دانلود پایان نامه با موضوع گراویتون، g_μν، استاندارد

دانلود پایان نامه ارشد

انش 4 بعدی به گرانش 5 بعدی را نشان می دهد. در واقع گرانش 4 بعدی تا فواصل کوچکتر از r_c معتبر است و فراتر از آن، ناظر روی شامه بعد پنجم را احساس خواهد کرد. وضعیت مشابهی را در نظر می گیریم. یک ورقه فلزی که در هوا غوطه ور است را (مطابق شکل 1-11) تصور کنید. ضربه ای به یک طرف فلز می زنیم. اگر امواج صوتی را مشابه با امواج گرانشی در نظر بگیریم، صوت در طول ورق منتشر می شود و در عین حال در هوا هم انتشار می یابد. اما انرژی امواج صوتی منتشر شده در هوا خیلی کمتر از انرژی آن در طول فلز است. همچنان که از نقطه ی ضربه دور می شویم گویی امواج صوتی ای که شنونده ی روی ورقه فلزی می شنود ضعیف تر می شود و این نشان از این واقعیت است که امواج صوتی در فواصل دورتر، به ناحیه ناشناخته ای که ما آن را فضای توده می نامیم انتشار می یابند.

شکل ‏111 : نمایی از انتشار امواج صوتی از فلز به هوا در تشابه با انتشار امواج گرانشی در مدل DGP از شامه به توده

از مقایسه فوق به این نتیجه می رسیم که اگرچه ناظر روی شامه در فواصل کوتاهتر از r_c، ابعاد اضافه را نمی بیند اما فضای توده در این فواصل، از وجود میدان های گرانشی شامه استثنا نیست. در مدل جهان شامه ی DGP این مقیاس فاصله، مقیاس گذار نام دارد و به صورت زیر تعریف می شود
r_c=(M_pl^2)/(2M^3 ) (58-1)
یکی از مشخصه های مهم مدل DGP که آن را از نوع دوم مدلRS متمایز ساخته است، حضور گرانش القا شده در کنش این نظریه است. کنش در این مدل شامل دو جمله است. جمله اول، کنش اینشتاین- هیلبرت 5 بعدی است و جمله دوم، کنش مربوط به شامه است [26]
S=M^3/2 ∫▒〖d^4 x dy √(-G) R〗+∫▒〖d^4 x((M_p^2)/2 √(-g) R-M^3 √(-g) K ̅+L_m ) │_(y=0) 〗 (59-1)
G_AB متریک 5 بعدی با اسکالر انحنای R و دترمینان G می باشد درحالیکه g_μν متریک 4 بعدی القا شده بر روی شامه، با اسکالر انحنای R و دترمینان g است. پرسشی در اینجا مطرح می شود که منشا این القاییدگی از کجا است؟ در حقیقت گرانش القا شده نتیجه ی یک نوع تصحیحات حلقه های کوانتومی یعنی تصحیح تک حلقه ای29 برهم کنش بین گراویتون توده و ماده ی روی شامه است (شکل 1-11) [27]: چون در این مدل نیز، ماده و تمام میدان های مادی بر روی شامه قرار دارند، تانسور انرژی- تکانه 5 بعدی T_AB30 به صورت زیر بیان می شود
T_AB=(■(T_μν (x)δ(y)&0@0&0)) (60-1)
لاگرانژی حاصل از برهم کنش ماده با افت و خیز های متریک 5 بعدی h_μν را می توان به صورت زیر نوشت
L_int=∫▒〖d^4 x h^μν (x,y)T_μν (x)δ(y)〗=h^μν (x,0)T_μν (x) (61-1)
در اینجا متریک القا شده ی 4 بعدی g_μν بصورت زیر تعریف می شود
g_μν (x)≡G_μν (x,y=0)=η_μν+h_μν (62-1)
که η_μν متریک مینکوفسکی است. چنین برهم کنشی در چارچوب نظریه های کوانتومی می تواند یک جمله ی انرژی جنبشی 4 بعدی برای g_μν (x) تولید کند. به عنوان مثال، میدان های مادی استاندارد جرم دار در امتداد تک- حلقه کوانتومی می توانند جمله 4 بعدی زیر را در کنش انرژی های پایین سبب شوند [28]
∫▒〖d^4 x dy δ(y) √(|g| ) R〗 (63-1)
در حقیقت حضورگرانش 4 بعدی درکنش مربوطه، سبب شده است که در این مدل هیچ نیازی به خمیده بودن فضای توده- به منظور ایجاد گرانش 4 بعدی در رژیم انرژی های بالا- نباشد و در نتیجه شامه در یک فضای بی نهایت مینکوفسکی غوطه ور باشد.K انحنای عرضی شامه است که نحوه ی غوطه وری شامه در توده را نشان می دهد. اثرات انحنای عرضی به صورت جمله گیبنس-هاوکینگ در کنش وارد شده اند (K ̅ ، متوسط انحنای عرضی دو طرف شامه است). L_m لاگرانژی مربوط به میدان های مادی روی شامه می باشد.

