دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی، نقطه مرکز، اصلاح هندسی

دانلود پایان نامه ارشد

میکی خواهیم داشت (شکل سمت راست) و پایداری این نقاط با استفاده از علامت ویژه مقادیر غیر صفر آن تعیین می شود. اما در مواردی دیگر که همه ی ویژه مقادیر بخش حقیقی صفر داشته باشند، در فضای فاز سیستم دینامیکی مورد نظر یک نقطه ثابت مرکزی خواهیم داشت و مسیر های فضای فاز نه به آن نقطه میل می کند و نه از آن دور می شوند بلکه حول نقطه مرکزی می گردند (شکل سمت چپ). در تعیین پایداری این نقاط با روش معمول با چالش مواجه می شویم. در این گونه مسائل با استفاده از قضیه ای تحت عنوان قضیه ی خمینه مرکزی45 می توان پایداری این نقاط را تعیین کرد [45]

سیستم های دینامیکی غیر خطی
سیستم های دینامیکی خطی ساده ترین سیستم های دینامیکی هستند. ما در طبیعت با سیستم های پیچیده تری سروکار خواهیم داشت که در مورد آن ها f(x) ممکن است غیر خطی باشد. در مورد سیستم های دینامیکی غیر خطی بدست آوردن حل دقیق x’=f(x) تقریباً غیر ممکن است به همین خاطر آوردن یک توصیف کیفی از رفتار اینگونه سیستم ها با صرفه تر از بدست آوردن حل دقیق آن ها است. در این موارد ما از روش خطی سازی استفاده می کنیم یعنی تابع f(x) را نزدیک نقاط بحرانی یا نقاط ثابت سیستم با یک تابع خطی تقریب می زنیم.

نقاط ثابت
در حالت کلی هر سیستم دینامیکی با یک بردار حالت x و یک تابع f توصیف می شود. تابع f نشان می دهد که سیستم چگونه با زمان متحول می شود. اما تحت شرایطی خاص، سیستم می تواند در یک حالت بماند و به اصطلاح در آن حالت خاص گیر کند [44]. در نمایش فضای فاز سیستم این حالت های خاص به صورت نقاطی ثابت ظاهر می شوند که مسیر های فضای فاز حول آن نقاط رفتار ویژه ای خواهند داشت. همانگونه که در شکل های 2-2 تا 2-5 دیدیم ممکن است سیستم به طور مجانبی به آن نقاط میل کند و یا از آن ها دور شود. زمانی که سیستم به آن نقاط میل می کند در واقع تا ابد در آن حالت می ماند.
برای پیدا کردن نقاط ثابت سیستم x’=f(x)، نیازی نیست فرمول دقیقی برای x(t) بیابیم بلکه کافی است معادله f(x)=0 را برای متغیر x حل کنیم. این روش در سیستم های دینامیکی غیر خطی که بدست آوردن حل دقیق آن ها مشکل است بسیار مناسب است. لازم به ذکر است که همه ی نقاط ثابت سیستم طبیعت یکسانی ندارند. بعضی از آن ها پایدار و بعضی دیگر ناپایدار هستند. برای بررسی پایداری نقاط، در قدم اول باید سیستم های دینامیکی غیرخطی را با تقریب خطی به صورت x’=f(x)=Ax+b درآوریم. سپس با بدست آوردن ویژه مقادیر ماتریس A می توان در مورد پایداری نقاط ثابت سیستم بحث کرد.
2-4-2-2 روش خطی سازی
در این بخش سعی بر این است که سیستم حول نقاط ثابت x ̃ تقریب خطی داده شود. اگر بردار حالت x چند بعدی باشد یعنی f(x) تابعی از R^n به R^n باشد
f(x)=f(■(■(x_1@x_2@⋮)@x_n ))=(■(■(f_1 (x)@f_2 (x)@⋮)@f_n (x) )) (46-2)
آنگاه می توان تابع f(x) را به صورت زیر تقریب زد
f(x)=f(x ̃ )+A(x-x ̃ ) (47-2)
A ماتریس ژاکوبین تبدیل نامیده می شود که با مشتقات جزئی اول تابع f ساخته می شود
A=[█(■((∂f_1)/(∂x_1 )&(∂f_1)/(∂x_2 )…&(∂f_1)/(∂x_n ))@■((∂f_2)/(∂x_1 )&(∂f_2)/(∂x_2 )⋯&(∂f_2)/(∂x_n )@⋮& ⋱&⋮@(∂f_n)/(∂x_1 )&(∂f_n)/(∂x_2 )…&(∂f_n)/(∂x_n )))]_(x ̃_1,x ̃_2,…,x ̃_n ) (48-2)
حال که توانستیم تابع f(x) را تقریب خطی بزنیم، ویژه مقادیر ماتریس ژاکوبین تبدیل می تواند پایداری و ناپایداری نقاط را به صورت زیر بدست دهد
در حالت کلی ویژه مقادیر می توانند حقیقی یا مختلط باشند:
اگر همه ی ویژه مقادیر ماتریس A حول نقطه ثابت x ̃، بخش حقیقی منفی دارند، آنگاه آن نقطه یک جاذب پایدار46 است. اگر ویژه مقادیر همگی حقیقی باشند، این جاذب پایدار به شکل گره در فضای فاز دیده می شود (شکل سمت راست 2-3 یک گره را نشان می دهد). اگر تعدادی از ویژه مقادیر مختلط باشند، جاذب پایدار اسپایرال47 خواهد بود یعنی مسیر های فضای فاز به شکل مارپیچی به نقطه ثابت میل می کنند (شکل سمت چپ 2-3 یک اسپایرال را نشان می دهد).

