکي(نيروي الکتريکي به کپيلاري) ميباشند.او ابتدا به بررسي ديناميک دو قطره پرداخت.اگر هيچ گونه برش و يا گراديان فشاري نباشد جاذبه دو قطره در اثر پلاريزاسيون و حرکت ناشي از مولفه مماسي تنش برشي ايجاد ميشود.اندازه و جهت اين دو نيرو با توجه به اندازه و جهت ميدان و خواص الکتريکي سيال مشخص ميشود.پلاريزاسيون در اثر دي الکتروفرسيس ايجاد شده و خط اثر آن موازي با ميدان است. بعد از اين که دو قطره تماس پيدا ميکنند يک جريان برشي کم به سيستم تحميل ميشود و دو قطره منحرف ميشوند ولي هنوز در تماس با هم قرار دارند.با افزايش نرخ برش،انحراف بيشتر شده و نيروي الکتريکي ديگر قادر به جذب دو قطره نبوده و باعث کاهش سطح تماسي و در نتيجه جدا شدن آنها ميگردد.نتايج نشان داد که در نرخ برش کم،تغييرات نسبت ويسکوز تاثيري در انعقاد دو قطره نداره و اين پديده متاثر از ميدان الکتريکي است.در نرخ برش بالا،به محض شکست زنجيره افزايش نسبت ويسکوز باعث کاهش تغيير شکل قطره ميشود.بدليل اين که قطره مانند جسم صلب عمل ميکند.هنگامي که نيروي الکتريکي از ويسکوز بيشتر است،چرخش در خارج و داخل قطره ديده ميشود(مانند تک قطره) اما وقتي ويسکوزيته افزايش يابد چرخش درون قطره ضعيف ميشود و بعد از جدايش مانند جريان برشي در غياب ميدان الکتريکي است.نتايج نشان داد هنگامي که دو قطره به هم متصل هستند ويسکوزيته موثر بيشتر است و هنگامي که دو قطره جدا ميشوند ويسکوزيته موثر افت ناگهاني دارد.او آزمايش خود را براي سه قطره و چهار قطره نيز انجام داد و مانند حالت قبل دريافت هنگامي که قطرات به شکل زنجير به هم متصل هستند ويسکوزيته موثر افزايش مي يابد.با افزايش ويسکوزيته قطره،ويسکوزيته موثر افزايش مييابد.هنگامي که دو قطره داراي هدايت الکتريکي يکساني باشند،تنش هاي الکتريکي در سطح مشترک بواسطه تفاوت در نفوذ پذيري دو سيال ايجاد ميشوند و مولفه مماسي اين تنش باعث حرکت ويسکوز الکتريک از خط وسط به سمت قطبها شده و شکل قطره دوکي ميشود.اين نيرو باعث جدا شدن دو قطره و انحراف 45 درجه اي محور دو قطره ميشود.
ليو و همکاران[57] به بررسي تجربي جدايش و انعقاد حباب در ميدان اکتريکي غير يکنواخت پرداختند.ابتدا ديناميک حباب در غياب ميدان الکتريکي بررسي شد.آنها دريافتند که حباب به سمت مخالف جهت وزن حرکت ميکند و نهايتا از اريفيس جدا مي شود.در نرخ جريان پايين،حباب به شکل کروي،در نرخ متوسط به شکل پخت و در رنج بالا قسمت بالاي آن کروي رشد ميکند.در انعقاد دو حباب (خارج شده از يک اريفيس) ،حباب پاييني سرعت بيشتري داشته در نتيجه به بالايي برخورد ميکند. در حضور ميدان الکتريکي،حباب به سمت الکترود کروي بالا تغيير شکل ميدهد.نتايج نشان ميدهد افزايش نرخ جريان حباب موجب کاهش اثر ميدان بر روي آن ميشود.علاوه بر نتايج بالا انحراف حباب گاهي در راستاي الکترود نيست و در بعضي مواقع در راستاي خط قائم است.اين رفتار نامنظم به علت مولفه هاي نيروي الکتريکي غير يکنواخت وارد به حباب،شرايط جدايش حباب و پخش بار در درون سيال و روي حباب ميباشد. جدايش حباب بالايي و حرکت آن به سمت بالا باعث کاهش اينرسي و درگ اعمالي به حباب پاييني شده و افزايش سرعت آن نسبت به حباب بالايي را به دنبال دارد.نتايج نشان داد حجم حباب در لحظه جدايش با افزايش نرخ جريان افزايش مييابد(در حضور وغياب ميدان). با افزايش ميدان حجم جدايش کم تر ميشود و اين روند تا يک نرخ جريان مشخصي صادق است و بعد آن رفتاري مانند حالت بدون ميدان دارد. در حضور ميدان دو حباب همديگر را دفع ميکنند بطوريکه حبابي که نزديکتر به الکترود است به سمت آن کشيده ميشود. البته با تغيير نرخ جريان رفتارهاي گوناگوني ديده ميشود.مثلا دو حباب ميتوانند با هم از الکترود بالايي دور شوند و يا به سمت آن کشيده شوند ويا يکي کشيده شود و ديگري مستقيم قرار گيرد .در حالت ديگر در غياب ميدان دو حباب به هم بسيار نزديک ميشوند(بدون انحراف) و با دادن ولتاژ در حالت اتصال به سمت الکترود کشيده مي شوند و با افزايش نرخ جريان منعقد ميشوند.
تا قبل از اين که تيلور[55] تئوري خود را ارائه دهد تصور غالب بر اين بود که هر دو فاز يا کاملا عايق هستند و يا کاملا هادي الکتريسيته. در هر دو حالت الکترواستاتيک، تنشهاي نرمال روي اينترفيس را بصورت نرمال و از سيال با نفوذپذيري بيشتر(يا هدايت الکتريکي بالاتر) بسمت سيال با نفوذپذيري کمتر (هدايت الکتريکي کمتر) نشان ميداد. نتيجه اين تنشهاي نرمال تغيير شکل قطره بصورت prolate ميباشد( بطوريکه تغيير شکل در راستاي ميدان بر تغيير شکل در راستاي عمود بر ميدان بيشتر است). بدليل تنشهاي مماسي برايند صفر (بالانس بودن تنشهاي مماسي روي اينترفيس) در الکترواستاتيک هيچگونه جريان سيالي در درون قطره شکل نميگيرد.نتايج تجربي الان و ميسون [72] نشان داد سيال هادي غوطه ور در سيال دي الکتريک تحت ميدان بفرم prolate تغيير شکل ميدهد (که با الکترواستاتيک مطابقت داشت) در حاليکه سيال دي الکتريک بفرم oblate (تغيير شکل در راستاي عمود بر ميدان بيشتر از تغيير شکل در راستاي ميدان است) تغيير شکل ميدهد. تيلور بيان نمود که فرض کاملا دي الکتريک بودن و يا هادي بودن سيالات اشتباه است و هميشه مقداري نفوذپذيري و يا هدايت بايد در نظر گرفته شود تا فرصت تجمع بارهاي آزاد روي اينترفيس وجود داشته باشد. تاثير ميدان الکتريکي بر روي بارهاي تجمع يافته روي اينترفيس باعث عدم بالانس تنشهاي نرمال و مماسي شده و در نتيجه شکل oblate قابل حصول است. از طرفي با توجه به اين که بالانس تنشهاي مماسي الکتريکي توسط تنشهاي هيدروديناميکي صورت ميگيرد لذا چرخش سيال درون و بيزون قطره اجتناب پذير است. اين تئوري به تئوري “leaky dielectric” نام گرفت. تيلور توانست با حل معادلات الکتروهيدروديناميک در محدوده جريان خزشي بشکل کيفي مشاهدات الان و ميسون را توجيه کند. ترزا و همکاران [73] در سال 1971 ، دريافتند که تطابق خوبي بين نظريه leaky dielectric (که تيلور[55] در سال 1965 ارائه نمود)و نتايج تجربي وجود ندارد. آنها مبادرت به انجام تست تجربي نمودند بطوريکه قطره در محيطي که هادي ضعيف الکتريکي است تحت ميدان يکنواخت و متناوب قرار گرفته است. بدليل اينکه ارائه يک تئوري و فرموله کردن پاسخ قطره به ميدان الکتريکي جهت رفع بعضي از اختلافات مشاهده شده از نتايج تجربي و تئوري تيلور از مهمترين هدف آنها بحساب ميآمد آنها نياز داشتند تا خواص الکتريکي هر دو فاز و همچنين کشش سطحي بين دو فاز را دقيق اندازه گيري نمايند. آنها موفق شدند تا يک فرمول مناسب جهت پيشبيني رفتار قطره در ميدانهاي متناوب و يکنواخت ارائه دهند. با توجه به رفتار ناپايدار قطره در ميدانهاي متناوب آنها تغيير شکل ناپايدار قطره را در فرکانسهاي مختلف بدست آوردند و در فرکانس 60 هرتز که قسمت نوساني بسيار کم است نتايج تجربي و تئوري تطابق خوبي داشتند. در بسياري از موارد مقدار تغيير شکل تجربي از تئوري بيشتر بوده و علت اين تفاوت بطور کامل مشخص نشده است(يکي از علتها اثر کپيلاري الکتريکي-کاهش کشش سطحي اينترفيس – ناشي از تجمع بار روي اينترفيس بيان شده بطوريکه الان و ميسون نيز بدون ارائه دليلي قاطع اين مورد را بيان نمودند). آنها همچنين دو نوع جدايش قطره را بيان کردند ( جدايش ناشي از تنشهاي الکتريکي و جدايش ناشي از ترکيب تنشهاي هيدروليکي و هيدروديناميکي). نتايج آنها با نتايج تيلور در فرکانس صفر همخواني دارد . آنها سه کلاس متفاوت سيالاتي معرفي نمودند که در يکي از نواحي آن فرکانسي وجود دارد که قطره از حالت prolate به oblate و يا برعکس تغيير مييابد (فرکانس بحراني). هنگامي که حاصل ضرب نسبت نفوذپذيري در نسبت هدايت الکتريکي برابر واحد باشد جهت چرخش سيال تغيير ميکند. نويسندگان بحث جابجايي بارهاي الکتريکي و هدايت ايترفيس را بشکل اجمالي بررسي کردند و بيان نمودند که اين حرکت بارها روي اينترفيس بر روي نتايج آنها (بر اساس سيستمهاي سيالاتي در نظر گرفته شده) تاثيري نداشته است. اثر تنشهاي ويسکوز در فرکانسهاي بالا همراه با حضور احتمالي بارهاي الکتريکي در فضاي دو فاز از عوامل ديگر اين اختلاف بيان شده اند. نويسندگان بر اين مهم اشاره نمودند که پديده الکتروکينتيک عامل مهمي است که در توجيه اختلاف بين نتايج تجربي و تئوري حائز اهميت است. انتقال و حرکت يونها بر روي اينترفيس و در نتيجه توليد لايه و يا ابر بارهاي الکتريکي در دوفاز و اثر ميدان باعث ايجاد جريان ديگري ميشود. بايجنت و سويل [74] تئوري leaky dielectric را با الکتروکينتيک جايگزين نمودند اما اين اصلاح تغيير قابل توجهي در روند تغيير شکل ايجاد ننمود.لازم بذکر است که در سال 1992 ويزيکا و سويل [75] تحت آزمايشات انجام گرفته صحت تئوري ترزا را مورد تاييد قرار دادند و ذکر نمودند که leaky dielectric ميتواند عموما توصيف قابل قبولي از رفتار قطرهاي که بار خالص آن صفر است ارائه دهد. با توجه به گستردگي کارهاي صورت گرفته ميتوان روابط حاکم بر الکتروهيدروديناميک و پديده هاي حاکم را در کار ملکر و تيلور [76] و سويل [77] مشاهده نمود.

فصل چهارم : نتايج تجربي

4-1 رفتار تک قطره:
در اين فصل ، رفتار قطره تحت ميدان الکتريکي مورد بررسي قرار مي گيرد. نمايي از setup آزمايش در شکل (4-1) نشان داده شده است. قطرات از جنس آب مقطر در سيال روغن سيليکون و روغن ترانزفرمر قرار گرفته اند. خواص الکتريکي و هيدروديناميکي در جدول (4-1) آورده شده است. محفظه از چهار صفحه پلکسي گلاس با ضخامت 1mm احاطه شده و الکترودها با مساحت 5*5 cm2 در ورق تفلون تعبيه شدهاند. الکترود پايين به منبع دستگاه توليد ولتاژ متصل بوده و نقش HV را دارد در حالي که الکترود بالايي زمين Gr است. جنس هر دو الکترود از مس ميباشد. دوربين (Casio EXILIM Pro EX-F1) at 300 fps جهت ثبت تصاوير استفاده شده است.

(c)
(b)
(a)
شکل 4-1(الف): نمايي از setup آزمايش(a). مختصات setup (b). اندازه گيري قطر قطره(c)

بعد از مشخص کردن پهناي الکترودهاي ولتاژ بالا و زمين با استفاده از دستگاه تراش به اندازه ضخامت الکترودها روي صفحات تفلون براده برداري شده تا الکترودها در درون تفلون(صفحه عايق) جاسازي شوند. سپس به اندازه قطر يک پيچ از سطح تفلون تا نصف ضخامت الکترودها رزوه ميشود . سپس پيچها در درون سوراخها تعبيه ميشوند. الکترود ولتاژ بالا روي پايه و الکترود زمين توسط يک گيرنده استوانهاي نگه داشته ميشود. لذا پشت صفحه تفلون (زمين) رزوه ميشود تا يک استوانه به آن پيچ شود. اين استوانه سپس در درون يگ گيره قرار ميگيرد. گيره مورد نظر داراي حرکت رفت و برگشتي و همچنين دوراني است. علت دوراني طراحي کردن گيره اين است که بر خلاف دو الکترود قائم(که فيکس کردن آن آسان است)، در اين حالت تراز کردن دو الکترود نسبت به هم اهميت زيادي دارد زيرا در غير اين صورت ميدان الکتريکي در يک سمت قويتر از سمت ديگر ميشود و نيروي دي-الکتروفورسيس قطره را به سمت ميدان قوي برده و از مرکز خارج ميکند. چهار صفحه پلکسي گلاس به اندازه طول تفلون ولتاژ بالا بريده شده و به آن چسبانده ميشود.(صفحه پلکسي و تفلون هر دو عايق ميباشند). در نتيجه يک باکس مربعي ايجاد ميشود که در درون آن تا ارتفاع معيني روغن ريخته ميشود. روغنهاي استفاده شده(روغن سيليکون و ترانزفرمر) آزمايشگاهي ميباشند و خواص آنها در جدول آورده شده است.
با استفاده از يک سرنگ و سوزن متصل به آن قطرهاي روي الکترود ولتاژ بالا تزريق ميشود. سپس با استفاده از گيره نگه دارنده الکترود زمين روي سطح روغن قرار ميگيرد . يک اتصال(سيم) از دستگاه ولتاژ بالا به پيچ متصل به الکترود ولتاژ بالا برقرار شده در حاليکه پيچ الکترود گراند توسط يک سيم به زمين متصل ميشود. دستگاه تامين ولتاژ داراي يک مانيتور است که ولتاژ را نشان ميدهد. منبع توليد ولتاژ در شرکت “فناوران نانو مقياس “ساخته شده و در شکل بالا نشان داده شده است.وظيفه اين دستگاه ايجاد اختلاف پتانسيل بين دو الکترود ميباشد .دوربين فيلمبرداري در جلوي باکس و منبع تغذيه نور (پروژکتور) در پشت باکس تنظيم ميشود. جهت بدست آوردن قطر قطره قبل از تزريق قطره خط کش را در درون فضاي باکس قرار ميدهيم و از لحظهاي که قطره از نازل خارج ميشود تا وقتي که روي سطح الکترود قرار گيرد تصوير برداري ميکنيم. لذا قطر قطره بر حسب مقداري که خط کش درج ميکند مشخص ميشود. جهت بدست آوردن قطر دقيق قطره شکل مورد نظر را در نرم افزار GetData-Graph digitizer باز کرده و سپس آنرا به پيکسل تقسيم بندي ميکنيم. با توجه به اين که مختصات الکترودهاي ولتاژ بالا و گراند بر حسب ميليمتر مشخص است و همچنين اختلاف پيکسل دو الکترود نيز معلوم است لذا طبق رابطه ميتوان مختصات نقطهاي روي قطره را بر حسب پيکسل گرفته و به ميليمتر حساب کرد. بنابراين هر يک پيکسل اختلاف برابر خطا ايجاد خواهد کرد. براي بررسي فيلم گرفته شده ابتدا با استفاده از نرم افزار speed video spliter فيلم گرفته شده با پسوند mov به Avi تبديل ميشود. فيلم حاضر وارد نرم افزار ulead video studio شده و در آنجا ميتوان در هر فريم با استفاده از گزينه save as still image شکل قطره را در اين فريم گرفته و محاسبات را بر روي آن انجام داد. در اين نرم افزار در زير شکل فريمها بصورت زير نمايش داده ميشوند. براي تبديل فريم به زمان (ثانيه) از رابطه زير استفاده ميکنيم( اگر با 300 فريم در ثانيه فيلم بگيريم). کليه آزمايشات در دما و فشار اتاق انجام شده است.

شکل 4-1(ب): نمايي از محيط GetData-Graph digitizer (سطر بالا) و ulead video studio (سطر پايين)

همانطور که قبلا بيان شد هدفمان بررسي رفتار قطره از ابتدا تا انتهاي حرکت است. در ابتدا قطره روي سطح الکترود قرار گرفته است. قطره در حال سکون قرار دارد و روشن شدن دستگاه تامين ولتاژ باعث افزايش ميزان بار الکتريکي در درون قطره خواهد شد. البته بدليل هادي بودن قطره بارهاي الکتريکي روي اينترفيس تجمع مييابند . اين بار الکتريکي باعث ايجاد نيروي کلمب
ميشود و باعث حرکت قطره به سمت الکترود گراند ميگردد. ميزان اين نيروي الکتريکي بايد به اندازهاي باشد که بر وزن قطره غلبه کند (ميزان کشش سطحي بين قطره و سطح الکترود در نظر گرفته نشده است). لازم به ذکر است که جدايش قطره از سطح الکترود نقطهاي ميباشد به اين معني که در هنگام ترک کردن الکترود ولتاژ بالا، قطره تنها در يک نقطه تماس دارد. قطره ابتدا حالت کروي داشته و بتدريج با افزايش ميدان الکتريکي بر تغيير طول قطره افزوده ميشود. اين افزايش طول در راستاي ميدان الکتريکي است. نمونهاي از اين فرايند در شکل( 4-2) نشان داده شده است.
جدول 4-1 : خواص الکتريکي و سيالاتي آب و روغن
Property
Transformer Oil
Water
Ratio (oil/water)
viscosity
0.0202
1.12e-3
18.036
Density
841.9
998.2
0.8434
conductivity
3.3e-12
1e-4
3.3e-8
Relative permittivity
2.1
80.1
0.0262

شکل 4-2: تغيير شکل قطره از نقطه سکون تا آستانه حرکت بر روي الکترود ولتاژ بالا

ميزان بار الکتريکي دريافت شده توسط قطره کروي از رابطه زير حاصل مي شود[31,80]. بطوريکه:
4-1

در نتيجه ميزان نيروي کلمب وارد شده به قطره عبارتست از:
4-2

مقدار بدست آمده است. وزن قطره را نيز مي توا نيم بصورت زير بدست آوريم:
4-3

جهت فائق آمدن بر نيروي گرانشي لازم است تا تساوي زير برقرار گردد:
4-4

مثلا براي قطره با قطر 0.8 در ولتاژ 1.7KV خواهيم داشت:
4-5

در نتيجه پس از حصول نيروي کلمب لازم ، قطره الکترود ولتاژ بالا را ترک نموده و با داشتن بار الکتريکي مثبت به سمت گراند حرکت ميکند. قطره در هنگام برخورد به گراند تماس نقطهاي دارد . سپس بار الکتريکي تعويض شده و قطره با بار منفي و با کمک وزن و نيروي کلمب که اين بار در جهت خلاف ميدان الکتريکي است به سمت پايين حرکت ميکند. اينبار تماس با الکترود ولتاژ بالا نقطهاي مي شود و دوباره بار الکتريکي عوض شده و فرايند تکرار ميگردد. به حالاتي که نقاط تماس با الکترود نقطهاي مي شوند اصطلاحا TAYLOR-CONE نام مي نهند. شکل(4-3) چهار مرحله ذکر شده را نشان ميدهد. آزمايشات چند بار در شرايط عملکرد مشابه انجام شده است. با توجه به اينکه مقادير بدست آمده براي آزمايشات جديد با مقادير ثبت شده قبلي از تطابق خوبي برخوردار است، ميتوان نسبت به صحت نتايج آزمايشات اطمينان حاصل نمود.