شکل ‏112 : برهم کنش تک حلقه ای بین گراویتون توده و میدان های مادی روی شامه

معادلات میدان گرانشی از کنش (1-59) به صورت زیر بدست آمده اند
M^3 G_AB+M_p^2 δ(x^5 ) G_AB^((4))=8π δ(x^5)T_AB (x^μ) (64-1)
G_AB تانسور اینشتاین 5 بعدی و G_AB^((4)) تانسور انیشتاین مربوط به متریک القا شده بر روی شامه است. قابل توجه است که تانسور انرژی-تکانه فقط بر روی شامه قرار دارد. با استفاده از این فرض که عالم ما از سیالی کامل پر شده است، با فرض همگنی و همسانگردی بزرگ مقیاس عالم و با استفاده از شرایط مرزی دارموئیس- ایسرائیل می توان معادله فریدمن در مدل DGP را به دست آورد
H^2+K/a^2 =8πG/3 ρ+ϵ/r_c √(H^2+K/a^2 ) (65-1)
ϵ=±1 دو حل متفاوتی از مدل DGP را بدست می دهد که مطابق با نحوه ی غوطه وری شامه در فضای توده است، یعنی وابسته به اینکه بردار عمود داخلی درجهت افزایش مختصات بعد اضافه قرار گیرد یا کاهش آن، دو نوع کیهانشناخت متفاوت خواهیم داشت. مورد ϵ=+1 که از لحاظ کیهانشناختی مدل جالبی محسوب می شود، شتاب حال حاضر عالم را بدون معرفی هیچگونه انرژی تاریکی بر روی شامه بدست می دهد و به شاخه ی خود شتاب DGP شهرت دارد. در حالیکه مورد ϵ=-1، تحت عنوان شاخه ی نرمال، به تنهایی نمی تواند این شتاب را ایجاد کند.

الف) مدل DGP در رژیم انرژی های پایین (ρ→0)
با فرض اینکه بخش فضایی عالم تخت است و با بازنویسی معادله فریدمن به شکل مفید تر زیر، این مورد را بررسی می کنیم
H^2=1/(4r_c^2 ) (√((4r_c^2 ρ)/(3m_4^2 )+1)+ϵ)^2=1/(4r_c^2 ) [(1+(4r_c^2 ρ)/(3m_4^2 ))+1+2ϵ√((4r_c^2 ρ)/(3m_4^2 )+1)] (66-1)
در رژیم انرژی های پایین، رابطه ی فوق تا مرتبه ی صفرم تقریب، اینگونه نوشته می شود
H^2=1/(2r_c^2 ) (1+ϵ) (67-1)
در رژیم انرژی های پایین، رابطه ی فوق تا مرتبه ی صفرم تقریب، اینگونه نوشته می شود
DGP(+) : ρ→0 ⇒ H→1/r_c (68-1)
DGP(-) : ρ→0 ⇒ H→0 (69-1)
برای شاخه ی مثبت می توان به سادگی تغییرات فاکتور مقیاس را بدست آورد
a ~ exp(r_c^(-1) t) (70-1)
چنین فاکتور مقیاسی، به طور مشخص یک حل شتابدار انبساط را برای زمان اخیر عالم بدست می دهد. شاخه ی منفی نه تنها این فاز شتابدار را نمی دهد بلکه یک حل غیر استاندارد و به طور مجانبی ایستا برای عالم خواهد بود.

