دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی

دانلود پایان نامه ارشد

x_2=-1/(Hr_c f’)
x_3=f(R)/(6H^2 f’)
x_4=-R/(6H^2 )
x_5=-f ̇’/Hf’ (8-3)
این مدل پنج متغییر دینامیکی دارد که چهار تا از آنها مستقل هستند زیرا می توان یکی از آن ها را با استفاده از معادله فریدمن (3-7) برحسب چهار متغیر دیگر نوشت
x_1≡Ω_m=1-x_2-x_3-x_4-x_5 (9-3)
دو پارامتر دیگر نیز لازم است که در مدل عام f(R)-DGP معرفی شوند [63]
m≡(dln f’)/(dln R)=Rf”/f’ (10-3)
r≡(dln f)/(dln R)=-Rf’/f=x_4/x_3 (11-3)
اگر پارامتر m مقداری ثابت باشد، آنگاه رابطه (3-10) منجر به مدل هایی با f(R)=ξ_1+ξ_2 R^(1+m) می شود. به عبارت دیگر پارامتر m انحراف مدل از گرانش استاندارد اینشتاین را نشان می دهد. ξ_1 و ξ_2 مقادیری ثابت هستند. همچنین قابل توجه است که پارامتر m تابعی از R است و R بر اساس رابطه (3-11)، خود تابعی از r=x_4/x_3 می باشد. بنابراین می توان گفت m نیز تابعی از r است
m≡m(r) (12-3)
حال زمان آن است که سیستم معادلات دیفرانسیل مستقل x ̇=f(x) را از متغیر های (3-8) بسازیم. با معرفی پارامتر زمانی جدید τ=ln a=N (که a همان فاکتور مقیاس است)، سیستم مستقل به صورت زیر خواهد بود52
(dx_2)/dN= x_2 (x_4+x_5+2) (13-3)
(dx_3)/dN=-(x_4 x_5)/m+x_3 (2x_4+x_5+4) (14-3)
(dx_4)/dN=(x_4 x_5)/m+x_4 (2x_4+4) (15-3)
(dx_5)/dN=(x_2+x_5 )(x_5+x_4 )+1-3x_3-5x_4-2x_2 (16-3)
در بدست آوردن این روابط از معادله قیدی (3-9) استفاده شده است تا متغیر x_1 را از این معادلات حذف کنیم. پارامتر واشتاب که به صورت q=-1-H ̇/H^2 تعریف می شود را می توان بر حسب متغیر های بی بعد به فرم زیر نوشت
q=1+x_4 (17-3)
پارامتر معادله حالت موثر سیستم ، ω_eff=-1-(2H ̇)/(3H^2 ) ، نیز بر حسب متغیر های بی بعد چنین رابطه ای دارد
ω_eff=1/3 (1+2x_4 ) (18-3)
در گام بعدی باید نقاط ثابت که حالت های بحرانی سیستم دینامیکی کیهانی هستند را بدست آورد.

نقاط ثابت و پایداری آن ها
از صفر قرار دادن معادلات مستقل (3-13) تا (3-16)، نقاط ثابت یا نقاط بحرانی مربوط به این سیستم دینامیکی بدست می آیند. در جدول (3-1) لیستی از این نقاط آورده شده است. در این جدول به ترتیب مختصات نقاط، پارامتر واشتاب و پارامتر معادله حالت مؤثر آن ها را قرار داده ایم.
Γ در جدول (3-1) به صورت زیر تعریف می شود
Γ=1/2 (4m^2-9m+2±√(-160m^4+273m^3-111m^2+4m+4))/(2m^2-3m+1) (19-3)
تنها علامت مثبت در رابطه Γ قابل قبول است زیرا علامت منفی آن سبب پارامتر معادله حالت نامعقول ω_eff-10 و ω_eff0/7 برای نقطه ثابت E می شود.
جدول ‏31: مختصات نقاط ثابت، r ، پارامتر واشتاب q و پارامتر معادله حالت مؤثر نقاط ثابت مربوط به نظریه های عام f(R)-DGP. منحنی بحرانیD فقط برای مدل هایی از تابع f(R) وجود دارد که پارامتر m(r) در آن بصورت m(r=-1/2)=1/2 باشد. شاخص (* ) در بالای
x_2 ، مقدار آن را به ازای مختصات نقطه ثابت نشان می دهد.
ω_eff
q
r
x_5
x_4
x_3
x_2
نقاط ثابت
1⁄3
1
0
-4
0
17⁄3
0
A
1⁄3
1
Indefinite
-2
0
0
5/4
B
-1
-1
6/(4x_2^*-11)
0
-2
1/3 (11-4x_2^* )
x_2^*
C
1/9 (8x_2^*-7)
2/3 (2x_2^*-1)
-1/2
-1/3 (1+4x_2^* )
1/3 (4x_2^*-5)
-2/3 (4x_2^*-5)
x_2^*
D
-(1+Γ/3m)
-(1+Γ/2m)
m-1
Γ
-(Γ+4m)/2m
(Γ+4m)/2m(1-m)
0
E

