دانلود پایان نامه ارشد درمورد معادلۀ، فرودی، پاشیدگی

1991
1993
21
Bloomington (MPRI_1), Indiana

1993
1999
34
Moscow (ITEP), Russia

1969

4246
St. Petersburg, Russia

1975

1362
Villigen (PSI_1, 72 MeV), Switzerland

1984
2010
5458
Uppsala_2, Sweden

1989

1000
Clatterbridge, England

1989

2012
Loma Linda (LLUMC), California

1990

15000
Nice (CAL), France

1991

4209
Orsay (CPO), France

1991

5216
iThemba LABS, Somerset West, South Africa

1993

511
UCSF – CNL, California

1994

1285
Vancouver (TRIUMF), Canada

1995

152
Villigen (PSI_2, 230 MeV), Switzerland

1996

772
Dubna (JINR_2), Russia

1999

720
Kashiwa (NCC), Japan

1998

772
Berlin (HMI), Germany

1998

1660
Hyogo (HIBMC), Japan

2001

2382
Tsukuba (PMRC_2), Japan

2001

1849
Boston (MGH-FHBPTC), Massachusetts

2001

4967
مراکز پروتون‌تراپی
مختص درمان تومورهای چشمی
اولین بیمار
آخرین بیمار
تعداد بیماران درمان شده
Catania (INFN-LNS), Italy