ب) مدل DGP در رژیم انرژی های بالا
برای عالمی که به طور فضایی تخت باشد (K=0)، معادله ی فریدمن به شکل ساده ی زیر تبدیل می شود
H^2=(κ_4^2)/3 ρ±H/r_c (71-1)
در رژیم انرژی های بالا که H≫〖r 〗_c است می توان از جمله دوم صرف نظر کرد
DGP(±) : H≫r_c ⇒ H^2=(κ_4^2)/3 ρ (72-1)
همان طور که نشان دادیم در هر دو شاخه ی مدل DGP ، یک حد نسبیت عام در رژیم انرژی های بالا وجود دارد. یکی از ویژگی های مهم مدل DGP تمییز پذیر بودن آن نسبت به مدل های انرژی تاریک نسبیت عام بخصوص در بازیافت نسبیت عام 4 بعدی است. اگرچه پتانسیل گرانشی در این مدل در فواصل کوچکتر از r_c خطی است اما با نسبیت عام استاندارد قابل توضیح نیست. این مسئله به این خاطر است که گرانش 4 بعدی در این مدل، از تشدید مد های KK گراویتون های جرم دار حاصل می شود و هیچ مد صفر نرمالایز شده ای از گراویتون در این مدل وجود ندارد. در حالیکه می دانیم نسبیت عام یک نظریه گرانشی است که گراویتون را بی جرم در نظر می گیرد. گراویتون های جرم دار در مقایسه با گراویتون های بی جرم که دو درجه آزادی یا دو نوع قطبش دارند، شامل پنج درجه آزادی هستند که یکی از آن ها درجه آزادی اسکالر است. به دلیل این درجه آزادی اضافی، گرانش خطی ایجاد شده، از نوع گرانش برنس- دیک 31BD خواهد بود ( البته با پارامتر BD صفر). بنابراین این مدل در یک محدوده خاصی از rنکته ای که در اینجا حائز اهمیت است این است که شاخه ی مثبت مدل DGP، هرچند از لحاظ کیهانشناسی مدل خوبی است و می تواند فاز شتابدار اخیر عالم را بدون نیاز به هیچ گونه انرژی تاریکی توجیح کند، اما مشکلات عمده ی گرانشی به همراه دارد. ناپایداری های شبح گونه ای32 که از چگالی انرژی منفی در این مدل سرچشمه می گیرد از این جمله است [32-34]. به همین دلیل شاخه مثبت مدل، از محبوبیت چندانی برخوردار نیست. ما نیز در این رساله به شاخه ی نرمال جهان شامه ی DGP پرداخته ایم.

فصل دوم- گرانش اصلاح شده ی f(R) و فضای فاز سیستم های دینامیکی

مقدمه
نسبیت عام ساده ترین نظریه گرانشی محسوب می شود که با آزمایش های منظومه شمسی کاملاً سازگاری دارد. از طرفی داده های تجربی که از سوپر نواهای نوع Ia بدست آمده اند [4,5]، عالم کنونی را در فاز شتابدار نشان می دهند و نسبیت عام قابلیت توجیح این انبساط شتابدار را ندارد. بنابراین ما به نظریه ی جامع تری نیاز داریم که هم در حالت های حدی، نسبیت عام استاندارد را در خود داشته باشد و هم پاسخگوی شتاب عالم باشد. این نظریه جامع از همان ابتدا که اینشتاین نظریه خود را معرفی کرده بود، به نوعی ساخته شد. زیرا اینشتاین برای داشتن یک عالم ایستا ثابتی را در معادلات میدان خود وارد کرده بود تحت عنوان ثابت کیهانشناختی Λ، که امروزه از آن به عنوان چگالی انرژی خلأ نام برده می شود و می تواند به عنوان نوعی انرژی تاریک، فاز شتابدار عالم را توضیح دهد. ساختن یک نظریه جامع نیاز به اصلاح معادلات میدان اینشتاین دارد. اصلاح بخش مادی معادلات اینشتاین را به عنوان انرژی تاریک می شناسیم و از اصلاح بخش هندسی آن به عنوان هندسه تاریک نام می بریم. هندسه تاریک به طرق مختلفی ایجاد می شود. یکی از آن ها مدل های مبتنی بر ابعاد اضافه و جهان شامه ای است که در فصل 1 به طور مفصل توضیح داده شد. گرانش اصلاح شده f(R) نیز که اولین بار در سال 1970 توسط هانس آدولف باچدال33 پیشنهاد شد، نوعی اصلاح هندسی محسوب می شود که اسکالر انحنا R درکنش اینشتاین- هیلبرت را به تابع f(R) تغییر می دهد [35-38]. این نوع گرانش اصلاح شده می تواند سرعت رو به رشد تحول عالم را بدون نیاز به هیچ گونه انرژی تاریک یا ماده تاریکی فراهم کند که در بخش های بعدی به بررسی آن می پردازیم.

