تحقیق رایگان درمورد نااطمینانی، رگرسیون، انحراف معیار، شاخص قیمت سهام

نظری متعددی انجام‌شده است. تغییرپذیری یکی از مفاهیم مهم در مباحث اقتصادی و مالی است. تغییرپذیری را اغلب به‌صورت انحراف معیار یا واریانس تعریف می‌کنند که در هر مثال و موضوعی دارای مفهوم خاصی است. به‌عنوان‌مثال در رابطه با بازدهی سهام، انحراف معیار بیانگر نااطمینانی است.
ساده‌ترین برخورد با تغییرپذیری، استفاده از برآورد تاریخی است. تغییرپذیری تاریخی مستلزم محاسبه واریانس (یا انحراف معیار) متغیر مورد نظر در طول دوره مورد بررسی است که آن را به عنوان معیاری برای تغییرپذیری آینده به کار می‌برند. از طرف دیگر، واریانس تاریخی روش مفیدی برای مقایسه توانایی پیش‌بینی مدل‌ها می‌باشد.
همه مدل‌هایی که برای قیمت‌گذاری دارایی‌های مالی طرح می‌شوند، نیازمند برآورد و پیش‌بینی تغییرپذیری می‌باشند، زیرا از یک طرف، پیش‌بینی بازدهی اهمیت دارد و از طرف دیگر نوسانات آتی این بازدهی‌ها نیز از اهمیت زیادی برخوردار است.
سری زمانی Y را درنظر بگیرید که Y_t مقدار آن در زمان t می‌باشد. در مباحث مرسوم رگرسیون، یک معادله برای Y_t معرفی می‌کنیم که در ساده‌ترین حالت به صورت Y_t=α+βX_t+u_t است. آنچه در اینجا برآورد می‌شود، معادله میانگین شرطی Y_t، یعنی E(Y_t│X_t )=α+βX_t است که برآورد آن را Y ̂_t=α ̂+β ̂X_t نشان می‌دهیم. در این شرایط، فرض ضمینی این است که واریانس شرطی Y_t ثابت است.
در مباحث رگرسیون یک متغیره دیدیم که تغییرات Y_t شامل دو قسمت است: یکی تغییرات توضیح داده شده که توسط α ̂+β ̂X_t تبیین می‌شود و دیگری تغییرات توضیح داده نشده که توسط u ̂_t یا e_t توصیف می‌شود. یعنی در زمان t بخشی از Y_t توسط α ̂+β ̂X_t تبیین می‌شود که برای ما قابل پیش‌بینی است و هیچ نااطمینانی راجع به آن وجود ندارد و بخشی نیز مربوط به جمله خطا است که فرض می‌شود این قسمت از تغییرات Y_t در هر زمانی برابر با مقدار ثابت σ ̂^2 است. بنابراین یک جزء نامطمئن داریم که آن را ثابت فرض کرده‌ایم. یعنی فرض کرده‌ایم که تغییرات غیرقابل پیش‌بینی Y_t که ناشی از عوامل تصادفی است، ثابت است.
به هر حال در این مباحث تغییرات غیرقابل پیش‌بینی را که ناشی از عوامل تصادفی است، معادل با نااطمینانی در Y_t درنظر می‌گیریم و همان‌طور که ملاحظه شد، معیار نااطمینانی، واریانس جمله خطا (σ^2) می‌باشد. حال موضوع دیگری که راجع به نااطمینانی یا تغییرات پیش‌بینی نشده‌ی Y_t مطرح است این است که σ^2 به عنوان معیار نااطمینانی لزوماً ثابت نیست. به عنوان مثال در مورد بازدهی سهام، همچنان که مقدار بازدهی به طور متوسط افزایش می‌یابد، ممکن است نااطمینانی نسبت به آن (مثلاً واریانس یا انحراف معیار آن که بیانگر نااطمینانی است) نیز افزایش یابد. در چنین حالتی، σ^2 نمی‌تواند ثابت باشد که آن را با σ_t^2 نشان می‌دهیم. بدین ترتیب σ_t^2 بیانگر تغییرات Y_t است که ناشی از عوامل تصادفی می‌باشد و معیاری از تغییرپذیری یا نااطمینانی در خصوص Y_t است. بنابراین همان‌طور که برای میانگین شرطی Y_t یک معادله رگرسیون تعریف و برآورد می‌کنیم، لازم است برای واریانس شرطی نیز یک معادله تعریف و برآورد نماییم.