شکل 4-3: حرکت ريتميک قطره با قطر 0.8 تحت ولتاژ 1.7KV

شکل 4-4: ميزان تغيير شکل قطره با قطر 1.1 تحت ولتاژ 1.9KV
شکل (4-4) تغيير شکل قطره (نسبت قطر قطره در راستاي ميدان بر قطر قطره در راستاي عمود بر ميدان ) را در يک نوسان کامل و حرکت از الکترود گراند و برگشت به آن نشان ميدهد. بيشترين کشيدگي در راستاي ميدان در لحظه تماس با الکترودها ديده ميشود و در وسط فاصله بين دو الکترود و دور از الکترود و در ولتاژ پايين اوليه تقريبا نسبت برابر واحد است يعني قطره پس از تماس با الکترودها دوباره شکل کروي خود را حفظ ميکند.لازم به ذکر است که تمامي پژوهشهاي صورت گرفته اين نسبت را بزرگتر از يک گزارش کردند در حالي که براي قطرات بزرگ در حد ميليمتر ماکزيمم اين نسبت مي تواندکمتر از واحد باشد يعني قطره در راستاي الکترود (عرضي) گسترش مييابد. جهت بررسي قطر قطره سه قطر در شکل (4-5) مقايسه شدهاند در لحظه برخورد به الکترود ولتاژ بالا و ترک آن. براي قطره با قطر 1.1 بعد از تماس با الکترود بصورت عرضي گسترش مييابد در حالي که براي قطره با قطر 0.8 و يا 0.5 گسترش در راستاي طولي است . ميتوان نتيجه گرفت که قطره با قطر و وزن بيشتر هنگام برخورد به الکترود مومنتم بيشتري دارد نسبت به قطرات کوچکتر. بعد از ماکزيمم گسترش عرضي قطره شارژ مجدد ميشود و اينبار براي قطرات با هر قطري کشيدگي در راستاي ميدان خواهد بود. ميزان کشيدگي در راستاي عرضي و طولي براي قطرات بزرگتر بيشتر از قطرات کوچک ميباشد. بعد از جدايش ميزان تغيير شکل کم ميشود تا فاصلهاي که قطره دوباره شکل کروي خود را باز مي يابد. قطره کوچکتر 0.5 ميزان تغيير شکل کمتر داشته و سريعتر حالت Taylor-Cone خود را از دست ميدهد.

شکل 4-5: يررسي قطر قطرات در تماس با الکترود پايين

همين روند در لحظه برخورد به الکترود گراند ديده ميشود. جهت بررسي ميزان افزايش ولتاژ، بر روي افزايش تغيير شکل، شکل
(4-6) را در نظر بگيريد. نتايج نشان ميدهد ميزان کشيدگي در راستاي عرضي و طولي با افزايش ميدان الکتريکي افزايش مي يابند. جهت واضح تر شدن اين تغيير شکل، (4-7) اثر افزايش ميدان را در لحظه برخورد به دو الکترود نشان ميدهد. با افزايش ميدان الکتريکي زاويه ايجاد شده بين قطره و الکترود افزايش مي يابد (در لحظه جدايش).

شکل 4-6: بررسي اثر افزايش ميدان الکتريکي بر نرخ تغيير شکل

شکل 4-6: بررسي اثر افزايش ميدان الکتريکي بر روي شکل قطره در هنگام تماس دو الکترود
همانطور که اشکال نشان ميدهند چند لحظه پس از جدايش از الکترودها قطرات از حالت کشيدگي و سوزني شکل شدن خارج ميشوند. بطور کلي براي تک قطره تا قبل از پديده جدايش افزايش ميدان الکتريکي و قطر قطره کشيدگي بيشتر را نتيجه ميدهند. شکل (4-7) تغيير شکل را اندکي پس از ترک الکترودها نشان ميدهد . قطره را در حالت صعود در نظر بگيريد بديهي است اندکي پس از ازبين رفتن نقطه تماس انتظار ميرود حالت سوزني شکل از بين برود. همانطور که شکل(4-7) نشان ميدهد قطره در حال صعود از قسمت پايين صاف شده ولي در قسمت جلو نوک تيز مي شود و باصطلاح حالت قيفي شکل ميگيرد. همين روند در حالت سقوط ديده ميشود ولي برعکس. بعد از اين حالت قطره شکل کروي خود را باز مييابد. اين حالت مياني فقط در کار “غديري” گزارش شده است [31].

شکل 4-7: خارج شدن قطره از حالت کروي در دو حالت سقوط و صعود

شکل (4-8) نشان ميدهد که افزايش ميدان الکتريکي باعث ميشود که قطره فاصله بين دو الکترود را سريعتر طي کند. در نتيجه هر چه بر ميزان ولتاژ افزوده شود قطره فرکانس حرکت رفت و برگشت بيشتري را تجربه ميکند. در يک ولتاژ مشخص افزايش قطر قطره باعث ميشود که فاصله بين الکترود گراند تا ولتاژ بالا سريعتر طي شود و همينطور فاصله بين الکترود ولتاژ بالا و گراند بدليل اين که ميزان بار الکتريکي کسب شده توسط قطره با توان دو شعاع قطره متناسب است. در نتيجه نيروي کلمب بيشتري خواهيم داشت. در بررسي سرعت قطره هنگام نوسان ميتوان چندين سرعت را تعريف نمود. سرعت حرکت از الکترود ولتاژ بالا به گراند، سرعت حرکت از الکترود گراند به ولتاژ بالا، سرعت حرکت از وسط فاصله بين دو الکترود و رسيدن مجدد به همين نقطه (يعني قطره دو برابر فاصله بين دو الکترود را طي کند). در اين قسمت سرعت را تغيير فاصله مرکز قطره نسبت به مکان قبلي در مدت زمان طي شده تعريف کرديم. لذا هنگامي که قطره به دو الکترود برخورد ميکند بين دو زمان متوالي روي سطح الکترود باقي مي ماند و بسط و انقباض روي سطح الکترود صورت ميگيرد .در نتيجه سرعت صفر است. در لحظه برخورد قطره به الکترودهاي مخالف بيشترين شتاب را خواهيم داشت زيرا قطره در لحظه کوتاهي قبل برخورد نيروي جاذبه الکترود مخالف را تجربه ميکند . همچنين سرعت حرکت از گراند به الکترود ولتاژ بالا اندکي بيشتر از حالت عکس آن است. دليل اين امر را مي توان همراهي نيروي گرانش در جهت نيروي کلمب دانست.

شکل 4-8: تاثير افزايش ولتاژ (سطر اول) و افزايش قطر (سطر دوم) بر روي حرکت ريتميک قطره

در بررسي رفتار دو قطره از عدد بي بعد کپيلاري الکتريکي استفاده ميکنيم. اين عدد بصورت تعريف ميشود و
نسبت نيروي محرک الکتريکي به نيروي مقاوم کشش سطحي را نشان ميدهد. با افزايش اختلاف پتانسيل بين دو الکترود بر قدرت ميدان (اختلاف پتانسيل به فاصله قائم دو الکترود) افزوده ميشود و ميدان الکتريکي زياد ميشود. با افزايش ميدان نيروي کشش سطحي ديگر قادر به کنترل قطره و مانع تغيير شکل يافتن آن نميباشد و قطره از حالت کروي خارج شده و در عدد کپيلاري بحراني (آغاز pinch-off) پديده جداشدگي را شاهد خواهيم بود.

شکل 4-9: تاثير افزايش ولتاژ بر روي سرعت قطره

در اين قسمت سعي شده تا رفتار قطره توسط شبکه عصبي پيشبيني گردد. لذا مختصري از اين روش ارائه ميگردد. شبکههاي عصبي ، در ساختارها و نمونههاي بسيار متنوعي توسعه داده شدهاند که در آنها خصوصيات مشترک زيادي وجود دارد. نرونها کوچکترين واحدهاي سازند? شبکه عصبي مصنوعي ميباشند و حکم سلولهاي مغز انسان را دارند. هر شبکه از يک لاي? ورودي و يک لاي? خروجي و يک يا چند لاي? مياني تشکيل شده است. نرونهاي هر لايه بوسيله وزن هايي (Weight) به نرونها لاي? بعدي متصل ميشوند. طي فرايند آموزش شبکه اين وزنها و مقادير ثابتي که با آن جمع ميشوند و اصطلاحاً باياس (Bias) ناميده مي شوند، بطور پي در پي تغيير ميکنند تا اينکه خطا به کمترين مقدار خود برسد. از توابع محرک معروف ميتوان توابع سيگموئيدي، خطي و آستانه را نام برد. روشي که جهت درست کردن وزنها و باياسها براي دستيابي به مقدار مطلوب اتخاذ ميگردد، قانون يادگيري نام دارد. قانون يادگيري در واقع يک الگوريتم رياضي پيچيده ميباشد. هر شبکه براي بوجود آمدن و قابل قبول بودن به دو سري داده نيازمند است: سري آموزش و سري آزمون. در حدود هشتاد درصد داده ها صرف آموزش و مابقي صرف آزمون شبکه ميگردند. در طي فرايند يادگيري، ميزان فراگيري شبکه توسط توابع هدف مرتباً سنجيده ميشود و در نهايت شبکهاي مورد پذيرش قرار ميگيرد که کمترين ميزان خطا را دارا باشد.علت اصلي پيدايش شبکههاي عصبي مصنوعي حل مسائلي است که يا داراي روابط رياضي مشخصي به منظور تحليل مسئله نميباشند و يا از روشهاي متداول، راه حلي بسيار طولاني دارند.

4-2 اجزاء يك شبكه عصبي:
* ورودي ها 95: وروديها ميتوانند خروجي ساير لايه ها بوده و يا آنكه به حالت خام در اولين لايه و به صورتهاي زير باشند:
داده هاي عددي و رقمي متون ادبي، فني و …، تصوير و يا شكل
* وزن ها96 :ميزان تاثير ورودي بر خروجي y از طريق وزن اندازه گيري مي شود.
* تابع جمع97 :در شبكههاي تك نروني ، تابع جمع در واقع خروجي مسئله را تا حدودي مشخص ميكنند.
در شبكههاي چند نروني نيز تابع جمع ميزان سطح فعاليت نرون را در لايه هاي دروني مشخص ميسازد.
* تابع تبديل (فعال ساز). 98 بديهي است كه تابع جمع پاسخ مورد انتظار شبكه نيست .تابع تبديل عضوي ضروري در شبكه هاي عصبي محسوب ميگردد .انواع و اقسام متفاوتي از توابع تبديل وجود دارد كه بنا به ماهيت مسئله كاربرد دارند .اين تابع توسط طراح مسأله انتخاب ميگردد و بر اساس انتخاب الگوريتم يادگيري، پارامترهاي مسأله (وزن ها) تنظيم ميگردد .
* خروجي99 . منظور از خروجي، پاسخ مسئله است . شكل(n-1 ) ساختار يك شبكه عصبي چند لايه را نشان ميدهد.

شکل n-1لايه ورودي با 5 نرون ،لايه مياني با 6 نرون و لايه خروجي با 3 نرون
اين شبكه داراي يك لايه ورودي با 5 نرون و يك لايه مياني با شش نرون و يك لايه خروجي با سه نرون ميباشد. يك نرون از اين شبكه نيز در شکل (2n-) نشان داده شده است.

شکل n-2 : يک نرون از شبکه عصبي
در يك شبكه عصبي هدف از يادگيري، تعيين بهنيه ضرايب وزن نرونها به گونهاي است كه خروجي مورد انتظار (خروجي واقعي) شبكه به خروجي جاري (خروجي حاصل) از اعمال ورودي به شبكه و گرفتن خروجي آن تا حد ممكن به هم نزديك باشند و يا به عبارت ديگر خطاي ميان مقدار خروجي واقعي و مقدار خروجي شبكه كمينه شود.از ميان انواع مختلف شبکه هاي عصبي ، در اين پروژه از شبکه رو به جلو100 استفاده شده است. مراحل محاسبه ضرايب وزني براي شبکه مورد نظر به شرح زير مي باشد. خطاي شبکه عصبي به صورت زير تعريف مي گردد:
4-6

که در آن خطاي شبکه مقدار پيشبيني شده توسط شبکه عصبي و مقدار واقعي پارامتر مورد نظر ميباشد. هدف ما در اين فرايند آموزش شبکه عصبي براي حصول کمترين مقدار ميباشد. براي نرون عصبي نشان داده شده ،اگر وروديهاي شبکه عصبي، ضرايب وزني مربوط به اين وروديها ،و خروجي شبکه عصبي باشند تغييرات ضرايب شبکه عصبي در طي فرايند آموزش شبکه به صورت زير بيان ميشود:
4-7

که در آن نرخ سرعت آموزش شبکه و حساسيت خطاي شبکه به ضرايب وزني ميباشند. از قانون مشتق گيري زنجيره اي داريم:
4-8

و
4-9

از معادلات بالا نتيجه مي شود
4-10

در اين مرحله از محاسبات دو حالت پيش ميآيد
الف) نرون مورد بررسي در لايه خروجي شبکه عصبي باشد.
ب) نرون مورد بررسي در لايه مخفي شبکه عصبي باشد.
اگر نرون مورد بررسي در لايه خروجي شبکه عصبي باشد خواهيم داشت:
4-11

از ترکيب معادلات بالا خواهيم داشت:
4-12

مقدار در معادله بستگي به تابع انتخابي ما دارد که براي توابع رايج مختلف به شرح زير مي باشد:
تابع نمايي

تابع تانژانت هذلولي

تابع خطي

اگر نرون مورد بررسي در لايه مخفي شبکه عصبي باشد خواهيم داشت:
4-13

که زير نويس نمايانگر نرون خروجي ميباشد. از طرف ديگر داريم:
4-14

و در نتيجه داريم:
4-15

در اين پايان نامه براي شبيه سازي سيستم مورد بررسي از کد نوشته شده به زبان مطلب استفاده شده است. براي اعتبار سنجي کد نوشته شده از تابع زير استفاده ميکنيم:
4-16

تعداد نرونهاي لايه مخفي 4و تعداد تکرار در فرايند آموزش شبکه عصبي 1000 در نظر گرفته شده است. شکل نشاندهنده مقادير اصلي و مقادير پيشبيني شده توسط شبکه عصبي مصنوعي مي باشد که از تطبيق قابل قبولي برخوردار هستند.

شکل n-3 : مقاسيه بين خروجي شبکه عصبي و داده هاي موجود
رفتار نوساني قطره را مي توان توسط شبکه عصبي مدل نمود. در شکل (4-10) ميزان نرونهاي لازم براي رسيدن به خطاي ايده ال نشان داده شده است. همچنين ماتريس تشکيل شده توسط شبکه عصبي بخوبي رفتار ريتميک قطره و بار اکتسابي را پيش بيني مي کند.

شکل 4-10: مدل کردن رفتار نوساني و بدست آوردن ماتريس حاکم بر بار قطره بر حسب قطر قطره

4-3 رفتار دو قطره:
پس از مطالعه رفتار تک قطره ، اکنون برهمکنش دو قطره را مورد بررسي قرار ميدهيم. در اين قسمت از روغن سيليکون بعنوان سيال دي الکتريک استفاده ميشود. جدول (4-2) خواص الکتريکي و سيالاتي را نشان مي دهد.
جدول 4-2: خواص الکتريکي و سيالاتي مورد استفاده در آزمايش
Property
Silicon oil
Water
Ratio(oil/water)
Viscosity(kg/ms)
9.6e-2
1.12e-3
85.7142
Density(kg/m3)
963
998.2
0.9647
Conductivity(S/m)
14e-13
1e-4
14e-9
Relative permittivity
2.75
80.1
3.4332 e-2
Surface tension (N/m)
0.020
0.072
0.2777

دو قطره با قطر 1.7mm در ابتدا در حالت سکون و به فاصله 7.6mm از هم بر روي الکترود ولتاژ بالا قرار گرفتهاند. تمامي فرايندهاي ذکر شده در بالا اينبار براي هر دو قطره صادق است. بعبارتي دريافت بار الکتريکي مثبت، غلبه بر نيروي وزن، حرکت به سمت بالا،برخورد به الکترود گراند،دريافت بار الکتريکي منفي،حرکت به سمت پايين، برخورد به الکترود ولتاژ بالا ، تشکيل Taylor-cone و تکرار سيکل حرکتي. براي دو قطره، در لحظات اوليه هر دو در موقعيت مشابه قرار دارند اما پس از چند بار تکرار شدن سيکل اين هماهنگي از بين ميرود بدليل اين که لزوما ميزان بار دريافتي توسط قطرات در تماس با الکترودها مساوي نيستند. در ضمن خواص الکتريکي و سيالاتي روغن ايدهال نيست و همچنين فرض حاکم بودن leaky dielectric ممکن است بطور کامل صادق نباشد و علاوه بر آن احتمال وجود بار الکتريکي آزاد در درون فضاي روغن را نيز بايد در نظر گرفت. شکل (4-11) حرکت دو قطره را نشان ميدهد.اين ناهماهنگي در حرکت باعث ميشود که در لحظهاي که يکي از دو قطره بار مثبت ميگيرد ديگري بار مخالف داشته باشد. دو بار مخالف در فضاي روغن به حرکت نوساني خود ادامه ميدهند در حالي که تمايل به نزديک شدن به يکديگر و کاهش فاصله دارند. در نتيجه دو قطره پس از طي چندين سيکل به هم ميرسند.

Initial position (T=0)
T=40.98 s
T=52.98 s

T=60.06 s
T=71.88 s
T=90.78 s
شکل 4-11: تصاوير متوالي از حرکت دو قطره با شعاع 0.875 mm و ولتاژ (Eo=1.1 kV/cm)
دو قطره علاوه بر حرکت در راستاي عرضي (نوسان بين دو الکترود)، پيوسته حرکت طولي نيز دارند. در نتيجه افزايش ولتاژ ، ميزان بار اکتسابي و نيروي جاذبه بين آن دو افزايش يافته و اين افزايش ولتاژ را صرف کاهش فاصله بين خود ميکنند تا نوسان رفت و برگشتي. شکل(4-12) مراحل رسيدن دو قطره را نشان ميدهد.

