مقاله درباره قاعده بیز

دانلود پایان نامه ارشد

باره داراييهاي مالي در مقايسه با سرمايهگذاران بيشتر خواهد دانست.
براي اينکه بحث منسجمتر گردد، در اين رساله از يک فرآيند تصادفي خاص جهت توصيف اطلاعات کارفرما درباره کارگزار استفاده شده است. در ابتدا کارگزار تعداد متناهي بعد از استانداردهاي پذيرهنويسي مختلف را متعهد ميشود و امکان دارد که از انجام هر کدام از اين ابعاد شانه خالي کند يا بر عکس آن را انجام دهد. با استفاده از اين فرآيند تصادفي IBP کارفرما ميتواند استنباط کند که کدام ابعاد از تلاش توسط کارگزار انجام شده است.
همانطور که در قسمتهاي قبل نيز ذکر گرديد، در مسئله بهينهسازي سرمايهگذار (کارفرما)، بردار تلاش e به عنوان پارامتري که توزيع احتمال پيشآمدها را تعيين ميکند، معرفي شده است. در اين قسمت به منظور انجام استنباط بيزين، بردار Z_n0 را به جاي بردار تلاش e که بانی جهت غربال نمودن قرض گیرندگان براي تجمیع nام از وامها انجام داده است، در نظر ميگيريم؛ اما توجه شود که در استنباط بيزين تمامي پارامترها از جمله بردار تلاش e، به صورت متغير تصادفي استنباط ميشوند.
بدين منظور، بردار Z_n0 به عنوان متغير تصادفي در نظر گرفته ميشود و در واقع آن پارامتري که بر بردار مشاهدات X_n0 تأثيرگذار ميباشد پارامترهاي تابع توزيع احتمال پيشين از آرايههاي تصادفي z_nk, ∀k=1,…,K در بردار Z_n0 هستند، يعني احتمالهای π_k که بر هر بعد از تلاش z_nk تأثيرگذار هستند. سپس کارفرما مثل يک آزمايشگر، درباره بردار تلاش e، از مشاهدات مربوط به پيشآمدهاي تجمیع وامها استنباط ميکند. بنابراين، با استفاده از احتمال مشترک پسين از دادهها (مشاهدات) و متغيرهاي نهفته ميتوانيم ادامه دهيم. این همان اعتقادات سرمایهگذار درباره رفتار بانی است که هنگام طراحی قرارداد منظور مینماید.

