دانلود پایان نامه با موضوع نقطه تقاطع

دانلود پایان نامه ارشد

(33-3)
جواب اول منجر به یک مقدار تعریف نشده برای نقطه ثابت E می شود که در اینجا مورد بحث قرار نمی گیرد. از جواب دوم، مختصات نقطه ثابت E به صورت زیر است
0 , (Γ^((1-n) )+4(1-n))/2n(1-n) , (Γ^((1-n) )+4(1-n))/2(1-n) , Γ^((1-n) ) (34-3)
Γ^((1-n) ) مقدار Γ در m=1-n می باشد. در ادامه، اعتبار کیهانشناختی این مدل را با تفسیر نمودار m بر حسب r مربوطه (شکل 3-6) بررسی می کنیم. منحنی قرمز رنگ در شکل 3-6، تابع m(r) مدل، یعنی رابطه (3-30) را نشان می دهد. خط چین موجود در شکل، منحنی m(r) مربوط به نقطه ثابت E است. در شکل، رابطه (3-30) به ازای n=0/13 در سمت چپ و به ازای n=1/2 در سمت راست رسم شده است (با این دو انتخاب مطمئن می شویم که دوره ی ماده غالب عالم در این مدل تأمین می شود). فاز دو سیته ی استاندارد از منحنی بحرانی C باr=-2 در شکل نشان داده می شود که البته فقط ناحیه پایداری این فاز ( m≥0/09 ) را با نقطه چین آبی رنگ می بینیم. نقطه تقاطع دو منحنی که در شکل با A نشان داده شده است، با مختصات m(r=-0/13)=0/87 در سمت چپ و با مختصات m(r=-1/2)=1/2 در سمت راست، به ترتیب فاز ماد غالب و فاز شتابدار غیر فانتومی را نشان می دهد که هردو از نقطه ثابت E تأمین می شود.

شکل ‏36 : نمودار m-r مربوط به مدل f(R)=R+γR^n به ازای n=0/13 (شکل سمت چپ) و n=1/2 (شکل سمت راست). خط چینی که در دو نمودار می بینیم رابطه m-r مربوط به نقطه ثابت E است. خط r=-2 فاز دوسیته استاندارد را نشان داد. نقطه چین آبی ناحیه m≥0/09 ، شرط پایداری فاز دوسیته استاندارد، را نشان می دهد.

توجه کنید که در مدل اول با m(r=-0/13)=0/87، منحنی بحرانی D وجود نخواهد داشت و فاز ماده غالب در این مدل از نقطه ثابت E تأمین می شود. در حالیکه در مدل دوم با m(r=-1/2)=1/2، فاز ماده غالب با یک نقطه روی منحنی بحرانی D بدست می آید و نقطه تقاطع A در شکل که نماینده نقطه ثابت E در مدل است، یک فاز شتابدار غیر فانتومی را نشان می دهد (به شکل 3-1 نگاه کنید). اگر منحنی m-r مدل مربوطه به خط r=-2 برسد، نقطه تقاطع جدید فاز دوسیته موجود در نظریه است اما اگر به ناحیه ی m≥0/09 از r=-2 یعنی به نقطه چین آبی رنگ برسد نقطه تقاطع آن ها یک فاز دوسیته ی پایدار است. تنها مدل هایی که منحنی m(r) مربوط به آن ها به نقطه چین آبی برسد از نظر کیهانشناختی معتبر خواهند بود.
همان طور که از شکل 3-6 می بینیم، منحنی قرمز رنگ سمت چپ در m=-0/065 و در سمت راست در m=-1/2 به فاز دوسیته استاندارد می رسد. بنابراین ارتباط خوش تعریفی بین دوره ی ماده غالب و فاز دوسیته وجود ندارد. به عبارت دیگر، دوره ماده غالبی که در عالم f(R)-DGP با f(R)=R+γR^n وجود دارد هیچ گاه به یک فاز دوسیته پایدار نمی رسد. چنین نظریه ای از لحاظ کیهانشناختی چندان معتبر نیست.
(ب) f(R)=R^n exp(η/R)
در این مدل پارامتر m به صورت زیر تعریف می شود
m(r)=-(n+r(2+r))/r (34-3)
که مستقل از ηاست. همانگونه که قبلاً اشاره کردیم، فاز ماده غالب را می توان از نقطه ثابت E بدست آورد که پارامتر m(r) آن با رابطه (3-31) داده می شود. از روابط (3-31) و (3-34) دو جواب برای پارامتر m بدست می آید.
m=(1±√(9-8n))/4 (35-3)
اگر نقطه ثابت E نماینده ی دوره ماده غالب در فضای فاز باشد یعنی مدل هایی با مشخصه ی m(r=-0/13)=0/87، آنگاه با توجه به رابطه (3-35)، n=0/35 بدست می آید. در مدل هایی با m(r=-1/2)=1/2 که نقطه ی ثابتی از منحنی D نماینده دوره ماده غالب و نقطه ثابت E همچنان یک دوره شتابدار است، رابطه (3-35) مقدار n=1 را بدست می دهد. در شکل 3-7 منحنی m-r مربوط به f(R)=R^n exp(η/R) به ازای n=0/35 در سمت چپ و به ازای n=1 در سمت راست رسم شده است. همان طور که می بینیم منحنی سمت چپ در ناحیه ی پایداری m=0/2 و منحنی سمت راست در ناحیه پایداری m=1/2 به فاز دوسیته استاندارد می رسند. بنابراین این مدل در هر نوع خود به یک فاز دوسیته ی پایدار می رسد و از این رو از اعتبار کیهانشناختی نیز برخوردار است.