نظریه ی گرانشی f(R)
کنش اینشتاین-هیلبرت نسبیت عام با رابطه (1-8) داده می شود. در نظریه های گرانش اصلاح شده ی f(R) کنش به شکل زیر تعمیم داده می شود
S=1/16πG ∫▒〖d^4 x √(-g) f(R)〗 (1-2)
f(R) تابع دلخواهی بر حسب R می باشد. در این گونه مدل های گرانش اصلاح شده، دو اصل وردشی برای بدست آوردن معادلات میدان وجود دارد. در وردش اول که به “فرمول بندی متریک” شهرت دارد، تنها متغیر دینامیکی مسئله متریک است. اما در وردش دوم یا “فرمولبندی پلاتینی34 “، هموستار و متریک دو متغیر مستقل از هم می باشند یعنی نمی توان هموستار را مانند هموستار لوی چویتا، معادله (1-7)، بر حسب متریک بیان کرد. در این مورد، معادلات میدان با وردش کنش نسبت به هردو متغیر بدست می آید (البته با فرض اینکه چگالی لاگرانژی در کنش مادی وابسته به هموستار نباشد). قابل توجه است در حالتی که لاگرانژی گرانشی برحسب R خطی باشد، هر دو فرمولبندی باید منجر به معادلات میدان یکسانی شوند اما در حالت عام تر، دو نسخه متفاوتی از گرانش f(R) خواهیم داشت. نسخه سومی از گرانش اصلاح شده ی f(R) هم وجود دارد تحت عنوان نسخه ی متریک- افین35 که در آن فرض مستقل بودن چگالی لاگرانژی مادی نسبت به هموستار، از فرمولبندی پلاتینی برداشته می شود. این حالت کلی ترین حالت گرانش f(R) است. ما در ادامه دو فرمالیزم اول را به اختصار توضیح خواهیم داد و در مورد نسخه سوم به منبع [35] رجوع کنید
فرمولبندی متریک
بااضافه کردن کنش مادی به کنش (2-1)، کنش کلی برای گرانش f(R) متریک به شکل زیر نوشته می شود
S_met=1/16πG ∫▒〖d^4 x √(-g) f(R)+S_M (g_μν,ψ)〗 (2-2)
ψ میدان مادی است. با وردش کنش نسبت به متریک، معادلات میدان به صورت زیر بدست می آیند
f^’ (R) R_μν-1/2 f(R) g_μν-[∇_μ ∇_ν-g_μν□] f^’ (R)=8πGT_μν (3-2)
تانسور انرژی- تکانه T_μν به صورت زیر تعریف می شود
T_μν=(-2)/√(-g) (δS_M)/(δg^μν ) (4-2)
پریم، مشتق معمولی تابع نسبت به آرگومان آن و ∇_μ مشتق هموردای مربوط به هموستار لوی چویتا است. □≡∇^μ ∇_μ نیز عملگر دالامبری است. اسکالر انحنا R شامل مشتق مرتبه دوم متریک است، بنابراین معادلات میدان (2-3) معادلات دیفرانسیل مرتبه چهارم برحسب متریک می باشند. برای حالتی که تابع f(R) برحسب R خطی باشد دو جمله آخر سمت چپ معادله (2-3) صفر می شود و نسبیت عام استاندارد قابل بازیابی است. در نسبیت عام، رد معادله اینشتاین یک رابطه جبری بین اسکالر انحنا R و T (رد تانسور انرژی- تکانه، T=g^μν T_μν) برقرار می کند
R=-kT (5-2)
در حالیکه حاصل رد معادلات میدان در گرانش f(R) متریک، یک رابطه دیفرانسیلی بین R و T است
f^’ (R) R-2f(R)+3□f^’=kT (6 -2)
با همین تفاوت معادلات میدان گرانش اصلاح شده ی f(R) نسبت به نسبیت عام استاندارد دارای جواب های متنوع تری خواهند بود. به عنوان مثال، با مقایسه دو معادله آخر می بینیم که T=0 در گرانش اصلاح شده ی f(R) (برخلاف نسبیت عام استاندارد)، لزوماً جواب R=0 نیست.
لازم به ذکر است که می توان معادلات میدان (2-3) را به فرم معادلات میدان اینشتین با یک تانسور انرژي- تکانه مؤثر (متشکل از جملات انحنایی که به سمت راست معادلات منتقل شده اند) نوشت
G_μν≡R_μν-1/2 Rg_μν
=k/(f^’ (R) ) T_μν+g_μν [f(R)-Rf^’ (R)]/(2f^’ (R) )+[∇_μ ∇_ν f^’ (R)-g_μν□f^’ (R)]/(f^’ (R) ) (7-2)
و یا به عبارت دیگر
G_μν=k/(f^’ (R) ) (T_μν+T_μν^((eff) ) ) (8-2)
G_eff≡G/(f^’ (R) )به عنوان ثابت گرانش نیوتن مؤثر، شدت جفتیدگی گرانشی را نشان می دهد. شرط مثبت بودن G_eff هم ارز با این است که گراویتون فاقد ناپایداری های شبح گونه است و لازمه ی آن مثبت بودن f^’ (R) است. تانسور انرژی- تکانه مؤثر به صورت زیر برحسب اسکالر انحنا و مشتقاتش بیان می شود
T_μν^((eff) )=1/k [(f(R)-Rf^’ (R))/2 g_μν+∇_μ ∇_ν f^’ (R)-g_μν□f^’ (R)] (9-2)
کیهانشناخت این نسخه از گرانش اصلاح شده ی f(R) در بخش بعد به تفصیل بررسی خواهد شد.

