دانلود پایان نامه با موضوع R〖، ∇〗_α، r_c^2

دانلود پایان نامه ارشد

الامبری f’ را به صورت زیر بدست آورد
□f’=ϵ□φ’=ϵ(φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R) (56-3)
با جای گذاری این عبارت در رابطه (3-55) رد معادلات میدان به شکل زیر بازنویسی می شود
R=5/6 r_c^2 ([R+ϵ(2φ-Rφ’)]^2+9ϵ^2 (φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R)^2-6ϵ(R+ϵ(2φ-Rφ’))[φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R])+5/(24M_5^6 ) T^2
+5/3 (r_c^2)/(m_p^2 ) (R(ϵφ’-1)-2ϵφ+3ϵ[φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R])T (57-3)
این معادله تا مرتبه اول ϵ به صورت زیر است
R=5/6 r_c^2 ([R^2+2ϵR(2φ-Rφ’)]-6ϵR[φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R])+5/(24M_5^6 ) T^2
+5/3 (r_c^2)/(m_p^2 ) (R(ϵφ’-1)-2ϵφ+3ϵ[φ”’∇^α R〖 ∇〗_α R+φ”□R])T (58-3)
با در نظر گرفتن ناحیه کوچکی از فضا زمان، در حد میدان ضعیف، که در آن انحنا و متریک فضا زمان به صورت (3-48) تقریب زده می شود عبارت فوق تا مرتبه اول اختلال انحنای R_1 به صورت زیر نوشته می شود

