مقاله درباره بهينه، قيد، رويکرد، e

دانلود پایان نامه ارشد

کامل معادلات در ضميمه این رساله قرار داده شده است.
در ابتدا توجه شود که تمامي اميدهاي رياضي در اين بخش نسبت به توزيع تغيير q گرفته شدهاند. بنابراين استفاده از نماد E_q را کنار ميگذاريم و به جاي آن از نماد E_W براي مشخص کردن اينکه نسبت به کدام متغيرها اميد رياضي گرفته شده است، استفاده ميکنيم. با جايگذاري عبارتها در معادله (29)، کران پايين به صورت زیر بدست ميآيد
log⁡〖p_K (X|θ┤)〗≥E_W [log⁡〖p_K (W, X|θ┤)]+H[q]〗,
=∑_(k=1)^K▒〖E_π [log⁡〖p_K (π_k |α┤)]〗 〗+∑_(k=1)^K▒∑_(n=1)^N▒〖E_(π, Z) [log⁡〖p_K (z_nk |π_k ┤)]〗 〗
+∑_(k=1)^K▒〖E_A [log⁡〖p_K (A_k0 |σ_A^2 I┤)]〗 〗+∑_(n=1)^N▒〖E_(Z, A) [log⁡〖p_K (X_n0 |Z_n0, A, σ_n^2 I┤)]〗 〗+H[q].
در معادله بالا، تمامي اميدهاي رياضي محاسبات سرراست از خانواده نمايي دارند. معادله کامل کران پايين به به صورت زير ميباشد
log⁡〖p_K (X|θ┤)〗
≥∑_(k=1)^K▒〖[log⁡〖α/K〗+(α/K-1)(ψ(τ_(k_1 ) )-ψ(τ_(k_1 )+τ_(k_2 ) ))]〗
+∑_(k=1)^K▒∑_(n=1)^N▒〖[v_nk ψ(τ_(k_1 ) )+(1-v_nk)(ψ(〗 τ_(k_2 ))-ψ(τ_(k_1 )+τ_(k_2 ) )]
+∑_(k=1)^K▒[(-D)/2 log⁡〖(2πσ_A^2 )-1/(2σ_A^2 )(tr(Φ_k )+ϕ ̅_k ϕ ̅_k^T 〗 ]
+∑_(n=1)^N▒[(-D)/2 log⁡〖(2πσ_n^2)〗-1/(2σ_n^2 ) (X_(n.) X_n0^T-2∑_(k=1)^K▒〖v_nk ϕ ̅_k X_n0^T 〗+2∑_(k +∑_(k=1)^K▒log⁡〖((Γ(τ_(k_1 ) )Γ(τ_(k_2 )))/(Γ(τ_(k_1 )+τ_(k_2 ))))-(〗 τ_(k_1 )-1)ψ(τ_(k_1 ) )-(τ_(k_2 )-1)ψ(τ_(k_2 ) )+(τ_(k_1 )+τ_(k_2 )-2)ψ(τ_(k_1 )+τ_(k_2 ))
+∑_(k=1)^K▒[1/2 log⁡〖(〖(2πe)〗^D |ϕ_k |〗 ] +∑_(k=1)^K▒∑_(n=1)^N▒〖[-v_nk log⁡〖v_nk 〗-(1-v_nk)log⁡〖(1-v_nk)〗]〗.
که ψ(.) تابع دي گاما است. استخراج روابط بالا با تمامي جزئيات در ضميمه قرار داده شده است.

4-6-1-2- به روزرساني پارامترها702
پارامترهاي تغيير به طور متوالي با استفاده از معادلات به روز رساني تغيير703، از خانواده نمايي استاندارد704، به روز ميشوند (بلي و جردن، 2004). استخراج کامل اين به روز رسانيها در ضميمه قرار داده شده است.
پارامترهای ϕ ̅_k و Φ_k، k=1, …, K، در توزيع نرمال Normal(A_k0; ϕ ̅_k, Φ_k) را به روز ميکنيم، حاصل به صورت زير ميشود
Φ_k=(1/(σ_A^2 )+(∑_(n=1)^N▒v_nk )/(σ_n^2 ))^(-1) I
ϕ ̅_k=[1/(σ_n^2 ) ∑_(n=1)^N▒〖v_nk (X_n0-(∑_(l:l≠k)▒〖v_nk ϕ ̅_l 〗)) 〗](1/(σ_A^2 )+(∑_(n=1)^N▒v_nk )/(σ_n^2 )).
پارامترهای v_nk، k=1, …, K و n=1, …, N به روز شده در توزيع برنولي Bernoulli(z_nk;v_nk) به صورت زير ميشود
v_nk=1/(1+e^(-ϑ) )
که
ϑ=ψ(τ_(k_1 ) )-ψ(τ_(k_2 ) )-1/(2σ_n^2 ) (tr(Φ_k )+ϕ ̅_k ϕ ̅_k^T )+1/(σ_n^2 ) ϕ ̅_k (X_n0^T-(∑_(l:l≠k)▒〖v_nl ϕ ̅_l 〗))
پارامترهای τ_(k_1 ) و τ_(k_2 )، k=1, …, K توزيع بتا Beta(π_k;τ_(k_1 ), τ_(k_2 )) به صورت زير به روز ميشوند
τ_(k_1 )=α/K+∑_(n=1)^N▒v_nk
τ_(k_2 )=N+1-∑_(n=1)^N▒v_nk
در اين رساله، تنها بر رويکرد تغيير متناهي تمرکز شده است و معادلات به روز رساني و ساير موارد تنها براي اين رويکرد محاسبه شدهاند.