4-10- مدلسازی دادهها
به منظور روشن ساختن اینکه چگونه IBP میتواند به عنوان یک پیشین در مدلهای یادگیری غیرنظارتی مورد استفاده قرار بگیرد، یک مدل مشخصه نهفته پوآسون-گاما737 استخراج میکنیم که در این مورد ماتریس مشخصه همان ماتریس باینری Z میباشد. برای ماتریس مشاهدات مفروض X، به دنبال یافتن توزیع پسین از Z و A هستیم. از قاعده بیز داریم
p(Z,A|X┤)∝p(X├|Z,A┤)p(Z)p(A)
در این رساله ماتریس مشاهدات X، همان وضعیت نکول و عدم نکول تجمیع وامها در MBSها است. چون دادههای شمارشی738 دارای توزیع پوآسون هستند بنابراین مدل راستنمایی پوآسون، در نظر گرفته میشود. در اینصورت ماتریس مشخصههای A نیز دارای پیشین گاما با پارامترهای α و 1⁄α خواهد بود.
ما اکنون نمیتوانیم پیشینی بر روی Z قرار دهیم. چون K، تعداد مشخصههای نهفته را نمیدانیم. تمایل داریم پیشینی برای آن در نظر بگیریم که اجازه دهد K در زمان استنباط تعیین شود. فرآیند بوفه هندی یکی از گزینههای پیشرو میباشد.
تحت تقریب متناهی، احتمال مشترک دادههای X و متغیرهای نهفته W={π, Z, A} برابر است با
p_K (W, X├|θ┤)=∏_(k=1)^K▒(p(π_k ├|α┤)p(A_k0 ├|α, 1⁄α┤)∏_(n=1)^N▒〖p(z_nk |π_k ┤)〗) ∏_(n=1)^N▒〖p(X_n0 |Z_n0 A┤)〗
همچنین مجموعه پارامترها را با θ={α,1⁄α} نشان میدهیم.
در اینصورت، تابع احتمال مشترک دادهها و علامت y، f(x,y├|e┤) به صورت زير ميباشد
f(x,y├|e┤)=p_K (W, X)=∏_(k=1)^K▒(p(π_k ├|α┤)p(A_k0 ├|α, 1⁄α┤)∏_(n=1)^N▒〖p(z_nk |π_k ┤)〗) ∏_(n=1)^N▒〖p(X_n0 |Z_n0, A┤)〗
در رابطه بالا N تعداد کل اوراق بهادار MBS يا تعداد کل تجمیع مجزا از رهنها ميباشد. بنابراين N تعداد کل مشاهدات است. براي اينکه نتايج مربوط به استنباط بيزين با چارچوب تئوري انگيزه مطابقت داشته باشد، در اين رساله مشاهدات کارفرما تنها سابقه نکول براي يک تجمیع از رهنها در نظر گرفته ميشود، بنابراين ماتريس Z يک ماتريس 1×K بعدي (بردار K-بعدي) و ماتريس مشاهدات X يک ماتريس 1×D بعدي (بردار
D-بعدي) که از يک توزيع پوآسون به تصوير کشيده شدهاند، خواهند بود. بنابراين داريم
f(x,y├|e┤)=p_K (W, X_10 )=∏_(k=1)^K▒(p(π_k ├|α┤)p(A_k0 ├|α, 1⁄α┤)p(z_1k ├|π_k ┤)) p(X_10 ├|Z_10, A┤) (36)
در اين رساله جهت مدلسازي دادههاي مربوط به مشاهده نکول تجمیع وامها، مدل پوآسون-گاماي خطي متناهي با مشخصههاي نهفته باينري در نظر گرفته شده است. در اين مدل، هر مشاهده n توسط يک بردار
D-بعدي از وضعيت نکول وامها طي زمان بيان ميشود. فرض میشود بردار X_n0، از يک توزيع پوآسون با ميانگين λ=Z_n0 A و ماتريس کواريانس ∑_n▒〖=Z_n0 A〗 به تصویر کشیده شده است؛ که Z_n0 يک بردار K-بعدي باينري است و A يک ماتريس K×D بعدي از وزنها ميباشد که داراي توزيع گاما با پارامترهاي α و 1⁄α است.
بنابراين توزيع احتمال شرطيX_10 به صورت زير خواهد بود
p(X_10 ├|Z_10, A┤)=∏_(d=1)^D▒〖p(x_1d ├|Z_10, A_0d ┤)=〗 ∏_(d=1)^D▒(e^(-Z_10 A_0d ) 1/(x_1d !) 〖(Z_10 A_0d)〗^(X_1d ) )
=∏_(d=1)^D▒〖e^(-(∑_k▒〖z_1k a_kd 〗) ) 1/(x_1d !) (∑_k▒〖z_1k a_kd 〗)^(x_1d ) 〗
=e^(-(∑_k▒∑_d▒〖z_1k a_kd 〗) )×(1/(∏_(d=1)^D▒(x_1d )!))×(∏_(d=1)^D▒(∑_k▒〖z_1k a_kd 〗)^(x_1d ) ). (37)
در نتيجه بدست ميآيد