2002

174
Wakasa Bay (WERC), Japan

2002
2009
62
Shizuoka, Japan

2003

986
Wanjie (WPTC), China

2004

1078
Bloomington (MPRI_2), Indiana

2004

1145
Houston, Texas

2006

2700
Jacksonville, Florida

2006

2679
Ilsan (NCC), South Korea

2007

648
Munich (RPTC), Germany

2009

446
Oklahoma City (ProCurePTC), Oklahoma

2009

21
Heidelberg (HIT), Germany

2010

40
تعداد مراکز پروتون‌تراپی: 27
تعداد کل بیماران درمان شده: 73804
2-2- انواع مختلف برهم‌کنش پروتون با ماده
پروتون‌ها به سه روش متمایز با ماده برهم‌کنش می‌کنند. آن‌ها از طریق هزاران برخوردی که با الکترون‌های اتمی دارند، دچار کاهش سرعت می‌شوند و از طریق هزاران برخوردی که با هستۀ اتمی دارند، منحرف می‌گردند. پروتون‌ها گاهی به هسته نیز برخورد می‌کنند که طی آن ذرات ثانویه‌ای تولید می‌شوند. این فرآیندها به ترتیب توقف45، پراکندگی46 و برهم‌کنش‌های هسته‌ای47 نام دارند. فرآیندهای توقف و پراکندگی از طریق برهم‌کنش‌های الکترومغناطیسی که بین بار پروتون و بار الکترون‌های اتمی یا هسته صورت می‌گیرد، ایجاد می‌شوند. چنین برهم‌کنش‌هایی، ساده هستند و به خوبی قابل درک می‌باشند؛ ضمن اینکه تئوری‌های ریاضی‌وار و جامعی برای توصیف آن‌ها وجود دارند. در مقابل، تصویر کلی که از برهم‌کنش‌های هسته‌ای وجود دارد، با مدل‌هایی درهم‌آمیخته شده است. این برهم‌کنش‌ها نسبتاً کم اتفاق می‌افتند و با تقریب‌های ساده نیز می‌توان آن‌ها را برای کاربردهای پرتودرمانی، در حد کافی و مورد نیاز لحاظ کرد.
2-2-1- تئوری توقف پروتون
تئوری توقف به‌طور کامل در سال 1933 توسعه داده شد. اصل مهم دربارۀ پروتون‌ها این است که آن‌ها در مادۀ جامد یا مایع به واسطۀ برهم‌کنش با الکترون‌های اتمی متوقف می‌شوند. در برخوردهایی با فاصلۀ مشخص، پروتون‌ها انرژی بیشتری را از دست می‌دهند. میزان یونش و تخلیۀ دوز در پیک براگ در انتهای برد به بیشترین حد خود می‌رسد و بعد از نقطۀ توقف در انتهای برد، دوز، قابل چشم‌پوشی است. برد پروتون تقریباً متناسب با مربع انرژی جنبشی می‌باشد [4]. اگر پرتو فرودی تک انرژی باشد، تمام پروتون‌ها تقریباً در عمق مشابه متوقف خواهند شد و در حالتی که باریکۀ پروتون دارای پهن‌شدگی انرژی باشد، پهن‌شدگی مختصر در نقطۀ توقف، افزایش می‌یابد که به آن پاشیدگی برد48 گفته می‌شود. میزان از دست رفتن انرژی پروتون‌ها با کاهش سرعت آن‌ها افزایش می‌یابد؛ زیرا در برخورد پروتون با الکترون، تکانۀ بیشتری به الکترون انتقال داده می‌شود و پروتون مدت بیشتری در مجاورت آن باقی می‌ماند. میزان اتلاف انرژی یا توان توقف، وابسته به انرژی پرتو فرودی و جنس مادۀ متوقف‌کننده است. به‌عنوان مثال موادی مانند سرب (عدد اتمی 82)، توان توقف کمتری نسبت به موادی مانند بریلیوم (عدد اتمی 4)، آب و یا پلاستیک دارند.
2-2-1-1- توان توقف
معادلۀ (21) و (22) توصیف‌کنندۀ توان توقف است که براساس آن، توان توقف خطی49 برای ذرات باردار در یک مادۀ جاذب برابر است با میزان انرژی جنبشی که ذره در جابه‌جایی در واحد طول مسیر در ماده، از دست می‌دهد؛ مقدار dE/dx را می‌توان اتلاف ویژۀ انرژی50 یا آهنگ اتلاف انرژی نیز نامید:
(21(
S=-dE/dx≡[MeV/cm]
توان توقف جرمی51 نیز توان توقفی است که براساس چگالی، نرمالیزه می‌شود [4]:
(22)
S/ρ=-1/ρ dE/dx≡[MeV/(g/(cm^2 ))]
تئوری توقف یا همان آهنگ اتلاف انرژی به‌صورت تحلیلی توسط بته52 و بلوخ53 به‌دست آمده است [34-35-36]. خلاصه‌سازی فرمول گستردۀ تئوری بته، در سال 1963 توسط فانو برای توصیف توان توقف یون‌هایی با انرژی بالا، طبق معادلۀ (23) ارائه شده است [37]:
(23)
S=-dE/dx=(4πe^4 Z_t Z_p^2)/(m_e v^2 )[ ln (2m_e v^2)/()-ln⁡(1-β^2 )-β^2-c/Z_t -δ/2 ]
در این فرمول، Z_t بار هستۀ هدف، Z_p بار هستۀ ذرۀ تابیده شده و I انرژی متوسط یونیزاسیون اتم یا مولکول هدف است. به‌علاوه c/Z_t فاکتور تصحیح پوسته و δ/2 فاکتور تصحیح اثر چگالی می‌باشد.
به‌طور خاص برای پروتون‌ها، با محاسبۀ ثابت‌های فیزیکی و صرف‌نظر از تمام تصحیحات (با توجه به محدودۀ انرژی پروتون در پرتودرمانی، این کار مجاز است.)، توان توقف جرمی در عنصری با عدد اتمی Z و جرم اتمی A، مطابق با معادلۀ (24) است [4]:
(24)
S/ρ=-1/ρ dE/dx=0/3072 Z/A 1/β^2 (ln ((2m_e c^2 β^2)/(1-β^2 ))/I-β^2 )≡[MeV/(g/(cm^2 ))]
(2m_e c^2 β^2)/(1-β^2 ) بیانگر بیشترین احتمال از دست رفتن انرژی پروتون، طی یک برخورد ساده با الکترون‌های آزاد است. شکل 2-1، توان توقف پروتون‌ها و الکترون‌ها را در موادی مانند آب، آلومینیوم و طلا برحسب انرژی ذره نشان می‌دهد [38].
اگر ماده، ترکیبی از مواد مختلف باشد، اتم‌های هر ماده به‌طور جداگانه با پرتو برهم‌کنش دارند و می‌توان ماده را به‌صورت ورقه‌های خیلی نازک از هر ساختار در کنار هم تصور کرد؛ بنابراین توان توقف جرمی برای این مادۀ ترکیبی به‌صورت زیر است [4]:
(25)
S/ρ=∑_i▒〖ω_i (S/ρ)_i 〗

در معادلۀ (25)، ω_i بیانگر فاکتور وزنی عنصر i‌ و(S/ρ)_i توان توقف جرمی متناظر با آن در مادۀ ترکیبی است.