4-7- نتايج شبيهسازي
همگرايي الگوريتمهاي تغيير ميدان ميانگين تنها به بهينههاي موضعي705 تضمين شده است، بنابراين از طريق به کارگيري تکينيکهاي بهينهسازي استاندارد ميتوان از وقوع مينيممهاي بد706 اجتناب نمود. بدین منظور به هر مرحله از اجرا، چندين عدد شروع مجدد تصادفي707 داده ميشود و ابرپارامترهاي واريانس مشخصه و نويز، به گونهاي تعديل ميشوند تا توزیع پسين را هموار گردد.
توجه شود که تعداد مشخصههاي موجود در ماتريس IBP در نمونهبردارها708 متعاقباً افزايش يا کاهش
مييابند.
با استفاده از مدل IBP، به بررسي مسئله مدلسازي عايديهاي ساختگي709 براي تجمیع وامها در اوراق MBS ميپردازيم. در اين مدل، وضعيت جريان عايديهاي ساختگی وصول شده از اوراق MBS از طريق ابعاد مختلف استانداردهاي پذيرهنويسي (يا همان مشخصههاي نهفته) انتخاب شده توسط پذيرهنويس، تعيين ميگردد. اين مدل فرض ميکند که تعداد تلاشهاي اعمال شده مجهول است و براي هر بعد تلاش، وضعيت جريان
عايديهاي هر تجمیع از وامها در هر MBS به اين صورت تعيين ميشود که آيا براي اعطاي اين وامها، اين بعد از تلاش اعمال شده است يا نه. متغير نهفته z_nk مشخص ميکند که آيا براي مشاهده (تجمیع وامهاي) n، بعد k از تلاش اعمال شده است. هدف از عمل مدلسازي، کشف هر دوي اختصاصها و تعداد ابعاد تلاش انتخاب شده، از مشاهده جريان عايديهاي يک مجموعه از تجمیع وامها ميباشد. بدين منظور، در این رساله مدل خطي-گاوسين (LG) متناهي با مشخصههاي نهفته باينري در نظر گرفته شده است.
در مدل LG، مشاهده nام توسط يک بردار D-بعدي از جريان عايدي نقدي يک تجمیع از وامها طي زمان بيان ميشود، X_n0. فرض میشود که X_n0 از يک توزيع با ميانگين Z_n0 A و ماتريس کواريانس ∑_X▒σ_X^2 I به تصویر کشیده شده است. همچنينZ_N0 يک بردار K-بعدي باينري است و A يک ماتريس K×D بعدي از وزنها
ميباشد.

4-7-1- ساختن دادهها710
در اين قسمت با استفاده از دادههاي ساختگي، رويکرد تغيير را براي مدل مشخصه نهفته خطي-گاوسين باينري متناهي (LG) اجرا711 ميکنيم. مجموعه دادههاي ساختگي شامل ماتريسهاي Z و A ميباشند که به طور تصادفي از پيشين چسباندن-شکستهاي برش خورده شده712، توليد شدهاند. در اين رساله، مجموعه دادههاي شبيهسازي شده شامل تعداد 20 مشاهده ساختگي از جريان عايديهاي نقدي وصول شده از تجمیع وامها در اوراق بهادار MBS، فرض میشود که آن را در قالب ماتريس X نشان ميدهيم.
هر جريان عايدي يک بردار با طول D=16 میباشد يعني هر مشاهده X_n0، يک بردار 16 بعدي (بعد زمان)، است. انتخاب سطح برش 4 براي K، تعيين ميکند که هر مشاهده از جريان عايديهاي X_n0، از يک زيرمجموعه 4 تايي از ابعاد مختلف تلاشهاي پنهاني (مشخصههاي نهفته) توليد شده است. به عبارت ديگر، فرض میشود که براي هر مشاهده X_n0، حداکثر 4 بعد از استانداردهاي پذيرهنويسي توسط باني براي غربال نمودن متقاضيان وام، اعمال شده است. برای اوراق بهادار MBS، ارزشهاي اين مشخصههاي نهفته (تلاشهاي پنهاني) متناظر با رديفهاي ماتريس وزني A هستند. رديفهاي ماتريس A، شدت اثرگذاري هر کدام از ابعاد تلاش را به صورت کمي تعيين ميکنند.
براي هر رديف از ماتريس باینری مشخصه نهفته Z_n0، در هر آرايه z_nk، با احتمال 0.5 مقدار 1 و با احتمال 0.5 مقدار صفر، قرار داده شده است. سپس هر مشاهده برای هر کدام از تجمیعهاي مختلف از وامها، X_n0، با اضافه کردن يک نويز سفيد با واريانس σ_n^2=0.1000 به ترکيب خطي از ماتريس وزني، بر اساس ماتريس مشخصه باينري، توليد ميشود.
در روش استنباط بيز تغيير، مقدار اوليه پارامتر α=1، قرار داديم و ماتریس Z را به صورت تصادفي از فرآیند تصادفی IBP(α) به تصوير کشيديم و مقدار اوليه σ_A^2=0.4364 قرار داديم. نوع مدل نيز LG انتخاب شده است. نمونهگيريها جهت انجام بهينهسازي به تعداد 1000 تکرار اجرا شدهاند. معيار توقفي713 که در اين رساله مورد استفاده قرار گرفته است، بهينهسازي را هنگامي که کران پايين بين تکرارهاي جاري و قبلي با ضريبي کوچکتر از 〖10〗^(-4) تغيير ميکند، متوقف ميکند.
با توضیحاتی که در بالا ذکر گرديد، نتايج بهينهسازي با استفاده از رويکرد بيز تغيير متناهي به صورت زير گزارش ميشوند.
تعداد مشخصهها K از دادههاي نمونهگيري شده و از طريق يک توزيع پسين، استنباط شدهاند. نمايش کشف شده714 از مشخصههاي نهفته بر اساس مدل فرض شده، به صورت زير است.
در ابتدا ملاحظه ميگردد که الگوريتم، جوابها را با تقریباً تعداد 6 مشخصه نهفته يافته است. يعني تعداد 6 بعد معیار پذیرهنویسی جهت اعطاي وام به متقاضيان، اعمال شده است. خروجي نرم افزار MATLAB براي ماتريس باينري Z از بعد 20×6، ماتريس متوسط پسين وزنها (A) از بعد 6×16، در پيوست گزارش شدهاند. در اين شبيهسازيها، تعداد رديفها N=20، ثابت در نظر گرفته شده است.
مقادير بهينه به روز شده براي پارامترهاي توزيع تغيير، {τ_(k_1 ),τ_(k_2 ), ϕ ̅_k,Φ_k, v_nk}، در ادامه گزارش ميشوند.
پارامترهاي تخمين زده شده τ_kn, ∀n=1,2 و ∀k=1,…, 6 توزيع بتا از متغیر تصادفی π_k، در جدول 1.4 گزارش شدهاند.