1- مدل 186ARCH
مدل‌های ARCH مدل‌هایی هستند که در آنها واریانس شرطی خود رگرسیونی، ثابت نمی‌باشد. به خاطر داریم که در یک مدل رگرسیون، جمله خطا دارای ویژگی u_t~N(0,σ^2) می‌باشد. فرض ثابت بودن واریانس u_t تضمن می‌کند که برآورد کننده‌های 187OLS بدون تورش و کارا باشند.
اما یکی از ویژگی‌های مهم برخی از سریهای زمانی اقتصادی و مالی این است که دارای تغییرپذیری خوشه‌ای هستند. یعنی تغییرات بزرگ منجر به تغییرات بزرگ، و تغییرات کوچک منجر به تغییرات کوچک می‌شود. به عبارت دیگر سطح جاری تغییرپذیری رابطه مثبت با مقادیر گذشته آن دارد. این پدیده در نمودار (3-1) برای نرخ رشد هفتگی شاخص قیمت سهام در بورس تهران نشان داده شده است.

نمودار 2-18 نرخ رشد هفتگی شاخص قیمت سهام در بورس تهران

سوال این است که این پدیده را چگونه مدل‌سازی کنیم؟ یک روش استفاده از مدل ARCH است. برای توصیف این مدل، تعریف واریانس شرطی متغیر تصادفی u_t را باید بررسی کنیم. تمایز بین واریانس شرطی و غیرشرطی یک متغیر تصادفی دقیقاً مشابه با میانگین شرطی و غیرشرطی است. واریانس شرطی u_t که با σ_t^2 نشان داده می‌شود، عبارت است از:
σ_t^2=Var(u_t│u_(t-1),u_(t-2),…)=E[(u_t-Eu_t )^2│u_(t-1),u_(t-2),…)] (2-38)

با فرض E(u_t )=0 ، خواهیم داشت:
σ_t^2=Var(u_t│u_(t-1),u_(t-2),…)=E(u_t^2│u_(t-1),u_(t-2),…) (2-39)

معادله (2-39) بیان می‌کند که واریانس شرطی u_t برابر با امید ریاضی شرطی u_t^2 است. لذا σ_t^2 که در زمان t محاسبه می‌شود به شرط معلوم بودن مقدار خطاها در زمان‌های گذشته است.
در مدل ARCH، «خودهمبستگی در تغییرپذیری188» توسط واریانس شرطی جمله خطا بیان می‌شود که در ساده‌ترین حالت، بستگی به مجذور خطای دوره قبل دارد:
σ_t^2=α_0+α_1 u_(t-1)^2 (2-40)

مدل (2-40) را تحت عنوان ARCH می‌شناسند، زیرا واریانس شرطی فقط بستگی به خطای دوره قبل دارد. توجه شود که (2-40) فقط بخشی از کل مدل است، زیرا درباره میانگین شرطی متغیر وابسته که همان معادله اصلی است، چیزی بیان نمی‌کند. در مدل ARCH، معادله میانگین شرطی یا معادله اصلی را که بیانگر تغییرات متغیر وابسته Y_t در طول زمان می‌باشد به هر شکلی که محقق بخواهد می‌تواند درنظر بگیرد. به عنوان مثال، مدل زیر را درنظر بگیرید:
Y_t=β_1+β_2 X_2t+β_3 X_3t β_4 X_4t+u_t u_t~N(0,σ_t^2) (2-41)
σ_t^2=α_0+α_1 u_(t-1)^2 (2-42)
مدل (2-42) را می‌توان گسترش داد و در حالت کلی آن را به صورت ARCH(q) نشان داد:
Y_t=β_1+β_2 X_2t+β_3 X_3t+β_4 X_4t+u_t , u_t~N(0,h_t) (2-43)
h_t=α_0+α_1 u_(t-2)^2+…+α_q u_(t-q)^2 (2-44)
که برای سادگی به جای σ_t^2 از h_t استفاده شده است.
توجه شود که از آنجا که h_t واریانس شرطی است، الزاماً مقدار آن باید مثبت باشد. لذا واریانس منفی در هر لحظه از زمان، غیرمعقول است و لازم است که تمام ضرایب معادله (3-7) غیرمنفی باشند.