f(X,Y├|e┤)=∏_(k=1)^K▒[p(π_k ├|α┤)p(A_k0 )p(z_1k ├|π_k ┤)] 〖×e〗^(-(∑_k▒∑_d▒〖z_1k a_kd 〗) )×(∏_(d=1)^D▒1/(x_1d )!)×(∏_(d=1)^D▒(∑_k▒〖z_1k a_kd 〗)^(x_1d ) ) (38)
رابطه بالا را در نسبت راستنمايي(f_(e_k ) (x,y├|e┤))/f(x,y├|e┤) براي هر k، جايگذاري مينماييم. سپس آن را در شرط مرتبه اول بدست آمده از حل مسئله مينيممسازي هزينه براي جبران بهينه، يعني رابطه (33) به صورت زیر
1/(U^’ (s(x,y)))=λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤) (39)
جايگذاري مينماييم.
ملاحظه ميشود که برنامه جبران بهينه دوم طراحي شده توسط سرمايهگذار، s(x,y)، تابعي از مشاهدات سرمایهگذار از وضعيت اعتباري هر تجمیع از وامها، x_1d؛ اعتقادات سرمایه‌گذار راجع به ابعاد مختلف تلاش اتخاذ شده توسط باني هنگام پذيرهنويسي، z_1k؛ و اعتقادات سرمایهگذار راجع به ميزان تأثيرگذاري (وزن) و اهميت هر کدام از ابعاد استانداردهاي پذيرهنويسي اعمال شده، a_k1، بر وضعيت اعتباري تجمیع وامها، ميباشد. علاوه بر اين، شکل برنامه بهينه جبران به ترجيحات و رفتار ريسک گريزي باني بستگي دارد. در واقع برنامه جبران، کارگزار را بر مبناي اطلاعاتي که براي کارفرما قابل مشاهده است پاداش ميدهد.
در پايان ميتوان گفت که چون کارگزار ريسک گريز است، تحت برنامه جبران بهينه پارتو که در بالا بدست آمد، پرداختي به کارگزار به اطلاعاتي که کارفرما درباره تلاش او دارد z_1k, ∀k، وابسته است و بنابراين اطلاعات همواره داراي ارزش میباشد.
بر اساس مفروضاتي که در این فصل مطرح گرديد، براي يک فرم کلي از تابع مطلوبيت U(.)، برنامه بهينه براي يک سرمايهگذار ريسک خنثي، به صورت زير حل ميشود
s(x,y)=Ψ(λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤) ), (40)
Ψ(h)=U(〖U^’〗^(-1) (1⁄h)), h0.
همانگونه که انتظار نيز ميرفت، برنامه انگيزه، در گرايش افراد نسبت به ريسک739، کاهش يابنده است.
رابطه (40) همچنين دلالت دارد بر اينکه قرارداد بهينه لزوماً يک فرم ساده خطي ندارد. شکل بهينه برنامه انگيزه s(x,y) تابعي است از محتواي اطلاعاتي مشاهدات x و علامت y (از طريق نسبت راستنمايي) و انتظار نميرود که با تغييرات (x,y)، در اکثر مسائل الگوي تغييراتي ساده داشته باشد.
از طرف ديگر، توجه شود که رابطه (40) در فصل چهارم، دلالت بر آن دارد که مطلوبيت انتظاري کارگزار ميتواند به صورت زير نوشته شود
∬▒ω(R(x,y))f(x,y├|e┤)dxdy-V(e),
که
R(x,y)=(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤)
و
ω(h)=U(〖U^’〗^(-1) (1⁄(λ+μh))).
بنابراين مسئله تعيين چگونگي تقسيم بهينه عايدي بين کارفرما و کارگزار در شرايط نااطميناني به صورت بالا حل ميشود.
توجه شود که ويژگي غالب تصادفي مرتبه اول برنامه جبران، تضمين ميکند که انجام کار (e=1) براي بانی مطلوب است.
توجه شود که کارفرما (سرمايهگذار) ميداند که تحت برنامه جبراني که طراحي و پيشنهاد کرده، کارگزار (باني) کار ميکند يا شانه خالي ميکند. برنامه جبران بالا به علت اثرات انگيزهاي تا حدودي اين فرم را دارد. به عبارت ديگر، چنين ساختاري از جبران، به باني (کارگزار) انگيزه ميدهد که به جاي شانه خالي کردن، کار کند.
بر این اساس دو فرضیه مطرح شده در این رساله مورد تأیید قرار میگیرند. به عبارت دیگر