فرمولبندی پلاتینی
همانگونه که در بالا گفته شد معادلات میدان مربوط به گرانش اصلاح شده f(R) را می توان با روشی دیگر نیز بدست آورد. در این فرمولبندی که به فرمولبندی پلاتینی شهرت دارد، از کنش مربوطه نسبت به هردو متغیر مستقل متریک و هموستار وردش بعمل می آید. کنش در اینجا نیز به همان فرم (2-2) نوشته می شود با این تفاوت که تانسور ریمان و تانسور ریچی از هموستاری ساخته می شوند که مستقل از متریک است.
S_pal=1/16πG ∫▒〖d^4 x √(-g) f(R)+S_M (g_μν,ψ)〗 (10-2)
همانطور که می بینیم در این جا از نشان خاصی برای اسکالر انحنا استفاده شده است تا وجه تمایز این فرمالیزم با فرمالیزم متریک باشد. مشخصه ی دیگر این فرمول بندی این است که کنش مادی فقط تابعی از متغیر دینامیکی متریک و میدان های مادی است و مستقل از هموستار می باشد. در این جا نیز اگر تابع f(R) برحسب R خطی باشد به نسبیت عام استاندارد می رسیم.
نکته ای که در این جا حائز اهمیت است این است که هموستار افین معمولاً انتفال های موازی و مشتق هموردا را تعریف می کند. از طرف دیگر فرض می شود که کنش مادی S_M یک اسکالر ناوردا است و شامل مشتقات میدان های مادی است. این میدان های مادی ممکن است میدان های اسکالر، میدان های برداری (مثل میدان های الکترومغناطیس) و یا میدان های تانسوری باشند. هرچند در مورد میدان های اسکالر مشتق هموردا هم ارز با مشتق معمولی است اما در حالت کلی به دلیل امکان وجود میدان های تانسوری، در کنش مادی نظریه مشتق هموردا ظاهر می شود. بنابراین به طریقی که گفته شد لاگرانژی مادی نظریه به هموستار وابسته است. در توجیه این مسئله که در فرمایزم پلاتینی باید کنش مادی مستقل از هموستار باشد می توان دو راه پیشنهاد کرد: یا محدودیت هایی بر روی نوع میدان های مادی کنش S_M وجود دارد که باعث عدم وابستگی S_M به هموستار می شود، یا هموستاری که در تعریف مشتق هموردا وارد می شود همان هموستار لوی چویتای متریک است. راه اول به دلیل محدودیت های موجود از عمومیت مسئله کم می کند و قابل قبول نیست، پس راه دوم را می پذیریم. اما با این فرض که هموستار مستقل Γ_να^μ مشتق هموردا و انتقال موازی را تعریف نمی کند یعنی هموستار مستقل چیزی جدا از هموستار لوی چویتا است که منجر به یک هندسه ی شبه ریمانی می شود.
با وردش کنش نسبت به دو متغییر مستقل متریک و هموستار به ترتیب به معادلات میدان زیر می رسیم
f^’ (R) R_((μν) )-1/2 f(R) g_μν=kT_μν (11-2)
-∇ ̅_λ (√(-g) f^’ (R) g^μν )+∇ ̅_σ (√(-g) f^’ (R) g^(σ(μ) ) δ_λ^(ν))=0 (12-2)
∇ ̅_μ مشتق هموردا نسبت به هموستار مستقل است. (μν) و [μν] به ترتیب متقارن و پادمتقارن بودن کمیت نسبت به اندیس های μ و ν را نشان می دهند. با گرفتن رد معادله اول یک رابطه جبری بین R و T به صورت زیر برقرار می شود
f^’ (R) R-2f(R)=kT (13-2)
رد معادله میدان (2-12) به صورت ∇ ̅_σ (√(-g) f^’ (R) g^σν )=0 می باشد که می توان آن را به شکل کاربردی تر زیر نوشت
∇ ̅_λ (√(-g) f^’ (R) g^μν )=0 (14-2)
متریک همدیس با g_μν را به صورت زیر تعریف می کنیم
h_μν=f^’ (R) g_μν (15-2)
با توجه به اینکه در D بعد، h=(f^’ (R))^D g می باشد می توان رابطه زیر را بدست آورد [35,36]
√(-h) h^μν=√(-g) f^’ (R) g^μν (16-2)
با مقایسه روابط (2-14) و (2-16)، مشتق هموردای متریک همدیس صفر می شود: ∇ ̅_λ h^μν=0. همان طور که می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه مشتق هموردای متریکی صفر باشد این است که هموستار یک هموستار لوی چویتا (هموستار متریک) باشد
Γ_( μν)^λ=1/2 h^λσ (∂_μ h_νσ+∂_ν h_μσ+∂_σ h_μν ) (17-2)
و یا هم ارز با آن می توان هموستار را برحسب متریک g_μν و اسکالر انحنا R نوشت
Γ_( μν)^λ=1/(2f^’ (R) ) g^λσ [∂_μ (〖f^’ (R)g〗_νσ )+∂_ν (f^’ (R) g_μσ )+∂_σ (〖f^’ (R)g〗_μν )] (18-2)
با استفاده از رابطه جبری بین R و T، یعنی با جایگذاری معادله (2-13) در عبارت فوق، می توان هموستار را برحسب متریک و میدان های مادی نوشت. در نظریه های گرانش اصلاح شده ی f(R)، اگر بتوان بازتعریف مناسبی برای میدان های گرانشی و میدان های مادی پیدا کرد می توان آن را از نظر دینامیکی هم ارز با نظریه برنس-دیک دانست[39-42] .
تحت تبدیلات همدیس، هموستار مستقل از متریک Γ_( μν)^λ در فرمولبندی پلاتینی به هموستار لوی چویتای h_μν (معادله ی (2-17)) تبدیل می شود. تانسور ریچی و اسکالر انحنا نیز تحت تبدیلات همدیس به صورت زیر در می آیند
R_μν=R_μν+3/〖2(f^’ (R))〗^2 (∇_μ f^’ (R))(∇_ν f^’ (R))-1/(f^’ (R) ) (∇_μ ∇_ν-1/2 g_μν□) f^’ (R) (19-2)
R=R+3/2 1/(f^’ (R))^2 (∇_ν f^’ (R))(∇^ν f^’ (R))+3/(f^’ (R) )□f^’ (R) (20-2)
قابل توجه است که تانسور ریچی R_μν از هموستار لوی چویتای h_μν (معادله (2-17)) ساخته می شود و R اسکالر انحنای h_μν است در حالی که R از تنجش R_μν با متریک g_μν بدست می آید. با جایگذاری روابط فوق در معادله (2-13) معادلات میدان به صورت زیر بدست می آیند
G_μν=k/f^’ T_μν-1/2 g_μν (R-f/f’)+1/f^’ (∇_μ ∇_ν-g_μν□)f’
-3/(2〖f’〗^2 ) [(∇_μ f^’ )(∇_ν f^’ )-1/2 g_μν (∇f’)^2 ] (21-2)
با فرض اینکه ما ریشه ی معادله (2-13) را بصورت R=R(T) بدانیم (هموستار مستقل برحسب میدان های مادی بیان شود)، آنگاه معادلات میدان (2-11) و (2-12) که به یک معادله کاهش یافته است ( معادله (2-21)) را می توان فقط برحسب متریک و میدان های مادی بیان کرد. بنابراین نظریه ی f(R) پلاتینی هم ارز با نسبیت عام با یک چشمه مادی اصلاح شده است.
در مورد فرمالیزم سوم یعنی گرانش متریک-افین فقط اشاره کوتاهی داریم به این نکته که یکی از فرض های اساسی فرمولبندی پلاتینی در اینجا برداشته می شود: در فرمالیزم پلاتینی فرض کرده ایم که کنش مادی مستقل از هموستار باشد و آن هموستاری که مفهوم هندسی معمول- انتقال موازی و مشتق هموردا – را با خود دارد و در کنش مادی نظریه در مشتق گیری از میدان های مادی ظاهر می شود لاجرم هموستار لوی چویتا است نه هموستار مستقل. حال در فرمولبندی متریک- افین فرض می کنیم هموستار مستقل Γ_( μν)^λ، همان مفهوم هندسی معمول را داشته باشد. آنگاه کنش مادی نظریه تابعی از هموستار مستقل خواهد بود
S_ma=1/16πG ∫▒〖d^4 x √(-g) f(R)+S_M (g_μν,Γ_( μν)^λ,ψ)〗 (22-2)
در مورد نحوه ی بدست آوردن معادلات میدان در گرانش متریک- افین اشاره ای نخواهیم داشت و این مبحث را اینجا به اتمام می رسانیم (برای جزئیات بیشتر رجوع کنید به [35]).
ذکر این نکته هم اینجا ضروری است که گرانش اصلاح شده ی f(R) را می توان از نظر دینامیکی هم ارز با یک نظریه ی اسکالر- تانسوری دانست. گرانش f(R) در هردو فرمالیزم متریک و پلاتینی خود می تواند هم ارز با نظریه اسکالر تانسوری برنس-دیک باشد. با بازتعریف مناسبی از میدان های مادی و گرانشی نظریه f(R) می توان نشان داد که دو فرمولبندی متریک و پلاتینی مدل هم ارز با نظریه برنس- دیک به ترتیب با پارامترهای ω_BD=0 و ω_BD=-3/2 می باشند. از نظر دینامیکی هیچ هم ارزی بین فرمالیزم متریک- افین و نظریه برنس- دیک وجود ندارد [35,39,40]. برای جمع بندی، این نتایج را به صورت نموداری در شکل 2-1 آورده ایم