جدول 1.4. پارامترهاي توزيع بتا براي π_k
τ_61
τ_51
τ_41
τ_31
τ_21
τ_11
0.1667
0.1667
2.1667
3.1667
9.1667
14.1667
τ_26
τ_25
τ_24
τ_23
τ_22
τ_21
21.0000
21.0000
19.0000
18.0000
12.0000
7.0000

تخمین پارامتر دوم Φ_k, ∀k=1,…, 6، توزیع نرمال از متغیر تصادفی A_k0، و تخمین پارامتر v_1k, ∀n=1,…,20 و ∀k=1,…, 6 توزيع برنولي از متغیر تصادفی z_nk در جداول 1 و 3، در پيوست گزارش شدهاند.
مقدار ماکزیمم کران پايين برای 5 نقطه شروع تصادفی، در جدول 2.4 گزارش شده است.
جدول 2.4. ماکزيمم کران پايين براي 5 نقطه شروع تصادفی
Restart Num.5
Restart Num.4
Restart Num.3
Restart Num.2
Restart Num.1
28.6352
28.6352
-383.5820
16.3322
28.6352

همانطور که ميدانيم عناصر ماتريس باينري مشخصه نهفته Z، وجود يا عدم وجود مشخصهها (هر بعد از استانداردهاي پذيرهنويسي) را براي هر مشاهده نشان ميدهند، بنابراين داراي توزيع برنولي هستند که پارامتر اين توزيع، احتمال وجود آن مشخصه را نشان ميدهد. با توجه به جدول 3.4، مشخص میشود که احتمال وقوع چهار مشخصه اول مخالف صفر است، و احتمال وقوع مشخصههاي پنجم و ششم برابر صفر ميباشند. بنابراين ماتريس ميانگين پسين وزنها براي متداولترين مشخصههايي که براي اکثر وامها اعمال شدهاند و از 1000امين تکرار استنباط شدهاند، تنها براي اين مشخصهها نمايش داده ميشود که متناظر با ستونهاي اول تا چهارم ماتريس A (و جدول 2 پيوست) هستند و در جدول 4.4 گزارش شدهاند.

جدول 3.4. ماتریس باینری مشخصه نهفته Z.
Z_06
Z_05
Z_04
Z_03
Z_02
Z_01
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0

جدول 4.4. (ماتريس ميانگين پسين وزنها) مقادير برآورد شده براي متداولترين مشخصههای نهفته φ ̅_k, k=1,…,4
A_40
A_30
A_20
A_10
-0.0651
-0.0268
-0.0358
0.9695
-0.0394
-0.0474
0.0202
0.9894
1.0995
1.0653
-0.0729
0.9863
0.0246
1.0693
-0.0936
0.0241
0.0697
-0.0583
-0.0252
0.9817
0.0009
0.0210
-0.0242
-0.0169
0.9515
-0.0156
0.0363
-0.0304
-0.0261
0.9671
0.0120
0.0322
0.0029
0.1676
0.9269
-0.0362
-0.0295
-0.0162
0.9949
0.0046
1.0241
-0.0871
0.9802
-0.0019
-0.1118
1.0146
0.9870
0.0561
-0.0430
-0.0527
-0.0048
0.0062
-0.0695
-0.0418
0.0465
0.0313
0.9033
0.0027
0.1157
0.0336
-0.0235
-0.0093
-0.0158
0.0216

همانطور که در بالا نیز ذکر گرديد، وزنها در ماتريس A، شدت اثرگذاري هر کدام از ابعاد تلاش را بر مشاهدات مربوط به عايدي حاصل از تجمیع وامها در MBS، به صورت کمي تعيين ميکنند. براي مثال، براي نخستين تجمیع وامها در رديف نخست ماتريس X، رديف اول از ماتريس Z نشان ميدهد که تنها بعد دوم تلاش، تأثيرگذار بوده است. با توجه به ستون اول ماتريس A مشاهده ميکنيم که ميزان اثر گذاري اين بعد از تلاش عدد 0.9894 است که تقریباً يک ميباشد و عدد قابل توجهي است. پس نتيجه حاصل از استنباط بيز تغيير نشان ميدهد که در اوراق بهادار MBS اول، جهت اعطاي وام به متقاضيان، باني (پذيرهنويس) تنها بعد دوم از استانداردهاي پذيرهنويسي را اعمال کرده است. در اینصورت میتوان نتیجه گرفت که وضعيت جريان عايدي اين تجمیع از وامها متأثر از اين بعد از تلاش بوده است.
برای دومین مشاهده از جریان عایدیها، از ماتریس Z مشخص میشود که دو بعد اول استانداردهای پذیرهنویسی در بازار رهن اولیه توسط بانی اعمال شدهاند. میتوان همین استنباط را برای سایر مشاهدات در ردیفهای دیگر، انجام داد.
توجه شود که بر اساس نتايج بهينهسازي، بهترين تعداد نقطه شروع، 5 بدست آمده است.