شکل ‏37 : نمودار m-r مربوط به مدل f(R)=R^n exp(η/R) به ازای n=0/35 (شکل سمت چپ) و n=1 (شکل سمت راست). منحنی سمت چپ در ناحیه ی پایداری m=0/2 و منحنی سمت راست در ناحیه پایداری m=1/2 به فاز دوسیته استاندارد می رسند.

همان طور که می دانیم در شاخه ی نرمال DGP برخلاف شاخه ی خود شتاب آن، دیگر مشکل ناپایداری های شبح گونه وجود ندارد. از طرفی دیگر منشأ ناپایداری های شبح گونه در شاخه ی خود شتاب، پس زمینه ی کیهانی دوسیته است. از این رو هیچ تضمینی نیست که در نظریه ی f(R)-DGP، که از شاخه نرمال آن فاز دوسیته پدید آمده است، چنین ناپایداری هایی دوباره ظاهر نشود. در حالت کلی نظریه های گرانش اصلاح شده f(R) به نوبه ی خود ناپایداری های انرژی منفی ایجاد می کنند. بنابراین در مدل های جهان شامه ای که گرانش القا شده ی آن ها به شکل f(R) اصلاح شده باشد این ناپایداری ها دوباره ظاهر خواهند شد. در بخش بعد ما به بررسی این گونه ناپایداری ها خواهیم پرداخت و هدف ما از این بحث ها گزینش مدل هایی است که علاوه بر اعتبار کیهانشناختی، از اعتبار گرانشی نیز برخوردار باشند.