کیهانشناخت گرانش اصلاح شده ی f(R)
در این بخش کیهانشناخت گرانش f(R) در دو فرمولبندی متریک و پلاتینی را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم تا ببینیم چگونه این مدل می تواند با دینامیکی متفاوت با نسبیت عام استاندارد، انبساط شتابدار عالم را توصیف کند. از کیهانشناخت استاندارد (در فصل 1) می دانیم که تنها با فرض همگنی و همسانگردی بزرگ مقیاس عالم، می توان به متریک فریدمن- رابرتسون- والکر FRW دست یافت
ds^2=-dt^2+a^2 (t)[〖dr〗^2/(1-kr^2 )+r^2 (〖dθ〗^2+〖sin(θ)〗^2 〖dφ〗^2 )] (23-2)
که (t,r,θ,φ) مختصات همراه هستند. از فصل 1 به یاد داریم که k=-1,0,1 به ترتیب مربوط به عالم بسته، تخت و باز (از نظر فضایی) هستند. در ادامه فصل برای سادگی تنها حالت k=0 در نظر گرفته می شود36. همچنین می توان عالم را مملو از سیالی کامل در نظر گرفت که با تانسور انرژی- تکانه زیر توصیف می شود
T_μν=(ρ+P) u_μ u_ν+Pg_μν (24-2)
حال کیهانشناخت عالم را در هر یک از دو فرمولبندی به طور جداگانه بررسی می کنیم.