4-8- طراحی بهینه اوراق بهادار MBS
مدلي که در اين رساله در نظر گرفته شده است مدل چند اقدامي715 است. مجموعه E را مجموعه اقدامهاي ممکن براي کارگزار (باني) و بردار تلاش e که K بعدي است e=(e_1, …, e_K) را به صورت
e∈E={(e_1, e_2,…,e_K )} در نظر ميگيريم. بنابراين يک بردار تلاش نشان ميدهد که کارگزار کدام بعد از تلاش را انجام داده و از کدام بعد (ابعاد) تلاش شانه خالي کرده است.
هنگامي که کارگزار همزمان چندين وظيفه را براي کارفرما اجرا ميکند، موضوعات جديدي رخ ميدهد: چگونه تعامل تکنولوژيکي ميان اين وظايف بر انگيزهها تأثير ميگذارد؟ چه نوع قرارداد انگيزه بهينه، بايد براي کارفرما فراهم گردد؟ چگونه ملاحظات انگيزهاي بر ترکيب بهينه تلاشها در طول هر بعد از عملکرد کارگزار تأثير ميگذارد؟ و مواردي از اين قبيل.
در ادبيات مسئله کارفرما-کارگزار، سيستمهاي جبران، نقش دوگانهاي را انجام ميدهند؛ از يک طرف به تخصيص ريسک ميپردازند، از طرف ديگر به تلاش انجام گرفته، پاداش ميدهند. ناسازگاري بين اين دو هدف زماني بوجود ميآيد که کارگزار ريسک گريز باشد. زيرا در چنین شرایطی فراهم کردن انگيزه براي کارگزار جهت انجام وظيفه، در اغلب موارد نوعي تحميل ريسک را به طور ناخواسته برای او موجب ميشود. (هولمستروم و ميلگروم، 1991)
اگر کارگزار قرارداد پيشنهادي کارفرما را بپذيرد، بردار تلاش e=(e_1, …, e_K ): e_k∈{0,1}, ∀k را با هزينه شخصي V(e)=C.e_k, ∀k انتخاب ميکند. تلاش انتخاب شده، براي کارفرما (سرمايهگذار) غيرقابل مشاهده است. ساختار اطلاعات در چنين چارچوبي، مشاهدات وضعيت جريانهاي نقدي تولید شده از اوراق MBS، x، است که برای سرمايهگذار طي دوره زماني معینی، مشخص ميشود. پيشآمد x لزوماً حاوی اطلاعات کامل درباره عملکرد باني نميباشد. بنابراين نسبت به جواب مرتبه اول زيان رفاهي وجود دارد.
با اين حال استفاده از ساير معيارهاي عملکرد، در کنار پيشآمد، ميتواند مطلوبيت انتظاري هر دو طرف را بهبود ببخشد، اگر بتواند انگيزهها را افزايش دهد يا تقسيم ريسک را بهبود ببخشد. اين يک شرط کافي براي با ارزش بودن اطلاعات در يک چارچوب عامليت ميباشد. بنابراين اگر شاخص y از تلاش وجود داشته باشد که با مشاهدات (وضعيت اعتباري تجمیع وامها) همبسته باشد، و تحقق آن توسط کارفرما قابل مشاهده باشد، جبران بايد بر مبناي هر دوي پيشآمد و علامت y قرار بگيرد. از اين رو، در اين رساله به دنبال يک علامت اطلاعاتي y از عملکرد (ابعاد انتخابي تلاش) هستيم که همبسته با جريانهاي نقدي حاصل شده، x (مشاهدات کارفرما)، باشد. تحقق علامت براي کارفرما (سرمايهگذار) قابل مشاهده و حاوي اطلاعاتي از سطح تلاش انتخابي باني باشد و بتواند نشانگر کار انجام شده در هر بعد k از تلاش (e_k=1) يا شانه خالي کردن از آن بعد تلاش (e_k=0) باشد. فرض ميشود که معيار عملکرد y يک متغير تصادفي است.
توجه شود که در اين رساله، انتخاب کارگزار از هر بعد تلاش، یک متغير باينري میباشد. هر بعد تلاش e_k دو مقدار ممکن ميگيرد که ما آنها را به سطح تلاش صفر و سطح تلاش يک نرمال کردهايم؛ بنابراين داريم: e_k∈{0,1}. f(├ x,y┤|e) را چگالي احتمال مشترک پيشآمد x و علامت y، براي يک بردار تلاش مفروض e، قرار ميدهيم.
فرض میشود که تلاش، ستانده مورد انتظار را به مفهوم غالب تصادفي مرتبه اول افزايش ميدهد. اين ويژگي دلالت دارد بر اينکه هر کارفرمايي که تابع مطلوبيت فزاينده در آرگومان پيشآمد پولي دارد، توزيع تصادفي پيشآمد ايجاد شده توسط سطح تلاش مثبت e_k=1، را به توزيع تصادفي پیشآمد ايجاد شده تحت سطح تلاش صفر e_k=0، ترجيح ميدهد. اين مفهوم در قيود سازگاري انگيزه در نظر گرفته شده است.
همچنين فرض ميشود کارفرما ريسک خنثي (G^”=0) و کارگزار ريسک گريز (V^” (e)<0) هستند. بنابراين کارفرما به عايديهای انتظاري توجه دارد. به عبارت ديگر، ريسک تنها بر انتخاب کارگزار و نه بر انتخاب کارفرما، تأثير خواهد گذاشت. علت اين فرض که کارگزار ريسک گريزتر ميباشد آن است که کارگزار (بانی) که قادر به متنوعسازي درآمد خود نيست، بايد ريسک گريز باشد و کارفرما (سرمایهگذار) که قادر به متنوعسازي سرمايهگذاريهاي خود است، بايد ريسک خنثي باشند.
با توجه به چارچوب معرفي شده، در این رساله در مسئله کارفرما به دنبال پاسخ به اين سؤال هستيم که قرارداد بهينه براي اجراي هر بعد تلاش مفروض در بردار تلاش e∈E، چيست؟ در چارچوب تلاش چندبعدي، پاسخ به اين سؤال تا اندازهاي پيچيده ميباشد که در ادامه مورد بررسي قرار ميگيرد.
براي حل مشکل عامليت، مطابق با گراسمن و هارت (1983)، چنانچه مسئله کارفرما-کارگزار به دو مسئله هزينهها در مقابل منافع تقسيم گردد، به طور قابل توجهي در حل آن سادهسازي بوجود خواهد آمد. بدين منظور نخست، با فرض اينکه کارفرما ميخواهد سطح بردار بهينه e را اجرا کند، روشي که تحت آن ميتوان به اين سطح تلاش با حداقل هزينه دست يافت، در نظر گرفته ميشود. سپس اينکه اجراي کدام بردار تلاش بهينه e بايد صورت بگيرد، در نظر گرفته ميشود.
چنانچه کارفرما x و y را بداند، (x را مشاهده ميکند و علامت y را بر اساس مشاهدات خويش استنباط
مينمايد) برنامه بهينه سرمايهگذار ريسک خنثي، s(x,y)، براي اجراي يک بردار تلاش e مفروض، مسئله زير را حل ميکند
min┬(s(x,y), e)⁡∬▒(s(x,y))f(x,y├|e┤)dxdy (PP)
Subject to ∬▒U(s(x,y))f(x,y├|e┤)dxdy-∑_(k=1)^K▒〖C.e_k 〗≥▁H, (IR)
e_k∈〖arg max┬(e ̃_k∈E)〗⁡〖∬▒U(s(x,y))f(x,y├|e ̃_k, e_(-k) ┤)dxdy-C.e_k 〗, ∀k (IC)
که علامت ∫∫ انتگرال دوگانه را نشان ميدهد. مجموعه E شامل تعداد متناهي اقدام يا تعداد متناهي بعد تلاش ميباشد. اگر تعداد K اقدام ممکن در مجموعه E داشته باشيم، قيدهاي انگيزه در مسئله بالا، (قيد IC)، شامل (K-1) قيد خواهند بود که بايد برآورده گردند. در اين مورد، با يک تغيير متغير که در آن ماکزيممسازي نسبت به سطح مطلوبي که کارگزار مشروط بر (x,y)، يعني U ̅(x,y)، بدست ميآورد به يک مسئله با تعداد K قيد خطي و يک تابع هدف محدب دست خواهيم يافت (گراسمن و هارت، 1983).
غالب تصادفي مرتبه اول تضمين ميکند که انجام کار (e_k=1) براي کارفرما خوب است، به اين مفهوم که براي هر کارفرما با يک تابع مطلوبيت فزاينده در آرگومان پيشآمدها (ماهيت جريان نقدي حاصل از تجمیع
وامها در MBS)، انجام تلاش و نه شانه خالي کردن، مورد توجه ميباشد. قيود سازگاري انگيزه اين هدف را با اهداف کارگزار همتراز ميکند. درواقع زمانيکه کارفرما تصميم ميگيرد به وادار کردن کارگزار به انتخاب سطح تلاش مثبت، قيد سازگاري انگيزه تضمين ميکند که کارگزار هنگام مواجه شدن با برنامه جبران s(x,y)، اجراي ابعاد متخلف تلاش را به شانه خالي کردن از آنها يا هر نوع پروفايل ديگري از تلاش ترجيح دهد و درواقع انتخاب بهينه او همان کار کردن و به انجام رسانيدن ابعاد مختلف تلاش ميباشد.
از مسئله بهينهسازي بالا و مطالب ذکر شده، مشخص ميگردد که مطلوبيتهاي انتظاري کارگزار و کارفرما در صورت مفروض بودن برنامه جبران، تعيين ميشوند. انتظار بر آن است که برنامه جبراني که به توافق آنها رسيده و عملاً به کار گرفته ميشود به گونهاي باشد که هيچ برنامه جبران ديگري به طور دوجانبه براي آنها با منفعت همراه نباشد. در اينجا فرض بر آن است که طرفين در چانهزنيهايي که متقابلاً زيانبار هستند وارد
نميشوند و اينکه اطلاعات لازم جهت محاسبه مطلوبيتهاي انتظاري يکديگر را دارند. بنابراين مسئله
کارفرما-کارگزاري که در اينجا در نظر گرفته شده است عبارت است از يافتن يک برنامه جبران بهينه پارتو؛ به عبارت ديگر، s(x,y) بهينه پارتو است اگر مسئله (PP) را حل کند.
توجه شود که فرد ريسک خنثي تابع مطلوبيتش يک تابع ثابت به صورت f(x)=x است يعني G(s(x,y))=s(x,y). همچنين توجه شود که هزينههاي تلاش براي کارگزار خطي ميباشد.