شکل 4-12: حرکت طولي و عرضي دو قطره تا آستانه برخورد3.8 kv/cm) (Eo=
از اين به بعد بجاي استفاده از مقدار ولتاژ از عدد بدون بعد کپيلاري الکتريکي استفاده ميکنيم. اين عدد بصورت بوده و نسبت نيروي محرک الکتريکي به نيروي مقاوم کشش سطحي را نشان ميدهد. قطرات در هنگام حرکت بين دو الکترود پلاريزه ميشوند و افزايش ولتاژ افزايش کشيدگي را بدنبال خواهد داشت. البته در ولتاژهاي پايين نيروي کشش سطحي جلوي اين تغيير شکل را ميگيرد. وقتي دو قطره به هم نزديک ميشوند ميدان الکتريکي در اطراف آنها از حالت يکنواخت خارج ميشود و اين ميدان غير يکنواخت الکتريکي نيروي ديالکتروفورسيس را بدنبال خواهد داشت و باعث نزديکي و انعقاد آنها ميشود (نمونه اي از آن در فصل عددي آورده شده است).هنگامي که دو قطره به هم خيلي نزديک شوند نيروي ديپل الکتريکي باعث انعقاد ميشود ولي در فاصله دورتر نيروي الکتروفورسيس غالب است. شکل (4-13) نزديک شدن دو قطره را نشان ميدهد. انعقاد دو قطره مي تواند علت هيدروديناميکي داشته باشد ولي در حضور ميدان الکتريکي ، اين عمل توسط کم شدن لايه روغن در فضاي بين دو قطره انجام ميگيرد تا فرايند انعقاد راحت تر شود. اين عمل به جهت ميدان الکتريکي نسبت به قطره، شکل الکترود و نوع ميدان الکتريکي (AC,DC) مي تواند بستگي داشته باشد. در اين حين ممکن است بار دو قطره عوض شود و در اثر نيروي الکتروفورسيس دو قطره از هم دفع شوند . دو پروسه قابل تعريف است. قبل از انعقاد و بعد از انعقاد. قبل از انعقاد ، دو قطره گشتاوري را تجربه ميکنند که تمايل دارد دو قطره را به هم متصل کند. اين گشتاور الکتريکي از نيروي ديپل الکتريکي شکل ميگيرد و بستگي به ميزان پلاريزه شدن ، نفوذپذيري و راستاي قطرات دارد. اگر فاصله بين دو قطره به اندازه کافي کم نباشد اين گشتاور قادر به اتصال نوک قطرات به هم نيست و نيروي الکتروفورتيک قطره را دوباره در راستاي ميدان قرار ميدهد. در اين حالت قطرات پس از گردش دوباره مسير قبلي خود را پي ميگيرند. اين عمل تکرار ميشود تا فاصله دو قطره به اندازهاي کم شود که گشتاور ايجاد شده لايه روغني مانع بين آنها را از بين ببرد و دو قطره انعقاد شوند. قطر قطره حاصل از انعقاد از قطرات تشکيل شده بيشتر است. همانطور که شکل (4-13) نشان ميدهد قطره حاصل، اندکي پس از شکل گيري در راستاي مورب (راستاي برخورد) قرار ميگيرد و سپس پلاريزه ميشود و ميدان الکتريکي گشتاوري مخالف را اعمال ميکند تا قطره را در راستاي ميدان قرار دهد. بعد از انعقاد، اگر فرض شود دو قطره داراي بار يکسان باشند آنگاه بار خالص درون قطره صفر است و قطره پلاريزه شده تنها با اتکاء به وزن خود به سمت پايين حرکت ميکند. قطره پس از برخورد به الکترود ولتاژ بالا شارژ ميشود و به حرکت ريتميک خود ادامه ميدهد. اگر ميدان الکتريکي زياد باشد کشش سطحي ديگر قادر به حفظ شکل قطره نيست و در نتيجه کشيدگي نه تنها در تماس با الکترود بلکه در حين حرکت بين دو الکترود نيز ديده ميشود( شکل 4-11 را با شکل 4-15 مقايسه کنيد).

T=262.60 s
T=264.40 s
T=264.50 s

T=264.80 s
T=266.30 s
T=266.40 s

T=266.41 s
T=266.45 s
T=266.46 s

T=266.48 s
T=266.49 s
T=266.50 s
شکل 4-13: نيروي جاذبه بين دو قطره ، انعقاد و تشکيل قطره واحد در CaE=0.18))

شکل 4-14: شماتيک گشتاور ايجاد شده در موقعيت هاي مختلف

T=291.90 s
T=292.0 s
T=292.10 s

T=292.30 s
T=292.60 s
T=292.70 s
شکل 4-15: حرکت ريتميک قطره حاصل از انعقاد در (CaE=0.205)

همانطور که مي دانيم گشتاور ديپل الکتريکي از رابطه زير بدست مي آيد[31]:
4-17

ميزان پلاريزاسيون بازاء واحد حجم است. براي قطره آب ميزان نفوذپذيري الکتريکي بيشتر از روغن است لذا بدست مي آيد. ميزان انرژي جاذبه بين دو قطره که به فاصله do از هم قرار دارند عبارتست از:
4-18

بنابراين:
4-19

با ديفرانسيل گيري از معادله انرژي نسبت به do و مي توان نيروي جذب و گشتاور را بدست آورد.
4-20

نيروي بازگشتي نيز از طريق گشتاور حاصل مي شود:
4-21

بنابراين با برقراري شرط زير خواهيم داشت:
4-22

همانطور که مي بينيم انعقاد دو قطره دز شکل) (T=266.40 s در اين محدوده صورت گرفته است.

4-4 گسيختگي،جاذبه و دافعه قطرات:
شناخت پديده گسيختگي قطره از اين رو مهم ميباشد که با توجه به نوع جدايش قطره، سايز و نحوه پخش قطرات متفاوت خواهد بود. از اين فرايند ميتوان در اتميزاسيون و ترکيب اجزاء مختلف بهره برد. در حضور ميدان الکتريکي، شکل متوازن قطره هنگامي حاصل ميشود که بالانسي بين تنشهاي ناشي از ميدان الکتريکي و اختلاف فشار بين داخل و خارج قطره وجود داشته باشد. اگر مقدار اين تنشها در مقايسه با فشار کپيلاري مقاوم بيشتر باشد آنگاه قطره دچار گسيختگي ميگردد. دو نوع جدايش تا کنون معرفي شده است. نوع اول pinch-off ، که در نقاط انتهايي دو قطره کروي از قطره اصلي جدا مي شوند و tip-streaming که دو سر قطره نوک تيز ميشود و قطرات بسيار ريز از آن خارج ميشوند که اين نوع جدايش در مواقعي که يکي از دو فاز غير نيوتني باشد گزارش شده است. شکل(4-16) قطره را در حال حرکت به سمت گراند در ولتاژ 4.1 kV/cm نشان مي دهد. در لحظهاي که قطره در تماس با الکترود ولتاژ بالا است ، ناحيهاي شروع به جدا شدن از نوک قطره ميکند. در اين حين قطره به سمت الکترود گراند حرکت ميکند. در نتيجه اين عمل قطره به دو بخش (نه الزاما يکسان) تقسيم ميشود بطوريکه قسمت بالايي (که سهم بيشتري دارد)به سمت گراند و قسمت پايني به سمت ولتاژ بالا حرکت ميکند. با توجه به اين که ميدان الکتريکي بسيار بالاست هر کدام از اين قطرات جدا شده آنقدر کشيده شده که باعث ايجاد خط واصل بين دو الکترود ميگردد. اين خط واصل به منزله يک سيم هادي جريان با مقاومت ناچيز عمل ميکند که باعث شارش جريان الکتريکي و در نتيجه از هم گسيختگي خواهد شد. اين پديده به علت ناپايداري کپيلاري رخ ميدهد. اين قطرات کوچک ناشي از گسيختگي خط گلويي به قطرات بزرگتر برخورد ميکنند که در اين جا دو حالت قابل بررسي است . انعقاد101 و دفع102 که در ادامه توضيح داده ميشود.

T=327.10 s
T=327.13 s
T=327.16 s
T=327.19 s

T=327.20 s
T=327.25 s
T=327.28 s
T=327.45 s
(CaE=0.216) شکل 4-16 الف: کشيدگي قطره اصلي، دو تکه شدن قطره، تشکيل گلويي و توليد قطرات ريز در

شکل 4-16ب: شماتيک فرايند جدايش و گلويي شدن
قطرات ريز با قطرات درشت انعقاد ميشوند و دو قطره را شکل ميدهند. شکل (4-17) برهمکنش اين دو قطره را نشان ميدهد. براي مدتها اين تصور غالب بود که دو قطره باردار با بار متمايز و مخالف الزاما با هم انعقاد ميشوند. اما اين قانون هميشه صادق نيست و در ميدانهاي الکتريکي بالا دو قطره همديگر را دفع ميکنند. قطره پايين که حاصل انعقاد قطرات ريز مرحله قبلي است با بار الکتريکي اکتسابي از تماس با الکترود ولتاژ بالا، در نزديکي قطره بالايي که در تماس با گراند است قرار ميگيرد.قبل از تماس يک لبه تيز در دو قطره شکل ميگيرد. اين کشيدگي بدليل تنشهاي الکتريکي است که در نهايت تماس دو لبه را بدنبال دارد. بعد يک تماس کوتاه، دوقطره در لبه منقبض ميشوند و اين حالت کشيدگي از بين ميرود . بطوريکه قطره بالايي به سمت گراند و قطره پاييني بسمت ولتاژ بالا حرکت ميکند. اين تغيير جهت حرکت دو قطره در ميدان الکتريکي تنها دليلي که مي تواند داشته باشد اين است که قطره بالايي که بار منفي داشت و در شرف حرکت به سمت الکترود ولتاژ بالا بود بعد تماس بار الکتريکي مثبت ميگيرد و تحت نيروي کلمب به سمت الکترود مخالف (گراند) حرکت ميکند درحالي که قطره پاييني که بار مثبت داشت و در حين حرکت به سمت الکترود گراند بود بعد تماس بار الکتريکي منفي ميگيرد و تحت نيروي کلمب به سمت الکترود مخالف (ولتاژ بالا) سوق داده ميشود. البته بسته به موقعيت قطرات در هنگام تماس حالات ديگري نيز پيش ميآيد که در ادامه توضيح داده ميشود. در اين شکل چون دو قطره در نزديکي گراند تماس برقرار ميکنند لذا اختلاف زماني حرکتشان کم است يعني قطره بالايي پس از تماس سريعا به الکترود گراند برخورد کرده و به سمت پايين حرکت ميکند و قطره پاييني که در نتيجه تغيير بار الکتريکي به الکترود ولتاژ بالا برخورد کرده در اين حين قطره بالايي را در بالاي خود ميبيند و دوباره تماس حاصل ميشود و فرايندي که در نزديکي گراند ديده شد اينبار در نزديکي الکترود ولتاژ بالا ديده ميشود. اينبار قطره پاييني که بار مثبت داشت و در شرف حرکت به سمت گراند بود در تماس با قطره بالايي که بار منفي دارد بارش را عوض ميکند و دوباره به الکترود ولتاژ بالا برخورد ميکند و با بار مثبت به سمت بالا حرکت ميکند. در حالي که قطره بالايي نيز با تعويض بار و دريافت بار مثبت به سمت گراند حرکت مي کند. احتمال برخورد قبل از رسيدن به گراند حالت ديگري را منجر ميشود که در ادامه خواهيم ديد. اين حالت دافعه بين قطرات نه تنها در نزديکي الکترودها بلکه در هر جايي بين دو الکترود محتمل است. سوال اصلي که در اين جا قابل طرح است علت اين دافعه ميباشد. همانطور که ديده شد مهمترين دليل تغيير بارالکتريکي در حين تماس است.

T=351.27 s
T=351.28 s
T=351.30 s

T=356.6 s
T=356.63 s
T=356.66 s

T=360.76 s
T=360.77 s
T=360.90 s
شکل 4-17: فرايند دافعه بين دو قطره با بار مخالف در سه حالت مختلف (CaE=0.226).
فرايند دافعه بطور مداوم تکرار ميشود تا جايي که ولتاژ اعمالي به (4.5 kV/cm) ميرسد . بنا بر انتظار ميزان کشيدگي افزوده ميشود و قطره بالايي که در تماس با گراند است طوري کشيده ميشود که اعم سهم آن (که به شکل دمبلي است) از آن جدا شده و بسمت پايين حرکت ميکند و با قطره کوچکي که قبلا در تماس با الکترود ولتاژ بالا بوده( بار مثبت گرفته و بسمت بالا در حرکت است) برخورد مي کند. حاصل اين برخورد انعقاد ، تشکيل قطره بزرگتر، کشيدگي، توليدخط واصل گلويي شکل و در نهايت اتصال کوتاه و از هم پاشيدگي اين خط ميباشد. آنطور که اشکال نشان ميدهند قسمت پاييني قطره اصلي پس از جدايش به سمت پايين و بخش بالايي به سمت بالا حرکت ميکند. اين حالت در شکل(4-16) نيز ديده شده است. مي توان اين گونه استدلال کرد که در اثر ميدان الکتريکي بالا، قطره بشدت پلاريزه ميشود و بارها سعي دارند تا بسمت الکترود مخالف کشيده شوند و در ناحيه دمبلي شکل اجتماع يابند. بنابراين اين قسمت خواهان جدايي است در حالي که بيشترين بار در آنجا قرار دارد و پس از آن بسمت بار مخالف حرکت ميکند.

T=507.7 s
T=507.73 s
T=507.75 s
T=507.76 s

T=507.78 s
T=507.8 s
T=507.83 s
T=507.96 s
(CaE=0.26). شکل 4-18: ايجاد حالت گلويي

اين حالت دفع ، نوسان و کشيدگي تکرار ميشود و با افزايش ولتاژ براي قطره بزرگتر حالت pinch-off رخ ميدهد . بنابراين چهار قطره با سايزهاي مختلف باهم اندرکنش دارند. همانطور که شکل (4-19) نشان مي دهد فرايند دافعه بين اين چهار قطره برقرار مي شود.

T=546.0 s
T=546.1 s
T=546.2 s

T=548.1 s
T=548.2 s
T=548.3 s
شکل 4-19: دفع شدن قطرات در تماس با بار مخالف
برخورد دو قطره ميتواند انعقاد را نيز بهمراه داشته باشد. تمايز حالت انعقاد و دفع بر پايه انتقال بار الکتريکي (يونها) در حين تماس است. حرکت بارهاي الکتريکي هنگامي که فاز آب شامل يونهاي مجزا باشد توسط سه مکانيزم توجيه پذير است. هدايت يوني ، شکست الکتريکي و اسپري الکتريکي قطرات ريز. در اين آزمايش تشکيل پل ارتباطي کم دوام و هدايت يونها مهمترين دليل مي باشد. قانون يانگ-لاپلاس103 اختلاف فشار کپيلاري را بصورت بيان ميکند. بنابراين علامت اختلاف فشار و جهت جريان به زاويه بستگي دارد.براي قطرات با نوک تيز و شيب دار فشار پل بيشتر از فشار درون قطره است لذا جريان از بخش گلويي به سمت قطره حرکت ميکند و اين امر حالت جدايش pinch-off را بدنبال خواهد داشت. بنابراين افزايش ولتاژ باعث ميشود تغيير شکل قطره بيشتر شده و نوک قطرات در تماس تيزتر شوند و پديده جدايش در ميدانهاي الکتريکي بالا محتملتر است. بطور مشابه قطرات با بار الکتريکي بيشتر نيز همين حالت را بدنبال خواهند داشت. در عوض اگر ميدان الکتريکي زياد باشد احتمال شکست الکتريکي روغن و خنثي شدن قطرات قبل از تماس وجود دارد. اين امر باعث ميشود که نقاط تيز قطره بدليل کشش سطحي برگردند به حالت اوليه. دليل ديگر دفع دو قطره پديده حرارتي ژول104 مي باشد. هنگامي که دو قطره تماس حاصل ميکنند حرکت يونها در ناحيه گلويي توليد حرارت (تبخير) ميکند که به هدايت الکتريکي قطرات بستگي دارد.بنابراين در تعيين ولتاژ بحراني دفع، تاثير هدايت الکتريکي را بايد در نظر داشت. احتمال سوم براي حالت دفع اثر موجهاي کپيلاري است که در ناحيه گلويي در اثر تماس بسط مييابند. اگر انحناء منفي در طول ناحيه گلويي بيشتر از انحناء مثبت باشد فشار داخل قطره بيشتر از فشار در درون پل ارتباطي مي شود و باعث جاري شدن و حرکت سيال از دو قطره به سمت گلويي مي شود و در نهايت انعقاد صورت ميگيرد.برعکس اگر انحناء منفي در طول ناحيه گلويي کمتر از انحناء مثبت باشد فشار داخل قطره کمتر از فشار در درون پل ارتباطي ميشود و باعث جاري شدن و حرکت سيال از گلويي به سمت دو قطره ميشود و در نهايت جدايش(دفع) صورت ميگيرد.ناپايداري پل ارتباطي باعث ايجاد انحناء مثبت ميگردد و در نتيجه احتمال جدايش را تقويت ميکند. افزايش مجدد ميدان الکتريکي پديدههاي بالا نظير افزايش کشيدگي، دفع قطرات در تماس و يا انعقاد را در حين تماس و حرکت رفت و برگشتي را بدنبال دارد. جدايش قطرات و تشکيل حالت دمبلي تنها در تماس با الکترودها رخ نميدهد بلکه در فاصله بين دو الکترود نيز رخ ميدهد. در شکل (4-20) در زمان (T=629.513 s) ، قطره آنقدر کشيده ميشود که به دو الکترود بالا و پايين برخورد ميکند و پل بين دو الکترود ايجاد ميکند که نتيجه آن توليد قطرات ريز است. سايز اين قطرات به شدت ميدان الکتريکي وابسته است. البته انقدر اين قطرات ميتوانند زياد و ريز باشند که ديگر قابليت تفکيک نخواهيم داشت. اين سيکل و فرايندها دائما تکرار ميشوند. اين قطرات ريز به شکل زنجير به هم متصل ميشوند.

T=625.1 s
T=629.513 s
T=629.516 s

T=629.52 s
T=629.55 s
T=629.56 s

T=638.9 s
T=639.0 s
T=639.08 s
شکل 4-20: ايجاد حالت گلويي در بين دو الکترود(CaE=0.321).
لازم بذکر است که پديده انعقاد لزوما در نوک قطره صورت نميگيرد بلکه از پهلو نيز ميتواند برقرار گردد (طبيعت سه بعدي و پخش رندمي قطرات). در شکل( 4-21) در فريم اول دو قطره پس از تماس تعويض بار ميکنند و جهتشان نيز تغيير ميکند. قطره پاييني به سمت پايين و قطره بالايي به سمت بالا حرکت ميکند (پس از تماس). قطره بالايي به الکترود گراند برخورد کرده و براي بار دوم بارش را از مثبت به منفي تغيير ميدهد و با بار منفي به سمت الکترود ولتاژ بالا حرکت ميکند. اين در حالي است که قطره پاييني هنوز به الکترود ولتاژ بالا نرسيده و هنوز بار منفي را حمل ميکند. لذا دو قطره در فريم دو، با دوبار همنام به هم برخورد ميکنند. علي العموم دو قطره همنام همديگر را دفع ميکنند ولي در ميدان الکتريکي بالا اين دو قطره همديگر را جذب کردند . علاوه بر اين، فريم دو، انعقاد جانبي دو قطره را نشان ميدهد.