ناپایداری Dolgov-Kawasaki
مدل های مبتنی بر گرانش اصلاح شده f(R)، از این جهت که می توانند به تنهایی انبساط شتابدار اخیر کیهانی را توضیح دهند بسیار مورد توجه کیهانشناسان قرار گرفته اند. اینکه به کنش گرانشی نسبیت عام استاندارد یک سری جملات غیر خطی از اسکالر انحنا اضافه شود هر چند ممکن است پیامد های کیهانشناختی خوبی به همراه داشته باشد اما چندان هم بی ضرر نیست. این جملات سبب معادلات حرکت مراتب بالاتری می شوند که رفتارهای آسیب شناختی خوش تعریفی به همراه ندارند و ممکن است منجر به ناپایداری هایی مانند شبح یا تاکیون شوند. از شکست گرانش در انحنای بالا شاید بتوان چشم پوشی نمود اما در انحنای کم و در حد میدان گرانشی ضعیف، این مسئله تناقض هایی با حقیقت های به اثبات رسیده فیزیک ایجاد می کند که از اعتبار گرانشی نظریه کاسته می شود. از این رو می توان تا حد امکان شرط هایی روی تابع f(R) اعمال کرد تا از بروز این ناپایداری ها اجتناب شود. در سال 2003، دالگاو56 و کاواساکی57 نشان دادند اضافه کردن جمله ای متناسب با 1/R به کنش اینشتین- هیلبرت استاندارد، هرچند در انحنای کم می تواند فاز شتابدار اخیر عالم را توضیح دهد اما از آن جهت که سبب ناپایداری هایی در نظریه می شود قابل قبول نیست [72-74]. از این ناپایداری به عنوان ناپایداری Dolgov-Kawasaki (DK) نام برده می شود که در ادامه به تشریح آن می پردازیم.
کنش به صورت زیر نوشته می شود
S=(m_p^2)/16π ∫▒〖d^4 x √(-g) (R-μ^4/R) 〗-∫▒〖d^4 x √(-g)〗 L_m (36-3)
معادله حرکت مربوطه به صورت زیر بدست می آید
(1+μ^4/R^2 ) R_αβ-1/2 (1-μ^4/R^2 )Rg_αβ+μ^4 g_αβ ∇_σ ∇^σ (1/R^2 )-μ^4 ∇_((α) ∇_(β)) (1/R^2 )=8π/(m_p^2 ) T_αβ^M (37-3)
T_αβ^M تانسور انرژی- تکانه مادی است. پارامتر μ از مرتبه معکوس سن عالم یعنی 〖μ^(-1)~10〗^18 sec ~(〖10〗^(-33) eV)^(-1) می باشد [75]. معادله حرکت فوق را می توان با تنجش بر روی α و β به شکل زیر باز نویسی کرد
D^2 R-3 (D_α R)(D^α R)/R+R^4/(6μ^4 )-R^2/2=-(TR^3)/(6μ^4 ) (38-3)
D در این جا مشتق هموردا است و T=8πT_α^α/m_p^2 مقداری مثبت است. حال می خواهیم این معادله را برای یک جسم سماوی معمولی مثل زمین، خورشید یا هر جسم گرانشی کوچکتر بکار ببریم. در حقیقت می خواهیم بدانیم جمله ای که به عنوان اصلاح گرانشی به کنش اینشتین- هیلبرت اضافه شده است در حد میدان گرانشی ضعیف چگونه عمل می کند. در این حد می توان متریک را تقریباً تخت در نظر گرفت (g_αβ≅η_αβ )، که در این صورت روابط زیر صحیح می باشد
D^2=∂_t^2-∆ (39-3)
(D_α R)(D^α R)=(∂_t R)^2-(∂_j R)^2 (40-3)
حل درونی توزیع ماده در پایین ترین مرتبه ی انحنا یعنی در نسبیت عام استاندارد، متناسب با رد تانسور انرژی- تکانه یعنی R_0=-T است و حل بیرونی آن R_0=0 است. این مورد درگرانش اصلاح شده فقط تا پایین ترین مرتبه تقریب صحیح می باشد. می توان نشان داد حل بیرونی یک توزیع جرم کروی تنها زمانی که μ^40 باشد متناسب با انحنای مرز است اما سریعاً به صفر میل می کند. حداقل با این شرط، گرانش اصلاح شده در حد نیوتنی شبیه به مورد استاندارد عمل می کند. حال می خواهیم حل درونی توزیع مادی با چگالی وابسته به زمان را در نظر بگیریم. با وارد کردن تصحیح مرتبه اول به انحنا یعنی R=-T+R_1 معادله ی (3-38) به صورت زیر در می آید
(R ̈_1-∆R_1 )-((6T ̇)/T R ̇_1+(6∂_j T)/T ∂_j R_1 )+[T+3 (T ̇^2-(∂_j T)^2)/T^2 -T^3/(6μ^4 )] R_1=D^2 T+T^2/2-3(D_α T)(D^α T)/T (41-3)
به طور استاندارد ظریب R_1 در جمله سوم متناسب با مربع یک جرم مؤثر است و باید مثبت باشد. در حقیقت منفی بودن این ضریب نشان از وجود یک سری ناپایداری ها در مدل مربوطه است. از طرفی جمله سوم داخل کروشه مقدار بسیار بزرگی دارد و بر دو جمله دیگر داخل کروشه غلبه می کند
T^3/(6μ^4 )~(〖10〗^(-26) sec)^(-2) (ρ_m/(g 〖cm〗^(-3) ))^3 (42-3)
این جمله بسیار بزرگتر از T است
T~(〖10〗^3 sec)^(-2) (ρ_m/(g 〖cm〗^(-3) )) (43-3)
بنابراین غالب بودن (3-42) و علامت منفی کنار آن در داخل کروشه نشان می دهد که ضریب R_1 در (3-41) مقداری منفی است. بنابراین مدل ارائه شده f(R)=R-μ^4/R یک جرم مؤثر منفی در نظریه القا می کند و باعث پیدایش ناپایداری می شود. به زبان ساده تر اگر فرض کنیم اختلالی که به انحنای اسکالر در گرانش اصلاح شده وارد می آید همگن و همسانگرد باشد، عبارت (3-41) به شکل زیر نوشته می شود
R ̈_1+〖UR ̇〗_1+VR_1+cte=0 (44-3)
آنگاه جوابی که برای جمله اختلالی R_1 بدست می آید وابستگی به مکان ندارد و با زمان به طور نمایی تغییر می کند . اگر V<0 باشد این جواب با زمان رشد می یابد و سیستم ناپایدار خواهد بود. از آنجایی که این ناپایداری مربوط به حل درون ماده و بخش مادی نظریه است از آن به عنوان ناپایداری ماده نام می بریم. بعد از پیدا شدن ناپایداری D-K در مدل ارائه شده، نظریه پردازان سعی کردند تا شرط پایداری ماده را در مدل های عام گرانش اصلاح شده f(R) [76,77] و برای نظریه هایی که لاگرانژی آن ها شامل مراتب بالاتر اسکالر انحنا است پیدا کنند [78]. در این صورت انحراف از نسبیت عام استاندارد به صورت زیر بیان می شود
f(R)=R+ϵφ(R) (45-3)
ϵ مقداری بسیار کوچک است و بعد معکوس مربع طول دارد (ϵ≈H_0^2≅〖10〗^(-66) (eV)^2 )، در حالی که φ پارامتری بدون بعد است [75]. رد معادلات میدان مربوطه یعنی معادله (2-3) به صورت زیر نوشته می شود
3□f’+f’R-2f=κT (46-3)
با وارد کردن (3-45) و با محاسبه ی □f’ از آن می توان رابطه (3-46) را به شکل زیر باز نویسی کرد
□R+φ”’/φ” ∇^α R ∇_α R+((ϵφ’-1))/3ϵφ” R=κT/3ϵφ”+φ/3φ” (47-3)
فرض می کنیم φ”≠0 است زیرا حالت صفر آن مربوط به نسبیت عام استاندارد است که در اینجا مورد بحث نیست. با در نظر گرفتن ناحیه کوچکی از فضا زمان در حد میدان ضعیف، متریک و اسکالر انحنا را می توان به صورت زیر تقریب زد [73]
g_αβ=η_αβ+h_αβ , R=-T+R_1 (48-3)
رابطه (3-47) تا مرتبه ی اول تقریب به شکل زیر نوشته می شود
R ̈_1-∇^2 R_1-2κφ”’/φ” T ̇R ̇_1+2κφ”’/φ” ∇ ⃗T.∇ ⃗R_1+1/3φ” (1/ϵ-φ’) R_1=κT ̈-κ∇^2 T-(κTφ’+φ)/3φ” (49-3)
∇ ⃗ و ∇^2 به ترتیب عملگر های گرادیان و لاپلاسی در فضای اقلیدسی سه بعدی هستند. توجه کنید که تابع φ و مشتقات آن در R=-T محاسبه می شوند. ضریب R_1 در جمله پنجم مربع یک جرم مؤثر است. برای اینکه نظریه از دینامیک کیهانشناختی درستی برخوردار باشد لازم است که ϵ مقداری بسیار کوچک باشد بنابراین (3ϵφ”)^(-1) جمله ی غالب در جرم مؤثر است. از این رو شرط φ”>0 لازم است تا نظریه پایداری داشته باشیم. در حالت کلی برای این که نظریه گرانش اصلاح شده ی f(R) فاقد ناپایداری ماده باشد باید شرط زیر را ارضا کند
f” 0 (50-3)
در ادامه ی بحث قصد داریم این نوع ناپایداری را در نظریه گرانش القایی اصلاح شده f(R)-DGP بررسی کنیم و شرط پایداری ماده (3-50) را در این گونه نظریه ها اصلاح کنیم.