کارگزار يک تجمیع متناهي به تعداد K وظیفه را انجام ميدهد. اين فعاليتها زيرمجموعهاي از مجموعه اقدامها A⊂E هستند که کارگزار انتخاب کرده است. کارفرما ميتواند از طريق برنامه جبران، انگيزهها را کنترل کند و نيز ميتواند مجموعه وظايف مجاز را براي کارگزار تعيين نماید.
متأسفانه قيد آخر (IC) با فرم معرفي شده چندان قابل بررسي716 نيست. اما چنانچه مجموعه انتخابي کارگزار گسسته باشد، يعني انتخاب وي از بين تعداد متناهي اقدام ممکن صورت گيرد، اين فرمول قابل بررسي خواهد بود (گراسمن و هارت، 1983). در اين مورد قيد سازگاري انگيزه کارگزار را ميتوان به صورت يک مجموعه از قيدهاي نامساوي بيان نمود؛ به اين صورت که با مفروض در نظر گرفتن قرارداد پيشنهاد شده، براي هر اقدام در اين مجموعه ممکن717، مطلوبيت انتظاري کارگزار تحت آن اقدام، بايد کوچکتر يا مساوي با مطلوبيت انتظاري وي تحت اقدامي باشد که کارفرما از او ميخواهد انتخاب نمايد.
به هر حال در اين ميان تعدادي از اين قيدها قطعي718 خواهند شد، به اين معنا که کارگزار بين هر کدام از اين اقدامها تحت قرارداد مفروض، بيتفاوت ميباشد. زمانيکه کارگزار نسبت به مجموعهاي از اقدامها بيتفاوت
ميشود، فرض ميشود که وي اقدامي که از نظر کارفرما مرجحترين است را انتخاب ميکند719. روي هم رفته، قراردادهاي انگيزه به عنوان يک مسئله بهينهسازي مقيد مورد تجزيه و تحليل قرار ميگيرند.
با فرض اينکه تلاش بهينه، نقطه دروني مجموعه تلاش E ميباشد انتخاب بهينه کارگزار از تلاش، آن انتخابي خواهد بود که مطلوبيت انتظاري تخطي از سطح تلاش را معادل با صفر قرار دهد. شرط مرتبه اول موضعي کارگزار براي هر بعد تلاش e_k به صورت زير ميباشد
∬▒〖U(s(x,y)) f_(e_k ) (x,y├|e┤)dxdy〗-C=0, ∀k=1,…,K (32)
در تئوري عامليت، شرط مرتبه اول براي هر بعد تلاش k، که يک قيد تساوي ساده است، به جاي قيد سازگاري انگيزه (IC) قرار داده میشود.
ضریب λ را ضريب لاگرانژ براي قيد مطلوبيت قابل قبول (IR) و μ_kها را ضرايب لاگرانژ براي قيدهاي مرتبه اول کارگزار براي هر بعد تلاش e_k (k=1, …, K) قرار ميدهيم.
قرارداد بهينه از طريق مشتقگيري از مسئله کارفرما نسبت به s(x,y) براي هر مقدار از (x,y) بدست
ميآيد. شرط مرتبه اول براي قرارداد بهينه s(x,y) به صورت زير نتيجه ميشود
-f(x,y├|e┤)+λU^’ (s(x,y))f(x,y├|e┤)+∑_(k=1)^K▒〖(μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) U^’ (s(x,y)))=0〗
1/(U^’ (s(x,y)))=λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤) (33)
هنگامي که E يک مجموعه متناهي است، قضيه کاروش کان-تاکر720 براي مينيممسازي مسئله (PP)، هم شرط لازم و هم شرط کافي را دارد. يعني ميتوان از شرايط کان-تاکر براي توصيف و مشخص نمودن جواب بهينه استفاده نمود. در چنين شرايطي اگر s(x,y) در قيود (PC) و (IC) صدق کند، ميگوييم که s(x,y) اقدامهاي بهينه e_k^*, ∀k=1,…K را اجرا721 خواهد کرد. (گراسمن و هارت، 1983)
لم 1: در هر جوابي از مسئله (33) که در آن e_k=1 است (جواب بهينه دوم)، براي ضرايب لاگرانژ داريمλ>0 و μ_k0, ∀k. به عبارت ديگر زمانيکه بردار e جواب بهينه دوم باشد و در بهينه دوم، کارگزار بين e و e’ بيتفاوت باشد- e’ بردار تلاشي است که هزينه انجام آن کمتر از e ميباشد (وجود مسئله
انگيزه)- ضرايب لاگرانژ μ_k, ∀k اکیداً مثبت خواهند بود.
اثبات: فرض کنيد که λ=0 باشد. چون f(x,y├|e┤) غالب تصادفي مرتبه اول است؛ همانطور که قبلاً هم گفته شد، هر کارفرمايي که تابع مطلوبيت فزاينده در پيشآمد پولي دارد، توزيع تصادفي پيشآمد ايجاد شده در سطح تلاش مثبت e=1 را به توزيع تصادفي ايجاد شده در سطح تلاش صفر e=0، ترجيح ميدهد. در اینصورت خواهيم داشت:(f_(e_k ) (x,y├|e┤))/(f(x,y├|e┤))<0, ∀k. بنابراين اگر λ=0 باشد شرط (33) دلالت دارد بر اينکه U^' (s(x,y))≤0 که غير ممکن است. از اين رو ضريب لاگرانژ λ در جواب بهينه دوم اکیداً مثبت است (مس کالل، وين استون، و گرين، 1995).
اثبات اکیداً مثبت بودن μ_k, ∀kها از اين حقيقت نتيجه ميشود که اگر تمامي μ_k=0ها باشند پس U^’ (s(x,y)) براي همه kها يکسان ميشود که دلالت دارد بر اينکه به کارگزار در تمامي حالات اقتضايي دستمرد يکسان و ثابتي پرداخته ميشود. اما ميدانيم که چنين چيزي موجب ميشود که کارگزار اقدامي که مينيمم کننده هزينهها است يعني e_k=0 را انتخاب میکند که بنابراين شرط سازگاري انگيزه نقض ميشود. از اين رو بايد داشته باشيم، μ_k>0, ∀k (گراسمن و هارت، 1983).
اگر چه بعيد به نظر ميرسد که مسئله (PP) يک مسئله برنامهريزي محدب باشد، اما يک تبديل ساده از اين مسئله نشان ميدهد که رابطه (33) شرط لازم و کافي براي يک جواب بهينه را دارد. مسئله (PP) را مجدداً فرمولنويسي ميکنيم و آن را به مسئله انتخاب سطح مطلوبيت کارگزار براي هر پيشآمد (x,y)، مثلاً سطح مطلوبيت U ̅(x,y)، تبديل مينماييم. قرار ميدهيم φ(.)=U^(-1) (.). بنابراین تابع هدف به صورت زير
min┬(U ̅(x,y))⁡E[φ(U ̅(x,y))] (PP’)
Subject to E[U ̅(x,y)-C]≥▁H (IR^’ )
e_k∈argmax┬(e ̃_k )⁡E{U ̅(x,y)-C} ∀k (IC’)
تغيير ميکند که در U ̅(x,y) محدب است و قيود همگي در U ̅(x,y) خطي هستند. در اينصورت U ̅(x,y) متغير کنترل کارفرما محسوب ميشود. بعلاوه چون U مقعر است دلالت دارد بر اينکه φ محدب و بنابراين تابع هدف در U ̅(x,y) محدب ميباشد. در اينصورت مسئله (PP’) به يک مسئله بهينهسازي ساده، تبدیل ميشود: مينيمم کردن يک تابع محدب با قيود و محدوديتهاي خطي (اين امکان وجود دارد که تعداد آنها نامتناهي باشد). بالأخص اينکه، چون مجموعه E متناهي ميباشد قضيه کان-تاکر شرايط لازم براي بهينگي را دارد.
ذکر اين نکته ضروري است که در صورتي که مفروضات ذکر شده راجع به تابع مطلوبيت کارگزار، به طور حاﺻﻞجمعي تفکيکپذير بودن تابع مطلوبيت کارگزار و ساير مفروضات ذکر شده راجع به U(.) و V(.)، وجود نداشته باشند، به طور کلي امکان تبديل مسئله (PP) به يک مسئله محدب وجود نخواهد داشت.
شرايط مرتبه اول براي مسئله (PP’) به صورت زير ميشود
-φ^’ (U ̅(x,y))f(x,y├|e┤)+λf(x,y├|e┤)+∑_k▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗=0 (34)
توجه شود که بردار اقدام بهينه دوم e، ماکزيمم کننده عايدي خالص کارفرما است. برنامه انگيزه بهينه دوم برنامهاي است که يک بردار اقدام بهينه دوم e را در حداقل هزينه مورد انتظار، اجرا ميکند.
ميررلس (1975) نخستين کسي بود که خاطر نشان کرد که جواب مسئله بهينهسازي پارتو تحت رويکرد مرتبه اول همواره با جواب همين مسئله اما تحت قيد IC يکسان نخواهد بود. به ويژه اينکه، شرايط لازم براي قراردادي که برنامه کارفرما را تحت رويکرد مرتبه اول با استفاده از قضيه کان-تاکر حل ميکند، شرايط لازم براي يک قرارداد که مسئله کارفرما را تحت قيد IC حل کند، هم نخواهد بود!
استفاده از رويکرد مرتبه اول، مطالعه مدلهاي مخاطره اخلاقي استاندارد را بسيار ساده ميسازد که اعتبار آنها توسط جويت (1988) و روگرسون (1985) اثبات شده است. اما اعتبار اين روشها براي مدلهاي مخاطره اخلاقي در چارچوبهاي کليتر –مثلاً در شرایطی که کارگزار ميتواند به طور پنهاني و محرمانه قرض بگيرد (پسانداز کند)- به خوبي درک نشده است. مشکل مربوط به رويکرد مرتبه اول را ميتوان در مقاله ميررلس (1985، ص 1361-1360) در قالب يک مثال گرافيکي مشاهده نمود. در واقع، ميررلس (1974) نشان داده است که شرط یکنواخت بودن نسبت راستنمایی MLRP، همراه با شرط تحدب در تابع توزيع (CDFC) براي اعتبار رويکرد مرتبه اول بسنده ميباشند.
توجه شود که مفروضات مطرح شده در مطالعات روگرسون (1985) و جويت (1988)، براي ادبيات اوراق بهادارسازي و نتايج گرفته شده در رابطه سرمايهگذار و باني رهنها، کافي هستند زيرا اين مفروضات تنها براي بعد تلاش مطرح شدهاند. بنابراین میتوان نتیجه گرفت که رویکرد مرتبه اول برای مسئله بهینهسازی
سرمایهگذار (PP) معتبر میباشد.
در ادامه براي آشنايي بيشتر و کامل نمودن مطالب، شرايط کافي براي معتبر بودن رويکرد مرتبه اول معرفي ميگردد.