T=773.70 s (1)
T=773.80 s (2)

T=773.94 s
T=774.01 s
شکل 4-21: جذب دو قطره با بار همنام (CaE=0.334) .
پديده انعقاد بين دو بار مخالف نيز رخ ميدهد . مثلا در شکل (4-22) هر دو قطره بار منفي داشتند در فريم اول ولي قطره پاييني زودتر به الکترود ولتاژ بالا ميرسد و بار مثبت ميگيرد و با قطره بالايي با بار منفي انعقاد ميشود. شکل (4-23) همين نوع انعقاد را نشان ميدهد . لذا جهت برخورد قطره نسبت به ميدان الکتريکي نقش بسيار مهمي دارد.

T=786.02 s (1)
T=786.05 s (2)

T=786.08 s
T=786.12 s
شکل 4-22: جذب دو قطره با بار غير همنام (CaE=0.360) .

T=796.53 s
T=796.57 s
T=796.65 s
T=796.68 s
شکل 4-23: جذب دو قطره با بار غير همنام . (CaE=0.374)
پديده جدايش pinch-off، در تماس با الکترودهاي گراند و ولتاژ پايين دوباره رخ ميدهد. شکل (4-24) در سطر اول جدايش را در تماس با گراند و سطر دوم در تماس با الکترود ولتاژ بالا نشان ميدهد.

T=798.12 s
T=798.13 s
T=798.15 s

T=798.33 s
T=798.36 s
T=798.38 s
شکل 4-24: وقوع pinch-off در تماس با الکترودها (CaE=0.388).

تا اين قسمت در ولتاژ بالا، هنگامي که دو قطره به هم برخورد ميکنند دو احتمال انعقاد و دفع وجود دارد. در شکل (4-25) قطره بالايي بار منفي دارد و قطره پاييني بار مثبت (که هر دو از تماس قبلي حاصل شده اند). دو حالت قابل تصور است، انعقاد و يا دفع. فريم دوم نشان ميدهد که قطره پاييني به سمت پايين حرکت ميکند و پس از تماس جهتش عوض شده و اين حالت تنها يک دليل مي تواند داشته باشد آنهم انتقال و تعويض بار الکتريکي در اثر تماس. لذا قطره بالايي هم بايد در اثر تعويض بار ، بار مثبت بگيرد و به سمت گراند حرکت کند. اما اين حرکت صورت نميگيرد و قطره نه تنها به سمت بالا حرکت نميکند بلکه بصورت آهسته بسمت پايين حرکت ميکند. قطره پاييني به الکترود ولتاژ بالا برخورد ميکند و بار مثبت ميگيرد و به سمت بالا حرکت مي کند( فريم چهارم). در نتيجه دو قطره باهم انعقاد ميشوند. اين احتمال وجود دارد که انتقال بار به شکل مساوي صورت نگرفته يعني قطره بالايي ميزان بار دريافتياش به اندازهاي نبوده که بر وزن آن غلبه کند( گرچه هنوز بار مثبت دارد) . لذا انعقاد بين دو بار همنام صورت ميگيرد.در اينجا انتظار ميرود قطره حاصل از انعقاد بار خالص مثبت داشته باشد و به سمت گراند با شتاب بيشتري حرکت کند که اينگونه نيست. احتمال ديگر اين است که قطره تمام بار منفي خود را به اشتراک نگذاشته و مقداري بار منفي را به قطره کوچک داده و مقداري بار مثبت از آن گرفته است ولي بار خالص قطره منفي است که انعقاد دوبار غير همنام را بدنبال دارد.
T=822.90 s (3)

T=822.82 s (2)

T=822.76 s (1)

T=823.32 s (6)

T=823.22 s (5)

T=823.12 s (4 )

شکل 4-25 : پديده انعقاد در ولتاژ بالا (نوع سوم) (CaE=0.388).

4-5 اتصال کوتاه:
آزمايش بالا اينبار براي قطرات بزرگ تکرار شده است و تمامي فرايندهاي بالا دوباره ديده شده است. البته فاصله الکترودها بيشتر از حالت قبل است و قطر قطره هم بيشتر است. قطرات به شکل رندم در فضاي بين دو الکترود پخش ميشوند. افزايش تدريجي ولتاژ باعث ميشود که قطرات حول يک خط جمع شوند. بعد اين که شکل زنجيري بخود گرفتند تمامي قطرات از دو طرف خود به قطرات مجاور برخورد ميکنند و حالت عمل و عکس العملي ايجاد ميگردد. افزايش ولتاژ باعث کشيدگي اين قطرات ، اتصال کوتاه و توليد جرقه ميکند.

شکل 4-26 : تجمع قطرات حول يک خط

شکل 4-27 الف : اتصال کوتاه و توليد جرقه

در اين بخش مقايسهاي بين نتايج اين کار و پژوهشهاي ديگر صورت گرفته است.

شکل4-27: پديده انعقاد دو قطره- سطر اول (برگرفته از Ref [34])
و سطر دوم کار حاضر

شکل4-28: مخروطي شدن نوک قطره در هنگام ترک الکترود ولتاژبالا، چپ: Ref[31]، راست: کار حاضر

شکل 4-29 : ايجاد خط زنجيري براي گروهي قطرات در ولتاژ بالا،راست Ref[37]، راست: کار حاضر

شکل 4-30 : کشيدگي و فشردگي روي سطح الکترود. سطر پايين: Ref[78]،سطر بالا:کار حاضر

شکل 4-31 : کشيدگي و فشردگي روي سطح الکترود. ستون راست: Ref[79]،ستون چپ:کار حاضر

شکل 4-32 : از هم گسيختگي (breakup) قطره . سطر بالا: Ref[33] و سطر پايين : کار حاضر
فصل پنجم : نتايج عددي

در اين فصل سعي شده تا رفتار قطره در سيال دي الکتريک در دو حالت غوطه ور و سقوط مورد بررسي قرار گيرد. از روش شبکه بولتزمن به اين منظور استفاده شده است. همانطور که از مقدمه بحث جريان EHD دريافتيم و در فصل ششم(بررسي تحليلي)خواهيم ديد ، اصولي ترين قدم در آناليز اين پديده محاسبه توزيع پتانسيل الکتريکي و ولتاژ حول قطره است. يکي از بزرگترين مشکلات در اين قسمت در نظر گرفتن قطره تغيير شکل يافته ميباشد بطوريکه ديگر فرض کروي بودن قطره صادق نيست و مختصات مماسي-شعاعي لزوما منطبق بر شيکه قطره نيستند. روش عددي بدون شبکه RBF ، بدون نياز به توليد شبکه قادر است معادله پواسون را حل نموده و تقريب درستي از ولتاژ را بدست آورد. لذا با در نظر گرفتن شکل قطره و با اين روش سعي شده کاربرد روش بدون شبکه در آناليز قطره مورد ارزيابي قرار گيرد.در ابتدا به اختصار روش LBM ، را توضيح داده و سپس نتايج را مورد مطالعه قرار خواهيم داد.
در دهه اخير روش شبكه بولتزمن بسيار مورد توجه مهندسين براي شبيه‌سازي جريان سيال قرار گرفته است. يكي از اصلي‌ترين دلايل اين امر مشکلات بکارگيري روش‌هاي سنتي شبيه‌سازي جريانات سيال در مواردي مانند جريان بامرزهاي پيچيده (اجسام متخلخل)، جريانات چند‌فازي، غير‌نيوتني و … مي‌باشد.”هي” و همکاران [58]، به بررسي ناپايداري تيلور در حالت دو بعدي پرداختند.ايشان با استفاده از روش سينماتيک وقائل شدن ايندکس براي سيال و همچنين با کمک اندرکنش مولکولي موفق به مشخص کردن اينترفيس بين دو سيال شدند. هنگامي که نيروي جاذبه مولکولي به قدر کافي زياد باشد تابع ايندکس به شکل اتوماتيک مقدار خود را اصلاح ميکند. همچنين نيروي کشش سطحي، نيز بر اساس همين تابع و دانسيته بدست ميآيد. ميزان کشش سطحي بر اساس ميزان جاذبه مولکولي تغيير ميکند. در اين تحقيق از روش “هي” با در نظر گرفتن تئوري leaky dielectric بهره برده شده است. “فخاري” و همکاران [59]، با استفاده از همين روش سقوط قطره را مورد ارزيابي قرار داده اند. “جانفنگ” و همکاران [60]، به نظر ميرسد که اولين کساني بودند که مبادرت به شبيه سازي الکتروهيدروديناميک با استفاده از روش بولتزمن چند جزئي نمودند. “ويفنگ” و همکاران [61]، با استفاده از رابطه نفوذپذيري-دانسيته رفتار قطره را بررسي نمودند. “مدودف”[62]، به بررسي شکست الکتريک و تغيير شکل در حالت نزديک به تجزيه پرداخت و در زمينه کارهاي عددي مي توان به کار “لين” [63]، اشاره نمود که با روش ميدان فازي ، تغيير شکل قطره را بدست آورده و با نتايج تيلور مقايسه نمود.

5-1 روشهاي مبنا ذره‌اي:
در سال‌هاي اوليه كه علم مكانيك سيالات براي حل و شبيه‌سازي جريانات سيال به كار گرفته شد، يك فرض بسيار مهم در بين روش‌ها و معادلات مختلف همواره ثابت بود: فرض پيوسته بودن سيال. در واقع در اين فرض سيال يك محيط كاملاً پيوسته در نظر گرفته مي‌شود كه در آن ديگر به اتم‌ها و مولكول‌هاي سازنده سيال توجهي نمي‌شود. سپس با اين فرض كميت‌هاي ماكروسكوپيك مانند فشار، دما، سرعت، چگالي براي درك و تعريف خصوصيات سيال تعريف شدند و معادلاتي كه روند تغييرات اين مقادير ماكروسكوپيك را مشخص مي‌كردند پس از ساده‌سازي‌هاي مختلف بدست آمدند. معادلاتي مانند ناوير استوکس، اويلر، برنولي و پواسون. روش‌هاي فوق درحقيقت جوابگوي بسياري از جريان‌هاي سيال بودند و توانستند گام‌هاي بلندي براي پيشرفت علم مكانيك سيالات بردارند.
اما ناكارآمدي روش‌هاي سنتي فوق در بعضي از سيستم‌هاي سيالاتي بتدريج نمايان شد. جريان با مرزهاي متحرك، مقياس‌هاي ميكرو نانو، جريان‌هاي چند فازي، ‌سيالات غير‌نيوتني، سيالات چند جزئي، جريان تراكم‌پذير و… از جمله مواردي بودند كه اعمال روش‌هاي سنتي مكانيك سيالات در آنها با مشكلات بسياري از جمله عدم دقت و يا پيچيدگي اعمال مواجه بودند. اين مشكلات دانشمندان را بر آن داشت تا معادلات و روش‌هاي جديدي بدست بياورند تا در تمام مسائل پاسخگو باشد. براي نيل به اين هدف محققين چاره‌اي نداشتند تا مهمترين فرض خود يعني پيوسته بودن سيال را ناديده بگيرند. در واقع با اين تصميم نوعي بازگشت به ماهيت اصلي سيال يعني ماده‌اي تشكيل شده از ذرات بسيار ريز انجام شد. باحذف فرض پيوسته بودن سيال شايد اينطور به نظر برسد ديگر كميت‌هاي ماكروسكوپيك مانند سرعت و فشار هم ديگر نبايد به عنوان مشخصات جريان سيال معرفي شوند. در واقع همين‌طور است. زيرا كميت‌هاي ماكروسكوپيك در واقع يك تعريف و يك مدل براي ساده‌سازي رفتار پيچيده ذرات سيال مي‌باشند. براي مثال اين كه گفته مي‌شود سرعت سيال در نقطه برابر مي‌باشد در واقع يعني در يك المان بسيار كوچك به اندازه dx,dy در نقطه ميانگين برداري سرعت ذرات در آن نقطه به سمت راست مي‌باشد و ذره‌اي مي‌تواند در آن نقطه كاملاً در جهت عكس هم حركت داشته باشد (شكل5-1). همين‌طور اين تعريف مشابه را مي‌توان براي فشار، چگالي، ويسكوزيته و … نيز بکار برد.

شكل 5-1 ماهيت ميكروسكوپيك سيال
بنابراين اين طور به نظر مي‌رسيد كه با مطالعه رفتار حركت ذرات سيال و مشخص شدن مكان و سرعت ذرات و سپس با متوسط‌گيري بتوان كميت‌هاي ماكروسكوپيك را تعيين كرد. اما نكته بسيار مهم تعداد ذرات تشكيل‌دهنده سيال مي‌باشد. براي مثال تراكم ذرات گاز در شرايط معمولي از مرتبه مي‌باشد. در ضمن براي چنين محيطي شرايط اوليه حركت ذرات تقريباً همواره نامعلوم است. بنابراين تحليل دقيق ميكروسكوپيك چنين سيستمي با اين تعداد ذرات تشكيل دهنده تقريباً غير‌ممكن مي‌نمايد. براي كاهش هزينه محاسباتي و عملي ساختن ايده فوق مكانيك آماري و تئوري‌هاي جنبشي به كار گرفته شدند. در مكانيك آماري با در نظر گرفتن كليه حالات ممكن براي يك سيستم ذره‌اي و پيدا كردن احتمال وقوع هر يك از حالات، مشكل ياد شده در تحليل ميكروسكوپيك محيط سيال برطرف مي‌گردد. در نهايت با تعريف يك تابع ميانگين وزني براي هر كميت فيزيكي تحت هر يك از حالات فوق كميت‌هاي ماكروسكوپيك مربوط به سيستم محاسبه مي‌گردند. مي‌دانيم كه در عمل سيالات از تعداد بسيار زيادي ذرات مستقل (اتم‌ها يا مولكول‌ها) تشكيل شده‌اند بنابراين رديابي حركت و برخورد همه اين ذرات منفرد را مي‌توان يك راه بديهي براي شبيه‌سازي جريان‌هاي سيال دانست. اين توضيح مقدمه‌اي براي تعريف مفهومي به نام ديناميك ملكولي مي‌باشد.
ديناميك ملكولي معمولاً در تحليل مسائل مربوط به علم مواد و تحقيقات زيست‌شناسي و به منظور بررسي ديناميك، ترموديناميك، و ساختار مولكولهاي زيستي مانند DNA و… مورد استفاده قرار مي‌گيرد. ديناميك ملكولي داراي روندي كاملاً مشخص و تكراري است كه طي آن در هر گام زماني موقعيت و سرعت جديد همة مولكولها با توجه به مقادير سرعت و موقعيت قبلي ذرات و بر اساس قانون دوم نيوتن محاسبه مي‌گردد. كاملاً مشخص است كه با توجه به زياد بودن ذرات و متنوع ‌بودن حالت ميان آنها شبيه سازي ميدان سيال به اين روش به شدت زمان‌بر و داراي هزينة محاسباتي بالا مي‌باشد. لذا از اين روش فقط در مواردي كه تعداد ذرات تشكيل‌دهنده محيط محدود هستند (محيط‌هاي شبه خلا يا مسئله‌اي با ابعاد ريز از مرتبة نانو و ميكرو) مي‌توان استفاده نمود. در بقيه موارد براي كاهش هزينة محاسباتي روش ديناميك مولكولي، دو راه‌حل كاربردي پيشنهاد شده و مورد استفاده قرار گرفته‌اند. اول اينكه به جاي در نظر گرفتن سيال به صورت مجموعه‌اي از مولكول‌هاي مجزا و منفرد (ديدگاه ميكروسكوپيك)، مي‌توان آن‌را به صورت محيطي متشكل از تعداد زيادي بسته‌هاي كوچك مولكولي در نظر گرفت.
هر كدام ازاين بسته‌ها هنوز حاوي تعداد بسيار زيادي مولكول مجزا هستند ولي عملاً در شبيه‌سازي به صورت يك ذره منفرد در نظر گرفته ‌مي‌شوند. ابعاد اين بسته‌ها از اندازة يك مولكول بسيار بزرگتر بوده ولي هنوز در مقايسه ابعاد جريان بسيار كوچك مي‌باشند. چنين رويكردي را براي تحليل جريان ، مقياس مزوسكوپيك مي‌نامند كه عملاً ديدگاهي ذرهاي ميان مقياس ميكروسكوپيك و ماكروسكوپيك مي‌باشد. دومين راه‌حل براي قابل استفاده كردن ديناميك ملكولي در شبيه سازي مسائل عمومي مكانيك سيالات با ابعاد ماكرو، محدود كردن درجات آزادي حركت ذرات تشكيل دهنده محيط ميباشد. براي اين منظور فرض بر آن است كه ذرات مذكور فقط در موقعيت‌هاي خاصي از ميدان (نقاط شبكه) قرار دارند.(گسسته‌سازي در فازمكاني )، و مجاز به حركت در جهات مشخصي (خطوط‌شبكه) مي باشند(گسسته‌سازي درفاز سرعت). بر مبناي اين مفهوم دو روش شبكه بولتزمن و شبكه گاز شكل گرفتند و توانستند به خوبي و با موفقيت جريان‌هاي مختلف سيال را شبيه سازي نمايد.
5-1-1 روش شبكه گاز:
روش شبكه گاز توسط فريش105، هاسلچر106،‌پومئو107 بر مبناي يك شبكه مثلثي پيشنهاد شد [64]. ذرات داراي مومنتومي بودند كه به آنها اجازه مي‌داد از يك نقطه شبكه به نقطه ديگر شبكه در يك زمان گسسته شده حركت كنند. هر نقطه شبكه مي‌تواند تنها با يك ذره كه داراي سرعتي به سمت نقطه مجاور مي‌باشد اشغال شده باشد.