در جدول 3-1، مختصات نقاط A، B و C به نوع تابع f(R) بستگی ندارد یعنی در فضای فاز همه ی مدل های f(R)-DGP این سه نقطه بحرانی یافت می شود. با این وجود در بحث پایداری خواهیم دید که پایداری این نقاط به شکل تابع f(R) وابسته است. البته C در اینجا یک نقطه نیست بلکه منحنی از نقاط بحرانی است. منحنی بحرانی D نیز تحت این شرط بدست آمده است که در سیستم معادلات مستقل، پارامتر m برابر با 2/1 باشد
m_D (r=-1/2)=1/2 (20-3)
برای مثال در مدل هایی که شکل تابع f به صورت f(R)=R+γR^n است، پارامتر m از (3-10) به صورت m=-n(1+r)/r بدست می آید. در این صورت منحنی بحرانی D فقط برای مدل مشخصی از f با n=1/2 وجود دارد. پارامتر معادله حالت مربوط به منحنی بحرانی D نیز وابسته به مختصات است. یعنی نقاط مختلف از این منحنی نواحی متفاوتی از تحول عالم را توصیف می کنند. مثلاً در x_2^*=-1/4 ، نقطه بحرانی مربوطه یک فاز دوسیته را نمایش می دهد. در مورد نقطه بحرانی E، در بخش بعد که شکل تابع با ذکر چند مثال مشخص می شود توضیح خواهیم داد زیرا مختصات و رفتار فازی نقطه بحرانی E از طریق m به نوع تابع f(R) بستگی پیدا می کند. در ادامه، سه دوره ی مهم کیهانشناسی را در این نظریه بررسی می کنیم که مورد تایید مدل استاندارد کیهانشناسی است و هر نظریه کیهانشناسی معتبر باید آن ها را در خود داشته باشد.
دوره تابش غالب
در فضای فاز این مدل، دو نقطه A و B با پارامتر معادله حالت ω_eff=1/3 وجود دارد و به طور مؤثر نمایشگر فاز تابش غالب عالم هستند. این فاز همچنین بر روی منحنی بحرانی D در x_2^*=5/4 دیده می شود. پایداری این نقاط را در بخش بعدی بررسی می کنیم.
دوره ماده غالب
نقطه بحرانی که نمایشگر دوره ماده غالب باشد باید پارامتر معادله حالت آن به طور مؤثر صفر باشد (ω_eff=0). نقطه ای با مختصات x_2^*=7/8 بر روی منحنی D با m(r=-1/2)=1/2 و همچنین نقطه بحرانی E با شرط m(r=-0/13)=0/87 می توانند فاز ماده غالب را در فضای فاز این مدل تأمین کنند.
فاز دوسیته
از مشخصه های فاز دوسیته، مقدار پارامتر معادله حالت آن می باشد که به طور مؤثر برابر با -1 است. فاز های دوسیته بسیاری ممکن است در فضای فاز یک مدل دیده شوند. آن حل دوسیته ای استاندارد است که پارامتر چگالی مادی آن Ω_m برابر با صفر باشد. همان طور که از جدول (3-1) می بینیم، منحنی بحرانی C و تمام نقاط ثابت روی آن، فاز دوسیته را نشان می دهند. از این میان تنها نقطه ی ثابت با مختصه ی x_2^*=2 از منحنی C، یک حل دوسیته ی استاندارد است. یکی از نقاط روی منحنی بحرانی D با مختصه x_2^*=-1/4 نیز یک فاز دوسیته (غیر استاندارد) را نشان می دهد اما این نقطه دقیقا بر روی یکی از نقاط منحنی C با مختصه x_2^*=-1/4 منطبق است.