اگر قسمت حقیقی تمامی ویژه مقادیر ماتریس A حول نقطه ثابت x ̃، مثبت باشد، آنگاه آن نقطه یک دفع کننده ناپایدار48 است. شکل 2-2 یک نقطه ثابت ناپایدار را نشان می دهد که در سمت راست به شکل گره و در سمت چپ به صورت اسپایرال ظاهر شده است.

اگر قسمت حقیقی حداقل یکی از ویژه مقادیر مثبت باشد و بقیه منفی باشند باز هم یک دفع کننده ناپایدار خواهیم داشت. با این تفاوت که مسیر های فضای فاز این سیستم حول نقطه ثابت یک شکل زینی خواهند داشت. یعنی از یک سمت به آن میل می کنند و از سمت دیگر از آن دور می شوند. با این حال این نقاط زینی49 حالت های ناپایداری از سیستم هستند (شکل 2-4).

اگر بخش حقیقی همه ی ویژه مقادیر صفر باشد، مسیر های فضای فاز نه به نقطه ثابت میل میکنند و نه از آن دور می شوند بلکه حول نقطه ثابت می گردند. به این نقطه ثابت در اصطلاح نقطه مرکز گفته می شود. روش خطی سازی در تشخیص پایداری این نقاط با شکست مواجه می شود. روشی که برای پایداری نقطه مرکز به کار برده می شود قضیه ی خمینه مرکزی است [45]. اگر تنها یک یا چند ویژه مقدار با بخش حقیقی صفر داشته باشیم، منحنی از نقاط پایدار وجود خواهد داشت که پایداری آن با علامت ویژه مقادیر غیر صفر تعیین می شود [44].
کیهان ما یک سیستم دینامیکی غیر خطی است که چندین متغیر دینامیکی از جمله پارامتر هابل، اسکالر انحنا R و غیره در آن نقش دارند. متغیرهای دینامیکی در هر مدل ارائه شده توصیف کننده عالم، متفاوت خواهد بود. تشخیص متغیر های دینامیکی مستقل در هر مدل، ساختن یک دستگاه معادلات دیفرانسیل مستقل (معادله (2-39))، بدست آوردن نقاط ثابت به عنوان حالت های بحرانی عالم و تشخیص پایداری این نقاط و حالت ها می تواند در بررسی کیهانشناخت عالم و اعتبار کیهانشناختی آن مدل ارائه شده تأثیر گذار باشند. در این فصل به توصیف نظریه گرانشی f(R) پرداختیم و روش سیستم های دینامیکی که ابزاری مهم برای تشخیص اعتبار کیهانشناختی مدل های نظری محسوب می شود را معرفی کردیم. در فصل های بعد چندین مدل نظری را ارائه می دهیم و کیهانشناخت این مدل ها و اعتبار کیهانشناختی آن ها را به تفصیل بررسی می کنیم.