R ̈_1-∇^2 R_1+φ”’/φ” (T ̇^2-(∇T)^2+2∇R_1 ∇T-2T ̇R ̇_1 )
-[1/(10ϵ r_c^2 Tφ”)+1/ϵφ”-1/3Tφ” (φ+9/2 Tφ’)+1/2Tφ” (φ”'[T ̇^2-(∇T)^2 ]-φ”[∇^2 T-T ̈ ])] R_1
=T ̈-∇^2 T-(R ̈-∇^2 R+[∇^2 T-T ̈ ])+1/3φ” (Tφ’+2φ)-1/ϵφ” (1/(10r_c^2 )+5T/3) (59-3)
ضریب R_1 در جمله چهارم در سمت چپ تساوی به طور استاندارد مربع یک جرم مؤثر است
m_eff^2=-1/(10ϵ r_c^2 Tφ”)-1/ϵφ”+1/3Tφ” (φ+9/2 Tφ’)-1/2Tφ” (φ”'[T ̇^2-(∇T)^2 ]-φ”[∇^2 T-T ̈ ]) (60-3)
در عبارت فوق وجود r_c≈H_0^(-1)، اثر ϵ را در جمله اول از بین می برد و جمله دوم ( 1/ϵφ”) به دلیل کوچکی بیش از حد ϵ غالب خواهد شد. بنابراین چنانچه گرانش القایی به گونه ای اصلاح شود که φ”<0 باشد نظریه از یک جرم مؤثر مثبت بهره مند خواهد بود و شاخه نرمال مدل فاقد ناپایداری ماده است.
بنابراین شرط وجود پایداری ماده در مدل های f(R)-DGP را می توان به شکل کلی تر زیر نوشت
f”<0 (61-3)
به عنوان مثال از تابعی که در بحث قبل در بخش 3-3-3 آورده ایم استفاده می کنیم. مدل f(R)=R+γR^(-n) مشابه با (3-45) پارامتری شده است و γ همان نقش ϵ را بازی می کند و مقدار مثبت کوچکی است. شرط پایداری (3-61) برای این مدل ایجاب میکند که -1در بخش قبل پایداری فاز دوسیته استاندارد را با روش سیستم های دینامیکی مورد بررسی قرار دادیم. روش دیگری نیز برای بررسی پایداری این فاز وجود دارد که در آن اختلالات کوچک همگن را بر روی شاخه نرمال در نظر می گیرند [79-82]. روش کار به طور خلاصه در زیر آورده شده است. ابتدا معادله فریدمن مربوط به شامه ی دوسیته با سرعت هابل H_0 را به شکلی بازنویسی می کنیم که اثر بعد اضافه بر روی گرانش 4 بعدی f(R) دیده شود. معادله فریدمن شاخه نرمال مدل f(R)-DGP به صورت زیر است59 [80,81]
H^2=κ^2/3f’ (ρ_m+ρ_c )+1/(2〖f’〗^2 r_c^2 ) (1-√(1+2/3 r_c^2 (ρ_m+ρ_c ) )) (62-3)
ρ_c=ρ_curv/f’ است که ρ_curv چگالی انرژی سیال انحنا با رابطه (3-5) داده می شود. در فاز دوسیته 〖H=H〗_0، R_0=12H_0^2 و 〖ρ_c〗_0=1/(2κ^2 ) (12H_0^2 f_0′-f_0 ) است. کمیت هایی که با اندیس صفر مشخص می شوند فاز دوسیته را نشان می دهند. چگالی انرژی ماده معمولی نیز در این دوره تقریباً قابل چشمپوشی است. بنابراین معادله فریدمن (3-62) به شکل زیر در می آید
H_0^2=H_((4))^2+(1-√(1+2/3 r_c^2 f_0^’ f_0 ))/(2(r_c f_0^’ )^2 ) (63-3)
H_((4))^2 معادله فریدمن فاز دوسیته، مربوط به یک عالم 4 بعدی با گرانش f(R) است
H_((4))^2=f_0/(6f_0^’ ) (64-3)
همان طور که می بینیم حضور بعد اضافه تغییر در سرعت هابل را سبب می شود. با در نظر گرفتن اختلال پارامتر هابل تا مرتبه اول به صورت δH=H(t)-H_0 و یک معادله فریدمن مختل شده [79]، معادله تحولی مربوط به اختلال سرعت هابل به صورت زیر نوشته می شود
δH ̈+3H_0 δH ̇+(m_eff )^2 δH=0 (65-3)
شرط پایداری حل دوسیته این است که m_eff^2>0 باشد. که m_eff^2 به صورت مجموع سه جمله جرمی نوشته می شود
m_eff^2=m_((4))^2+m_back^2+m_pert^2 (66-3)
در نسخه 4 بعدی گرانش f(R) این جمله به عبارت زیر کاهش می یابد [79]
m_eff^2=m_((4))^2=(〖f’〗_0^2-2f_0 f’)/(3f_0^’ f”) (67-3)
در نسخه ی جهان شامه ای گرانش f(R) انتظار داریم مقیاس گذار r_c بر این ضریب جرمی تأثیر گذار باشد. m_back^2 یک اثر پس زمینه ای است که به خاطر تغییر در سرعت هابل بوجود آمده است و m_pert^2 اثر خالص بعد اضافه در اختلال است که بصورت زیر تعریف می شوند [79,80]
m_back^2=-2/(r_c^2 〖f’〗_0^2 ) (1-√(1+2/3 r_c^2 f_0^’ f_0 )) (68-3)
m_pert^2=〖f’〗_0/3f” (1-√(1+2/3 r_c^2 f_0^’ f_0 ))^(-1) (69-3)
شامه ی دوسیته در حد زیر به رژیم 4بعدی استاندارد گرانش نزدیک است
|3(1-√(1+2/3 r_c^2 f_0^’ f_0 ))/(r_c^2 f_0^’ f_0 )|≪1 (70-3)
با فرض اینکه اختلال کوچکی در کنش اینشتین- هیلبرت شامه وارد شده باشد، f_0~R_00 است و مثبت بودن ثابت گرانش نیوتن مؤثر ایجاب می کند که f_0^’ نیز مثبت باشد. با تحمیل کردن این دو فرض در نامساوی بالا به نتیجه زیر می رسیم [80-82]
r_c^2 f_0^’ f_0≫1 (71-3)
نامساوی اخیر مثبت بودن m_back^2 و منفی بودن m_pert^2 را فراهم می کند. بنابراین شامه ی دوسیته با وجود m_back^2 نسبت به فضای دوسیته 4 بعدی استاندارد پایدارتر خواهد بود. در حالی که جمله m_pert^2 از پایداری آن می کاهد. از این رو با توجه به (3-66) می توان شرط اساسی تری برای پایداری شامه ی دوسیته بدست آورد
m_eff^2m_((4))^2 ⟹ 〖f’〗_0^2<4f_0 f'' (72-3)
این شرط پایداری در مورد شامه ی نرمال دوسیته با گرانش اصلاح شده ی f(R)=R+γR^(-n) به صورت زیر در می آید
R_0^(n+1)-n(3n+4) γ^2 R_0^(-(n+1) )در شکل 3-8 کمیت M=m_eff^2-m_((4))^2 را برحسب γ و n رسم کرده ایم. فاز دوسیته در این مدل با شرط n≾-4/12 پایدار خواهد بود. رسم دو بعدی آن در شکل 3-9 مقدار n را بوضوح نشان می دهد. توجه کنید که هرچند در این محدوده ی n یک شامه ی دوسیته پایدار خواهیم داشت اما شامه از ناپایداری ماده رنج می برد.