2- آزمون ARCH
آزمون ARCH راجه به ثابت یا متغیر بودن واریانس جمله خطا است. در واقع قبل از هر چیزی بایستی راجه به وضعیت واریانس جمله خطا، چنین آزمونی صورت گیرد. برای بررسی اینکه آیا واریانس ثابت است یا خیر و یا به عبارت دیگر برای آزمون ARCH مراحل زیر را انجام می‌دهیم.
1- معادله میانگین شرطی Y را که به صورت زیر داده شده است با روش OLS براورد کرده و باقیمانده‌های آن را (یعنی u ̂_t ) حساب می‌کنیم:
Y_t=β_1+β_2 X_2t+β_3 X_3t+β_4 X_4t+u_t (2-45)

خطاها را مجذور کرده و رگرسیون زیر را برآورد می‌کنیم:
u ̂_t^2=α_0+α_1 u_t^2+α_2 u_t^2+…+α_q u_(t-q)^2+υ_t (2-46)

از این معادله، R^2 را نیز حساب می‌کنیم.
به عنوان ملاک آزمون، nR^2 را حساب می‌کنیم که برابر با حاصل ضرب تعداد مشاهدات در R^2 می‌باشد. توجه شود که 〖nR〗^2 دارای توزیع x_q^2 می‌باشد.
فرضیه زیر را آزمون می‌کنیم که معادل با عدم وجود ARCH (یعنی ثابت بودن واریانس) می‌باشد:
H_0:α_i=0 , i=1,…,q
H_1:α_i≠0 (2-47)
اگر لااقل یکی از α_i ها غیر صفر باشد، واریانس ثابت نیست.

3- محدودیت‌های مدل ARCH
مدل ARCH چارچوب مناسبی برای تحلیل تغییرپذیری در سری‌های زمانی ارائه می‌کند. اما این مدل دارای محدودیت‌ها و مشکلاتی است. یکی از مشکلات آن مربوط به تعیین q است، یعنی تعداد وقفه‌هایی که باید به باقیمانده‌ها بدهیم. البته یکی از روش‌ها استفاده از آزمون نسبت درستنمایی است که در ادامه این فصل بحث خواهد شد. از طرف دیگر ممکن است فرض غیر منفی بودن نقض شود که در این صورت تخمین مدل ARCH را با مشکل مواجه می‌کند. برای حل این مشکلات از مدل دیگری استفاده می‌شود که موسوم به ARCH تعمیم یافته یا GARCH189 می‌باشد.

4- مدل ARCH تعمیم یافته (GARCH)
مدل GARCH در سال 1986 ارائه گردید190. حالت ساده‌ی این مدل عبارت است از:
σ_t^2=α_0+u_(t-1)^2+βσ_(t-1)^2 (2-48)
مدل فوق چون خطاها با یک وقفه و واریانس نیز با یک وقفه وارد شده‌اند، آن را با (1و1) GARCH نشان می‌دهند. بدیهی است که اگر (2-49) را با یک وقفه نوشته و به جای σ_(t-1)^2 جایگذاری کنیم، خواهیم داشت:
σ_t^2=α_0+α_1 u_(t-1)^2+β(α_0+α_1 u_(t-2)^2+βσ_(t-2)^2=α_0 (1+β)+α_1 u_(t-1)^2+βα_1 u_(t-2)^2+β^2 σ_(t-2)^2 (2-49)

حال اگر این جایگذاری‌ها را تکرار کنیم، نتیجه زیر به دست می‌آید:
σ_t^2=α_0 (1+β+β^2+…)+α_1 (u_(t-1)^2+βu_(t-2)^2+β^2 u_(t-3)^2+…)
=α ́_0+α ́_1 u_(t-1)^2+α ́_2 u_(t-2)^2+α ́_3 u_(t-3)^2+…
α ́_0=α_0 ∑_(i=0)^∞▒〖β^2 , α ́_0=α_0 β^i 〗 (2-50)