فصل سوم- اعتبار کیهانشناختی گرانش اصلاح شده ی القایی

مقدمه
شواهد رصدی بسیاری وجود دارند که سرعت رو به رشد و شتاب مثبت عالم را در دوره اخیر تایید می کنند[4-7] . مسیر های بسیاری در جلو روی کیهانشناسان قرار گرفته است تا بتوانند پدیده ای را که نسبیت عام معمولی قادر به توضیح آن نیست پاسخگو باشند. به عنوان مثال، مدل جهان شامه ی DGP در شاخه ی خود شتاب خود می تواند این فاز شتابدار را بدست دهد. هر چند شاخه مثبت یا خودشتاب با ایجاد مشکلاتی مثل ناپایداری های شبح گونه نتوانست چندان مورد توجه کیهانشناسان قرار بگیرد [32,33,46]، از این جهت آنها بیشتر بر روی شاخه نرمال مدل DGP متمرکز شده اند. کیهانشناسان نشان دادند که شاخه ی نرمال پتانسیل آن را دارد تا فاز شتابدار کنونی عالم را توضیح دهد. از طرفی دیگر مدل های گرانش اصلاح شده ی f(R) نیز قابلیت آن را دارند تا پدیده ی شتاب کیهانی را ایجاد کنند. حال اگر بنا بر این باشد ما در عالمی زندگی کنیم که ابعاد فضا زمانی آن فراتر از 4 بعد باشد و این عالم بر مبنای نظریه ی جهان شامه ی DGP مدل سازی شده باشد، گویا مدل خودشتاب مدل مناسبی نیست و ما ناچاریم شتاب مثبت عالم را به نوعی از شاخه نرمال مدل بدست آوریم. این پدیده یا با اضافه کردن عنصر انرژی تاریک به نظریه توجیح می شود یا با اصلاح هندسی شامه [33,47-50]. همچنین می توان فرض کرد گرانش القا شده بر روی شامه که از برهم کنش گراویتون های توده با تانسور انرژی- تکانه روی شامه نتیجه می شود از نوع اصلاح شده ی f(R) باشد. بر اساس دلایل کیهانشناسی و گرانشی ذکر شده، به نظر می رسد انتخاب مدل هایی مبتنی بر f(R)-DGP (گرانش اصلاح شده از نوع القایی) چندان دور از ذهن نباشد [33, 51-58] ما در ادامه دینامیک کیهانشناختی این مدل ها و اعتبار کیهانشناختی بعضی از آن ها را به تفصیل مورد بررسی قرار خواهیم داد.