شکل ‏38 : رفتار تابع M=m_eff^2-m_((4))^2 بر حسب γ و n.

شکل ‏39 :رسم ناحیه ی پایداری فاز دوسیته. فاز دوسیته در ناحیه ی n<-4/12 پایدار خواهد بود. در این فصل اعتبار کیهانشناختی مدل f(R)-DGP بر اساس وجود یک فاز ماده غالب و یک فاز دوسیته پایدار مورد بحث قرار گرفت. سپس چند مثال از مدل f(R) آوردیم و با شرط های بدست آمده، فضای پارامتری مدل را محدود نمودیم. در پایان به بحث در مورد ناپایداری ماده پرداختیم و بر این اساس اعتبار گرانشی نظریه را نیز تا حدودی مورد بررسی قرار دادیم. در فصل بعد نیز این بحث را ادامه می دهیم و اعتبار کیهانشناختی مدل های معتبری مثل مدل شناخته شده ی هو- ساویکی را زمانی که به عنوان گرانش القا شده بر روی شاخه ی نرمال DGP قرار گیرد مورد بررسی قرار خواهیم داد.
اعتبار کیهانشناختی نظریه ی گرانش القا شده از نوع هو-ساویکی

مقدمه
توجیح انبساط شتابدار عالم از مدل های نظری ارائه شده مهمترین چالشی است که امروزه ذهن کیهانشناسان را به خود اختصاص داده است. اما این مدل ها در یک چارچوب معینی تعریف شده اند. مدل های نظری در مقیاس انرژی های میانه نباید از چارچوب نسبیت عام استاندارد تخطی کنند. مدل های نظری ارائه شده نه تنها باید از اعتبار گرانشی برخوردار باشند باید از نظر کیهانشناختی نیز معتبر باشند. آنچه ما در این رساله بالاخص به آن پرداخته ایم معرفی چند مدل نظری بر مبنای گرانش اصلاح شده القایی و بررسی اعتبار کیهانشناختی آن ها است. یکی از مدل های گرانش اصلاح شده که در 4 بعد و در رژیم انتقال به سرخ بالا (زمان اخیر عالم) رفتاری مشابه با مدل ΛCDM از خود نشان می دهد مدلی است که هو60 و ساویکی61 معرفی کرده اند [83,84]. در این فصل مدل هو-ساویکی در نقش گرانش القایی اصلاح شده قرار خواهد گرفت و اثر بعد اضافه بر روی پارامتر های موجود در مدل نشان داده خواهد شد. اعتبار کیهانشناختی این مدل نظری را نیز به روش سیستم های دینامیکی و رسم فضای فاز آن مورد بررسی قرار می دهیم.