شكل 5-2: مدل FHP

بنابراين با توجه به شكل 5-2 در يك زمان در يك نقطه شبكه حداكثر مي‌توانست 6 ذره قرار داشته باشد. اين مدل معرفي شده مدل شش سرعتي يا FHP ناميده مي‌شد.تغييرات روش شبكه گاز (LGA) شامل 2 مرحله مي‌باشد.
* برخورد
* جابه‌جايي
براي مثال دو ذره که با يك مومنتوم قرينه به هم برخورد مي‌كنند، بعد از برخورد مومنتوم آنها 60 درجه ساعتگرد يا پادساعتگرد با مقادير يكسان اوليه تغييرخواهدکرد. نکته مهم در برخورد اين ميباشد كه در حين عمل برخورد تعداد ذرات، مومنتوم و انرژي به طور دقيق پايسته مي‌مانند . تغييرات روش شبكه گاز بسيار ساده بوده و طبق معادله زير مي‌تواند نوشته شود:
5-1

كه نشان دهنده حضور يا عدم حضور ذره‌اي در نقطه x و با سرعت مي‌باشد. و متغير بولي تعريف مي‌شود. زيرنويس نشان دهنده سرعت گسسته شده است و b تعداد سرعت‌هاي گسسته شده مي‌باشد.
5-2

متغيرهاي محلي هيدرو‌ديناميكي مثل چگالي و مومنتوم به طبق معادله زير ارتباط پيدا مي‌كنند.
5-3

5-1-2 روش شبكه بولتزمن:
روش شبكه گاز داراي مزاياي متعددي است كه مهمترين آنها سادگي قوانين برخورد و استفاده از عملگرهاي بولي براي انجام محاسبات مي‌باشد. ولي اين روش معايبي نيز دارد: از جمله اينكه در اين روش كميت‌هاي ماكروسكوپيك سيال را بايد با متوسط‌گيري روي تعداد زيادي از تركيب‌هاي مختلف شرايط اوليه اتفاقي مربوط به حالت ذره و در يك زمان طولاني محاسبه نمود. عيب ديگر اين روش آن است كه نتايج آن همواره داراي نوسانات ناخواسته مي‌باشد. روش شبكه بولتزمن در حقيقت روش شبكه گاز اصلاح شده مي‌باشد. براي رفع معايب روش شبكه گاز، محققين متغيربولي را با متغير صحيح جايگزين كردند. تابع برخورد عوض مي‌شود و از معادله بولتزمن استفاده مي‌شود[65]. مقدار نشان دهنده احتمال پيدا كردن يك مولكول در يك حجم بسيار كوچك حول نقطه و با سرعت مولكولي ميباشد. (يا حول نقطه در فضاي فاز) اما فضاي فاز چيست؟ فضاي فاز يك فضاي جديد مي‌باشد كه علاوه بر 3 متغير مكاني، 3 متغير سرعت هم به آن اضافه مي‌شود. براي مشخص شدن يك نقطه از آن بايد 6 مقدار (x,y,z,u,v,w) مشخص باشد. تغييرات تابع توزيع از معادله بولتزمن پيروي مي‌كند. معادله‌اي كه از دو بخش انتقال و برخورد تشكيل شده است.
5-4

تابع برخورد از قوانين برخورد بين دو مولكول بدست مي‌آيد كه معمولاً فرض مي‌شد مولكول‌ها كروي صلب و برخورد بين آنها كاملاً الاستيك باشند. حتي با فرض‌هاي فوق اين كار در نهايت منجر به يك رابطه بسيار پيچيده و عملاً غير‌كاربردي براي حل معادله بولتزمن مي‌گردد. بسياري از ترم‌هاي موجود در رابطه برخورد شايد تأثير چنداني برمقدار كميت‌هاي ماكروسكوپيك ندارند. به جاي استفاده از يك اپراتور برخورد کامل كه همه جزئيات مربوط به برخورد ذرات را در خود گنجانده است مي‌توان با تقريب خوبي از اپراتوري با ساختار ساده استفاده نمود كه فقط خواص كيفي و متوسط اپراتور واقعي را در بردارد. البته اين اپراتور جديد بايد تمام قوانين پايستگي (جرم،مومنتوم، انرژي) را ارضا كند. در سال 1954 بهانتار108، گروس109، كروك110 اپراتور برخورد بسيار ساده‌اي با يك زمان آرامش به شكل زير پيشنهاد كردند[66]:
5-5

كه زمان آرامش برخورد مي‌باشد. در واقع در اين فرض سيال بعد از برخورد، بسيار نزديك به حالت تعادلي خود مي‌باشد كه اين اختلاف با يك ضريبي به نام زمان آرامش متناسب است.عكسفركانس برخورد مي‌باشد: بيانگر تابع توزيع تعادلي مي‌باشد و از رابطه ماكسول- بولتزمن بدست مي‌آيد.
5-6

5-1-3 تابع تعادلي گسسته شده:
در اين بخش تابع توزيع ماكسول- بولتزمن براي اعداد ماخ كوچك بسط داده مي‌شود تا رابطه ساده‌تري بدست آيد. با تقريب مرتبه دوم رابطه بدست آمده به صورت زير مي‌باشد.
5-7

سرعت صوت برابر در شبكه مي‌باشد. كه البته براي ساده‌سازي در شبكه مي‌توان را برابر در نظر گرفت.
5-1-4 گسسته کردن فضاي فاز:
حل عددي بر مبناي معادله بولتزمن به روش شبکه بولتزمن معروف است که ابتدا در سال 1986 توسط “فريش” و همكارانش پيشنهاد شد. همانطور كه گفتيم ما به دنبال حل تابع توزيع مي‌باشيم. f بيانگر احتمال پيدا كردن ذرهاي در موقعيت در فضاي فاز درلحظه t مي‌باشد. بنابراين ابتدائي‌ترين کار ما گسسته كردن فضاي فاز مي‌باشد. در هر نقطه ما q مقدار بردار سرعت گسسته شده داريم كه در حقيقت اين بردارهاي سرعت گسسته شده نقطه در لحظه t را به نقطه لحظه متصل مي‌كنند. فضاي فاز ايجادشده به اين صورت را مي‌ناميم. كه d بعد هندسي مسأله q تعداد بردارهاي سرعت گسسته شده مي‌باشد. بنابراين در هر نقطه q مقدار تابع توزيع f داريم كه بايد مقادير اين توابع توزيع را براي تمام نقاط شبکه بدست بياوريم. متغير هاي هيدرو ديناميک در اين روش بصورت زير بدست ميآيند:
5-8

5-9

معادله حالت براي اين مدل، همانند معادله حالت گاز و به فرم زير است:
5-10

يكي از پركاربردترين شبكه‌هاي استفاده شده براي حالت 2 بعدي همدما شبكه مي‌باشد. مقادير بردارهاي شبكه درزير آمده است. همچنين به صورت شماتيك در شكل رسم شده است. در حالت 3 بعدي نيز شبكه‌هاي و و مورد استفاده قرار مي‌گيرند.
5-11

جدول5-1: توابع وزني در حالات دو بعدي و سه بعدي
ثابت هاي وزني
شکل
نام شبکه

5-1-5 فرم گسسته معادله بولتزمن:
همانطور كه گفتيم ما در هر نقطه از شبكه خود q مقدار تابع توزيع را بايد محاسبه كنيم براي ساده‌ سازي از جايگزيني نوشتاري زير استفاده مي‌كنيم.
5-12

با بي‌بعد سازي معادله فوق با طول مشخصه L، سرعت مرجع uو تابع توزيع مرجع و زمان بين برخورد :
5-13

5-14

با گسسته کردن رابطه فوق داريم:
5-15

که و با انتخاب سر عت شبکه ، داريم:
5-16

بنابراين رابطه معروف BGK بدست مي آيد. درشکل (5-3) نمايي از روش شبکه بولتزمن براي شبکه نشان داده شده است.
5-17

شكل 5-3: شبکه D2Q9

5-1-6 ارتباط با معادله ناوير استوکس:
مي‌توان نشان داد كه مدل عددي معرفي شده در بخش‌هاي قبلي براي اعداد ماخ كوچك منجر به بدست آوردن معادله ناويراستوكس خواهد شد. براي اثبات اين امر روابط شبكه بولتزمن براي فواصل كوچك شبكه‌اي بسط داده مي‌شوند. سپس آناليز چپمن111- انسكوگ چند مقياسه براي استخراج مقياس‌هاي هيدروديناميكي استفاده مي‌شود. اين آناليز به رابطه‌اي منجر مي‌شود كه ثابت مي‌كند روش شبكه بولتزمن شكل گسسته شده معادله ناويراستوكس با دقت مرتبه 2 براي مكان و زمان خواهد بود.البته مشخص مي‌شود كه الگوي شبكه بولتزمن BGK محدوديت‌هايي براي جريان‌هاي تراكم‌پذير نيز دارد. زيرا ويسكوزيته سيال وابسته به شبكه مي‌باشد و نمي‌تواند خود را به شرايط خاص تراكم‌پذيري وفق دهد. بنابراين اين مدل معمولاً براي جريان‌هاي تراكم نا‌پذير استفاده مي‌شود. در اين رابطه خطاي ناشي از تراكم‌پذيري مدل از مرتبه مي‌باشد. در ضمن بسط چپمن-انسکوگ رابطه‌اي بين زمان آرامش برخورد و ويسكوزيته سيال بدست مي‌آورد. با توجه به اين که لزجت منفي از لحاظ فيزيکي بي معني است، لازم است هموارهباشد.
5-18

5-1-7 الگوريتم حل:
معادله گسسته شده شبکه بولتزمن را در دو مرحله مي‌توان بيان کرد. مرحله ” برخورد” و مرحله ” جاري شدن”. در مرحله برخورد تابع توزيع احتمال ذرات روي نقاط شبکه در زمان t به هم برخورد مي‌کنند و در مرحله جاري شدن، ذرات در فاصله زماني در مسيرهاي مشخص به نقاط مجاور انتقال پيدا مي‌کنند.
حل معادله شبكه بولتزمن كه در رابطه5-17 نشان داده شده، طي دو مرحله برخورد112 و جاري شدن113 مطابق معادلات
5-19 انجام مي‌پذيرد.

5-19

نشان دهنده تابع توزيع بعد از برخورد است. با جداسازي معادله اصلي به صورت دو معادله “برخورد” و “جاري شدن”، نيازي به ذخيره همزمان مقادير و نميباشد و در مرحله جاري شدن نيز مقادير فقط به نقاط همسايه خود انتقال مي‌يابند که روندي بسيار ساده و با هزينه محاسباتي کم است. در روابط (5-19) بايد توجه شود که عمليات برخورد کاملاً به صورت محلي و مستقل از مختصات ذره انجام مي‌شود. همچنين انجام عمليات جاري شدن هزينه محاسباتي بسيار کمي دارد. به طور کلي معادله (5-19) يک معادله صريح114 است که به راحتي براي حل مسائل گذرا قابل استفاده مي‌باشد و به خاطر ساختار بسيار ساده و تکرارپذير آن براي همه نقاط ميدان، مي‌توان به راحتي پردازش برنامه را موازي نمود. در واقع با مجزا كردن معادله بولتزمن به دو بخش جابه‌جايي و برخورد درك فيزيكي آن هم ساده‌تر مي‌شود.در مرحله جاري شدن ذرات سيال با توجه به سرعت خود به نقاط همسايه منتقل مي‌شوند و سپس برخورد بين مولكولي صورت مي‌گيرد. شرايط مرزي جسم جامد هم در واقع مي‌تواند نوعي مرحله برخورد باشد، كه در آن ديگر برخورد بين مولكولي صورت نمي‌گيرد و برخورد مولكول با سطح ديوار مي‌باشد كه بسيار ساده قابل اعمال است. و در بخش شرايط مرزي توضيح داده خواهد شد.
5-1-8 شرايط مرزي در شبکه بولتزمن:
نوع اعمال شرايط مرزي در روش شبکه بولتزمن به طور مستقيم بر دقت جواب نهايي تاثير ميگذارد . در ابتدا نگاهي به شبکه استفاده شده مي‌اندازيم تا پارامترهاي مجهول که بايد توسط شرايط مرزي بدست آيند، مشخص شوند.در اينجا فقط شبکهD2Q9 توضيح داده شده است (ساير شبکه ها و حالت 3 بعدي نيز شبيه به اين حالت مي‌باشند). براي مثال در مرحله جاري شدن داريم:
5-20

5-21

اگرنقطه‌اي مانند A در روي مرز غربي(شکل 5-4) در نظر بگيريم، در مرحله جاري شدن داريم:
5-22

ولي نقطه در خارج از دامنه حل قرار دارد و بنابر اين مقدار مجهول ميباشد و در کل تمامي هاي روي مرزهاي دامنه که از خارج دامنه حل بدست ميآيند مجهول مي باشند. درشكل 5-4 مقادير مجهول ومعلوم توابع توزيع درون كانال نشان داده شده اند.

شكل5-4 :مقادير مجهول(خطوط خط چين) توابع توزيع درون کانال.

ما در اين بخش روشهايي را معرفي ميکنيم تا اين مقادير مجهول را بدست آوريم، که اصطلاحا از آن به عنوان شرايط مرزي نام برده ميشود. در اين بخش دو نوع اصلي از شرايط مرزي در روش شبکه بولتزمن معرفي و جزئيات آنها مورد برسي قرار ميگيرد: مرزهاي باز و مرزهاي جسم جامد.در عمل مرزها وديوارههاي جسم جامد در مقايسه با مرزهاي باز داراي اهميت بيشتري هستند و تاثير بيشتري بر دقت و پايداري روش مي‌گذارند. در ابتدا شرط مرزي باز که شامل مرزهاي ورودي و خروجي و شرط تقارن و پريوديک مي‌باشند مورد بررسي قرار مي‌گيرند.
1-شرط مرزي پريوديک:
شرط مرزي پريوديک، ساده‌ترين شرط مرزي مي‌باشد. نحوه عملکرد اين روش در شكل (5-5) نشان داده شده است. شرط مرزي پريوديک به اين معني است که توابع توزيع احتمالي که از يک سوي ميدان خارج مي‌شوند از سوي مقابل وارد ميدان مي‌شوند.

شكل 5-5 : نمايش چگونگي قرار گرفتن مرزهاي ورودي و خروجي پريوديک و تبادل مقادير در آن‌ها(راست)
و نمايش شرايط پريوديک در دامنه حل(چپ)

اگر در شکل شرط مرزي پريوديک در جهتX اعمال شود داريم: کانالي را با نقطه در امتداد طولي خود فرض کنيد که خروجي و ورودي آن به ترتيب در و قرار گرفتهاند. هنگامي که شرط ورود و خروج پريوديک بر مسأله حاکم باشد، هرجا نياز به باشد، از مقدار استفاده مي‌شود و به جاي مقدار هم از استفاده مي‌شود.
2-شرط مرزي خروجي گراديان صفر :
علاوه بر شرط مرزي پريوديک، مي‌توان از شرط گراديان صفر در ورودي (يا خروجي) استفاده کرد. فرض كنيد مرز ورودي در محل گره 1 و مرز خروجي در محل گره قرار داشته باشد. در يک جريان دو بعدي شرط گراديان صفر را ميتوان در مرحله جاري شدن براي هاي مجهول برحسب مقادير معلوم از درون ميدان حل به شکل زير برون‌يابي کرد:
5-23

5-24

براي افزايش دقت برونيابي ميتوان از برون يابي مرتبه دوم خطي با استفاده از اطلاعات معلوم دو نقطه مجاور به صورت زير نيز استفاده کرد:
5-25

5-26

3-شرط مرزي ديوار
در اين شرط مرزي که به شرط کمانه‌کردن روي گره‌ها معروف است، بعد از آن‌که ذره‌اي که در مرحله جاري شدن به سمت ديواره حرکت مي‌کند به ديواره جامد برخورد مي‌کند، در راستاي عکس جهت اوليه‌اش به ناحيه اشغال شده توسط سيال باز مي‌گردد. اين شرط مرزي ، داراي دقتي از مرتبه اول مي‌باشد (در حالي که خود روش شبکه بولتزمن داري دقت مرتبه دو است). براي اصلاح اين عدم دقت، تاکنون روش‌هاي گوناگوني ارائه شده‌اند. از ميان همه اين روش‌ها، روشي که در آن کمانه کردن روي وسط لينک‌ها115 انجام مي‌شود ، روشي ساده و در عين حال داراي دقت مرتبه دو براي ديواره‌هاي تخت مي‌باشد. اگرچه شرط عدم لغزش در مسائل با ابعاد ماکرو در ديناميک سيالات محاسباتي سنتي به راحتي قابل اعمال است، ولي به‌ دليل آن که کاربر در روش شبکه بولتزمن مستقيماً با متغيرهاي هيدروديناميکي مانند سرعت و فشار سروکار ندارد (در عوض با نه تابع توزيع احتمال در هر نقطه روبه رو است)، اعمال شرط عدم لغزش دچار پيچيدگي مي‌گردد. در روش شبکه بولتزمن براي اعمال شرط عدم لغزش بر روي ديواره‌هاي ميدان از روشي برگرفته از مدل شبکه گاز به نام کمانه‌کردن استفاده مي‌شود که در اين‌جا از آن با نام کمانه‌کردن روي گرههاي ديوار يا کمانه کردن استاندارد نام برده مي‌شود. از آنجايي که در روش شبکه بولتزمن از يک شبکه يکنواخت (مربعي) کارتزين استفاده مي‌شود، مرزهاي خميده جريان، عملاً به صورت مجموعه‌اي از خطوط زيگزاگ به شکل پله‌اي روي نقاط شبکه قرار مي‌گيرند. در اين روش، مرز جسم دقيقاً روي نقاط شبکه قرار داده مي‌شود، به ‌همين دليل به اين روش، کمانه کردن روي گره هم گفته مي‌شود. شكل (5-6) کمانه کردن روي گره را نشان مي‌دهد.
5-27

شكل5-6 : کمانه کردن روي نقاط مرزي جسم جامد

5-1-9 مدلسازي جريان چند فازي:
مدل چندفازي “هي” بدين صورت تعريف مي گردد:
5-28

وU بترتيب بيانگر سرعتهاي ميکروسکوپيک و ماکروسکوپيک ،زمان تاخير و گرانش ،R ثابت گاز وT دما است. نيروي اندرکنش بين فازها بصورت زير تعريف ميشود و Fs نيروي کشش سطحي و K مقدار آن ميباشد.
5-29

5-30

تابع به فشار مرتبط ميشود. بطوريکه :
5-31

جهت حل معادله (5-28)، از تغيير متغير زير استفاده ميشود:
5-32

g تابع توزيع فشار و تابع توزيع همگن است که بصورت زير تعريف ميشود:
5-33

با جايگذاري رابطه (5-32) در (5-28) خواهيم داشت:
5-34

دراينجا تابع ايندکس است که وظيفه آن تشخيص و متمايز ساختن دو فاز از يکديگر ميباشد و از طريق رابطه کارناهان-استارلينگ116،بدست ميآيد.
5-35

پارامتر a ميزان جاذبه مولکولي را نشان ميدهد که برابر RT12 است. با توجه به تعريف سرعتهاي ميکروسکوپيک و توابع وزني در بالا، انفصال معادله (5-34)، عبارت است از:
5-36

اگر اختيار شود آنگاه سرعت صوت در مدل بولتزمن بدست ميآيد. جهت حصول فرم صريح از توابع انتقالي زير استفاده ميکنيم:
5-37

با جايگذاري معادله (5-37) در (5-34) خواهيم داشت:
5-38

بطوريکه:
5-39

5-40

5-41

با توجه به روابط بالا متغيرهاي ماکروسکوپيک بدست ميآيند:
5-42

5-43

5-44

مقادير دانسيته از يک درون يابي خطي ساده حاصل ميشوند:
5-45

زيرنويس h و l بيانگر خواص مرتبط با فاز قوي و ضعيف ميباشند. همچنين مقادير بترتيب ماکزيمم و مينيمم مقدار تابع ايندکس ميباشند و . مقدار ويسکوزيته سينماتيک با توجه به زمان آرامش بيبعد عبارتست از:
5-46

5-1-10 مدلسازي ترم EHD:
در اين پژوهش از مدل leaky dielectric جهت يافتن اثر ميدان الکتريکي بر روي قطره استفاده شده است. همانطور که قبلا اشاره شد ميدان الکتريکي در اين مدل غير چرخشي () است و به ما اجازه ميدهد تا ميدان الکتريکي را بصورت گراديان يک کميت اسکالر که همان پتانسيل الکتريکي است در نظر بگيريم. نيروي الکتريکي اعمالي بر روي يک المان سيال عبارتست از:
5-47

با توجه به قانون گوس117 ، خواهيم داشت:
5-48

5-49

بنابراين F بيانگر نيروي الکتريکي است بطوريکه اولين ترم اشاره به نيروي ديالکتريک و دومين ترم اشاره به نيروي کلمب دارد. در مدل ديالکتريک معادله حاکم براي ميدان الکتريکي عبارتست از:
5-50

5-51

براي سيالات ديالکتريک ميدان الکتريکي گراديان پتانسيل الکتريکي است و معادله حاکم براي پتانسيل الکتريکي عبارتست از:
5-52