نظریه ی گرانش القایی اصلاح شده
مقدماتی در مورد نظریه گرانش اصلاح شده را که در فصل 2 آورده ایم مرور می کنیم. کنش در گرانش اصلاح شده f(R) به صورت (2-2) تعریف می شود. با وردش کنش نسبت به متریک50، معادلات میدان (2-8) را بدست می آوریم. تانسور انرژی- تکانه موثر که مربوط به بخش انحنای نظریه است نیز به صورت (2-9) بیان می شود. بررسی کیهانشناخت این مدل مستلزم بدست آوردن معادلات فریدمن است. با قرار دادن متریک FRW تخت به معادلات میدان مربوطه و فرض اینکه تانسور انرژی- تکانه ماده به شکل تانسور انرژی- تکانه سیال کامل است، معادلات فریدمن (2-25) و (2-26) نتیجه می شوند.
در مدل نظری f(R)-DGP ، مبنای کار بر این است که بر روی شاخه ی نرمال DGP، گرانش القا شده بر روی شامه به فرم اصلاح شده ی f(R) باشد. در حقیقت هیچ قیدی وجود ندارد که گرانش القا شده، که از برهم کنش گراویتون های توده با ماده استاندارد روی شامه نشأت می گیرد، لزوما از نوع گرانش اینشتاین استاندارد R باشد.
بنابراین کنش مدل f(R)-DGP به صورت زیر تعریف می شود
S=1/(2κ_5^3 ) ∫▒〖d^5 x√(-g) R〗+∫▒〖d^4 x√(-q) (f(R)/(2κ^2 )+L_m ) 〗 (1-3)
g_AB متریک 5 بعدی توده با اسکالر ریچی Rو q_μν متریک 4 بعدی شامه با اسکالر ریچی R است. معادله فریدمن اصلاح شده بر روی شاخه نرمال با رابطه زیر داده می شود51 [33]
3f’H^2=κ^2 (ρ_m+ρ_curv )-3H/r_c (2-3)
مقیاس گذار به صورت r_c=(κ_5^3)/(2κ^2 ) تعریف می شود که معادل با رابطه (1-58) است. معادله ی ریچادوری نیز به صورت زیر نتیجه می شود
H ̇(1+1/(2Hr_c f’))=-(κ^2 ρ_m)/2f’-(R ̇^2 f”’+(R ̈-HR ̇ )f”)/2f’ (3-3)
برای بدست آوردن این رابطه از معادله پایستگی انرژی مربوط به سیال انحنا استفاده شده است [59]
ρ ̇_curv+3H(ρ_curv+p_curv+(R ̇f”)/(r_c (f’)^2 ))=(κ^2 ρ_m)/(R ̇f”(f’)^2 ) (4-3)
ρ_curv و p_curv به ترتیب چگالی انرژی و فشار سیال انحنا هستند و به صورت زیر تعریف می شوند
ρ_curv=1/κ^2 (1/2 [f-Rf’]-3Hf ̇’) (5-3)
p_curv=1/κ^2 (2Hf ̇’+f ̈’-1/2 [f-Rf’]) (6-3)
حال که معادلات میدان مربوط به این نظریه بدست آمد، به بررسی فضای فاز این مدل می پردازیم. ما به روش سیستم های دینامیکی، دینامیک کیهانشناختی مدل و رفتار مجانبی عالم در این مدل را حدس می زنیم.

دیدگاه سیستم های دینامیکی
همان طور که در فصل قبل در مورد این روش توضیح دادیم، روش سیستم های دینامیکی در حقیقت ابزار مناسبی برای بررسی دینامیک کیهانشناختی هر مدل نظری در فضای فاز آن است. اساس کار بر این است که ابتدا متغیر های دینامیکی مستقل را در مدل مشخص می کنیم تا بتوانیم سیستم مستقلی از معادلات دیفرانسیل به شکل x’=f(x) بسازیم. معمولاً در مورد سیستم های دینامیکی کیهانی، متغیر های دینامیکی را از معادله ی فریدمن بی بعد تعیین می کنند [60-68]. ما نیز در اینجا همین کار را خواهیم کرد. از معادلات (3-2) و (3-5) معادله فریدمن بدون بعد به شکل زیر بدست می آید
1=ρ_m/(3H^2 f’)-1/(Hr_c f’)+f(R)/(6H^2 f’)-R/(6H^2 )-f ̇’/Hf’ (7-3)
در این قسمت ابتدا یک شکل کلی برای تابع f(R) در نظر می گیریم. یعنی در گام اول رفتار مجانبی مدل های عام f(R)-DGP مورد بررسی قرار خواهد گرفت. سپس با مقید کردن پارامتر های موجود در مدل می توان شکل تابعی f(R) و اعتبار کیهانشناختی مدل های f(R) را تحقیق کرد.
سیستم مستقل x ̇=f(x)
متغیر های دینامیکی مدل را از درون معادله فریدمن (3-7) در می آوریم
x_1=ρ_m/(3H^2 f’)

پایان نامه
Previous Entries دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی، چند متغیره Next Entries منابع تحقیق درباره دانشگاه ارومیه، دریاچه ارومیه، رنگین کمان