نظریه ی عام f(R)-DGP
این نظریه در فصل قبل به طور مفصل توضیح داده شد اما از آنجا که شکل بدون بعد معادله فریدمن در بخش بعد مورد نیاز است، در این بخش مرور کوتاهی از آن را می آوریم. معادله فریدمن از عنصر صفر-صفر معادلات میدان (3-51) بدست می آید و با فرض اینکه عالم از نظر فضایی تخت باشد به صورت زیر می باشد
H^2=8πG/3f’ (ρ^m+ρ^rad+ρ^curv )±H/(r_c f’) (1-4)
ρ^((m) ) چگالی انرژی ماده معمولی و ρ^((rad) ) چگالی انرژی عنصر تابش است. ρ^((curv) ) چگالی انرژی سیال انحنا به صورت زیر تعریف می شود
ρ^((curv) )=m_p^2 (1/2 [f(R)-Rf'(R)]-3HR ̇f”(R)) (2-4)
شکل بدون بعد معادله فریدمن را می توان به صورت زیر بدست آورد
E^2=H^2/(H_0^2 )=8πG/(3H_0^2 f’) (ρ^m+ρ^rad+ρ^curv )±(H/H_0)/(r_c H_0 f’) (3-4)
بر حسب پارامتر های پدیده شناختی چگالی Ω و انتقال به سرخ z، معادله فریدمن بدون بعد شاخه نرمال DGP (با انتخاب علامت منفی در رابطه فوق)، به صورت زیر بازنویسی می شود
E^2=Ω_m (1+z)^3+Ω_rad (1+z)^4+Ω_curv (1+z)^3(1+ω_curv ) -2√(Ω_(r_c ) ) E (4-4)
پارامتر های چگالی به صورت زیر تعریف می شوند
Ω_m=8πG/(3H_0^2 ) ρ_0^m, Ω_rad=8πG/(3H_0^2 ) ρ_0^rad, Ω_curv=8πG/(3H_0^2 ) ρ_0^curv, Ω_(r_c )=1/(4[r_c f_0^’ ]^2 H_0^2 ) (5-4)
پارامتر معادله حالت سیال انحنا از چگالی و فشار مربوط به آن در معادلات (3-5) و (3-6) به صورت زیر تعریف می شود
ω_curv=-1+(R ̈f”(R)+R ̇[R ̇f”'(R)-Hf”(R)])/(1/2 [f(R)-Rf'(R)]-3HR ̇f”(R) ) (6-4)
قابل توجه است که پارامتر معادله حالت سیال انحنا ثابت نیست و دینامیک دارد. در بخش بعد دینامیک کیهانشناختی نظریه عام f(R)-DGP را به روش سیستم های دینامیکی بررسی می کنیم. البته این بررسی در فصل قبل انجام شده است اما همان طور که از معادله فریدمن (4-4) پیداست انتخاب متغیر های دینامیکی با آنچه که در فصل قبل گفته شد کمی متفاوت است و سیال انحنا در اینجا هم ارز با یک میدان اسکالر در نظریه ی اسکالر تانسوری در نظر گرفته می شود. در ادامه خواهیم دید که پایداری فاز دوسیته به نوع میدان اسکالر هم ارز سیال انحنا بستگی خواهد داشت.