جهت حل پتانسل الکتريکي در مدل LBM يک تابع پخش ذره بصورت زير تعريف ميشود:
5-53

همچنين تابع پخش همگن عبارتست از:
5-54

با توجه به زمان آرامش ميتوان پتانسيل الکتريکي را محاسبه نمود:
5-55

بمنظور حل به روش LBM ابتدا ناحيه محاسباتي با 201 گره در عرض و 401 گره در طول را ميسازيم. در ديواره هاي جانبي از شرط ديوار استفاده شده است. در شبيه سازي نسبت دانسيته 2و عدد k، 0.3 اختيار شده است. ديوار پاييني به عنوان ولتاژ بالا و ديوار بالايي زمين در نظر گرفته شده است. بنابراين با تغيير اندازه ميدان الکتريکي اعداد کپيلاري مختلف ساخته ميشوند. همچنين نيروي گرانش بصورت زير تعريف مي شود:
5-56

جهت بررسي حالات مختلف ايجاد شده در طول سقوط قطره دو عدد بدون بعد آتووس118 و آنسرج119 که بترتيب بيانگر اثر نيروي جاذبه و ويسکوزيته ميباشند، معرفي مي شوند:
5-57

5-58

بطوريکه بترتيب بيانگرکشش سطحي بين دو فاز، نسبت دانسيته، چگالي قطره، ويسکوزيته قطره، قطر قطره و شتاب گرانش است. همچنين عدد بي بعد زمان عبارتست از:
5-59

عدد بي بعد کپيلاري که ميزاني از تاثير کشش سطحي در مقابل ميدان الکتريکي است عبارتست از:
5-60

جهت اعتبار سنجي کد نوشته شده ابتدا قطره ساکني را در نظر بگيريد که در سيال ديگري قرار گفته است. با فرض اين که دو سيال مخلوط نشدني هستند آنچه که در واقعيت شکل ميگيرد تبديل شدن قطره اوليه به حالت کروي است. طبق قانون لاپلاس اختلاف فشار در طول اينترفيس به کشش سطحي مرتبط ميشود که از رابطه زير بدست مي آيد:
5-61

جهت بررسي قانون لاپلاس، قطرات با شعاعهاي مختلف توليد ميشوند و چهار شرط پريوديک اعمال ميشود. مقدار تئوري کشش سطحي توسط انتگرال عددي زير محاسبه ميشود در طول اينترفيس و بردار نرمال به آن.
5-62

جهت اعتبار سنجي حل EHD ، جواب بدست آمده با کد با نتايج تحليلي تيلور1966 سنجش ميشود. اگر W و B تغيير طول در جهات موازي و عمود بر ميدان الکتريکي باشند آنگاه:
5-63

فاکتور تعيين شکل است و عبارتست از:
5-64

5-1-11 اعتبارسنجي و نتايج:
شکل (5-7) تغييرات فشار را بر اساس عکس شعاع قطره و بر حسب مقادير مختلف k نشان ميدهد. همانطور که ديده ميشود نتايج عددي دقت خوبي نسبت به نتايج تحليلي دارند. همچنين تغييرات دانسيته در طول اينترفيس براي نشان داده شده است. در ويسکوزيته پايين قطره پس از نوسان به حالت ثابت کروي تبديل ميشود و در نسبت ويسکوزيته بالاتر قطره با نوسان کمتر و آهستهتر به حالت يکنواختي ميرسد. شکل(5-8) نوسان قطره را در زمانهاي مختلف نشان ميدهد.در ويسکوزيته پايين قطره بين حالت مربعي و لوزوي نوسان ميکند بطوريکه با گذشت زمان گوشههاي آن صافتر ميشوند و همين روند در ويسکوزيته بالا هم ديده ميشود ولي با نوسان کمتر. لازم بذکر است که در اين پژوهش اثر دانسيته بار آزاد در نظر گرفته نشده است.

شکل(5-7): مقايسه قانون لاپلاس بين نتايج عددي و حل تئوري بر اساس ضرائب مختلف k و (چپ) و پروفايل دانسيته بر اساس فاصله شعاعي از مرکز قطره در تکرار 40000 و (راست)

(a)

T=0
T=500
T=1000
T=1500

T=2000
T=4000
T=6000
T=40000

(b)

T=0
T=500
T=1000
T=1500

T=2000
T=4000
T=6000
T=40000
شکل(5-8): تغيير شکل قطره از حالت اوليه تا پايداري قطره بر حسب زمانهاي مختلف بازاءk=0.15
ميدانيم هنگامي که هر دو سيال ديالکتريک باشند آنگاه با توجه به ميدان الکتريکي دو حالت قابل تصور است. کشيدگي در راستاي ميدان الکتريکي120و در راستاي عمود بر ميدان الکتريکي121. شکل نهايي قطره به خصوصيات الکتريکي هر دو فاز نظير نفوذپذيري الکتريکي ، هدايت الکتريکي و نسبت ويسکوزيته وابسته است. اما همانطور که در فصل بعدي خواهيم ديد اثر نسبت ويسکوزيته نسبت به دو پارامتر ديگر کمتر است. لازم به ذکر است که تئوري تيلور تنها در ميزان تغيير شکلهاي بسيار کوچک و يا به عبارتي در اعداد کپيلاري پايين صادق است. در اين پژوهش نتايج LBM با کار تيلور مقايسه شده است. نتايج نشان ميدهند براي نسبت نفوذپذيري 10 تغيير شکل قطره قابل ملاحظه نيست و اين در حالي است که براي نسبت نفوذپذيري بيشتر از 10 قطره به فرم oblate و کمتر از 10 به فرم prolate تبديل ميشود.در شکل (5-9) با در نظر گرفتن قطرات با نفوذپذيري مختلف در مييابيم که نتايج LBM در تغيير شکلهاي کوچک با نتايج تيلور مطابقت ميکند. در تغيير شکلهاي بالا ميزان انحراف از نتايج تيلور ديده ميشود. در قسمتي ديگر از شکل(5-9)، شکل قطره،خطوط جريان به همراه بردارهاي سرعت نشان داده شده است. همانطور که ميبينيم در نسبت نفوذپذيري 0.5 قطره prolate شده و چهار ورتکس مشابه متقارن در داخل و بيرون آن شکل ميگيرد. با افزايش ميزان نفوذپذيري به10 از ميزان تغيير شکل قطره کاسته شده تا جايي که در اين نسبت قطره شکل کروي خود را باز مييابد.با افزايش بيشتر اين نسبت قطره به فرم oblate تبديل شده و دوباره چهار ورتکس داخلي و خارجي شکل ميگيرند اما اين بار جهت ورتکسها و بردارهاي سرعت کاملا متفاوت ميباشند. ميتوان دليل اين امر را ناپيوستگي خواص الکتريکي دو فاز در سطح اينترفيس و بتبع آن ايجاد تنشهاي الکتريکي دانست . افزايش ميدان الکتريکي تا جايي که قطره ديگر قادر به تحمل اين تنشها نباشد احتمال گسستگي و جدايش122 قطره را بدنبال خواهد داشت. با توجه به توضيحات بالا ميتوان قطره را ديالکتريک کامل و يا هادي کامل دانست. در هر دو صورت تنشهاي برايند عمود به اينترفيس خواهد بود و جهت آن از سيال با نفوذپذيري (و يا هدايت الکتريکي) بيشتر به سمت سيال با نفوذپذيري (و يا هدايت الکتريکي)کمتر خواهد بود (لطفا به فصل بعدي مراجعه کنيد). نحوه توزيع بارالکتريکي و يا تنشهاي الکتريکي روي اينترفيس باعث oblate شدن و يا prolate شدن قطره خواهد شد. البته اين که قطره کاملا هادي و يا ايزوله باشد توسط محققين رد شده و هميشه مقداري از تجمع بار الکتريکي بر روي اينترفيس قابل تصور است. ميدانيم که اين تجمع بار باعث بر هم خوردن بالانس تنشهاي الکتريکي نرمال و مماسي ميشود که با تنشهاي هيدروديناميکي معادل ميشوند و اين ورتکسها دقيقا به همين علت ايجاد شدهاند. نسبت هدايت الکتريکي و نسبت نفوذپذيري الکتريکي بر روي جهت چرخش و نوع شکل تاثير گذارند. بطوريکه براي RS prolate حاصل ميگردد. البته در فصل بعدي نشان داديم که در حالت RS جريان از گوشهها به سمت نوک قطره و يا قطبها و در R(b)

شکل(5-9): مقايسه نتايج تحليلي و عددي در = 0.2(سطر اول) . رفتار قطره در (سطر دوم).
در قسمت بعدي از اين پژوهش قطره سقوط آزاد ميکند بدليل چگالتر بودن از محيط اطراف خود. ابتدا سقوط قطره بدون حضور ميدان الکتريکي شبيه سازي ميشود و سپس با افزايش عدد کپيلاري دامنه تاثير ميدان الکتريکي را افزايش داده و در نتيجه تنشهاي الکتريکي باعث برهم زدن شکل قطره ميشوند . در شکل (5-10) عدد کپيلاري از مقدار 0.2 تا مقدار 5 تغيير ميکند در حالي که Eo,Oh ثابت هستند. با توجه به عدد آتووس پايين ، ميزان تغيير شکل قطره پايين است و با گذشت زمان قطره به شکل ثابتي ميرسد. در عدد کپيلاري 0.2 ، قطره تمايل دارد تا شکل قبلي خود را حفظ کند و قسمت بالايي قطره که تحت سقوط دچار تغيير شکل شده بود تمايل دارد تا شکل کروي به خود گيرد. در کپيلاري 0.8،ميزان افزايش طول در جهت ميدان بيشتر مي شود
و نهايتا در عدد کپيلاري 2 ،يک قسمتي از قطره از بدنه اصلي قطره جدا شده و اين روند در اعداد کپيلاري ديگر نيز ديده ميشود با اين فرق که افزايش کپيلاري ميزان ازدياد طول در جهت ميدان را منجر ميشود .بنابراين پديده جدايش123 ، در اعداد کپيلاري بالا قابل تصور است. به اين نوع از هم گسيختگي قطره pinch-off نام ميدهند لازم به ذکر است که نوع ديگري از جدايش نيز وجود دارد بنام tip-streaming که در اغلب موارد هنگامي که يکي از دو فاز غير نيوتني باشد رخ ميدهد و قطرات توپي شکل124 از هر دو طرف از قطره مادر جدا ميشوند. در شکل (5-11) عدد آتووس افزايش يافته و همانطور که در ستون اول (بدون اعمال ميدان) ديده ميشود نرخ تغيير شکل بيشتر از حالت قبلي است که در آتووس پايينتر است. قطره حالت کاسه اي125 پيدا کرده و نوک قطره بسيار نازک تر از بدنه آن ميشود و اصطلاحا جدايش برشي(مماسي) رخ ميدهد. دليل اين امر اين است که در اعداد اتووس بالا نيروي کشش سطحي پايين و نيروي گرانشي غالب است و اين امر منجر ميشود تا مقاومت قطره در برابر تغيير شکل پايين بوده و همچنين گرانش قطره را با نيروي قويتري به سمت خود بکشاند و پديده جدايش را نتيجه دهد.اعمال ميدان الکتريکي نقش بازدارنده دارد و مانع از تغيير شکل زياد قطره ميگردد. ازدياد ميدان باعث مسطح شدن پشت قطره ، رانده شدن آن به سمت داخل و گسترش آن در جهت عمود بر ميدان ميشود. در کپيلاري 2 قطره در راستاي عرضي گسترش مييابد و دو قطره از دو جانب قطره اصلي جدا ميشوند و پديده bag-breakup را منجر ميشوند که پشت قطره به دليل فشار به سمت داخل رانده ميشود. در شکل (5-12) عدد اتووس ثابت است و آنسرج تغيير ميکند. در اين شکل پايين بودن انسرج منجر به تغيير شکل بيشتر ميشود بطوريکه در ستون اول حالت نعل اسبي پيدا ميکند. اين تغيير شکل بالا بدليل پايين بودن اثر ويسکوزيته قطره در برابر تغيير شکل است بطوريکه قطره داراي بازوهاي نازک بوده و در جايي بين نوک و مرکز قطره جدايش رخ ميدهد. افزايش ميدان الکتريکي مجددا پديده bag-breakup را نتيجه ميدهد اما در شکل (5-13) ، عدد انسرج بالا بشدت مانع تغيير شکل قطره ميشود و اصولا افزايش ويسکوزيته رفتار قطره را به رفتار particle نزديکتر ميکند. در اين حالت جهت وقوع پديده جدايش ميدان الکتريکي بزرگتري نياز است تا بر نيروي ويسکوز غلبه کند و اين در
حالي است که دو نوع تغيير شکل bag-breakup و shear-breakup در اعداد انسرج پايين مشاهده شدند.

t*=10

t*=20

t*=10

t*=10

t*=10

t*=8

t*=25

t*=30

t*=30

t*=30

t*=30

t*=16

t*=30

t*=35

t*=40

t*=40

t*=40

t*=24

t*=35

t*=40

t*=50

t*=50

t*=50

t*=32

t*=40

t*=45

t*=55

t*=60

t*=60

t*=40

t*=45

t*=50

t*=60

t*=70

t*=75

t*=48

Ca=5

Ca=4

Ca=2

Ca=0.8

Ca=0.2

Without EHD

شکل (5-10(: تغيير شکل قطره در اعداد کپيلاري مختلف در Eo=11,Oh=0.5

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=9

t*=30

t*=30

t*=30

t*=30

t*=30

t*=16

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=24

t*=50

t*=50

t*=50

t*=50

t*=50

t*=32

t*=55

t*=55

t*=55

t*=55

t*=55

t*=40

t*=60

t*=60

t*=60

t*=60

t*=60

t*=48

Ca=5

Ca=4

Ca=2

Ca=0.8

Ca=0.2

Without EHD

شکل (5-11(: تغيير شکل قطره در اعداد کپيلاري مختلف در Eo=87,Oh=0.5

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=8

t*=20

t*=20

t*=20

t*=20

t*=20

t*=16

t*=30

t*=30

t*=30

t*=30

t*=30

t*=24

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=32

t*=45

t*=45

t*=50

t*=50

t*=45

t*=40

t*=50

t*=50

t*=55

t*=55

t*=55

t*=44

Ca=5

Ca=4

Ca=2

Ca=0.8

Ca=0.2

Without EHD

شکل (5-12(: تغيير شکل قطره در اعداد کپيلاري مختلف در Eo=43,Oh=0.2

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=10

t*=8

t*=20

t*=20

t*=20

t*=20

t*=20

t*=16

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=40

t*=24

t*=50

t*=50

t*=50

t*=50

t*=50

t*=40

t*=60

t*=60

t*=60

t*=60

t*=60

t*=48

t*=65

t*=65

t*=70

t*=75

t*=75

t*=56

Ca=5

Ca=4

Ca=2

Ca=0.8

Ca=0.2

Without EHD

شکل (5-13(: تغيير شکل قطره در اعداد کپيلاري مختلف در Eo=43,Oh=1.0
اگر دو الکترود به شکل افقي باشند آنگاه بديهي است ، قطره در حال سقوط هنگامي که در فضاي بين دو الکترود قرار ميگيرد دچار کشيدگي در راستاي ميدان ميشود البته ميزان کشيدگي به قدرت ميدان الکتريکي بستگي دارد بطوريکه با افزايش اين عدد
قطره بيشتر در راستاي عرضي کشيده شده و دقيقا مخالف حالت قبلي که ميدان و گرانش همسو بودند. بعد از اين که قطره فضاي بين دو الکترود را ترک ميکند تا محدودهاي همچنان اين کشيدگي ديده ميشود زيرا ميدان الکتريکي در گوشههاي الکترود انحنا پيدا کرده و از حالت يکنواخت خارج ميشود.

Ca=0.3
Ca=0.2
Without EHD
Sketch of physical domain
شکل (5-14(: بررسي سقوط قطره در چيدمان افقي بين دو الکترود

5-2 روش بدون مش126:
همانطور که پيش از اين اشاره شد ، روشهاي بدون شبکه بندي گرهها را بصورت رندم در محيط محاسباتي توليد ميکنند و اجبار به منطبق بودن بر شبکه و ايجاد شبکه با ساختار را از بين ميبرند. در طي سالهاي اخير، استفاده از اين روشها در مسائل با هندسه پيچيده افزوني يافته است. از ميان اين روشها ، ميتوان127RBF را نام برد. دراين زمينه ، “اياکونا” [67]، جهت نشان دادن يکنواختي و غير يکنواختي ميدان الکتريکي از روش المان محدود بهره جست . همچنين “چن” و همکاران [68]، جهت يافتن ميدان الکتريکي و نيروهاي منبعث از آن بر سطح حباب از اين روش استفاده کردند بطوريکه فرض کردند بار آزاد در محيط سيال احاطه کننده وجود ندارد. همانطور که ميدانيم در روشهايي که بر مبناي توليد شبکه ميباشند نتايج حل شديدا به نوع و تراکم اين شبکه بندي حساس هستند.”کانزا” [69]،جزو اولين کساني بود که در مورد دقت اين روش و درونيابي و نوع تخمين مقادير توابع تحقيق کرد و در حقيقت روش او بر پايه تقريب توابع بود. سپس محققين کاربد و کارايي اين روش را در حل مسائل مشتقات جزئي مورد بررسي قرار دادند. “شو” و همکاران [70] براي اولين بار مبادرت به بدست آوردن مشتقات کردند . آنها RBF-DQ را معرفي نمودند که ترکيبي از RBF و مربعات ديفرانسيلي128 است. دقت اين روش در حل مسائل حرارت و الکتريسيته قبلا مورد ارزيابي قرار گرفته است [71]. در اين روش توليد گرهها بصورت اختياري (منظم و نامنظم) صورت ميگيرد. همانطور که اشاره شد هدفمان بدست آوردن توزيع ولتاژ در يک قطره تغيير شکل يافته است. بنابراين معادله حاکم بر مسئله همان معادله لاپلاس است و شرايط مرزي شامل شروط ديريکله و نيومن خواهند بود. نتايج بدست آمده از اين روش با نتايج روش المان محدود FEM که از طريق نرم افزار COMSOL حاصل شده اند مقايسه شده و از دقت خوب اين روش ميتوان در مسائل الکتريسيته ساکن استفاده نمود . شکل (5-15) نمونهاي از ناحيه محاسباتي را نشان ميدهد. لازم به ذکر است که از آوردن مجدد فرمولها و شرايط مرزي خودداري شده است و در فصل بعدي(تحليلي) بطور مبسوط اين قوانين اثبات شده اند.