4-8-1- مشخصههاي برنامه انگيزه بهينه
در اين بخش، شرايط کافی براي معتبر بودن رويکرد مرتبه اول معرفی میشوند.
يکي از مشخصههايي که يک برنامه انگيزه بهينه s بايد داشته باشد اين است که به طور يکنواخت افزايش يابنده باشد، يعني، به کارگزار بيشتر پرداخت شود هنگامي که تحقق بالايي از ستانده مشاهده ميشود. بررسي وجود اين مشخصه کاملاً مشکل است زيرا ستانده نقش اطلاعاتي نيز دارد. مشکل از آنجا شروع ميشود که در اصل، شرط مرتبه اول (32) عمدتاً نيازمند آن است که e يک نقطه مانا در مسئله ماکزيممسازي کارگزار باشد. در ادبيات سابق، يک جواب استاندارد براي مدلهاي کارفرما-کارگزار جايگزين کردن قيد انگيزه مرتبه اول يا موضعي، در قيد سازگاري انگيزه ميباشد.
اما ثابت شده است که اين رويکرد مرتبه اول با مشکلاتي همراه است و لزوماً جواب واقعي مسئله کارفرما (PP) نميباشد. دليل آن است که ممکن است کارگزار شرط مرتبه اول (32) را حتي هنگامي که بردار تلاش e انتخاب بهينه او از تلاش نيست، برآورده کند: نخست اينکه، بردار تلاش e ميتواند يک مينيمم باشد نه يک ماکزيمم؛ از اينرو، ما حداقل ميخواهيم که کارگزار يک شرط مرتبه دوم موضعي را نيز برآورده نمايد.
به زبان رياضي، بر اساس اين شرط که مطلوبيت انتظاري کارگزار در تلاش مانا است، رويکرد مرتبه اول جايگزين قيد سازگاري انگيزه ميشود. با نگاه به اين شرط (بدون در نظر گرفتن مفروضات)
∬▒〖U(s(x,y)) f_e (x,y├|e┤)dxdy〗-V^’ (e)=0
مشاهده ميشود که چون هيچ کدام از نقاط مانا، ماکزيمم مطلق نيستند، نميتوانند يک بهينه منحصر بفرد را تضمين نمايند. اما تحت اين فرض که تلاش از يک بازه باز انتخاب شده است، تمامي ماکزيممهاي مطلق نقاط مانا خواهند بود. بنابراين، به طور کلي دو مسئله رويکرد مرتبه اول (بدون قيد سازگاري انگيزه) و مسئله اوليه (با قيد سازگاري انگيزه) ممکن است جوابهاي کاملاً متفاوتي داشته باشند. يعني سطح تلاش انتخاب شده از رويکرد مرتبه اول لزوماً در شرط سازگاري انگيزه اصلي صدق نمیکند (جويت، 1988).
در حقیقت تحت اين فرض که تلاش از يک بازه باز انتخاب ميشود و تمامي ماکزيممهاي مطلق نقاط مانا هستند، مشکل رويکرد مرتبه اول آن است که این رویکرد به کارفرما يک مجموعه انتخاب ميدهد که اکیداً بزرگتر است از مجموعهاي که با مستقیماً در نظر گرفتن قيد IC در مسئله اصلي (PP)، بدست ميآمد (جويت، 1988).
اما هنوز هم اين کافي نيست. به طور کلي، ما نيازمند آن هستيم که مطمئن شويم که تابع هدف کارگزار در e مقعر ميباشد. توجه شود که اين موضوع سادهاي نيست زيرا تقعر تابع هدف کارگزار در e هم به شکل تابع توزيع f(x,y├|e┤) و هم به شکل قرارداد انگيزه s(x,y) پيشنهادی بستگی دارد. در واقع، تنها زماني که قيد سازگاري موضعي با شروط بسنده (يکنواخت بودن برنامه انگيزه و تحدب تابع توزيع) ترکيب شود، اين دو قيد با يکديگر جهت تضمين سازگاري انگيزه، بسنده خواهند بود. براي قواعد تقسيم در حالت کلي و مطلوبيتهايي که به طور حاﺻﻞجمعي تفکيکپذير هستند، روگرسون722 (1985) و جويت723 (1988) شرايط کافي که تحت آن هر جوابي براي شرط مرتبه اول کارگزار، يک ماکزيمم مطلق را تشکيل میدهد، فراهم کردند. اگر اين شرط کافي برقرار باشد، جايگزين کردن شرط مرتبه اول (32) در رابطه (IC) معتبر خواهد بود.
مشکل ديگري که ميتواند وجود داشته باشد آن است که به طور کلي، هنگامي که شرط مرتبه دوم براي کارگزار به طور مطلق برآورده نميشود، اين امکان وجود دارد که جواب مسئله ماکزيممسازي نسبت به قيد IC در شرط مرتبه اول کارگزار صدق کند اما در شرط مرتبه اول کارفرما صدق ننمايد. به عبارت ديگر، ممکن است بهينه کارفرما شامل يک جواب گوشهاي باشد و بنابراين جواب برنامه ماکزيممسازي نسبت به قيد IC، ممکن نيست در شرايط لازم کان-تاکر از برنامه FOA صدق کند. اين نکته نخستين بار توسط ميررلس (1974) بيان شد.