فضای فاز نظریه ی عام f(R)-DGP
برای بررسی رفتار دینامیکی مدل در چارچوب سیستم های دینامیکی لازم است تا معادلات کیهانشناختی مربوطه به شکل سیستمی از معادلات دینامیکی مستقل نوشته شود. از این رو ابتدا باید متغیر های دینامیکی مسئله را تعیین نمود. از معادله ی فریدمن (4-4) چهار متغیر دینامیکی به صورت زیر تعریف می شوند
p=√(Ω_m )/(a^(3/2) E) s=√(Ω_rad )/(a^2 E) r=√(Ω_curv )/(a^(3(1+ω_curv )/2) E) u=√(Ω_(r_c ) )/E (7-4)
با استفاده از معادله فریدمن مربوطه یک رابطه قیدی به صورت زیر بین متغیر ها برقرار می شود
1+2u=p^2+s^2+r^2 (8-4)
با رابطه فوق می توان یکی از متغیر های دینامیکی را بر حسب متغیر های دیگر بیان کرد. بنابراین تنها سه متغیر دینامیکی مستقل در این نظریه وجود دارد. همچنین با استفاده از معادله ی قیدی فریدمن می توان فضای فاز مجاز مدل را مشخص کرد. از آنجا که u پارامتری با مقدار مثبت است، فضای فاز مدل در فضای سه بعدیp-r-s ، ناحیه ی بیرون کره ای با شعاع 1 است یعنی p^2+s^2+r^2≥1 .
سیستم معادلات دینامیکی مستقل به صورت زیر بدست می آیند62
{■(p’=3p[p^2+(1+2ω_curv ) r^2+5/3 s^2-1]/2(p^2+s^2+r^2+1) @s’=3r[2p^2+8/3 s^2+(1+ω_curv )(r^2-p^2-s^2-1)]/2(p^2+s^2+r^2+1) @r’=s[2s^2+p^2+(1+3ω_curv ) r^2-2]/(p^2+s^2+r^2+1) )┤ (9-4)
پریم مشتق گیری نسبت به متغیر زمان جدید τ=ln a را نشان می دهد. نقاط ثابت یا نقاط بحرانی مدل با مساوی صفر قرار دادن سیستم معادلات مستقل (4-8) بدست می آیند. در این مدل به طور مشخص سه نقطه ثابت استاندارد وجود دارد که در جدول 4-1 آورده ایم. نقاط A و B به ترتیب فاز تابش غالب و ماده غالب مدل هستند و نقطه ثابت C فاز شتابدار عالم را نشان می دهد. البته مشخصه ی تابش، ماده و یا دوسیته بودن نقاط را از مختصات آن ها حدس زده ایم. به عنوان مثال در مختصات نقطه A فقط پارامتر r مقدار دارد و بقیه صفر هستند یعنی Ω_rad غالب است و به همین ترتیب ماده غالب بودن نقطه B را نیز حدس زده ایم. پارامتر های r و p در مختصات نقطه ثابت C صفر هستند، از این رو این نقطه فاز تابش غالب عالم و به طور مشخص فاز دوسیته است و Ω_curv غالب است. به عبارت دیگر سیال انحنا به طور مؤثر نقش انرژی تاریک را بازی می کند. از طرفی سیال انحنا در نظریه ی هم ارز اسکالر تانسوری معادل یک میدان اسکالر است. این میدان اسکالر می تواند کانونیک (ω_curv>-1) و یا غیر کانونیک (ω_curv-1) باشد.
با بدست آوردن ماتریس ژاکوبین تبدیل و ویژه مقادیر مربوطه حول نقاط ثابت می توان در مورد پایداری این نقاط بحث کرد. این ویژه مقادیر در جدول 4-1 آورده شده اند که همگی وابسته به ω_curv هستند. از این رو پایداری نقاط ثابت استاندارد را در دو زیر فضای متفاوت از فضای پارامتری مدل بررسی کرده ایم. پارامتر معادله حالت سیال انحنا، ω_curv، یا رفتاری فانتوم گونه دارد یعنی معادل با یک میدان فانتوم در نظریه ی هم ارز اسکالر تانسوری است و یا رفتاری مشابه با یک میدان اسکالر کانونیکی دارد. همان طور که از جدول (4-1) می بینیم، ماتریس ژاکوبی حول نقاط A و B حداقل یک ویژه مقدار مثبت دارد. بنابراین در هر دو زیر فضای کانونیک و غیر کانونیک، فاز تابش غالب و ماده غالب عالم فازهای ناپایداری در مدل مربوطه هستند. اما در مورد فاز شتابدار دوسیته C وضعیت متفاوت است و پایداری آن کاملاً وابسته به زیر فضای انتخاب شده است. با این ویژه مقادیر، اگر سیال انحنا نقش یک میدان فانتوم را در نظریه ی هم ارز اسکالر تانسوری بازی کند، همه ی ویژه مقادیر مربوطه منفی هستند و فاز دوسیته استاندارد یک حالت پایدار سیستم خواهد بود، در غیر این صورت یک حالت ناپایدار است.

جدول ‏41 مختصات نقاط ثابت، ویژه مقادیر ماتریس ژاکوبی و مشخصه ی پایداری نقاط
ω_curv-1
ω_curv-1
ویژه مقادیر
مشخصه نقاط
(p,s,r)
نقاط ثابت
ناپایدار
ناپایدار
[2,(1-3ω_curv )/2, 1/2]
فاز تابش غالب
(0,1,0)
A
ناپایدار
ناپایدار
[-1/2,-3ω_curv/2, 3/2]
فاز ماده غالب
(1,0,0)
B
ناپایدار
پایدار
[(3ω_curv-1)/2,3(1+ω_curv )/2,3(1+4ω_curv )/8]
فاز دو سیته
(0,0,1)
C