دوره گذار از فاز واشتاب q0 به فاز شتابدار q<0
یکی از ویژگی های مهم مدل f(R)-DGP این است که گذار از فاز واشتاب به فاز شتابدار زمان اخیر در دینامیک آن وجود دارد. این گذار که در q=0 و ω_eff=-1/3 اتفاق می افتد در فضای فاز با نقطه ثابتی از منحنی بحرانی D با مختصه ی x_2^*=1/2 نشان داده می شود. یکی از موفقیت های این مدل همین است که بر روی شاخه نرمال DGP این گذار پیدا شده است. نقطه ثابت E که مختصات، دینامیک و پایداری آن به پارامتر m یا به شکل تابع f(R) بستگی دارد نیز این گذار را نشان می دهد. در واقع برای آن دسته از مدل های f(R)-DGP که پارامتر m در آن مقدار m(r=-0/33)=0/67 باشد، نقطه ثابت E یک حالت گذار را در دینامیک مدل نشان می دهد.
شکل 3-1 پارامتر معادله حالت مؤثر نقطه ثابت E و شکل 3-2 پارامتر واشتاب مربوط به آن را نشان می دهد. همان طور که می بینیم، در مدل های مشخصی از f(R)-DGP که پارامتر m آن در فاصله ی 0در گام سوم بعد از بدست آوردن نقاط ثابت، وقت آن است که در مورد پایداری این نقاط بحث کنیم. همان طور که از سیستم معادلات مستقل (3-13) تا (3-16) دیدیم، سیستم دینامیکی کیهانی که در این مدل ارائه شد، یک سیستم دینامیکی غیر خطی است. بنابراین پایداری نقاط ثابت تحت اختلالات کوچک را به روش خطی سازی بدست خواهیم آورد. ویژه مقادیر ماتریس ژاکوبین تبدیل مربوطه را با توجه به شکل آن در (2-48) می توان حول هر یک از نقاط ثابت بدست آورد. از آنجا که 4 متغیر مستقل داریم، ماتریس ژاکوبی مربوطه ماتریسی 4×4 خواهد بود و 4 ویژه مقدار دارد که در زیر آورده ایم

شکل ‏31: پارامتر معادله حالت مؤثر مربوط به نقطه ثابت E

شکل ‏32 : پارامتر واشتاب مربوط به نقطه ثابت E

نقطه A
ماتریس ژاکوبی حول این نقطه (با مختصاتی که در جدول (3-1) آمده) دارای ویژه مقادیر زیر است
-2, 4(m-1)/m, -4±i (21-3)
این نقطه که فاز تابش غالب عالم را نشان می دهد برای مدل هایی با 0 نقطه B
این نقطه نیز یک دوره تابش غالب را نشان می دهد و ماتریس ژاکوبی حول این نقطه ویژه مقادیر زیر را داد
λ_1,2=-1/8 (11±√199 i), (22-3)
λ_3,4=(3m^2-m+m’r(1+r))/m^2 ±√((m^2-m)^2+2m’rm^2 (1-r)-2mm’r(1+r)+〖m’〗^2 (r^2+r)^2 )/m^2 (23-3)
پایداری این نقطه وابسته به علامت m و m’ است و m’ مشتق m نسبت به r است . بنابراین نقطه B در مدل های مختلف f(R) می تواند یک جاذب پایدار باشد یا یک نقطه ناپایدار زینی.
فضای فاز دو بعدی (x_3-x_5) این سیستم دینامیکی را نزدیک دو نقطه بحرانی A و B در شکل 3-3 رسم کرده ایم53. شکل سمت چپ، مسیر های فازی را حول نقطه A نشان می دهد. برای بدست آوردن ویژه مقادیر مربوطه، ابتدا ماتریس ژاکوبین تبدیل را می سازیم و بعد مختصات نقطه را از جدول 3-1 در آن جایگزین می کنیم. در رسم دو بعدی (x_3-x_5)، لازم است یک ماتریس ژاکوبین دوبعدی بسازیم یعنی فقط معادلات دیفرانسیل (dx_3)/dN و (dx_5)/dN را مد نظر قرار دهیم
A=(■(∂((dx_3)/dN)/(∂x_3 )&∂((dx_3)/dN)/(∂x_5 )@∂((dx_5)/dN)/(∂x_3 )&∂((dx_5)/dN)/(∂x_5 )))_(x_2^*, x_3^*, 〖 x〗_4^*, x_5^* )=
(■(4+2x_4+x_5 (1-m'(r/m)^2 )&-x_4/[email protected]&2x_5+x_2+x_4 ))_(x_A ) (24-3)
در حقیقت با قرار دادن x_4=0 و r=0، وابستگی ماتریس به پارامتر m از بین می رود اما در رسم سه بعدی (x_3-x_4-x_5) اینگونه نیست و باید شکل تابعی m(r=x_4/x_3 ) را معین کنیم. در هر صورت در فضای فاز 2 بعدی مربوطه، این نقطه یک جاذب پایدار است. شکل سمت راست، فضای فاز دو بعدی سیستم نزدیک نقطه B را نشان می دهد. در ماتریس فوق بجای x_A باید مختصات x_B را از جدول 3-1 وارد کنیم. در رسم این شکل فرض کرده ایم پارامتر m مقداری ثابت باشد. در این صورت بخش حقیقی دو ویژه مقدار ماتریس A علامت مخالف دارند. بنابراین یک نقطه ناپایدار زینی خواهیم داشت.