بنابراین، مدل فوق معادل با (∞ )ARCH می‌باشد. در حالت کلی (q,p) GARCH عبارت است از:
σ_t^2=α_0+α_1 u_(t-1)^2+…+α_q u_(t-q)^2+β_1 σ_(t-1)^2+…+β_p σ_(t-p)^2 (2-51)

بدین ترتیب در حالت کلی، واریانس شرطی u_t توسط معادله (3-15) توصیف می‌شود، ولی معمولاً (1و1) GARCH کفایت می‌کند. بدیهی است که واریانس شرطی u_t در طول زمان در حال تغییر است، ولی واریانس غیرشرطی ثابت می‌باشد. برای محاسبه واریانس غیرشرطی، امید ریاضی معادله (3-12) را حساب کنیم. در این صورت E(σ_T^2 )=E(σ_(t-1)^2 )=E(u_(t-1)^2 )=σ^2 است و لذا بر اساس معادله (3-12) واریانس غیرشرطی برابر است با:
Var(u_t )=σ^2=α_0/(1-(α_1+β)) (2-52)

عبارت فوق در صورتی قابل تعریف است که α_1+β<1 باشد. اگر α_1+β>1 باشد در این صورت واریانس غیرشرطی u قابل تعریف نمی‌باشد. اما اگر α_1+β=1 باشد اصطلاحاً گفته می‌شود که ریشه واحد وجود دارد و آن را با 191IGARCH نشان می‌دهند.

5- تخمین مدل‌های ARCH و GARCH
از آنجا که مدل‌های ARCH و GARCH خطی نیستند لذا نمی‌توان آن‌ها را با روش‌های معمول مانند OLS برآورد نمود. توجه داریم که روش OLS به دنبال حداقل نمودن مجموع مربعات باقیمانده (خطا) است. همچنین درروش OLS مجموع مربعات باقیمانده (RSS) فقط بستگی به پارامترهای معادله میانگین شرطی دارد و هیچ وابستگی به واریانس شرطی ندارد. لذا روش OLS را نمی‌توان برای تخمین مدل‌ها ARCH و GARCH به کاربرد.
برای تخمین مدل‌های GARCH از روش حداکثر درستنمایی استفاده می‌شود. برای استفاده از روش حداکثر درستنمایی جهت تخمین مدل‌های GARCH فرض کنید که مدل ما شامل معادله میانگین شرطی (Y_t ) و معادله واریانس شرطی باشد:
Y_t=a+bY_(t-1)+u_t , u_t~N(0,σ_t^2) (2-53)

u_t توزیع نرمال با میانگین 0 و واریانس σ_t^2 دارد که تابع احتمال آن عبارت است از:
f(u_t )=1/(√2π σ_t ) e^(-(u_t^2)/(2σ_t^2 ))=1/(√2π σ_t ) e^(-〖(Y_t-a-bY_(t-1))〗^2/(2σ_t^2 )) (2-54)

حال تابع درستنمایی را تشکیل می‌دهیم:
L=f(u_1 )×…×f(u_n )=1/(〖(√2π)〗^n σ_t×…×σ_n ) e^(-∑_(t=1)^n▒〖(Y_t-a-bY_(t-1))〗^2/(2σ_t^2 )) (2-55)

لگاریتم تابع درستنمایی عبارت است از:
LnL=-n/2 Ln2π-n/2 ∑_(t=1)^n▒〖Lnσ_t^2-1/2 ∑_(t=1)^n▒〖(Y_t-a-bY_(t-1))〗^2/(σ_t^2 )〗 (2-56)

ضرایب مدل (5-54) که شامل a و b و α_0 و α_1 و β است باید به‌گونه‌ای تعیین شوند که مقدار تابع (5-55) یا (5-56) حداکثر شود.
معمولاً نرم‌افزارهای کامپیوتری از قبیل Eviews چنین تخمین‌هایی را ارائه می‌کند. اما باید توجه داشت که روش تخمین معادلات غیرخطی به‌صورت تکراری است و لذا مقدار اولیه‌ای که برای شروع تخمین پارامترها در نظر گرفته می‌شود، اهمیت خاصی دارد..
اگر مقدار اولیه را برابر 0 بگیریم، حداکثر تابع درستنمایی در θ=A می‌باشد، درحالی‌که