يک طراحي بهينه از اوراق بهادارسازي، ميتواند به باني براي اعمال استانداردهاي پذيرهنويسي نسبت به قرضگيرندگان، انگيزه دهد. در واقع با توجه به اینکه قید عقلانیت فردی (IR) در جواب برنامه جبران بهینه دوم بسته میشود، میتوان نتیجه گرفت که بانی به وارد شدن به این قرارداد و انجام وظایف تعیین شده انگیزه دارد زیرا او را نسبت به سایر حالات در وضعیت رفاهی بالاتری قرار میدهد.
يک طراحي بهينه از اوراق بهادارسازي، ميتواند باني را براي فروش وامها و حذف آنها از ترازنامه تشويق نمايد. این نتیجهگیری از این حقیقت گرفته میشود که قید سازگاری انگیزه (IC) در جواب برنامه جبران بهینه دوم بسته میشود.
حال که قرارداد بهينه براي اجراي هر بردار تلاش مفروض e∈E طراحي شد، سؤال اين است که کدام سطح تلاش e_k براي کارفرما، بهينه است؟ بدين منظور، سرمايهگذار به طور بهينه بردار تلاش e را به گونهاي تعيين ميکند که عايدي انتظاري وي خالص از جبران مالي به باني، ماکزيمم گردد
∫▒〖xf(x,y├|e┤)dxdy-Ψ(λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤) ) 〗.
در رابطه بالا، جمله اول (از سمت چپ) عايدي ناخالص را هنگامي که کارگزار بعد k از استانداردهاي
پذيرهنويسی يعني تلاش e_k را اعمال ميکند، نشان ميدهد. جمله دوم بيانگر جبران مالي (معادله 40) است که بايد به کارگزار به منظور دادن انگيزه و جبران تلاش انجام شده، پرداخت گردد.
اينکه آيا e_k=1 بهينه است يا e_k=0، بستگي دارد به میزان افزايش در عايدي انتظاري ناشي از انتخاب بعد تلاش k، e_k=1، به جاي شانه خالي کردن از آن e_k=0، در مقايسه با میزان هزينه پولي- به شکل عدم مطلوبيت- که اجراي بعد k از تلاش براي کارگزار به همراه میآورد.
طراحي قرارداد بين سرمايهگذار و باني در بازار ثانويه، به شکل یک جفت برنامه انگيزه و اقدام،
〖(s(x,y),e〗_k), ∀k=1,…,K است به گونهای که تحت آن باني جهت اعمال استانداردهاي پذيرهنويسي براي سرمايهگذار، انگيزه دارد (به عبارت ديگر برنامه انگيزه باني را به چنين کاري وادار ميکند) و بنابراين باني انتخاب e_k=1 ∀k=1,…,K را بهينه مييابد، چون ماکزيمم کننده مطلوبيت انتظاري او،
E{U(s(x,y))-C.e_k }, ∀k است. از طرف ديگر اين قرارداد بهينه هزينه انتظاري سرمايهگذار، E[s(x,y)]، را نيز مينيمم ميکند و چگونگي ارتباط بين برنامه انگيزه و پيشآمدها را نيز مشخص مينمايد.
بر اين اساس، قرارداد طراحي شده بالا به صورت يک توافق بر روي برنامه جبران بين سرمايهگذار و باني است مبني بر اينکه به باني مشروط بر نوع پيشآمد مشاهده شده، پرداخت شود. در نتيجه اهداف باني پذيرهنويس با اهداف سرمايهگذار همتراز ميشود و از اين رو تحت برنامه جبران بالا، کارگزار تمامي K بعد تلاش را اتخاذ خواهد کرد.

فصل پنجم

نتیجه گیری و پیشنهادها

5-1- مقدمه
اوراق بهادارسازي داراييها، يکي از مهمترين نوآوريها در بازارهاي مالي ميباشد. فرآيند اوراق بهادارسازي، تکنيک مالي تجمیع انواع مختلف و گستردهاي از داراييهاي مالي (عمدتاً غيرنقدينه) است که قابليت توليد جريان نقدي دارند. سپس اوراق بهاداري با پشتوانه اين تجمیع داراييها توليد ميشود و در نهايت اورا

پایان نامه
Previous Entries مقاله درباره بهينه، قيد، رويکرد، e Next Entries مقاله درباره and، of، the، Review.