شکل ‏33 : فضای فاز دو بعدی x_3-x_5 نزدیک دو نقطه بحرانی A (سمت چپ) و B (سمت راست). A یک نقطه ناپایدار زینی و B یک نقطه پایدار مارپیچ است.
منحنی C
در حالت کلی اگر سیستم دینامیکی غیر خطی در فضای فاز خود شامل یک منحنی از نقاط بحرانی باشد، ماتریس ژاکوبی سیستم خطی شده ی آن، در هر نقطه بر روی منحنی یک ویژه مقدار صفر خواهد داشت و ویژه بردار مربوطه، مماس بر منحنی در آن نقطه است. از طرفی دیگر، اگر متغیر های دینامیکی مسئله را به گونه ای انتخاب کنیم که در آن ها تعدادی متغیر وابسته وجود داشته باشد، به تعداد متغیر های وابسته، ویژه مقدار صفر از ماتریس ژاکوبی بدست می آید54. بنابراین منشأ ویژه مقدار صفر در ماتریس ژاکوبی یا نشان از وجود منحنی بحرانی است و یا از وجود متغیر های وابسته در سیستم خبر می دهد. در سیستم دینامیکی مورد مطالعه، با وجود منحنی C ، ماتریس ژاکوبی در هر نقطه از آن یک ویژه مقدار صفر دارد. در این گونه موارد، تشخیص پایداری نقطه مورد نظر از علامت ویژه مقادیر غیر صفر آن تعیین می شود. همه ی نقاط ثابت روی منحنی C حالت دوسیته را نمایش می دهند. آنچه اهمیت دارد فاز دوسیته استاندارد است که مختصات (2, 1, -2, 0) دارد. ماتریس ژاکوبی در این نقطه دارای ویژه مقادیر زیر می باشد
0, 1/3 (χ-17/χ-4), – 1/6 (χ-17/χ+8)±i √3/6 (χ+17/χ) (25-3)
χ در ربطه بالا به صورت زیر بر حسب m بیان می شود
χ=[(-460m+54+3√3 √(8019m^2-1840m+108)) m^2 ]^(1/3)/m (26-3)
و m در این رابطه حول نقطه استاندارد C بسط داده می شود، یعنی m≡m_(C )=m(r=-2) است. پایداری این نقطه به مقدار پارامتر m وابسته است. ویژه مقدار دوم در محدوده ی m<0 و m≥0/09 حقیقی و منفی است. دو ویژه مقدار آخر در محدوده ی m>0 بخش حقیقی منفی دارند. بنابراین در فضای فاز 4 بعدی، نقطه دوسیته استاندارد یک جاذب پایدار مارپیچ خواهد بود اگر m در رابطه زیر صدق کند
m≥0/09 (27-3)
و برای مقادیر دیگر m، این نقطه یک نقطه ناپایدار زینی است. شکل 3-4 فضای فاز دو بعدی و شکل 3-5 فضای فاز سه بعدی مدل، اطراف منحنی C را نشان می دهد. برای رسم فضای فاز در دو بعد (x_3-x_5)، ناچاریم مختصات x_2 و x_4 را از جدول 3-1 قرار دهیم. ما در این شکل مختصات مربوط به نقطه دوسیته استاندارد را جایگزین کرده ایم. بنابراین در فضای فاز کاهش یافته به دو بعد به جای یک منحنی بحرانی یک نقطه ثابت خواهیم داشت. ماتریس ژاکوبی در اطراف این نقطه ویژه مقادیری با بخش حقیقی صفر دارد و همان طور که انتظار داریم، شکل 3-4 هم نشان می دهد که این نقطه در فضای فازش یک مرکز است. پایداری این نقطه به روش خمینه مرکزی مشخص می شود55 [45]. شکل 3-5 زیر فضای سه بعدی (x_2-x_3-x_5) از فضای فاز 4 بعدی را نشان می دهد. همان طور که از جدول 3-1 می بینیم، نقاط بحرانی در این زیر فضا باید بر روی خط x_3=1/3 (11-4x_2 ) و در صفحه ی x_5=0 قرار گیرند که

شکل ‏34: فضای فاز دو بعدی (x_3-x_5) حول نقطه ثابت استاندارد از منحنی C.