شکل 2-1. نمودار تغییرات توان توقف برحسب انرژی پروتون و الکترون فرودی برای مواد مختلف [38]
2-2-1-2- برد پروتون
برد پروتون در یک محیط را می‌توان به‌وسیلۀ تجمیع کلیۀ توان‌های توقف‌ از انرژی صفر تا E طبق معادلۀ (26) تعیین کرد:
(26)
R=∫_0^E▒〖-〖(dE/dx)〗^(-1) dE〗
رابطۀ به‌دست آمده در بالا، تقریب کاهش سرعت پیوسته ( CSDA )54 نامیده می‌شود.
برد متوسط پروتون
اگر فرض کنیم که پرتو پروتون با انرژی اولیۀ Einitial وارد ماده‌ای شود و به‌واسطۀ از دست دادن انرژی، به مقدار خیلی کم Efinal برسد، برد تئوری، در یک مادۀ همگن، طبق معادلۀ (27) به دست می‌آید:

(27)
R(E_initial )=∫_(E_initial)^(E_final)▒〖〖(1/ρ dE/dx)〗^(-1) dE=∫_(E_final)^(E_initial)▒〖(dE/(S⁄ρ))〗≡[g/(cm^2 )]〗
به دلیل وجود پراکندگی، پروتون‌ها مسیر دقیقاً مستقیمی را طی نمی‌کنند؛ بنابراین کمیتی که محاسبه می‌شود، به جای برد متوسط، طول مسیر کل می‌باشد[39].
برای تنظیم ارتباط بین برد CSDA برحسب g/cm2 و انرژی اولیه برحسب MeV از معادلۀ (28) می‌توان استفاده کرد:
(28)
R=aE^b
این شکل پایه‌ای، برای تمام مواد مشابه است. شکل 2-2 ارتباط بین برد و انرژی را برای تعدادی از موادی که در سیستم شکل‌دهندۀ پرتو در پروتون‌تراپی مورد استفاده قرار می‌گیرند، در بازۀ انرژی‌های درمانی نشان می‌دهد [39]. در یک انرژی مشخص، برد برای عناصر سنگین با توان توقف کوچک، بزرگ‌تر می‌باشد.

شکل 2-2. نمودار تغییرات برد پروتون برحسب انرژی در مواد مختلف [39]
در نمودار لگاریتمی اگر منحنی‌ها دقیقاً خطی باشند، ارتباط بین برد و انرژی از قانون توانی گفته شده تبعیت می‌کند. اگر خط‌ها با هم موازی باشند، b برای تمام مواد یکسان خواهد بود و تنها a مقادیر متفاوتی خواهد داشت. به‌علاوه S/ρ طبق معادلۀ (24) با 1/β^2 تغییر می‌کند و β^2 هم تقریباً با E متغیر است؛ بنابراین مطابق با معادلۀ (27)، برد باید با E^2 تغییر کند. در حقیقت نما در قانون توانی ذکر شده، کمی کمتر از 2 است. به‌عنوان نمونه اگر قانون توانی برای برد پروتون‌های MeV 100 و MeV 200 در آب تنظیم شود، رابطۀ مذکور با معادلۀ (29) داده خواهد شد [39]:

(29)
R≈aE^b=0/00244E^(1/75)≡[g/〖cm〗^2 ]
باید توجه داشت که اگر برد متفاوتی برای تنظیم قانون توانی انتخاب شود، ثابت‌ها کمی متفاوت خواهند بود. جدول 2-2، مقادیر عددی برای برد را با توجه به انرژی جنبشی پروتون فرودی در آب نشان می‌دهد[39]. این داده‌ها توجیهی است برای اینکه چرا بازۀ انرژی مفید و مورد استفاده در پروتون‌تراپی بین MeV 300-3 قرار دارد.