ذکر این نکته نیز حائز اهمیت است که هر جا ω_curv=-1 باشد، متغیر های دینامیکی s و u مستقل از هم نیستند و به همراه قید فریدمن (4-6) تنها دو متغیر های دینامیکی خواهیم داشت. بنابراین فضای فاز مربوطه دو بعدی است. در این حالت سیال انحنا نقش ثابت کیهانشناختی را بازی میکند و مدل مربوطه به طور مؤثر مشابه با مدل ΛDGP است [85]. در شکل 4-1 فضای فاز سه بعدی سیستم دینامیکی مورد نظر برای حالتی که سیال انحنا نقش یک میدان فانتوم را بازی می کند رسم شده است. همان طور که این شکل نشان می دهد سه نقطه ثابت در فضای فاز مدل دیده می شود. نقطه O یک نقطه ناپایدار زینی است. نقاط C و C’ دو حالت جاذب و پایدار سیستم هستند. البته توجه کنید که نقاط O و C’ در ناحیه ی مجاز فضای فاز قرار نمی گیرند و نقاط فیزیکی قابل قبولی نیستند. نقطه C یک فاز دوسیته (p,s,r)=(0,0,1)را نشان می دهد که حالت پایداری از سیستم است.

شکل ‏41 :: فضای فاز سه بعدی مدل های عام f(R)-DGP برای حالتی که سیال انحنا نقش میدان فانتوم با ω_curv-1 را ایفا می کند. همانطور که انتطار داریم نقطه دوسیته C یک حالت جذب پایدار سیستم است. نقاط O و C’ نقاط فیزیکی نیستند.