4-8-2- شرايط کافي
چون پيشآمد x تصادفي است، ساختن يک برنامه جبران بهينه نيازمند فرمي از يکنواخت بودن را دارد: پيشآمد x بايد به طور تصادفي براي مقادير بزرگ از e، بيشتر باشد. روشهاي مختلفي براي انجام اين مقايسه وجود دارد. براي مثال، مقايسه بر مبناي ارزشهاي انتظاري، توابع توزيع احتمال، يا توابع توزيع تجمعي براي متغيرهاي تصادفي. وجود يک برنامه انگيزه بهينه به مفروضات ذکر شده در مسئله درباره اينکه چگونه پيشآمد با تلاش به طور تصادفي افزايش مييابد، بستگي دارد.
معمولاً اين مفروضات بر مبناي مقايسه توزيعهاي احتمال قرار دارند. در موردي که تلاش و پيشآمدها گسسته میباشند، اين مفروضات به معناي آن هستند که تلاش بالاتر احتمال پيشآمد بالاتر را حداقل به همان اندازه احتمال يک پيشآمد پايين، افزايش ميدهد. چنين فرضي نيازمند آن است که نسبت احتمال يک پيشآمد بزرگتر در مقابل يک پيشآمد کوچکتر، در تلاش افزایش‌یابنده باشد. چون تقسيم احتمالات را ميتوان به صورت نسبت راستنمايي در نظر گرفت، آن را شرط نسبت راستنمايي (MLRC) نامیدهاند (سالانير، 1998).