کیهانشناخت عالم در فرمولبندی متریک
با قرار دادن متریک FRW در معادلات میدان (2-7) و با فرض اینکه تانسور انرژی- تکانه از نوع (2-24) باشد می توان معادله فریدمن و معادله ریچادوری را به صورت زیر بدست آورد
H^2=k/3f’ [ρ+(Rf’-f)/2-3HR ̇f”] (25-2)
2H ̇+3H^2=-k/f’ [p+(R ̇ )^2 f”’+2HR ̇f”+R ̈f”+1/2 (f-Rf’)] (26-2)
همانطور که قبلا یاد آور شدیم، برای مثبت بودن ثابت جفتیدگی گرانشی مؤثر یعنی G_eff، لازم است f’>0 باشد [35] و برای اجتناب از ناپایداری 37DK (یا ناپایداری ماده، که در فصل 3 به تفصیل در مورد آن بحث خواهیم کرد )، شرط f”0 را به نظریه وارد می کنیم [73]. یکی از ویژگی های بارز گرانش f(R) توضیح انبساط شتابدار بدون نیاز به انرژی تاریک در کیهانشناخت عالم است. روشی آسان برای نشان دادن این ویژگی یک تصویر مؤثر از فشار و چگالی انرژی هندسی است
ρ_eff=(Rf’-f)/2f’-(3HR ̇f”)/f’ (27-2)
p_eff=((R ̇ )^2 f”’+2HR ̇f”+R ̈f”+1/2 (f-Rf’))/f’ (28-2)
با این تعریف، در خلأ یعنی در حد ρ→0 معادله فریدمن و معادله شتاب را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد
H^2=κ/3 ρ_eff (29-2)
a ̈/a=-κ/6 [ρ_eff+3p_eff ] (30-2)
اثرات انحنای اصلاح شده را می توان به عنوان سیالی در نظر گرفت که با فشار منفی سبب انبساط شتابدار عالم می شود. پارامتر معادله حالت موثر سیال انحنا به صورت زیر بیان می شود
ω_eff≡p_eff/ρ_eff =-1+2 ((R ̇ )^2 f”’-HR ̇f”+R ̈f”)/(Rf’-f-6HR ̇f”) (31-2)
همان طور که از رابطه فوق پیداست اینکه سیال انحنا منجر به فاز شتابداری برای عالم شود ( ω_eff-1/3 )، بستگی به نوع تابع f(R) دارد . به عنوان مثال برای اینکه گرانش f(R) رفتاری دوسیته38 از خود نشان دهد با ω_eff=-1 ، تصحیحات گرانش باید به گونه ای باشد که شرط زیر برقرار شود [35]
f”’/f”=(HR ̇-R ̈)/(R ̇ )^2 (32-2)
البته این نظریه ها با هر شکل تابع f(R) نه تنها باید از نظر کیهانشناختی معتبر باشند، بلکه از نظر گرانشی یا به طور کلی از نظر فیزیکی هم باید معتبر باشند. به عنوان مثال برآوردن حداقل شرایط انرژی در فیزیک می تواند در اعتبار گرانشی نظریه مؤثر باشد. همچنین باید متذکر شد که تصحیحات درجه دوم انحنا مثل R^2، R_μν R^μν و یا R_μνρσ R^μνρσ درجات آزادی اضافه ای به نظریه وارد می کنند. می دانیم که نسبیت عام نظریه ی گرانشی است که گراویتون را بی جرم در نظر می گیرد. در حالی که با وارد شدن درجات آزادی اضافه از تصحیحات درجه دوم انحنا، ممکن است مد های گراویتون اسپین 2، مدهای اسکالری و یا برداری روی کار آیند. در گرانش اصلاح شده ی f(R) یک مد اسکالر جرم دار به عنوان یک درجه آزادی اضافه وارد نظریه می شود که باعث هم ارزی این نظریه با نظریه اسکالر- تانسوری می شود [39,40].