شکل (5-15(: محيط اثر گذاري گره ها براي گره مرجع
در اين قسمت نکات مهم اين روش به اختصار اشاره ميشود. مشتقات مرتبه n و m ام بترتيب نسبت به xو y عبارتند از:
5-65

5-66

N : بيانگر تعداد گره احاطه کننده گره i بوده و همچنين و توابع وزني در جهات xوy هستند. مقدار تابع در هر گره اين گونه تخمين زده مي شود:
5-67

در اين جا ثابت بوده و مقدار تابع شکل توسط شخص مشخص ميشود بطوريکه :
5-68

بنابراين:
5-69

بطوريکه:
5-70

مي تواند جايگزين شود و در نتيجه:
5-71

با جايگذاري توابع پايه در معادله (5-65) خواهيم داشت:
5-72

5-73

بنابراين:
5-74

بطوريکه :
5-75

5-76

5-77

المانهاي ماتريس G از رابط (5-70) و ماتريس GX از مشتق گيري حاصل ميشوند:
5-78

با دانستن Gو GX ، معادله (5-74) را مي توان از روش SOR حل نمود و مقادير توابع وزني را حساب کرد. در اين روش پارامتر c بر حل تاثير گذار است که خود به تعداد گرههاي همسايه بستگي دارد. با توليد گرهها بصورن رندم ناحيه تاثير گذار تغيير ميکند واختصاص اعداد متفاوت براي گرههاي مختلف اجتناب ناپذير است. جهت رفع اين مشکل از نرمال کردن استفاده ميکنيم. بنابراين ناحيه تاثيرگذار را به مربع واحد در حالت دوبعدي و يا يک مکعب در حالت سه بعدي تبديل ميکنيم. بطوريکه:
5-79

x وy مختصات ناحيه احاطه کننده و مختصات مربع واحد و قطر مينيمم دايرهاي است که نقاط همسايه در آن قرار دارند.بنابراين توابع تست و مشتقات توابع وزني اين گونه تغيير ميکنند :
5-80

5-81

در اين پژوهش تعداد گره هاي همسايه 16 و عدد c برابر 3 اختيار شده است.
5-2-1 نتايج روش بدون شبکه:
شکل (5-16) کانتور، خطوط ميدان الکتريکي و بردارهاي الکتريکي را در دو حالت هادي و ايزوله نشان ميدهند. در حالتي که نسبت هدايت الکتريکي قطره کمتر از محيط خارجي است ، با توجه به پيوسته بودن مولفههاي نرمال جريان الکتريکي بر روي اينترفيس تغييرات پتانسيل الکتريکي در راستاي نرمال بر صفحه صفر ميشود تا صفر بودن جريان داخلي را جبران کند.اين امر منجر به تمرکز و عمود شدن اين خطوط بر روي اينترفيس ميشود. در حالي که در حالت قطره هادي تغييرات پتانسيل در راستاي عمود بسيار زياد است تا کمبود هدايت الکتريکي را در تساوي چگالي جريان الکتريکي جبران کند که منجر به صفر شدن تغييرات در راستاي مماس بر اينترفيس شده و خطوط پتانسيل از شکل قطره تبعيت ميکنند. ديوار پايين HV و بالايي Gr است. بنابراين ولتاژ در طول خط شعاعي از مقدار يک به صفر ميرسد. نوع توليد گرهها بصورت يکنواخت است و محاسبه براي تعداد گرههاي مختلف انجام گرفته است. لازم به ذکر است که نتايج نشان ميدهند که کد حاضر بخوبي بين دو حالت تمايز قائل ميشود و بعبارت ديگر مسئله را بصورت conjugate حل ميکند.

شکل (5-16(: کانتور پتانسيل الکتريکي، ميدان و بردار الکتريکي براي R=1E5 (رديف اول) و R=1E-5 (رديف دوم) . بررسي تعداد گره لازم براي همگرايي و نحوه توليد گره يکنواخت پيرامون قطره
همانطور که ميدانيم ميدان الکتريکي در حضور قطرهاي ديگر بهم ميخورد و باعث تغييرات تنشهاي الکتريکي بين دو قطره، تشکيل ديپل و نيروهاي دي الکتروفورسيس شده و در نتيجه انعقاد و يا رانده شدن دو قطره را در بر دارد. لذا دانستن فرم و رفتار پتانسيل الکتريکي در مرحله اول بسيار حائز اهميت است.

شکل (5-17(: بهم خوردن شکل تابع پتانسيل و متمرکز شدن
خطوط جريان بين دو قطره در اشکال مختلف بازاء R=1E5
بطور کلي سه الگوريتم جهت توليد گره وجود دارد.اولين روش توليد گره به روش تفاضل محدود است که بيشتر در هندسه هاي مستطيلي و دايروي با هندسه ساده کاربرد دارد. دومين روش توليد رندم گرههاست که بيشتر در حالتي که مرز شرط ديريکله داشته باشد کاربرد دارد. سومين روش، توليد گره پيرامون مرز و توليد لايه هاي عمودي بهمراه توليد رندم گرهها در خارج اين لايهها و در ناحيه محاسباتي است.در اين پژوهش از روش سوم استفاده شده است. اين روش هنگامي که مرز شرط مرزي نيومن دارد قابل استفاده ميباشد. براي دو الکترود از شرط ديريکله با ولتاژ صفر و يک و براي مرزهاي ديگر از شرط نيومن استفاده شده است. معادله پتانسيل اينگونه تجزيه ميشود:
5-82

بيانگر تابع در گره i و بيانگر مقدار تابع در همسايه k ام است. همچنين و مشتقات درجه دو توابع وزني در جهات x,y ميباشند. شکل (5-18) توليد گرهها را به شکل غير يکنواخت نشان ميدهد بطوريکه ميزان اين غير يکنواختي از صفر (يکنواخت) تا 0.7 تغيير ميکند. بنابراين توليد رندم گره امکان متمرکز کردن گرهها را در نقاط حساس ميدهد. شکل (5-19) توزيع پتانسيل الکتريکي را براي قطره تغيير شکل يافته نشان ميدهد.

شکل (5-18(: توليد گره ها در ساختار بي نظم و مقايسه آنها

در شکل (5-20) مقايسهاي بين دو روش بدون مش و FEM صورت گرفته است که نحوه توليد گره و مش و مقايسه نتايج را براي پتانسيل الکتريکي نشان ميدهد.

شکل (5-19(: پتانسيل الکتريکي و ميدان الکتريکي براي قطره تغيير شکل يافته (Experimental Data)-نتايج RBF

شکل (5-20(: پتانسيل الکتريکي و مش بندي FEM (ستون اول). پتانسيل الکتريکي و توليد گره RBF (ستون سوم).
مقايسه پتانسيل الکتريکي دو روش (ستون دوم)
در شکل (5-21) ابتدا نقاط روي سطح قطره وارد نرم افزار 3.5a) COMSOL(شده و سپس با پيوستن اين نقاط، يک سطح مجزا از محيط پيوسته خارجي (روغن) تشکيل شده است. اين شکل مرتبط با عدد کپيلاري 0.2 و ولتاژ 2 Kv ميباشد. خواص الکتريکي قطره و روغن بطور مجزا در قسمت physics- subdomain settings تنظيم شده و معادله پتانسيل الکتريکي در قسمت Equation- subdomain settings حل شده است. سپس با توجه به جواب پتانسيل الکتريکي تنشهاي ماکسول طبق رابطه :
(5-82)

تعريف ميشوند. با توجه به اينکه در حالت قطره تغيير شکل يافته ، قطره متصل به الکترود ولتاژ بالاست لذا قطره ولتاژي برابر با HV خواهد داشت و با توجه به اينکه قطره آب، هادي بسيار خوب الکتريسيته است لذا انتظار ميرود ميدان الکتريکي در داخل قطره صفر باشد . علت اين امر اين است که اگر بارهاي الکتريکي در درون جسم هادي باشند به هم نيروي دافعه وارد ميکنند و بارها روي سطح قطره جمع ميشوند. دليل دوم با اعمال قانون گوس حاصل ميشود. اگر يک سطح بسته گوسي پيرامون جسم هادي در نظر بگيريم مجموع خطوط شار گذرنده از يک سطح بسته برابر باري است که اين جسم دارد. چون ميدان داخل قطره صفر هست لذا شار کلي عبوري و در نتيجه بار داخل قطره صفر ميباشد لذا بارها روي سطح قطره جمع ميشوند.دليل سوم بر اساس هادي بودن قطره مطرح ميشود. اگر هدايت الکتريکي جسم بالا باشد آنگاه در جهت شعاعي اختلاف پتانسيل الکتريکي نخواهيم داشت و چون ميدان الکتريکي از گراديان اختلاف پتانسيل شکل ميگيرد لذا ميدان داخل قطره صفر ميباشد. خطوط ميدان بر سطح قطره عمود هستند زيرا اگر نباشند ميدان الکتريکي در راستاي سطح قطره مولفه خواهد داشت و اين مولفه باعث ايجاد کار روي بارهاي سطحي قطره شده و اختلاف پتانسيل و جريان الکتريکي را روي سطح هم پتانسيل ايجاد ميکند که غير ممکن است. در شکل (5-23) کانتور تنش مماسي در نوک قطره نشان ميدهد که چرخش سيال از نوک قطره به سمت گوشه هاست و ميدان الکتريکي بيشترين تمرکز را در نوک قطره (جايي که مستعد جدايش از بدنه اصلي قطره هست) دارد. در مورد شکل (5-24) و تفاوت فيزيک دو حالت به تفصيل در فصل ششم توضيح داده شده و همانطور که مشخص است جوابهاي نرم افزار با تحليلي مطابقت دارند. در شکل (5-25) تانسور تنشهاي نرمال و برشي را براي دو حالت متفاوت ميبينيم. همانطور که تنشهاي برشي (سطر آخر) نشان ميدهند در حالتي که قطره کروي قابليت پلاريزاسيون کمتري دارد (چپ) تنشهاي برشي در ربع اول و سوم منفي و در ربع دوم و چهارم مثبت هستند. در نتيجه خطوط جريان سيال در پيرامون قطره از نوک قطره به سمت گوشهها خواهد بود و شکل قطره بحالت oblate تبديل ميشود بطوريکه براي قطره با قابليت پلاريزاسيون بالاتر از روغن (راست) تنشهاي برشي در ربع اول و سوم مثبت و در ربع دوم و چهارم منفي هستند. در نتيجه خطوط جريان سيال در پيرامون قطره از گوشه قطره به سمت نوک آن خواهد بود و شکل قطره بحالت prolate تبديل ميشود.

شکل (5-21(: نحوه ايجاد نقاط مربوط به سطح قطره (استخراج شذه از کار Exp) و مش FEM براي داخل و بيرون قطره

شکل (5-22(: خطوط هم پتانسيل براي قطره تغيير شکل يافته متصل به الکترود ولتاز بالا (راست) و خطوط ميدان الکتريکي (چپ)

شکل (5-23(: کانتور تنش برشي (سمت راست) و کانتور ميدان الکتريکي جهت عمودي (سمت چپ)

شکل (5-24(:ولتاژ براي قطره عايق (راست)و ولتاژ براي قطره هادي (چپ)-سطر دوم
خطوط ميدان براي قطره عايق (راست)و خطوط ميدان براي قطره هادي (چپ)-سطر سوم

شکل (5-25(: کانتور تنشهاي نرمال در جهت x – کانتور تنشهاي نرمال در جهت y- کانتور تنشهاي برشي xy
(ستون راست-روغن هادي تر از قطره) و (ستون چپ -قطره هادي تر از روغن)
فصل ششم: نتايج تحليلي

شکل(6-1) نمايي از هندسه مورد بررسي را نشان ميدهد. اين شکل ميتواند بيانگر ستوني از جت سيال129 و محفظه احاطه کننده آن130 باشد. قطره در مرکز قرار داشته و سيستم مختصات قطبي منطبق بر مرکز قطره ميباشد.بدليل تقارن هندسي و در شرايط گرانش صفر، حرکت ستون سيال ناشي از اعمال ميدان الکتريکي ناچيز بوده و مرکز جرم ستون بدون تغيير ميماند. يک ميدان الکتريکي يکنواخت بر ديوارهها اعمال ميشود و با توجه به ميدان الکتريکي ، پتانسيل الکتريکي غير يکنواخت بصورت ميباشد. لازم بذکر است که ابتدا نتايج حاصل از کار اسماعيلي [54] بطور کامل آورده شده تا بتدريج به هدف کار خود که تغيير شکل در حين سقوط است بپردازيم.

شكل6-1هندسه مسئله. ستوني از سيال با شعاع aکه توسط سيالي ديگر و در محفظهاي با شعاع b احاطه شده است.
ميدان الکتريکي يکنواخت Eo (V m-1) بر ديوارهها اعمال ميشود.
مشخصات فيزيکي سيال عبارتند از: دانسيته ()، ويسکوزيته ()، نفوذ پذيري الکتريکي()، هدايت الکتريکي () و کشش سطحي . زير نويس i وo به ترتيب معرف ستون سيال و سيال پيراموني احاطه کننده
مي باشند. رژيم جريان در حالت خزشي131 بوده و اعداد بي بعد عبارتند از:
،،،و. اين مسئله داراي سرعت طبيعي و يا مقياس زماني نيست اما با توجه به اين مهم که سرعت سيال در نتيجه بالانس تنشهاي الکتريکي و هيدروديناميکي مماسي بر روي سطح قطره132 شکل ميگيرد، ميتوان سرعت مقياس را تشکيل داد. تنش هيدروديناميکي مماسي و تنش مماسي الکتريکي بصورت بوده و ميزان بار الکتريکي آزاد در واحد سطح است که بصورت مقياس بندي ميشود. با در نظر داشتن و رابطه ، سرعت مقياس بصورت بدست ميآيد. همچنين معرف عدد رينولدز هيدروليکي ( نسبت نيروي اينرسي به ويسکوز ميباشد). عدد بي بعد مهم ديگر ( عدد رينولدز الکتريکي) بوده که معرف نسبت مقياس زماني آرامش بار الکتريکي 133 از سيال پيرامون به اينترفيس به جابجايي بار توسط جريان سيال ميباشد. همانطور که قبلا بيان شد عدد کپيلاري معرف نسبت نيروي ويسکوز به کشش سطحي ميباشد. با توجه به اين که در نظريهleaky-Dielectric” ” زمان آرامش بار الکتريکي بسيار کوچکتر از زمان جابجايي بار توسط سيال است در نتيجه حجم سيال خالي از بار الکتريکي بوده و برقرار است. با توجه به پايدار بودن جريان نيروهاي اينرسي بسيار کوچک بوده و فرض ناچيز بودن تغيير شکل اينترفيس قطره در نيز صادق است. قابل ذکر است که در بعضي منابع از ( ) نيز استفاده ميشود. با در نظر گرفتن فاصله شعاعي از مرکز (r) و زاويه قطبي () که در جهت خلاف عقربههاي ساعت و نسبت به جهت ميدان الکتريکي اندازه گيري ميشود اکنون مبادرت به حل مسئله در سيستم مختصات استوانهاي مينماييم.
6-1 معادلات حاکم :
با توجه به پايدار بودن مسئله و اين که از ترمهاي advection صزفنظر شده است، لذا تنها فشار و ترم conductive باقي
ميمانند. بطوريکه:
6-1

6-2

6-3

6-4

6-5

6-6
Right -hand side of Navier-stokes :

6-7

6-8

6-9

6-10

6-11

6-12

6-13

6-14

الکتروهيدروديناميک به اندرکنش بين ميدان الکتريکي و جريان سيال ميپردازد، لذا لازم است قوانين حاکم بر جريان سيال و ميدان الکتريکي مورد بررسي قرار گيرد.با توجه به خزشي بودن،پايدار بودن و تراکم ناپذيري سيال ميتوان نوشت:
6-15
Conservation of mass:
6-16
Momentum :
در روابط بالا u معرف سرعت سيال ، P فشار وFe نيروي الکتريکي بازاء واحد حجم ميباشند.اپراتور لاپلاسين در مختصات قطبي است که بر بردار عمل ميکند. همانطور که قبلا بيان شد نيروي الکتريکي را ميتوان ترکيبي از سه جزء نوشت:
6-17

ترم اول نيروي الکتروفورتيک (کلمب) ، ترم دوم نيروي دي الکتروفورتيک و ترم سوم نيروي الکترواستريکشن ميباشد. ترم اول بيانگر اثر ميدان الکتريکي E بر روي بارهاي آزاد درون حجم سيال qv ، نيروي دي الکتروفورتيک نتيجه غير يکنواختي نفوذ پذيري الکتريکي و يا ميدان الکتريکي و ترم سوم بيانگر تغييرات نفوذ پذيري نسبت به دانسيته سيال است.بنابراين نيروي الکتريکي بر روي اينترفيس ناپيوسته خواهد بود. دو ترم اول به دليل فرضيه “leaky-Dielectric” و ثابت بودن خواص الکتريکي صفر خواهد بود. ترم سوم را ميتوان اين گونه در نظر گرفت :
6-18

با توجه به فشار اصلاح شده خواهيم داشت:
6-19

با توجه به رابطه کلازيوس موزتي134 ترم سوم را ميتوان اين گونه نيز نوشت:
6-20

نفوذ پذيري فضاي آزاد ميباشد. براي يک حالت عمومي ميدان الکتريسيته و مغناطيس با هم کوپل شده و از طريق معادلات ماکسول بيان ميشوند. اما در غياب ميدان مغناطيسي و ناچيز بودن جريان الکتريکي، ميتوان اثر ميدان مغناطيسي را ناديده گرفت و آنرا از ميدان الکتريکي تفکيک کرد. بنابراين معادلات الکتريکي عبارتند از:
6-21

6-22

6-23

رابطه 6-21 نتيجه قانون فارادي ميباشد . باتوجه به صفر بودن ميدان مغناطيسي (B=0) ، ميدان الکتريکي غير چرخشي ميشود. رابطه 6- 22 قانون بقا، بار الکتريکي ميباشد. ، مشتق مادي و معرف دانسيته جريان الکتريکي است. طبق قانون اهم 135 ميباشد. با توجه به اين که بارهاي الکتريکي فورا به سمت اينترفيس حرکت ميکنند لذا اين امر منجر به در درون هر دو سيال ميشود.رابطه 6-23 بيانگر قانون گوس136 است که تغيير مکان الکتريکي را به بار آزاد مرتبط مي کند . اين معادلات بايد به شکل مناسب و تحت شرايط حرکتي از ميان اينترفيس برقرار شوند . در اين حل ميدان الکتريکي از جريان سيال تفکيک ميشود (توزيع الکتريکي بطور مجزا براي تمامي نقاط محاسبه مي شود) اما جريان سيال به نحوه توزيع ميدان الکتريکي وابسته است و از ميدان الکتريکي مستقل نيست.
6-1-1 معادلات ميدان الکتريکي:
با توجه به غير چرخشي بودن ميدان الکتريکي ميتوان پتانسيل الکتريکي را اين گونه تعريف نمود:
6-24

با توجه به ثابت بودن خواص الکتريکي در درون سيال و رابطه 6-22 خواهيم داشت:
6-25

با قرار دادن رابطه 6-24 در معادله 6-25 بر حسب پتانسيل الکتريکي خواهيم داشت:
6-26

اپراتور لاپلاسين است که بر کميت اسکالر عمل ميکند.
6-1-2 معادلات خطوط جريان:
بجاي حل معادلات پيوستگي و ممنتوم، بهتر اين است که از تابع جريان استفاده شود. همانطور که ميدانيم ورتيسيته جريان بصورت تعريف ميشود. اين رابطه از اعمال اپراتور کرل حاصل ميگردد. اگر از معادله ممنتوم در جهت x نسبت به y و از معادله ممنتوم در جهت y نسبت به x ديفرانسيل بگيريم و دو رابطه را از هم کم کنيم خواهيم داشت:
6-27

با توجه به اين که کرل سرعت برابر ورتيسيته بوده و کرل گراديان برابر صفر است لذا در دستگاه قطبي خواهيم داشت:
6-28

سرعتهاي مماسي و شعاعي در دستگاه قطبي بصورت زير تعريف ميشوند:
6-29

با قراردادن روابط بالا در معادله ورتيسيته:
6-30

با اعمال لاپلاسين به دو طرف رابطه بالا :
6-31

بنابراين بجاي حل چند معادله ميتوان معادله خط جريان (معادلهاي با مرتبه بالا) را حل نمود.