4-8-2-1- ويژگي نسبت راستنمايي يکنواخت (MLRP)
بر اساس رابطه (33) شرايط مرتبه اول زمانيکه کارفرماي ريسک خنثي انجام بردار تلاش e را ميخواهد
1/(U^’ (s(x,y)))=λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤)
در نتیجه
s(x,y)=Ψ(λ+(∑_(k=1)^K▒〖μ_k f_(e_k ) (x,y├|e┤) 〗)/f(x,y├|e┤) )
که
Ψ(h)=U(〖U^’〗^(-1) (1⁄h)), h0
توجه شود که در روابط بالا، بردار e بردار تلاش بهينه است. از روابط بالا مشاهده ميشود که آن چيزي که برنامه جبران s(x,y) را تعيين ميکند، راستنمايي نسبي (f_(e_k ) (x,y├|e┤))/(f(x,y├|e┤)) است: احتمال اینکه پيشآمدها از e_k=1 و نه از e_k=0، نتيجه شوند. به ويژه اينکه چون G و U مقعر هستند، معکوس U محدب خواهد بود (شرط لازم)؛ بنابراين مشتق معکوس U، مقعر غير کاهش يابنده در U ̅ ميباشد. در نتيجه يک شرط کافي براي غير کاهشي و مقعر بودن برنامه انگيزه بهينه s(x,y) در x، آن است که نسبت (f_(e_k ) (x,y├|e┤))/(f(x,y├|e┤)) براي هر مقدار از e_k،

پایان نامه
Previous Entries مقاله درباره (Z_i، Q_i، تغيير، توزيع Next Entries مقاله درباره عدم تقارن اطلاعات، عدم تقارن، مخاطره اخلاقی، رویکرد بیزی