شرط ناپایداری ماده در مدل های جهان شامه DGP با گرانش اصلاح شده
کنش گرانشی نظریه f(R)-DGP با رابطه (3-1) داده می شود. از وردش کنش نسبت به متریک، معادلات میدان اینشتین القا شده بر روی شامه به صورت زیر بدست می آیند
G_μν=κ_5^3 Υ_μν-E_μν (51-3)
در رابطه فوق E_μν تانسور وایل58 القا شده از توده بر روی شامه است
E_μν=∁_RNS^M n_M n^R g_μ^N g_ν^S (52-3)
Υ_μν نیز به صورت زیر تعریف می شود
Υ_μν=-1/4 τ_μα τ_ν^α+1/12 ττ_μν+1/8 g_μν τ_αβ τ^αβ-1/24 g_μν τ^2 (53-3)
τ_αβ که به شکل یک تصحیح مرتبه دوم در معادلات میدان ظاهر می شود به صورت زیر است
τ_αβ=-m_p^2 f'(R) G_αβ+(m_p^2)/2 [f(R)-Rf'(R)] g_αβ+T_αβ+m_p^2 [∇_α ∇_β f'(R)-g_αβ f'(R)] (54-3)
T_αβ تانسور انرژی-تکانه ماده معمولی است. حال مشابه با روشی که در بالا برای پیدا کردن شرط ناپایداری عمل نمودیم رد معادلات میدان (3-51) را به صورت زیر بدست می آوریم
R=5/6 r_c^2 ([2f-Rf’]^2+9(□f’)^2+6(Rf’-2f)□f’)+5/3 (r_c^2)/(M_5^3 ) (Rf’-2f+3□f’)T+5/(24M_5^6 ) T^2 (55-3)
اگر تابع f(R) و انحرافش از گرانش استاندارد به صورت (3-45) پارامتری شود می توان

پایان نامه
Previous Entries دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی Next Entries دانلود پایان نامه با موضوع R〖، ∇〗_α، r_c^2