شکل ‏35 : فضای فاز سه بعدی (x_2-x_3-x_5 ) مربوط به منحنی C . نقاط بحرانی در این زیر فضا بر روی خط x_3=1/3 (11-4x_2 ) و در صفحه x_5=0 قرار دارند.
در شکل نیز واضح است. این خط یک جاذب پایدار مارپیچ است زیرا پارامتر m را در محدوده ی (3-27) یعنی m(r=-2)=1/2 انتخاب کرده ایم.
رفتار مسیر های فازی در نزدیکی نقاط بحرانی A، B و C به تفضیل توضیح داده شد. برای بررسی رفتار این مسیر ها نزدیک نقطه ثابت E، لازم است شکل تابع f(R) مشخص باشد. ما در ادامه با ذکر چند مثال به توضیح رفتار مجانبی مدل، حول نقطه E می پردازیم.

نتایج تحلیلی برای چند مدل مشخص
همانگونه که قبلا توضیح دادیم، پارامتر m می تواند انحراف مدل f(R)-DGP از مدل ΛCDM را نشان دهد. در این بخش، دو مدل از تابع f(R) را مشخص می کنیم [69-72] تا نتایج آشکارتری از مدل عام f(R)-DGP بدست آوریم. سپس به بررسی اعتبار کیهانشناختی این مدل ها می پردازیم و از این طریق پارامتر های مدل را محدود می کنیم. اعتبار کیهانشناختی مدل های نظری بر این اساس است که بتوانند بعضی از دوره های مشخص تعریف شده در کیهانشناخت استاندارد را شامل شوند. چنین نظریه ای شامل یک دوره تابش غالب اولیه می باشد که به یک دوره ی ماده غالب می رسد و در نهایت به یک دوره ی شتابدار، در فاز دوسیته ختم می شود که عالم کنونی است. ما در ادامه فقط دو فاز اخیر عالم یعنی فاز ماده غالب و فاز شتابدار دوسیته را به عنوان حداقل شرط اعتبار کیهانشناختی در نظر میگیریم. اگر به جدول 3-1 نگاه کنیم، فقط منحنی بحرانی D و نقطه ثابت E می توانند فاز ماده غالب را بدست دهند. یعنی در قدم اول شرط w_eff=0، مدل های f(R)-DGP را محدود به شکل هایی از تابع f(R) می کند که پارامتر m آن مقادیر زیر را داشته باشند
m(r=-1/2)=1/2 (28-3)
m(r=-0/13)=0/87 (29-3)
در مدل هایی از نوع (3-28) که فاز ماده غالب آن از منحنی بحرانی D حاصل می شود، دو فاز دوسیته وجود دارد : 1) نقطه ای با مختصات x_2^*=-1/4 که بر روی منحنی D قرار دارد و یک فاز دو سیته ی غیر استاندارد است، 2) منحنی دوسیته ی C که یکی از نقاط آن در مختصات x_2^*=2 ، فاز دوسیته استاندارد است و از آنجا که m در محدوده ی (3-27) قرار می گیرد، این نقطه ثابت یک حالت پایدار خواهد بود. در مدل هایی از نوع (3-29) که فاز ماده غالب از نقطه ثابت E حاصل می شود، فقط منحنی دوسیته ی C وجود دارد و فاز دوسیته استاندارد روی آن، در اینجا نیز یک حالت پایدار است. مسیر های فازی که از نقطه ثابت ماده غالب دور می شوند باید به نحوی به فاز دوسیته موجود در سیستم دینامیکی میل کنند. این ارتباط درست بین دوره ماده غالب ناپایدار و فاز دوسیته پایدار که لازمه ی اعتبار کیهانشناختی مدل ارائه شده است را می توان از روی نمودار مربوط به پارامتر m بر حسب r بررسی کرد.

(الف) f(R)=R+γR^(-n)
پارامتر m(r) مربوط به این تابع به صورت زیر تعریف می شود
m(r)=-n(1+r)/r (30-3)
که مستقل از γ است. از طرفی پارامتر m(r) مربوط به نقطه ثابت E نیز از جدول 3-1 چنین رابطه ای دارد
m(r)=1+r (31-3)
اگر این نقطه در فضای فاز مدل وجود داشته باشد باید دو رابطه اخیر را مساوی هم قرار دهیم. یک معادله در جه دوم بر حسب r بدست می آید و به این نتیجه می رسیم که تنها دو جواب برای m وجود دارد
m=0 (32-3)
m=1-n

پایان نامه
Previous Entries منابع تحقیق درباره دانشگاه ارومیه، دریاچه ارومیه، رنگین کمان Next Entries دانلود پایان نامه با موضوع نقطه تقاطع