6-2 حل معادله پتانسيل الکتريکي:
معادله 6-26 در بيرون و درون سيلندر با توجه به شرايط مرزي روي اينترفيس حل ميشود. شرايط مرزي با در نظر گرفتن:

6-32
وt و n به عنوان بردارهاي واحد در جهت مماسي و عمودي عبارتند از:
* پتانسيل الکتريکي در درون سيلندر بايد محدود باشد.
* پتانسيل الکتريکي بر روي اينترفيس بايد پيوسته باشد. اين امر با توجه به رابطه 6-21 و قانون استوکس137 حاصل
ميگردد.
6-33

ds، کمان ديفرانسيلي بر روي اينترفيس است.در نتيجه:
6-34

* جزء عمود بر اينترفيس براي دانسيته جريان الکتريکي در طول اينترفيس بايد پيوسته باشد. اين امر با توجه به رابطه
6-22 و قانون گاوس138 حاصل ميگردد.
6-35

* پتانسيل الکتريکي در فاصله دور از سيلندر برابر است با:
6-36

جهت بدست آوردن رابطه بالا از تجزيه ميدان الکتريکي در دو جهت عمودي و مماسي استفاده شده است.
6-37

در اين قسمت از حل، شعاع خارجي b مي تواند به سمت بينهايت ميل نمايد که در اين صورت تمامي جوابهاي حاصله شامل زير نويسي با نماد خواهند بود. با توجه به شرايط مرزي ميتوان اين معادله را از طريق روش جدا سازي متغيرها139 حل نمود.در ابتدا در نظر گرفته ميشود.
6-38

6-39

معادله اول به معادله کوشي اولر موسوم است :
6-40

مي توان نشان داد که با تغيير متغير ، معادله کوشي اولر مزبور به يک معادله ديفرانسيلي مرتبه دوم با ضرائب ثابت براي y(u) تبديل ميشود که معادله مشخصه آن بصورت زير بيان ميگردد.
6-41

در نتيجه ريشههاي جواب بصورت rk,r-k حاصل ميشنود. معادله دوم نيز معادلهاي مرتبه دوم با ضرائب ثابت است که ريشههاي آن از طريق حل معادله مشخصه حاصل ميشنود . با توجه به موهومي بودن ريشه ها جواب B بصورت تناوبي خواهد بود.
6-42

با توجه به فرم اوليه تابع خواهيم داشت:
6-43

با توجه به شرط مرزي چهار (k=1,c4=0) در نظر گرفته ميشود. در نتيجه :
6-43

همچنين با توجه به شرط اول خواهيم داشت:
6-43

با توجه به شرايط مرزي چهارم،سوم و دوم:
6-44

6-45

اگر شعاع سيلندر خارجي به سمت بي نهايت ميل کند آنگاه:
6-46

در نتيجه پتانسيل الکتريکي براي سيلندر داخلي و خارجي عبارت است از:
6-47

فاکتوراي است که اثر انسداد را نشان ميدهد بطوريکه پتانسيل الکتريکي در حالت نامحدود ميباشد.
6-48

در نتيجه در حالتي که سيلندر نسبت به محيط اطراف هادي تر باشد اثر انسداد منجر به افزايش پتانسيل الکتريکي خواهد شد و بالعکس.
6-49

با توجه به اين که در نتيجه اثر انسداد بر روي قطرات هادي تر بيشتر از قطراتي است که ميزان هدايت آنها از محيط اطراف کمتر است.جهت نشان دادن اين تاثير لازم است تا پتانسيل الکتريکي را در مرکز قطره و بر روي شعاع خارجي نشان دهيم و در دو حالت محدود و نامحدود مقايسه کنيم. در هر دو حالت پتانسيل الکتريکي محدود140 مي باشد. در خواهيم داشت:
6-50

براي قطره با هدايت بيشتر از واحد . در نتيجه با توجه به برابر بودن پتانسيل الکتريکي در مرکز براي هر دو حالت ميزان پتانسيل الکتريکي در حالت محدود نسبت به نامحدود بيشتر است. لذا براي خواهيم داشت . اما براي قطره با هدايت کمتر از واحد است. در نتيجه پتانسيل الکتريکي در حالت محدود نسبت به نامحدود کمتر است و اين امر تصديق ميکند که براي خواهيم داشت .لازم به ذکر است که با انحراف هدايت الکتريکي از واحد تاثير نسبت انسداد و سايز هندسه در قطرات با هدايت بالاتر بيشتر از قطرات با هدايت پايين ميباشد.همچنين پتانسيل الکتريکي در دو حالت عبارتند از:
6-51

شكل6-2 تغييرات فاکتور انسداد نسبت به سايز بي بعد هندسه (شکل چپ ) و نسبت به ميزان هدايت الکتريکي ( شکل راست)
جهت بدست آوردن ميدان الکتريکي ميتوان از رابطه استفاده نمود.
6-52

6-53

6-54

با توجه به پرش در شرايط مرزي ، ميدان الکتريکي بر روي اينترفيس عبارت است از:
6-55

ميدان الکتريکي در درون قطره ثابت است . همچنين خطوط هم پتانسيل الکتريکي و خطوط ميدان الکتريکي بر هم عمود
ميباشند. در حالي که خطوط جريان سرعت بر روي اينترفيس پيوسته ميباشد اما اين امر براي خطوط ميدان الکتريکي صادق نيست زيرا . توزيع پتانسيل الکتريکي بر روي اينترفيس از اين جهت حائز اهميت است که تنشهاي الکتريکي را در اطراف اينترفيس کنترل ميکند که مستقيما بر روي تغيير شکل قطره و چرخش سيال در درون قطره تاثير
ميگذارد.پتانسيل الکتريکي تابعي از ضريب انسداد و نسبت هدايت الکتريکي قطره به محيط اطراف است. در حالي که نسبت هدايت الکتريکي بر روي جهت و ساختار پتانسيل و ميدان الکتريکي تاثير ميگذارد اما ضريب انسداد تنها مقدار را کم و يا زياد
ميکند.بنابراين ما فقط به تاثير R در يک نسبت مشخص ميپردازيم.شکل سمت چپ معرف قطرهاي است که نسبت به محيط اطراف خود عايقتر باشد ، همانند غوطهور شدن سيال کاملا عايق در يک سيال کاملا هادي141 (روغن سيليکن در روغن کرچک).در اين سيستم خطوط هم پتانسيل در درون قطره افقي هستند که بيانگر اين است که تغييرات پتانسيل الکتريکي در جهت ميدان الکتريکي است. همچنين خطوط کانتور در درون سيلندر بسيار متمرکز تر از خارج قطره است که نشانه گراديان شديد بواسطه هدايت پايين در درون قطره است. خارج قطره خط کانتور افقي است اما در نزديکي قطره خم ميشوند. خطوط ميدان الکتريکي از شکل قطره تبعيت ميکند و از آن ميگذرند. دليل اين امر صفر بودن ميدان الکتريکي نرمال خارجي بر روي قطره است . شکل وسط مربوط ميشود به حالتي که هدايت نسبي قطره در مقابل سيال احاطه کننده آن قابل قياس است142 ،( روغن سيليکن در روغن ذرت) .در اين سيستم خطوط پتانسيل الکتريکي و ميدان الکتريکي يکنواخت ميباشند چرا که پتانسيل الکتريکي در درون و بيرون قطره ثابت است. شکل راست قطره کاملا هادي را نشان ميدهد که در سيال کاملا عايق غوطه ور است143( آب در روغن کرچک). پتانسيل الکتريکي در درون قطره حذف ميشود و قطره همانند يک خط پتانسيل ثابت عمل ميکند.در اين جا خطوط هم پتانسيل در نزديکي قطره از شکل قطره تبعيت ميکنند چرا که ميدان مماس الکتريکي بر روي اينترفيس صفر است و ميدان مماسي و عمودي در درون قطره نيز صفر ميباشد و ميدان مماس الکتريکي براي بيرون و درون قطره بر روي اينترفيس برابرند.خطوط ميدان الکتريکي بر روي اينترفيس عمود است . اين امر در شکل چهار براي سه سيستم در زاويه نشان داده شده است.

شكل6-3 خطوط هم پتانسيل الکتريکي و خطوط ميدان الکتريکي براي (شکل چپ) ،(شکل وسط) ،(شکل راست) بازاء نسبت انسداد

شكل6-4 تغييرات در جهت شعاعي براي سه سيستم

6-3 بارهاي سطحي الکتريکي:
سيالات ميتوانند بر اساس هدايت الکتريکي و نفوذ پذيري الکتريکي تقسيم بندي شوند. سيالات هادي و يا سيالات دي الکتريک عايق .هنگامي که قطره در معرض ميدان الکتريکي قرار
ميگيرد پلاريزه ميشود.در حالت هادي اين پلاريزاسيون منجر به تشکيل بارهاي آزاد دردرون حجم سيال ميشود و بدليل اين که با توجه به قانون اهم ميدان الکتريکي در درون قطره صفر است بارهاي آزاد به سمت اينترفيس حرکت ميکنند. سيال دي الکتريک بدليل اين که فاقد الکترونهاي آزاد است منجر به تشکيل مومنتوم ديپل الکتريکي ميشود که باعث مي شود قطره در راستاي ميدان قرار گيرد. نحوه پخش بار الکتريکي نقشي اساسي در ايجاد گردابهها و نوع تغيير شکل قطره دارد.دانسيته بار الکتريکي Cm-2از طريق محاسبه ميشود.با توجه به اين که و دانسيته جريان الکتريکي بر روي اينترفيس پيوسته مي باشد () خواهيم داشت:
6-66

در رابطه بالا بردار نرمال همان بردار شعاعي در نظر گرفته شده و دانسيته بار سطحي آزاد براي حالت نامحدود
ميباشد.رابطه بالا نشان ميدهد که توزيع بار الکتريکي به قدرت و جهت ميدان ، نسبت هدايت الکتريکي و نفوذ پذيري قطره نسبت به محيط اطراف بستگي دارد.بار کل آزاد روي اينترفيس با توجه به صفر ميباشد. شکل( 6-5) پخش بار را براي دو حالت همراه با جهت تنش الکتريکي خالص که بر روي اينترفيس عمل ميکند نشان ميدهد.براي RS عکس حالت قبلي صادق ميباشد. با تغيير جهت ميدان توزيع بار الکتريکي هم تغيير ميکند. در (قطره کاملا دي الکتريک در سيال کاملا دي الکتريک ) هيچگونه باري بر روي قطره تشکيل نميشود و همانطور که بعدا نشان داده ميشود تغيير شکل قطره و چرخش درون قطره در اين حالت ناچيز است.

6- 4 ناپيوستگي تنشهاي الکتريکي:
ناپيوستگي تنشهاي الکتريکي مماسي و نرمال به ترتيب در چرخش سيال و نوع تغيير شکل قطره تاثير گذارند.جهت محاسبه اين ترمها لازم است در ابتدا تنشهاي ماکسول بر روي اينترفيس در نظر گرفته شوند.

6-67
در اين قسمت بهتر است تنشهاي نرمال و مماسي را بدست آورد . در مختصات n-t خواهيم داشت:
6-68

t بردار مماس بر سطح در خلاف جهت عقربه هاي ساعت و n بردار عمود بر سطح به جهت خارج مي باشد.
6-69

با توجه به اين که مي باشد و با توجه به روابط 6-54 خواهيم داشت:
6-70

6-71

با توجه به روابط بالا مشخص ميشود که تنشهاي الکتريکي وابسته به پلاريته ميدان الکتريکي نيستند. تنشهاي داخلي وابسته به مختصات شعاعي نيستند و ماکزيمم تنشهاي برشي و نرمال روي اينترفيس در مکان و
قرار دارند. همچنين سرعت مماسي جايي ماکزيمم خواهد بود که تنش برشي ماکزيمم باشد و تغيير شکل قطره جايي ماکزيمم
ميگردد که تنشهاي نرمال ماکزيمم شوند. تنشهاي برايند روي اينترفيس بصورت:
و بوده و بترتيب بيانگر نيروهاي شعاعي و مماسي اعمال شده بر روي اينترفيس ميباشند. نيروي اعمالي بر روي اينترفيس بصورت بوده که در مختصات قطبي n-tخواهيم داشت و . بنابراين:
6-72

6-73

و با توجه به اين که:
6-74

6-75

6-76

براي سيال دي الکتريک کامل R=s علامت به مقدار S بستگي دارد. براي S1 ، و بالعکس. در هر دو حالت جهت تنشهاي نرمال برايند از طرف سيال با نفوذ پذيري بيشتر به سمت سيال با نفوذ پذيري کمتر خواهد بود. از سوي ديگر براي قطره کاملا هادي در ميدان دي الکتريک نسبت هدايت الکتريکي بسيار زياد ميباشد و تنشهاي مماسي نيز صفر است در نتيجه که بيانگر اين است که جهت نيروي شعاعي از طرف سيال با هدايت بيشتر به سمت سيال با هدايت کمتر است. تحت اين شرايط قطره هميشه کشيده ميشود. براي حالت leaky dielectric هر دو نيرو به ميزان S,R بستگي دارند، مثلا در حالتي که S=R ميباشد پرش تنش الکتريکي مماسي بر روي اينترفيس صفر است ( ميزان بار آزاد بر روي اينترفيس صفر مي باشد). براي قطره هادي اما بار الکتريکي بر روي اينترفيس صفر نخواهد بود اما پرش الکتريکي مماسي روي اينترفيس صفر باقي مي ماند(Et=0). در نتيجه چرخش سيال در درون قطره وابسته به مقدار S,R مي باشد. با توجه به روابط بدست آمده در (6-76) خواهيم داشت:
6-77

6-78

شکل (6-5) تغييرات تنشهاي نرمال و برشي را نشان ميدهد. همانطور که نشان داده شده تنشهاي نرمال منفي هستند در حالت اول.اين تنشها در قطب ها (جايي که تنشهاي نرمال ماکزيمم هستند ) بيشترين مقدار و جايي که تنشهاي نرمال حذف ميشوند کمترين مقدار خود را دارند. از طرفي تنشهاي مماسي خالص و يا نيروهاي برشي در نقاط صفر هستند (تنشهاي مماسي الکتريکي در اين نقاط صفر هستند و بارهاي آزاد نيز صفر ميباشند و در نقاط ماکزيمم هستند . در اين جا جهت تنشهاي برايند برشي و عمودي نشان ميدهد که ميدان الکتريکي در صدد تغيير شکل قطره از حالت کروي به حالت بيضوي (oblate) و حرکت سيال از نوک قطره به سمت گوشهها ميباشد.

شكل6- 5: تغييرات تنشهاي برشي و نرمال روي اينترفيس ( نمودار سبز رنگ: تنش برشي و قرمز تنش نرمال) سطر بالا براي Rو سطر پايين حالت R>S را نشان ميدهد.

همانطور که مشاهده شد، انبساط و يا انقباض محيط خارجي منجر به مقياس بندي توسط و همچنين توسط مي شود. بنابراين رفتار اين روابط تغيير نميکند و فقط اندازه آنها تغيير مييابد.
6- 5 محاسبه جريان سيال و تنشهاي هيدروديناميکي :
با توجه به برقراري رابطه( 6- 31) در درون و بيرون قطره، شرايط مرزي از قرار زير تعريف ميشوند:
1. محدود بودن سرعت در درون قطره
2. شرط عدم لغزش بر روي اينترفيس
3. صفر بودن شار ورودي به قطره
4. بالانس تنشهاي مماسي الکتريکي توسط تنشهاي مماسي هيدروديناميکي
5. صفر بودن سرعت در ناحيه خارجي در دوردست جريان
جهت حل معادله تابع جريان ميتوان فرض نمود ، اين فرض بر اين اساس است که چون تنش الکتريکي برايند بر روي اينترفيس با تنش هيدروديناميکي خنثي ميگردد لذا تابع جريان بايد داراي اين فرم باشد (شرط چهار).اگر اين تابع جريان را در معادله قرار دهيم چهار ريشه براي n حاصل مي شود (n=-2,0,2,4). در نتيجه:
6-79

6-80

حال با توجه پنج شرط ذکر شده روابط زير حاصل ميشوند.
6-81

6-82

تا اينجا شرط اول برقرار شده است.
6-83

6-84

6-85

تنش هيدروديناميکي برايند بر روي اينترفيس عبارتست از:
6-86

6-87

6-88

6-89

6-90

با حل دسته معادلات بالا ضرايب مجهول بدست ميآيند:
6-91

با جايگذاري در رابطه تابع جريان خواهيم داشت:
6-92

6-93

با توجه به اين که:
6-94

در نتيجه:
6-95

با توجه به ضرايب بدست آمده ميتوان تابع جريان خارجي را نيز بدست آورد:
6-96

سرعتهاي مماسي و نرمال در خارج قطره از طريق زير محاسبه ميشوند:
6-97

6-98

سرعتهاي مماسي و نرمال در داخل قطره از طريق زير محاسبه ميشوند:
6-99

توابع جريان داخلي و خارجي در خطوط با زواياي بر روي اينترفيس و ديوارههاي r=b صفر ميباشند.اين خطوط جريان را به هشت ناحيه تقسيم ميکنند.با توجه به رابطه بالا براي سرعت مماسي بر روي اينترفيس درمييابيم ماکزيمم سرعت سطح در زواياي ايجاد مي شود. تاثير ازدياد و يا کاهش شعاع خارجي b از طريق بر روي سرعت ماکزيمم اثر ميکند. علامت هميشه مثبت است لذا علامت ماکزيمم سرعت به وابسته نيست و چرخش را نشان ميدهد که خود به مقدار نسبي Rو S بستگي دارد. اگر R S ، جريان از گوشه ها (راست و چپ) به سمت نوک قطره حرکت ميکند. همانطور که از خطوط جريان پيداست ضريب تصحيحو يا محدود شدن قطره توسط ديوارهها بر روي جريان خارجي و رفتار آن تاثير
ميگذارد در حالي که خطوط جريان داخلي بدون تغيير ميمانند. در شکل(6-6) خطوط جريان براي دو سيستم و سه سايز مختلف رسم شده است. براي RS (ستون راست) بازاء سايزهاي مختلف

6-100

در حالت RS ميباشد. همانطور که اشاره شد، اثر محدود بودن ناحيه خارجي بر روي قدرت جريان توسط تنظيم ميشود که خود به نسبت هدايت الکتريکي ، نفوذ پذيري الکتريکي و ويسکوزيته وابسته است. بعبارتي اين اثر توسط نيروهاي جريان سيال و نيروهاي الکتريکي هر دو اعمال ميگردد. جهت مشخص کردن اثرات هيدروديناميکي و الکتريکي را به دو قسمت الکتريکي و هيدروديناميکي تقسيم ميکنيم . بطوريکه:
6-101

شکل (6-7) تغييرات را نسبت به نشان ميدهد. تاثير نيروهاي هيدروديناميکي با افزايش در حال کاهش هستند ولي نرخ کاهش به عکس نسبت ويسکوز بستگي دارد. در نسبت ويسکوز بيشتر نرخ کاهش کمتر است. رفتار شبيه است و بطور کلي نقش ، افزايش براي سيستمهاي B,D,E-(RS) و کاهش در سيستمهايA,C,F-(RS)

پایان نامه
Previous Entries مقاله درمورد دانلود ميدان، الكتريكي، نيروي Next Entries منابع مقاله درمورد عدم تمرکز، حسابداران، اعتبار سازه