کیهانشناخت عالم در فرمولبندی پلاتینی
با فرض اینکه در مقیاس کیهانشناختی بتوان فضا- زمان را با متریک FRW توصیف کرد و ماده از نوع سیال کامل باشد، با قرار دادن معادلات (2-23) و (2-24) با k=0 در معادلات میدان (2-11) و (2-14) می توان معادله فریدمن اصلاح شده زیر را بدست آورد
(H+1/2 f ̇’/f’)^2=1/6 κ(ρ+3p)/f’+1/6 f/f’ (33-2)
نقطه ی روی کمیت ها، مشتق گیری آن ها نسبت به زمان را نشان می دهد. معمولاً سیال کیهانشناختی با چگالی انرژی ρ را ترکیبی از ماده معمولی غبار و تابش در نظر می گیرند که به ترتیب دارای چگالی انرژی ρ_m ( با فشار p_m=0 ) و چگالی انرژی ρ_r ( با فشار p_r=ρ_r/3 ) هستند. با استفاده از رابطه (2-13) و با علم بر اینکه برای عنصر تابش، کمیت T=(-ρ+3p) برابر با صفر است، می توان یک رابطه جبری بین اسکالر انحنا R و چگالی انرژی غبار برقرار کرد
f^’ (R) R-2f(R)=-κρ_m (34-2)
با ترکیب معادله فوق با معادله پایستگی انرژی یعنی ρ ̇_m+3Hρ_m=0 ، می توان عبارت زیر را بدست آورد
R ̇=-3H(Rf’-2f)/(Rf”-f’) (35-2)
اگر عبارت فوق را با R ̇ موجود در معادله فریدمن (2-33) جایگزین کنیم، شکل معمول معادله فریدمن را ( با یک جمله تصحیحی ) به صورت زیر بدست می آوریم
H^2=κ/3f’ ρ+1/6f’

پایان نامه
Previous Entries پایان نامه رایگان درمورد فتوولتائيک، خورشيدي، انرژي Next Entries دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی، چند متغیره