جدول 2‏02. برد پروتون متناظر با انرژی جنبشی ذرۀ فرودی [39]
انرژی جنبشی ( MeV )
برد در آب ( cm )
1
002/0
3
014/0
10
123/0
30
885/0
100
718/7
300
45/51

از دید تجربی برد متوسط ذرۀ فرودی یعنی R_0 برای پرتو پروتون به‌صورت عمق ماده‌ای تعریف می‌شود که در آن نیمی از پروتون‌هایی که تحت برهم‌کنش‌های الکترومغناطیسی قرار می‌گیرند، متوقف گردند. این تعریف به وسیلۀ اندازه‌گیری شار به دست می‌آید؛ البته می‌توان با اندازه‌گیری دوز نیز به نتیجۀ درستی دست یافت. مطابق با شکل 2-3، اگر پهنای انرژی پرتو پروتون افزایش یابد، به‌گونه‌ای که انرژی متوسط، یکسان باقی بماند، برد اندازه‌گیری شده برابر خواهد بود با عمقی که در آن میزان دوز در نقطۀ 80% پایانی پیک براگ قرار دارد؛ یعنی R_0 برابر با d80 می‌باشد [4].

شکل 2-3. نمودار دوز عمقی برای پرتو پروتون و پیک براگ و نمایش برد و پهن‌شدگی انرژی [4]
2-2-1-3- پاشیدگی برد
از آنجایی‌که از دست دادن انرژی پرتو پروتون ناشی از برهم‌کنش‌هایی است که برای هر کدام از پروتون‌ها طی برخورد با الکترون‌ها اتفاق می‌افتد، از دید آماری این پدیده با یک سری افت وخیز همراه خواهد بود؛ از این‌رو حتی اگر پروتون‌ها انرژی اولیۀ یکسانی داشته باشند، همۀ آن‌ها در عمق دقیقاً مشابهی متوقف نخواهند شد؛ این موضوع پاشیدگی برد نامیده می‌شود و اگر روی افت وخیزهایی که در از دست دادن انرژی اتفاق می‌افتد، متمرکز شویم، پاشیدگی انرژی نیز تعریف خواهد شد. مطابق با شکل 2-4 پاشیدگی برد را می‌توان به‌صورت (dI(s))/ds تعریف کرد [38].

شکل 2-4. نمایش پاشیدگی برد براساس (dI(s))/ds [38]
شکل 2-5 نیز پاشیدگی برد را به‌صورت تابعی از انرژی فرودی در 5 مادۀ مختلف نشان می‌دهد [40]. طبق این نمودار، پاشیدگی 2/1% برای برد در عناصر سبک و کمی بیشتر برای عناصر سنگین‌تر وجود دارد. نتیجۀ مفیدی که از این نمودار می‌توان به دست آورد آن است که شکل پیک براگ زمانی که پلاستیک یا حتی مقداری سرب جایگزین آب می‌شود، کمی تغییر می‌کند. این مسئله، طراحی مدولاتور برد را تا حد زیادی آسان خواهد کرد. در بخش‌های بعد به‌طور مفصل دربارۀ طراحی سیستم‌های شکل‌دهندۀ پرتو پروتون توضیح داده خواهد شد.

شکل 2-5. پاشیدگی برد پروتون برحسب انرژی پرتو فرودی در مواد مختلف [40]
2-2-2- تئوری پراکندگی پروتون
ذرات طی فرآیند پراکندگی می‌توانند در زوایای مختلفی توزیع شوند؛ بنابراین تعداد این ذرات یعنی Ns به زاویۀ پراکندگی θ، مطابق با معادلۀ (210)، وابسته خواهد بود:
(210)
N_s∝ 1/(〖sin〗^4 θ/2)
سطح مقطع دیفرانسیلی این فرآیند به وسیلۀ پراکندگی رادرفورد قابل محاسبه است. شکل 2-6 نمای کلی پراکندگی رادرفورد را نشان می‌دهد و معادلات (211) و (212)، روابط مربوط به این پراکندگی را بیان می‌نمایند. Z_i و Z_t به ترتیب بار هستۀ ذرۀ فرودی و هدف می‌باشند.
(211)
dσ/dΩ=(〖Z_i〗^2 〖Z_t〗^2