اعتبار کیهانشناختی گرانش القایی اصلاح شده از نوع هو- ساویکی
در بخش های قبل دینامیک کیهانشناختی یک مدل عام f(R)-DGP را مورد بررسی قرار دادیم و به این نتیجه رسیدیم که اگر سیال انحنا در نظریه هم ارز اسکالر تانسوری به طور مؤثر مشابه با یک میدان فانتوم عمل کند، نظریه شامل یک فاز دوسیته پایدار خواهد بود و مدل از نظر کیهانشناختی معتبر است. در این بخش با استفاده از نتایج بخش قبل در مورد اعتبار کیهانشناختی مدل هو- ساویکی به عنوان گرانش القایی اصلاح شده بحث خواهیم کرد. از طرفی تاریخچه ی انبساط مدل هو- ساویکی در 4 بعد در رژیم انرژی های پایین و انتقال به سرخ بالا، بسیار نزدیک به مدل ΛCDM است [83,84]. بنابراین انتظار داریم که این مدل در یک جهان شامه ای و در رژیم ذکر شده شبیه به مدل ΛDGP عمل کند. به عبارت دیگر اگر مدل هو- ساویکی در 4 بعد نقش به طور مؤثر شبیه بع یک ثابت کیهانشناختی عمل کند، در نسخه ی جهان شامه ای این مدل می تواند مشابه با ثابت کیهانشناختی باشد که با جمله ی H/r_c استتار شده است. این یک استتار دینامیکی خواهد بود که به مرور زمان کاهش می یابد [86]. اگر اینچنین باشد، اثر استتار دینامیکی منشأ اصلی برای رفتار فانتوم گونه ی سیال انحنا در شاخه ی نرمال مدل خواهد بود. مدل هو- ساویکی به صورت زیر تعریف می شود [83]
f(R)=R-m^2 (c_1 (R/m^2 )^n)/(c_2 (R/m^2 )^n+1) (10-4)
پارامتر های c_1، c_2،m^2 و n پارامتر های آزاد مثبتی هستند که بر حسب پارامتر های چگالی Ω_i بیان می شوند. ما در این قسمت می خواهیم وابستگی این پارامتر ها را به پارامتر های چگالی تعریف شده در (4-5) پیدا کنیم. ابتدا از معادلات میدان مربوطه یعنی معادله (3-51) شروع می کنیم. از رد معادلات میدان می توان به عنوان معادله حرکتی برای f'(R) استفاده کرد که به صورت زیر می باشد
R=5/(24m_5^6 ) τ^2 (11-4)
τ_αβ با معادله (3-54) داده می شود. τ=τ_α^α رد تانسور انرژی تکانه مؤثر روی شامه با رابطه زیر بدست می آید
τ=m_p^2 [2f(R)-Rf'(R)-3□f'(R)]-(ρ_m+ρ_rad ) (12-4)
معادله حرکت برای f'(R) به صورت زیر بدست می آید
R=5/6 r_c^2 ([2f-Rf’]^2+9(□f’)^2+6(Rf’-2f)□f’)
+5/3 (r_c^2)/(M_5^3 ) (Rf’-2f+3□f’)(ρ_m+ρ_rad )+5/(24M_5^6 ) (ρ_m+ρ_rad )^2 (13-4)
در گام بعدی معادله فوق را برای □f’ حل می کنیم
□f'(R)=-1/3 [(Rf'(R)-2f(R))+(ρ_m+ρ_rad)/(2r_c M_5^3 )]±1/r_c √(2R/15) (14-4)
□f’ را می توان از یک پتانسیل مؤثر به صورت □f’=(∂V_eff)/∂f’ بدست آورد. بنابراین با توجه به رابطه (4-14) این پتانسیل مؤثر می تواند یک نقطه اکسترمم در □f’=0 دارد که در رابطه زیر صدق میکند
(Rf'(R)-2f(R))+1/(m_p^2 ) (ρ_m+ρ_rad )=±1/r_c √(6/5 R) (15-4)
در رژیم انحنای بالا انتظار داریم که این مدل به مدل DGP تنها تبدیل شود. از طرفی می دانیم که در این رژیم تقریب f'(R)~1 و f(R)/R ~1 صحیح می باشد. بنابراین از رابطه فوق به رابطه زیر می رسیم
R±1/r_c √(6/5 R)=1/(m_p^2 ) (ρ_m+ρ_rad ) (16-4)
بنابراین مدل عام f(R)-DGP در رژیم انحنای بالا به DGP تنها تیدیل می شود. علامت مثبت و منفی به ترتیب مربوط به شاخه نرمال و شاخه خود شتاب مدل DGP هستند. در ادامه فقط علامت مثبت را در نظر می گیریم. برای بررسی تاریخچه انبساط عالم باید پارامتر هایی از مدل را برگزینیم که از لحاظ رصدی تاریخچه انبساط معتبری را برای مدل بدست دهند. همان طور که قبلاً ذکر شد اگر مدل هو- ساویکی در رژیم انحنای بالا (در مقایسه باm^2) رفتاری شبیه به یک ثابت کیهانشناختی از خود نشان دهد، اثر استتار دینامیکی H/r_c بر روی آن منجر به رفتار فانتوم گونه خواهد شد. در رژیم انحنای بالا که R≫m^2 است، تابع هو- ساویکی (4-10) را می توان به صورت زیر تقریب زد
lim┬(m^2/R→0)⁡f(R)≈R-c_1/c_2 m^2+c_1/(c_2^2 ) m^2 (R/m^2 )^n (17-4)
در دوره ی شتابدار زمان اخیر عالم که 〖f’〗_0 (R)~1 یا R_0≫m^2 است می توان از تقریب فوق استفاده کرد. از طرفی در این رژیم میدان انحنا در کمینه پتانسیل مؤثرش قرار دارد و رابطه (4-15) برقرار است. با قرار دادن (4-17) در (4-15) به رابطه زیر می رسیم
R+1/r_c √(6/5 R)=1/(m_p^2 ) (ρ_m+ρ_rad )+2 c_1/c_2 m^2 (18-4)
از آنجا که انحنای اسکالر R در گرانش f(R) از نوع گرانش القا شده می باشد، انتظار بر این است که فاصله گذار r_c بر پارامتر های مدل هو- ساویکی اثر گذار باشد. هو و ساویکی در [83] پارامتر m^2 را در 4 بعد به صورت 3m^2≡R_c≈ρ_0m/(m_p^2 ) بدست آوردند که ρ_0m مقدار کنونی چگالی انرژی ماده معمولی است. در نسخه ی جهان شامه ای، مقدار کنونی چگالی انرژی با رابطه زیر داده می شود
R_c±1/r_c √(6/5 R_c )=1/(m_p^2 ) (ρ_0m+ρ_0rad ) (19-4)
که اگر آن را برای R_c حل کنیم می توانیم پارامتر m^2 را به صورت زیر بنویسیم
3m^2≡R_c≈Ω_(r_c )+3Ω_m+3Ω_rad±3√(Ω_(r_c ) (0/068Ω_(r_c )+Ω_m+Ω_rad ) ) (20-4)
بنابراین مشخصه ی DGP بودن مدل در پارامتر m^2 نهفته است. از طرفی اگر در رژیم انحنای بالا (〖R≫m〗^2 ) جمله دوم در سمت راست مدل (4-10) نقش یک ثابت کیهانشناختی ر

پایان نامه
Previous Entries دانلود پایان نامه با موضوع نقطه تقاطع Next Entries منابع تحقیق درباره تحلیل داده